考研数学二 中公2020考研数学20年真题分类精讲（数学二）

《中公版·2020考研数学：20年真题分类精讲（数学二）》具有如下几大特色：
一、书内含码，码上有课
本书含2000—2019年共20年的真题，其中2003—2019年的每道真题均配有二维码，考生扫码即可观看对应题目的视频讲解，讲解过程生动直接，助考生告别无声读书的时代，感受智能化学习方式。
二、分科复习，分类精讲
本书按照高等数学、线性代数分为两篇，每一篇按照知识体系分成多章，每一章又按照不同考点将真题分类讲解，考生可以按照科目、体系、考点逐个掌握真题和相关知识。
三、了解趋势，夯实基础
本书在每章开始设置“本章考试要求”，再现新考纲的具体内容；另外设置“历年真题分布统计”，分析本章考点在近20年考研真题中的分布情况，并做出总结。
书中的每个考点都包含解题核心要点和真题精讲。部分重点题目给出“评注”，供考生在学习过程中进一步掌握考点，夯实基础。
四、移动自习，随时随地
购书享有研究生考试自习室多样增值服务，考生可利用碎片化时间，随时随地上自习。 

《中公版·2020考研数学：20年真题分类精讲（数学二）》包含高等数学和线性代数两个科目：高等数学篇分为函数、极限与连续，一元函数微分学，一元函数积分学，中值定理，多元函数微分学，二重积分，常微分方程共七章；线性代数篇分为行列式，矩阵，向量，线性方程组，特征值和特征向量，二次型共六章。
每章开头都设有“本章考试要求”和“历年真题分布统计”，使考生了解*大纲对本章各个考点的基本要求，并了解历年真题所对应的本章知识考查重点。
此外，本书将20年真题按照不同的考点归类。
*，针对每个考点都归纳出了“解题核心要点”，给出了与该考点有关的定理、公式、方法等，便于考生记忆。
第二，将真题按照考点分类，大部分真题的答案包括三部分：“思路分析”是对本题的主体思路和核心考点的概括；“解析”是本题的详细解题过程和步骤，部分题目一题多解；“评注”是对每种题型核心考点和解题方法的归纳。
第三，书中2003—2019年的真题均配有二维码，考生扫码即可观看对应题目的视频讲解。

目录
第一篇高等数学
第一章函数、极限与连续
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一函数的运算
考点二极限的性质
考点三无穷小量的比较
考点四极限的计算
考点五连续性
考点六间断点
第二章一元函数微分学
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一导数与微分
考点二导数的计算
考点三导数的几何意义与物理意义
考点四单调性与凹凸性
考点五极值与拐点
考点六渐近线
考点七曲率与曲率圆
考点八原函数及导函数
第三章一元函数积分学
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一不定积分的计算
考点二定积分的比较
考点三定积分的计算
考点四反常积分
考点五变上限积分的函数
考点六定积分的应用
第四章中值定理
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一罗尔定理
考点二拉格朗日中值定理
考点三柯西中值定理
考点四双中值问题
考点五泰勒定理
第五章多元函数微分学
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一多元函数微分学的概念
考点二偏导数的计算
考点三无条件极值
考点四条件极值
考点五最值问题
第六章二重积分
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一直角坐标
考点二极坐标
考点三交换积分次序
考点四对称性
第七章常微分方程
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一一阶微分方程
考点二高阶微分方程
考点三积分方程
考点四应用问题
第二篇线性代数
第一章行列式
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一数值型行列式
考点二抽象型行列式
第二章矩阵
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一矩阵的运算
考点二逆矩阵
考点三伴随矩阵
考点四矩阵方程
考点五初等矩阵
考点六矩阵的秩
第三章向量
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一线性表示
考点二线性相关
考点三向量组的秩
第四章线性方程组
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一解的判定
考点二解的结构
考点三含参数的线性方程组
考点四同解与公共解
考点五线性方程组的几何应用
第五章特征值和特征向量
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一特征值与特征向量的计算
考点二矩阵的相似
考点三相似对角化
考点四实对称矩阵
第六章二次型
