陕西教师招聘考试中公2019陕西省特岗教师招聘考试辅导教材学科综合知识数学

《中公版·2019陕西省特岗教师招聘考试辅导教材：学科综合知识数学》

 

《中公版·2019陕西省特岗教师招聘考试辅导教材：学科综合知识数学》结合特岗教师招聘考试中小学数学新修订的考试大纲及考试真题，构架起以高中数学学科知识、高等数学学科知识二部分有机结合的庞大知识体系，并在书中设置考题再现、知识拓展、牛刀小试等板块，是一本专门针对陕西省特岗教师招聘考试数学学科的教材。本教材条理清晰，结构严谨，从基础、重要的考点出发，深入浅出地向考生讲解各个知识点，使考生能透彻地理解知识点，从而烂熟于心。

第一章集合、逻辑与算法初步（2）
第一节集合与逻辑（2）
第二节算法初步（7）
牛刀小试（11）
第二章函数（14）
第一节函数概念（14）
第二节基本初等函数（18）
第三节三角函数（21）
牛刀小试（27）
第三章不等式、数列与极限（29）
第一节不等式（29）
第二节数列（34）
第三节极限（36）
牛刀小试（37）
第四章推理证明与排列组合（40）
第一节推理与证明（40）
第二节排列、组合与二项式定理（44）
牛刀小试（48）
第五章向量与复数（52）
第一节向量（52）
第二节复数（56）
牛刀小试（59）
第六章立体几何（62）
第一节直线与平面（62）
第二节棱柱、棱锥与球（65）
牛刀小试（70）
第七章解析几何（73）
第一节直线与方程（73）
第二节圆与方程（75）
第三节圆锥曲线（77）
第四节极坐标与参数方程（80）
牛刀小试（82）
第八章统计与概率（86）
第一节统计（86）
第二节概率（88）
牛刀小试（93）
第九章数学史（96）
牛刀小试（102）
第一章数学分析（104）
第一节极限（104）
第二节函数连续性（108）
第三节导数与微分（109）
第四节级数（114）
第五节积分（119）
第六节多元函数微积分学（130）
第七节微分方程（135）
牛刀小试（137）
第二章高等代数（141）
第一节多项式（141）
第二节行列式（143）
第三节矩阵（146）
第四节线性方程组（152）
第五节二次型（156）
第六节线性空间（158）
第七节线性变换（160）
第八节欧氏空间（163）
牛刀小试（165）
第三章空间解析几何（167）
第一节空间坐标系与向量（167）
第二节空间的平面与直线（169）
第三节曲面及曲线方程（172）
牛刀小试（173）
第四章概率论与数理统计（176）
第一节随机事件和概率（176）
第二节随机变量及其分布（179）
第三节随机变量的数字特征（183）
第四节大数定律与中心极限定理（186）
第五节数理统计的基本概念（187）
牛刀小试（188）
陕西省特岗教师招聘课程体系（190）
中公教育·全国分部一览表（191）

