描述
开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787519252885丛书名: 中考热点研究系列教材
产品特色
编辑推荐
《中公版·中考热点研究：数学几何辅助线专题突破》初中几何，是点和线的堆叠，千变而万化。你是否迷失于几何错综复杂的变化之中，找不到方向？那么，请让中考热点研究系列图书之《数学几何辅助线专题突破》为你指点迷津吧！
本书有如下两大特色：
一、内容系统。我们精选*的中考试题或典型的、具有针对性的试题，确保接近中考热点。讲练结合，分析确保精练，答案确保详尽，并精选题目进行视频讲解。
二、形式精美。封面设计简单大气，体例简约清晰，字号、行距较大。
本书是你学习几何辅助线的绝佳选择，希望你借此书学会添加辅助线的技巧，突破初中数学的几何难关。
内容简介
《中公版·中考热点研究：数学几何辅助线专题突破》本书共分为中线与辅助线、角平分线与辅助线、几何变换与辅助线、解直角三角形与辅助线、圆与辅助线、三角形综合问题中的辅助线、四边形综合问题中的辅助线7章。每一章节都总结了历年试题中常用的添加辅助线的技巧，对每一个技巧，按照“技巧解读—技巧应用—技巧训练”的顺序，结合具体知识点、常见模型、*或经典的中考试题，进行组稿，做到讲练结合，帮助学生学会添加辅助线的技巧。
目 录
目录
章中线与辅助线
节遇到中线如何作辅助线
第二节特殊三角形中的中线
第二章角平分线与辅助线
节与角平分线的性质有关的辅助线
第二节构造等腰三角形
第三章几何变换与辅助线
节平移变换中的辅助线
第二节轴对称变换中的辅助线
第三节旋转变换中的辅助线
第四章解直角三角形常用的辅助线
节用勾股定理解直角三角形
第二节用三角函数解直角三角形
第五章圆与辅助线
节与圆的性质有关的辅助线
第二节圆与多边形中的辅助线
第六章三角形综合问题中的辅助线
节构造全等三角形
第二节构造相似三角形
第七章四边形综合问题中的辅助线
节一般四边形辅助线的添加
第二节平行四边形辅助线的添加
参考答案
章中线与辅助线
节遇到中线如何作辅助线
第二节特殊三角形中的中线
第二章角平分线与辅助线
节与角平分线的性质有关的辅助线
第二节构造等腰三角形
第三章几何变换与辅助线
节平移变换中的辅助线
第二节轴对称变换中的辅助线
第三节旋转变换中的辅助线
第四章解直角三角形常用的辅助线
节用勾股定理解直角三角形
第二节用三角函数解直角三角形
第五章圆与辅助线
节与圆的性质有关的辅助线
第二节圆与多边形中的辅助线
第六章三角形综合问题中的辅助线
节构造全等三角形
第二节构造相似三角形
第七章四边形综合问题中的辅助线
节一般四边形辅助线的添加
第二节平行四边形辅助线的添加
参考答案
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章
中线与辅助线
章中线与辅助线
中考热点研究·数学几何辅助线专题突破
节遇到中线如何作辅助线
技巧1：倍长中线
技巧2：倍长类中线
技巧3：构造中位线
技巧讲解
技巧1
倍长中线
技巧解读
三角形中有中线，可以将中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形
如图所示，AD为△ABC的中线，可延长AD至点E，使DE＝AD连接CE，则△CDE≌△BDA（SAS）；再连接BE，可得四边形ACEB为平行四边形
技巧应用
（贵阳中考）（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB、AD、DC之间的等量关系
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB、AD、DC转化在一个三角形中即可判断
AB、AD、DC之间的等量关系为
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB、AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论