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一二次型的合同标准形
考点二惯性指数与合同规范形

　　1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。
　　2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
　　3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
　　4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
　　5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。
　　6.掌握极限的性质及四则运算法则。
　　7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
　　8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
　　9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
　　10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
　　2000—2019年本章真题分布统计
　　概述：本章是高等数学的基础，每年都会被考查，且选择题、填空题和解答题均会涉及。本章的考题分布有两大特点：一是考点分布集中，大部分的题目考查的是极限的计算；二是知识联系紧密，无穷小量的比较、连续性、间断点等从本质上讲考查的就是极限的计算。所以，考生要重点掌握各类极限的计算方法。
　　考点一函数的运算
　　（一）解题核心要点
　　函数是高等数学的研究对象，函数的运算是高等数学的基础内容，这一部分在考试中被直接考查的比较少，更多的是和后面的考点结合作为解题的预备知识间接被考查。在近二十年真题中，数学二出现过一道直接考查函数的试题，所涉及的考点是复合函数的计算，考生只需理解复合函数的概念，按照运算法则进行计算即可。
　　（二）历年真题精讲
　　（2001年，3分）设f（x）=1，x≤1，0，x>1，则f{f［f（x）］}等于（）
　　（A）0。（B）1。
　　（C）1，x≤1，0，x>1。（D）0，x≤1，1，x>1。
　　【答案】B
　　【思路分析】按照复合函数的定义直接计算。
　　【解析】因为f（x）=1，x≤1，0，x>1，所以在整个定义域内f（x）=0或f（x）=1，所以f（x）≤1，于是ff（x）=1，从而f{f［f（x）］}=f（1）=1。
　　考点二极限的性质
　　（一）解题核心要点
　　本考点主要考查极限存在的条件及性质，常见的结论如下：
　　极限的四则运算法则
　　收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散，发散+发散=？；
　　收敛×收敛=收敛，收敛×发散=发散，收敛≠0，？，收敛=0，发散×发散=?
　　（问号表示结果不确定）。
　　夹逼准则
　　若存在自然数N，当n＞N时，恒有yn≤xn≤zn，且有limn→∞yn=limn→∞zn=a，则有limn→∞xn=a。
　　单调收敛定理
　　单调递增有上界的数列必有极限；单调递减有下界的数列必有极限；单调无界的数列极限为+∞或-∞。
　　极限的保号性
　　有两个数列{xn}与{yn}：
　　若从某一项N开始，以后所有项都有xn≥yn，则limn→∞xn≥limn→∞yn；
　　若有limn→∞xn＞limn→∞yn，则从某一项N开始，以后所有项都有xn＞yn。
　　（二）历年真题精讲
　　视频讲解
　　1.（2003年，4分）设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且limn→∞an=0，limn→∞bn=1，limn→∞cn=∞，则必有（）
　　（A）an　　（C）极限limn→∞ancn不存在。（D）极限limn→∞bncn不存在。
　　【答案】D
　　【思路分析】直接借助极限的性质进行推理得出正确选项或是举反例排除错误选项。
　　【解析】方法一：推理法。
　　由题设limn→∞bn=1，假设limn→∞bncn存在并记为A，则limn→∞cn=limn→∞bncnbn=A，这与limn→∞cn=∞矛盾，故假设不成立，即limn→∞bncn不存在。故选D。
　　方法二：排除法。
　　取an=1n，bn=n-1n，满足limn→∞an=0，limn→∞bn=1，而a1=1，b1=0，a1>b1，A项不正确；
　　取bn=n-1n，cn=n-2，满足limn→∞bn=1，limn→∞cn=∞，而b1=0>-1=c1，B项不正确；
　　取an=1n，cn=n-2，满足limn→∞an=0，limn→∞cn=∞，而limn→∞ancn=1，C项不正确。
　　故选D。
　　（1）选项A，B容易和极限的保号性混淆，根据保号性：limn→∞an0，当n>N时，有anN）才成立，无法保证对每一项都成立。