第一节集合与逻辑
　　一、集合
　　（一）集合的基本概念
　　1．集合的含义
　　某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫作元素。
　　2．集合中的元素的三个特性
　　（1）元素的确定性。如：世界上最长的河流。
　　（2）元素的互异性。如：由ＨＡＰＰＹ的字母组成的集合｛Ｈ，Ａ，Ｐ，Ｙ｝。
　　（3）元素的无序性。如：｛ａ，ｂ，ｃ｝和｛ａ，ｃ，ｂ｝是表示同一个集合。
　　3．集合的表示
　　用拉丁字母表示集合：Ａ＝｛我校的篮球队员｝，Ｂ＝｛1，2，3，4，5｝。集合的表示方法：列举法、描述法与图示法。
　　（1）列举法：｛ａ，ｂ，ｃ…｝。
　　（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。例如｛ｘ∈Ｒ｜ｘ－3＞2｝。
　　（3）语言描述法：例如｛不是直角三角形的三角形｝。
　　（4）Venn图（韦恩图），也叫文氏图，它既可以表示一个独立的集合，也可以表示集合与集合之间的相互关系。如图1-1-1所示。
　　图1-1-1Venn图
　　常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作Ｎ；正整数集记作Ｎ?鄢或Ｎ＋；整数集记作Ｚ；有理数集记作Ｑ；实数集记作Ｒ。
　　4．集合的分类
　　有限集：含有有限个元素的集合。
　　无限集：含有无限个元素的集合。
　　空集：不含任何元素的集合记为。例如｛ｘ｜ｘ2＝－5，ｘ∈Ｒ｝。
　　（二）集合间的基本关系
　　全集：一般地，如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作Ｕ。
　　子集：一般地，对于两个集合Ａ，Ｂ，如果集合Ａ中的任意一个元素都是集合Ｂ中的元素，我们就称这两个集合有包含关系，称集合Ａ为集合Ｂ的子集，记作Ａ?哿Ｂ，读作“Ａ包含于Ｂ”。
　　真子集：如果Ａ?哿Ｂ，且Ａ≠Ｂ，那就说集合Ａ是集合Ｂ的真子集，记作Ａ?芴Ｂ（或Ｂ?芡Ａ）。
　　反之，集合Ａ不包含于集合Ｂ，或集合Ｂ不包含集合Ａ，记作Ａ?芫Ｂ或Ｂ?芸Ａ。
　　由上述集合间的基本关系，可以得到下列结论：
　　（1）任何一个集合是它本身的子集即A?哿A；
　　（2）对于集合A，B，C，如果A?哿B，且B?哿C，那么A?哿C；
　　（3）如果A?哿B且B?哿A，那么A＝B；
　　（4）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；
　　（5）有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集。
　　（三）集合的运算
　　表1-1-1集合的运算
　　【例题1】50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确的有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，那么这两种实验都做对的有多少人？
　　【答案】25。解析：如图1-1-2，方框里的总人数是50人，两个椭圆里的人数分别是40和31，则黑色区域的人数为40＋31＋4－50＝25。
　　二、简易逻辑
　　（一）逻辑联结词
　　1．“或”“且”“非”这些词叫作逻辑联结词，不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：ｐ或ｑ（记作ｐ∨ｑ）；ｐ且ｑ（记作ｐ∧ｑ）；非ｐ（记作?劭ｐ）。
　　逻辑联结词“或”可以与集合中的“并”相联系，U（Ａ∪Ｂ）＝UＡ∩UＢ。
　　逻辑联结词“且”可以与集合中的“交”相联系，U（Ａ∩Ｂ）＝UＡ∪UＢ。
　　逻辑联结词“非”可以与集合中的“补”相联系，UＡ＝｛ｘ｜ｘ∈Ｕ，且ｘ?埸Ａ｝。
　　2．“或”“且”“非”的真值判断：
　　（1）“非ｐ”形式复合命题的真假与ｐ的真假相反；
　　（2）“ｐ且ｑ”形式复合命题当ｐ与ｑ同为真时为真，其他情况时为假；
　　（3）“ｐ或ｑ”形式复合命题当ｐ与ｑ同为假时为假，其他情况时为真。
　　（二）命题
　　1．定义：可以判断真假的语句叫作命题。
　　若一个命题是正确的，该命题叫真命题；若一个命题不正确，该命题叫假命题。由命题的概念，一个命题不是真命题就是假命题。
　　2．命题的四种形式与相互关系：
　　（1）原命题：若ｐ，则ｑ。
　　（2）逆命题：若ｑ，则ｐ。
　　（3）否命题：若?劭ｐ，则?劭ｑ。
　　（4）逆否命题：若?劭ｑ，则?劭ｐ。
　　原命题与逆否命题互为逆否命题，同真假；逆命题与否命题互为逆否命题，同真假。
　　图1-1-3
　　（三）命题的条件与结论间的属性
　　若ｐ?圯ｑ，则ｐ是ｑ的充分条件，ｑ是ｐ的必要条件，即“前者为后者的充分，后者为前者的必要”；
　　若ｐ?圳ｑ，则ｐ是ｑ的充分必要条件，简称ｐ是ｑ的充要条件；
　　若ｐ?圯ｑ，且ｑｐ，那么称ｐ是ｑ的充分不必要条件；
　　若ｐｑ，且ｑ?圯ｐ，那么称ｐ是ｑ的必要不充分条件；
　　若ｐｑ，且ｑｐ，那么称ｐ是ｑ的既不充分又不必要条件。
　　【例题2】已知ｐ：方程ｘ2＋ｍｘ＋1＝0有两个不等负实根。ｑ：方程4ｘ2＋4（ｍ－2）ｘ＋1＝0无实根。若ｐ或ｑ为真，ｐ且ｑ为假。求实数ｍ的取值范围。