（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE∶EC＝2∶3，点D在线段AE上，且∠EDF＝∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
【思路分析】第（1）（2）问中E为中点，所作的辅助线即为倍长中线；第（3）问中BE∶EC＝2∶3，类比中线，可延长AE交CF的延长线于点G，则AE∶EG＝2∶3
【答案详解】
（1）AD＝AB＋DC
（2）AB＝AF＋CF
如图所示，延长AE交DC的延长线于点G
∵AB∥DG，∴∠BAE＝∠G
在△ABE和△GCE中，
∵∠BAE=∠CGE∠AEB=∠GECBE=CE，
∴△ABE≌△GCE（AAS），
∴AB＝CG
∵AE平分∠BAF，
∴∠FAG＝∠BAE＝∠G，∴AF＝GF
∵CG＝CF＋FG，∴AB＝CF＋AF
（3）AB＝23（CF＋DF）
如图所示，延长AE交CF的延长线于点G
∵AB∥CG，∴∠A＝∠G
∵∠BAE=∠CGE∠AEB=∠GEC，
∴△ABE∽△GCE（AA），
∴AB∶GC＝BE∶CE＝2∶3，即AB＝23GC
∵∠FDG＝∠A＝∠G，∴DF＝GF
∵GC＝CF＋FG，
∴AB＝23GC＝23（CF＋DF）
技巧训练
（达州中考）△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是
技巧2
倍长类中线
技巧解读
三角形中有与中点相关的线段（非中线），可加倍延长该线段，构造全等三角形或平行四边形
如图所示，△ABC中，D为BC边中点，E为AC边上任意一点（不与点A、C重合）延长ED至点F，使DF＝DE，连接BF，则△CDE≌△BDF（SAS）；再连接BE、CF，则四边形CFBE为平行四边形
技巧应用
如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF
【思路分析】
欲证AC＝BF，可倍长FD，将BF与AC转移到同一个三角形中
【答案详解】
如图所示，延长AD至点G，使DG＝DF，连接CG
在△BFD和△CGD中，
∵FD=GD∠FDB=∠GDCBD=CD，
∴△BFD≌△CGD（SAS）
∴BF＝CG，∠BFD＝∠G
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∵∠BFD=∠AFE，
∴∠AGC＝∠EAF，
∴CG＝AC
∴AC＝BF
思考：若倍长AD至点H，连接BH，该如何证明呢？
技巧训练
在任意△ABC中，D为BC中点，DM平分∠ADB交AB于点M，DN平分∠ADC交AC于点N，连接MN，如图所示，则MN与BM＋CN的关系为（）
ABM＋CN＞MNBBM＋CN＜MN
CBM＋CN＝MND无法确定
技巧3
构造中位线
技巧解读
多边形中有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线
如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别为AD、BC的中点此时可连接BD，取BD的中点G，则EG、GF分别为△ABD、△BCD的中位线，可得EG＝GF＝12AB＝12CD
技巧应用
（兰州中考）如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论
【思路分析】
四边形PQMN的每条边均为两个中点的连线，考虑连接四边形ABCD的对角线构造三角形，进而利用中位线定理判断
【答案详解】
四边形PQMN为菱形
如图所示，连接AC、BD
∵N、P分别为AD、AB中点，
∴NP为△ADB的中位线，
∴NP∥BD且NP＝12BD
同理可得，MQ∥BD且MQ＝12BD
∴NP ?瘙 綊 MQ，
∴四边形PQMN为平行四边形
∵△ADE和△BCE都是等边三角形，
∴∠AEC＝∠DEB＝120°
在△AEC和△DEB中，
∵AE=DE∠AEC＝∠DEBEC=EB，
∴△AEC≌△DEB（SAS）
∴AC＝DB
∵NM为△ACD的中位线，∴NM＝12AC.