　　（2）结合本题的推理过程和极限的四则运算法则，可以总结出如下结论：两个收敛的数列相乘一定是收敛的；收敛的数列和发散的数列相乘之后是否收敛取决于收敛的数列的极限值，如果该极限值不为零，则一定发散，如果该极限值为零，则有可能收敛也有可能发散。同样的结论对函数极限也是成立的。
　　2.（2007年，4分）设函数f（x）在（0，+∞）上具有二阶导数，且f″（x）>0，令un=f（n）（n=1，2，…），则下列结论正确的是（）
　　视频讲解
　　（A）若u1>u2，则{un}必收敛。（B）若u1>u2，则{un}必发散。
　　（C）若u1　　【答案】D
　　【思路分析】借助函数的单调性、凹凸性和拉格朗日中值定理讨论。
　　【解析】选项A：设f（x）=－lnx，则f（x）在（0，+∞）上具有二阶导数，且f″（x）>0，u1>u2，但{un}={－lnn}发散，排除A；
　　选项B：设f（x）=1x，则f（x）在（0，+∞）上具有二阶导数，且f″（x）>0，u1>u2，但{un}={1n}收敛，排除B；
　　选项C：设f（x）=x2，则f（x）在（0，+∞）上具有二阶导数，且f″（x）>0，u1　　选项D：由拉格朗日中值定理，有
　　un+1－un=f（n+1）－f（n）=f′（ξn）（n+1－n）=f′（ξn），
　　其中ξn∈（n，n+1）（n=1，2，…）。由f″（x）>0知，f′（x）单调增加，故
　　f′（ξ1）　　所以un+1=u1+∑nk=1（uk+1－uk）=u1+∑nk=1f′（ξk）>u1+nf′（ξ1）=u1+n（u2－u1），
　　于是当u2－u1>0时，推得limn→∞un+1=+∞，故选D。
　　视频讲解
　　3.（2008年，4分）设函数f（x）在（－∞，+∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是（）
　　（A）若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛。
　　（B）若{xn}单调，则{f（xn）}收敛。
　　（C）若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛。
　　（D）若{f（xn）}单调，则{xn}收敛。
　　【答案】B
　　【思路分析】本题考查数列收敛的问题。判断数列收敛可以借助单调有界收敛定理。
　　【解析】由f（x）有界可得{f（xn）}也有界，由f（x）单调且{xn}也单调可得{f（xn）}单调，此时{f（xn）}单调有界，故选B。
　　也可以举特例判断：
　　如果令xn=n，则{f（xn）}→0单调，由单调有界收敛定理可知，{f（xn）}是收敛的，但此时{xn}是发散的，排除C、D。
　　本题容易引起混淆的是选项A，{xn}收敛时，假设limn→∞xn=a，此时要得到limn→∞f（xn）也存在，必须有f（x）在x=a处连续的条件。但题目中的条件并不能保证f（x）在x=a处连续，所以A项错误。例如：f（x）=arctanx－1，x≤0，arctanx+1，x>0，xn=（－1）nn。
　　4.（2012年，4分）设an＞0（n=1，2，…），Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的（）
　　视频讲解
　　（A）充分必要条件。（B）充分非必要条件。
　　（C）必要非充分条件。（D）既非充分也非必要条件。
　　【答案】B
　　【思路分析】运用单调有界收敛原理和极限的性质进行讨论。
　　【解析】由于an＞0，{Sn}是单调递增的，可知当数列{Sn}有界时，{Sn}收敛，即limn→∞Sn是存在的。此时有limn→∞an=limn→∞（Sn-Sn-1）=limn→∞Sn-limn→∞Sn-1=0，即{an}收敛。
　　反之，{an}收敛，{Sn}却不一定有界。例如，令an=1，显然有{an}收敛，但Sn=n是无界的。
　　故数列{Sn}有界是数列{an}收敛的充分非必要条件，故选B。
　　视频讲解
　　5.（2017年，4分）设数列{xn}收敛，则（）
　　（A）当limn→∞sinxn=0时，limn→∞xn=0。
　　（B）当limn→∞（xn+xn）=0时，limn→∞xn=0。
　　（C）当limn→∞（xn+x2n）=0时，limn→∞xn=0。
　　（D）当limn→∞（xn+sinxn）=0时，limn→∞xn=0。
　　【答案】D
　　【解析】设limn→∞xn=a。
　　选项A：当limn→∞sinxn=sina=0时，解得a=kπ（k=0，±1，±2，…），limn→∞xn不能确定为0，故A项错误。
　　选项B：当limn→∞（xn+xn）=a+a=0时，解得a=0或a=－1，limn→∞xn不能确定为0，故B项错误。
　　选项C：当limn→∞（xn+x2n）=a+a2=0时，解得a=0或者a=－1时，limn→∞xn不能确定为0，故C项错误。
　　选项D：当limn→∞（xn+sinxn）=a+sina=0时，解得a=0，即limn→∞xn=0，故选D。
　　考点三无穷小量的比较