考研数学 中公2020考研数学20年真题分类精讲（数学三）

《中公版·2020考研数学：20年真题分类精讲（数学三）》具有如下特色：
一、书内含码，码上有课
本书含2000—2019年共20年的真题，其中2003—2019年的每道真题均配有二维码，考生扫码即可观看对应题目的视频讲解，讲解过程生动直接，助考生告别无声读书的时代，感受智能化学习方式。
二、分科复习，分类精讲
本书按照微积分、线性代数、概率论与数理统计分为三篇，每一篇按照知识体系分成多章，每一章又按照不同考点将真题分类讲解，考生可以按照科目、体系、考点逐个掌握真题和相关知识。
三、了解趋势，夯实基础
本书在每章开始设置“本章考试要求”，再现新考纲的具体内容；另外设置“历年真题分布统计”，分析本章考点在近20年考研真题中的分布情况，并做出总结。
书中的每个考点都包含解题核心要点和真题精讲。部分重点题目给出“评注”，供考生在学习过程中进一步掌握考点，夯实基础。
四、移动自习，随时随地
购书享有研究生考试自习室多样增值服务，考生可利用碎片化时间，随时随地上自习。 

《中公版·2020考研数学：20年真题分类精讲（数学三）》包含微积分、线性代数、概率论与数理统计三个科目：微积分篇分为八章，线性代数篇分为六章，概率论与数理统计篇分为六章。
每章开头都设有“本章考试要求”和“历年真题分布统计”，使考生了解*大纲对本章各个考点的基本要求，并了解历年真题所对应的本章知识考查重点。
此外，本书将20年真题按照不同的考点归类。
*，针对每个考点都归纳出了“解题核心要点”，给出了与该考点有关的定理、公式、方法等，便于考生记忆。
第二，将真题按照考点分类，大部分真题的答案包括三部分：“思路分析”是对本题的主体思路和核心考点的概括；“解析”是本题的详细解题过程和步骤，部分题目一题多解；“评注”是对每种题型核心考点和解题方法的归纳。
第三，书中2003—2019年的真题均配有二维码，考生扫码即可观看对应题目的视频讲解。

目录
第一篇微积分
第一章函数、极限与连续
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一函数的性质与运算
考点二对收敛性及极限性质的考查
考点三无穷小量的比较
考点四极限的计算
考点五连续性
考点六间断点
第二章一元函数微分学
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一对导数与微分概念的考查
考点二导数的计算
考点三切线与法线
考点四单调性与凹凸性
考点五极值与拐点
考点六渐近线
考点七导数的经济学应用
考点八原函数与导函数的关系
第三章一元函数积分学
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一不定积分的计算
考点二定积分的比较
考点三定积分的计算
考点四广义积分
考点五对变上限积分的讨论与应用
考点六定积分的应用
第四章中值定理
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一对定理内容的考查
考点二闭区间上连续函数的性质
考点三罗尔定理的使用
考点四辅助函数的构造
第五章多元函数微分学
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一多元函数微分学的概念
考点二偏导数的计算
考点三无条件极值
考点四条件极值
第六章二重积分
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一二重积分的性质
考点二直角坐标
考点三极坐标
考点四交换积分次序
考点五对称性
第七章级数
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一收敛性的判别
考点二幂级数的收敛域
考点三幂级数展开
考点四幂级数求和
考点五常数项级数求和
第八章微分方程与差分方程
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一一阶微分方程
考点二二阶线性微分方程
考点三差分方程
考点四应用问题
第二篇线性代数
第一章行列式
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一数值型行列式
考点二抽象型行列式
第二章矩阵
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一逆矩阵
考点二伴随矩阵
考点三矩阵方程
考点四初等矩阵
考点五矩阵的秩
第三章向量
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一线性表示
考点二线性相关
第四章线性方程组
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一解的判定
考点二解的结构
考点三含参数的线性方程组
考点四同解与公共解
第五章特征值和特征向量
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一特征值与特征向量的计算
考点二矩阵的相似
考点三相似对角化
考点四实对称矩阵
第六章二次型
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一二次型及其合同标准形
考点二惯性指数与合同规范形
考点三正定二次型
第三篇概率论与数理统计
第一章随机事件及其概率
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一随机事件的概念与概率
考点二简单概型
考点三条件概率与独立性
第二章随机变量及其分布
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一分布函数和概率密度
考点二常见分布
考点三随机变量函数的分布
第三章多维随机变量及其分布
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一分布律和概率密度
考点二边缘分布与条件分布
考点三常见分布
考点四独立性
考点五随机变量函数的分布
第四章随机变量的数字特征
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一基本定义
考点二常见分布的数字特征
考点三相关系数
考点四切比雪夫不等式
第五章大数定律与中心极限定理
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一对大数定律的考查
考点二对中心极限定理的考查
第六章数理统计与参数估计
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一常见统计量
考点二统计分布
考点三参数估计