∵NP＝12BD，
∴NM＝NP，
∴平行四边形PQMN为菱形
技巧训练
（潍坊中考）已知△ABC，延长BC到D，使CD＝BC取AB的中点F，连接FD交AC于点E
（1）求AEAC的值；
（2）若AB＝a，FB＝EC，求AC的长
等级演练
基础题
1（本溪中考）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M
（1）如图①，当∠A＝30°时，求证：MC2＝AM2＋BC2；
（2）如图②，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；
（3）将三角板ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N（点N不与点C重合），连接MN，则MN2＝AM2＋BN2成立吗？
答：（直接填“成立”或“不成立”即可）
2（常德中考）已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME
（1）如图①，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图①，若CB＝a，CE＝2a，求BM、ME的长；
（3）如图②，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME
3（丹东中考）如图，已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）
（1）如图①，当点M在点B左侧时，EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图②，当点M在BC上时，其他条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由
提升题
4（绥化中考）如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME＝∠CNE（不需证明）
（温馨提示：在图①中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE）
问题一：如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；
问题二：如图③，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明
5（淄博中考）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB、AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD、ACE，分别取BD、CE、BC的中点M、N、G，连接GM、GN小明发现了：线段GM与GN的数量关系是；位置关系是
（2）类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形ABC换成一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由
（3）深入研究：
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD、ACE，其他条件不变，试判断△GMN的形状，并给予证明
趣味数学史
柏拉图——不懂几何者不得入内
柏拉图师从苏格拉底学习哲学，在苏格拉底受审被判死刑后，他开始周游各国寻求知识，结交了许多有名的数学家，逐渐领悟到了数学是理性哲学的前提条件
约公元前385年，他结束游学回到雅典，创办了自己的学校——柏拉图学院由于柏拉图很重视数学，尤其是对几何学感兴趣，他甚至在学院门口立下牌子，上面写着“不懂几何者不得入内”，学院的研讨也以数学为主除此之外，学院的另一风范就是公开研讨的学风，这深刻影响着后世的学校
第二节特殊三角形中的中线
技巧1：巧用“三线合一”
技巧2：巧用“斜边中线等于斜边的一半”
技巧讲解
技巧1
巧用“三线合一”
技巧解读
等腰三角形中有底边中线时，常利用“三线合一”的性质解题
如图所示，已知等腰△ABC，点D为底边上的中点，连接AD，则AD为∠BAC的平分线、BC边上的中线及BC边上的高
技巧应用
（抚顺中考·节选）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE
（1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE与BE的数量关系，并结合图①证明你的结论；
（2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论
中线与辅助线
章中线与辅助线
中考热点研究·数学几何辅助线专题突破
节遇到中线如何作辅助线
技巧1：倍长中线
技巧2：倍长类中线
技巧3：构造中位线
技巧讲解
技巧1
倍长中线
技巧解读
三角形中有中线，可以将中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形
如图所示，AD为△ABC的中线，可延长AD至点E，使DE＝AD连接CE，则△CDE≌△BDA（SAS）；再连接BE，可得四边形ACEB为平行四边形
技巧应用
（贵阳中考）（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB、AD、DC之间的等量关系
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB、AD、DC转化在一个三角形中即可判断
AB、AD、DC之间的等量关系为
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB、AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论
（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE∶EC＝2∶3，点D在线段AE上，且∠EDF＝∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
【思路分析】第（1）（2）问中E为中点，所作的辅助线即为倍长中线；第（3）问中BE∶EC＝2∶3，类比中线，可延长AE交CF的延长线于点G，则AE∶EG＝2∶3
【答案详解】
（1）AD＝AB＋DC
（2）AB＝AF＋CF
如图所示，延长AE交DC的延长线于点G
∵AB∥DG，∴∠BAE＝∠G
在△ABE和△GCE中，
∵∠BAE=∠CGE∠AEB=∠GECBE=CE，
∴△ABE≌△GCE（AAS），
∴AB＝CG
∵AE平分∠BAF，
∴∠FAG＝∠BAE＝∠G，∴AF＝GF
∵CG＝CF＋FG，∴AB＝CF＋AF
（3）AB＝23（CF＋DF）
如图所示，延长AE交CF的延长线于点G
∵AB∥CG，∴∠A＝∠G
∵∠BAE=∠CGE∠AEB=∠GEC，
∴△ABE∽△GCE（AA），
∴AB∶GC＝BE∶CE＝2∶3，即AB＝23GC
∵∠FDG＝∠A＝∠G，∴DF＝GF
∵GC＝CF＋FG，
∴AB＝23GC＝23（CF＋DF）
技巧训练
（达州中考）△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是
技巧2
倍长类中线
技巧解读