　　【解析】因为ｐ或ｑ为真，ｐ且ｑ为假，则必然ｐ与ｑ中有一真一假。分两种情况：ｐ为真，ｑ为假；ｑ为真，ｐ为假。
　　（1）若ｐ为真，则ｑ为假。
　　ｐ为真，方程ｘ2＋ｍｘ＋1＝0有两个不等负实根成立，即Δ＝ｍ2－4＞0，ｘ1＋ｘ2＝－ｍ＜0，解得ｍ＞2或ｍ＜－2，ｍ＞0。综上两式得到ｍ＞2。
　　ｑ为假，方程4ｘ2＋4（ｍ－2）ｘ＋1＝0无实根不成立，即有实数根，Δ＝16（ｍ－2）2－16≥0，所以ｍ≥3或ｍ≤1。
　　取交集得ｍ≥3。
　　（2）若ｑ为真，则ｐ为假。
　　ｑ为真，即方程4ｘ2＋4（ｍ－2）ｘ＋1＝0无实根成立，即Δ＝16（ｍ－2）2－16＜0，所以1＜ｍ＜3。
　　ｐ为假，方程ｘ2＋ｍｘ＋1＝0有两个不等负实根不成立，即①无实根或有两个相等实根，Δ＝ｍ2－4≤0，或②有两个不等正实根，Δ＝ｍ2－4＞0，ｘ1＋ｘ2＝－ｍ＞0，解得①－2≤ｍ≤2或②ｍ＜－2，所以ｍ≤2。
　　取交集得1＜ｍ≤2。
　　综上所述，ｍ≥3或1＜ｍ≤2。
　　三、常用逻辑用语——量词
　　对量词的理解，应重点把握以下几个方面。
　　第一，结合具体命题来理解量词的意义，了解量词在日常生活和数学中的各种表达形式。例如，
　　（1）所有正方形都是矩形；
　　（2）每一个有理数都能写成分数的形式；
　　（3）有些三角形是直角三角形；
　　（4）存在一个实数ｘ，使得ｘ2＋ｘ－1＝0。
　　以上命题的条件中，“所有”“每一个”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这些词是全称量词；“有些”“存在”等都表示个别或一部分的含义，这些词都是存在量词。
　　第二，通过生活和数学中的丰富实例，体会“量词”在数学和日常生活中的作用。例如，过直线外一点存在唯一的一条直线与该直线平行，这就使用了存在量词。
　　给定一组正整数｛2，8，17，19｝，存在一个大于1的正整数ｎ，使得这组数中的每一个数都能被ｎ整除。在这个命题中，使用了两个量词。
　　第三，新课标只要求理解和掌握含有一个量词的命题。对于命题的否定，只要求对含有一个量词的命题进行否定。学生可以通过一些日常生活中这类命题的否定，例如，“全班同学都会唱这首歌”的否定，来加深对这部分内容的理解。不要求理解和掌握含有两个和两个以上量词的命题。
　　第二节算法初步
　　一、基本概念
　　（一）算法的定义
　　对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，算法是对特定问题求解步骤的一种描述，现代意义的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤。
　　（二）算法的五个特征
　　1．确定性：算法的每一步必须是确切定义的，且无二义性，算法只有唯一的执行路径，对于相同的输入只能得出相同的输出。
　　2．有限性：一个算法必须在执行有限次运算后结束，在所规定的时间和空间内，若不能获得正确结果，其算法也是不能被采用的。
　　3．可行性：算法中的每一个步骤必须能用实现算法的工具——可执行指令精确表达，并在有限步骤内完成，否则这种算法也是不会被采纳的。
　　4．有输入：算法一定要根据输入的初始数据或给定的初值才能正确执行它的每一步骤。
　　5．有输出：算法一定能得到问题的解，有一个或多个结果输出，达到求解问题的目的，没有输出结果的算法是没有意义的。
　　（三）算法的描述
　　描述算法可以有不同的方式，常用的有自然语言、框图、伪代码、程序设计语言等。
　　1．自然语言：自然语言就是人们日常使用的语言，如汉语、英语或数学语言等，使用自然语言描述算法的优点是通俗易懂，当算法中的操作步骤都是顺序执行时比较容易理解。缺点是如果算法中包括判断和转向，并且操作步骤较多时，就不那么直观清晰了。
　　2．框图（流程图）：程序框图又称流程图，（共有顺序结构、选择结构、循环结构三种结构）是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
　　画程序框图的规则：
　　（1）使用标准的框图符号；
　　（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
　　（3）除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的符号；
　　（4）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚；
　　（5）流程线必须画箭头，因为它是反映流程执行的先后次序的。
　　顺序结构：是由若干个依次执行的处理步骤组成的，这是任何一个算法结构都离不开的最简单、最基本的结构。其流程图如图1-1-5（a）所示。
　　选择结构：先进行判断，判断的结果决定后面的步骤，这样的结构称为选择结构，或称为条件分支结构。其流程图如图1-1-5（b）所示。
　　循环结构：循环结构（重复结构）是指按照一定条件，反复执行某一操作的算法结构。在循环结构中，反复执行的处理步骤称为循环体。需要注意的是，循环结构中一定包含条件结构。其流程图如图1-1-5（c）、图1-1-5（d）所示。