三角形中有与中点相关的线段（非中线），可加倍延长该线段，构造全等三角形或平行四边形
如图所示，△ABC中，D为BC边中点，E为AC边上任意一点（不与点A、C重合）延长ED至点F，使DF＝DE，连接BF，则△CDE≌△BDF（SAS）；再连接BE、CF，则四边形CFBE为平行四边形
技巧应用
如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF
【思路分析】
欲证AC＝BF，可倍长FD，将BF与AC转移到同一个三角形中
【答案详解】
如图所示，延长AD至点G，使DG＝DF，连接CG
在△BFD和△CGD中，
∵FD=GD∠FDB=∠GDCBD=CD，
∴△BFD≌△CGD（SAS）
∴BF＝CG，∠BFD＝∠G
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∵∠BFD=∠AFE，
∴∠AGC＝∠EAF，
∴CG＝AC
∴AC＝BF
思考：若倍长AD至点H，连接BH，该如何证明呢？
技巧训练
在任意△ABC中，D为BC中点，DM平分∠ADB交AB于点M，DN平分∠ADC交AC于点N，连接MN，如图所示，则MN与BM＋CN的关系为（）
ABM＋CN＞MNBBM＋CN＜MN
CBM＋CN＝MND无法确定
技巧3
构造中位线
技巧解读
多边形中有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线
如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别为AD、BC的中点此时可连接BD，取BD的中点G，则EG、GF分别为△ABD、△BCD的中位线，可得EG＝GF＝12AB＝12CD
技巧应用
（兰州中考）如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论
【思路分析】
四边形PQMN的每条边均为两个中点的连线，考虑连接四边形ABCD的对角线构造三角形，进而利用中位线定理判断
【答案详解】
四边形PQMN为菱形
如图所示，连接AC、BD
∵N、P分别为AD、AB中点，
∴NP为△ADB的中位线，
∴NP∥BD且NP＝12BD
同理可得，MQ∥BD且MQ＝12BD
∴NP ?瘙 綊 MQ，
∴四边形PQMN为平行四边形
∵△ADE和△BCE都是等边三角形，
∴∠AEC＝∠DEB＝120°
在△AEC和△DEB中，
∵AE=DE∠AEC＝∠DEBEC=EB，
∴△AEC≌△DEB（SAS）
∴AC＝DB
∵NM为△ACD的中位线，∴NM＝12AC.
∵NP＝12BD，
∴NM＝NP，
∴平行四边形PQMN为菱形
技巧训练
（潍坊中考）已知△ABC，延长BC到D，使CD＝BC取AB的中点F，连接FD交AC于点E
（1）求AEAC的值；
（2）若AB＝a，FB＝EC，求AC的长
等级演练
基础题
1（本溪中考）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M
（1）如图①，当∠A＝30°时，求证：MC2＝AM2＋BC2；
（2）如图②，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；
（3）将三角板ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N（点N不与点C重合），连接MN，则MN2＝AM2＋BN2成立吗？
答：（直接填“成立”或“不成立”即可）
2（常德中考）已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME
（1）如图①，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图①，若CB＝a，CE＝2a，求BM、ME的长；
（3）如图②，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME
3（丹东中考）如图，已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）
（1）如图①，当点M在点B左侧时，EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图②，当点M在BC上时，其他条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由
提升题
4（绥化中考）如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME＝∠CNE（不需证明）
（温馨提示：在图①中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE）
问题一：如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；
问题二：如图③，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明
5（淄博中考）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB、AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD、ACE，分别取BD、CE、BC的中点M、N、G，连接GM、GN小明发现了：线段GM与GN的数量关系是；位置关系是
（2）类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形ABC换成一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由
（3）深入研究：
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD、ACE，其他条件不变，试判断△GMN的形状，并给予证明
趣味数学史
柏拉图——不懂几何者不得入内
柏拉图师从苏格拉底学习哲学，在苏格拉底受审被判死刑后，他开始周游各国寻求知识，结交了许多有名的数学家，逐渐领悟到了数学是理性哲学的前提条件
约公元前385年，他结束游学回到雅典，创办了自己的学校——柏拉图学院由于柏拉图很重视数学，尤其是对几何学感兴趣，他甚至在学院门口立下牌子，上面写着“不懂几何者不得入内”，学院的研讨也以数学为主除此之外，学院的另一风范就是公开研讨的学风，这深刻影响着后世的学校
第二节特殊三角形中的中线
技巧1：巧用“三线合一”
技巧2：巧用“斜边中线等于斜边的一半”
技巧讲解
技巧1
巧用“三线合一”
技巧解读
等腰三角形中有底边中线时，常利用“三线合一”的性质解题
如图所示，已知等腰△ABC，点D为底边上的中点，连接AD，则AD为∠BAC的平分线、BC边上的中线及BC边上的高
技巧应用
（抚顺中考·节选）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE
（1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE与BE的数量关系，并结合图①证明你的结论；
（2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论
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