　　1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
　　2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
　　3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
　　4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
　　5.了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。
　　6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
　　7.理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
　　8.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
　　9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
　　2000—2019年本章真题分布统计
　　年份
　　函数的性质
　　与运算对收敛性及极
　　限性质的考查无穷小量
　　的比较极限的计算连续性间断点总计
　　2000年3分3分
　　2001年6分6分
　　2002年5分+3分8分
　　2003年10分10分
　　2004年4分4分8分4分20分
　　2005年4分+8分12分
　　2006年4分+7分11分
　　2007年4分4分8分
　　2008年9分4分4分17分
　　2009年4分4分4分12分
　　2010年4分+10分+4分18分
　　2011年4分10分14分
　　2012年10分+4分14分
　　2013年4分+10分4分18分
　　2014年4分4分10分18分
　　2015年4分10分4分18分
　　2016年4分+10分14分
　　2017年10分4分14分
　　2018年10分10分20分
　　2019年4分4分8分
　　总计4分21分48分160分18分16分267分
　　概述：本章在考研中几乎每年都会被考查。考题形式上，选择题、填空题、解答题均有涉及。本章的考点分布有两个特点需要引起考生重视：一是考点分布比较集中，超过50%的分值分布在极限的计算中；二是考点之间的关联比较明显，无穷小量的比较、函数连续性的讨论和间断点的判断从本质上讲考查的都是极限的计算。所以，考生在复习本章时，极限的计算应该是复习的核心，需要掌握各类极限的常用计算方法。
　　考点一函数的性质与运算
　　（一）解题核心要点
　　函数是微积分的研究对象，函数的性质和运算是微积分的基础内容，这一部分在考试中一般直接涉及的比较少，更多的是和后面的考点结合，作为解题的预备知识间接考查。
　　（二）历年真题精讲
　　视频讲解
　　（2004年，4分）函数f（x）=xsin（x-2）x（x-1）（x-2）2在下列哪个区间内有界?（）
　　（A）（-1，0）。（B）（0，1）。
　　（C）（1，2）。（D）（2，3）。
　　【答案】A
　　【思路分析】计算函数在各个区间端点处的极限，根据极限值的情况确定函数是否有界。
　　【解析】当x≠0，1，2时，f（x）连续，而
　　limx-1+f（x）=-sin318，limx0-f（x）=-sin24，
　　limx0+f（x）=sin24，limx1f（x）=∞，limx2f（x）=∞，
　　所以，函数f（x）在（-1，0）内有界，故选A。
　　如果f（x）在（a，b）内连续，且极限limx→a+f（x）与limx→b-f（x）存在，则函数f（x）在（a，b）内有界。
　　考点二对收敛性及极限性质的考查
　　（一）解题核心要点
　　本题型主要考查极限收敛的条件及性质，常见的结论有：
　　极限的四则运算法则
　　收敛＋收敛＝收敛，收敛＋发散＝发散，发散＋发散＝？；
　　收敛×收敛＝收敛，收敛×发散=发散，收敛≠0，？，收敛=0，发散×发散=？。
　　（上述结论中的问号表示结果不确定）。
　　夹逼准则
　　若存在自然数N，当n>N时，恒有yn≤xn≤zn，且有limn→∞yn=limn→∞zn=a，则有limn→∞xn=a。
　　单调有界准则
　　单调递增有上界的数列必有极限；单调递减有下界的数列必有极限；单调无界的数列极限为+∞或-∞。
　　极限的保号性
　　有两个数列{xn}与{yn}：
　　若从某一项N开始，以后所有项都有xn≥yn，则limn→∞xn≥limn→∞yn；
　　若有limn→∞xn>limn→∞yn，则从某一项N开始，以后所有项都有xn>yn。
　　（二）历年真题精讲
　　1.（2000年，3分）设对任意的x，总有φ（x）≤f（x）≤g（x），且limx→∞g（x）-φ（x）=0，则limx→∞f（x）（）
　　（A）存在且一定等于零。（B）存在但不一定等于零。
　　（C）一定不存在。（D）不一定存在。
　　【答案】D
　　【思路分析】举反例，排除错误选项。
　　【解析】用排除法。
　　设x2x2+2≤f（x）≤x2+1×2+2，满足条件limx→∞x2+1×2+2-x2x2+2=limx→∞1×2+2=0，并且
　　limx→∞x2+1×2+2=1，x2x2+2=1，
　　由夹逼准则知，limx→∞f（x）=1，则A与C两项错误。
　　设x6+x2x4+1≤f（x）≤x6+2x2x4+1，满足条件
　　limx→∞x6+2x2x4+1-x6+x2x4+1=limx→∞x2x4+1=0，
　　但是由于
　　f（x）≥x6+x2x4+1=x2，
　　有limx→∞f（x）=+∞，极限不存在，故不选B，所以选D。
　　视频讲解
　　2.（2014年，4分）设limn→∞an=a，且a≠0，则当n充分大时有（）
　　（A）an>a2。（B）an　　（C）an>a-1n。（D）an　　【答案】A
　　【思路分析】
　　利用极限的定义及保号性，可推导出结论。
　　【解析】
　　因为limn→∞an=a，所以对任意的ε>0，当n充分大时，有an-a　　取ε=a2，有an-a0时，a2a2。故选A。
　　数列极限的保号性：如果limn→∞xn>0，则存在N>0，当n>N时，有xn>0。该定理可以推广为：如果limn→∞xn>a，则存在N>0，当n>N时，有xn>a；还可以进一步推广为：如果limn→∞xn>limn→∞yn，则存在N>0，当n>N时，有xn>yn。
　　视频讲解
　　3.（2015年，4分）设{xn}是数列，下列命题中不正确的是（）
　　（A）若limn→∞xn=a，则limn→∞x2n=limn→∞x2n+1=a。
　　（B）若limn→∞x2n=limn→∞x2n+1=a，则limn→∞xn=a。
　　（C）若limn→∞xn=a，则limn→∞x3n=limn→∞x3n+1=a。
　　（D）若limn→∞x3n=limn→∞x3n+1=a，则limn→∞xn=a。
　　【答案】D
　　【思路分析】这个题目考查的是收敛的数列与其子数列间的关系，如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。
　　【解析】如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。
　　对于A选项，limn→∞xn=a，即数列{xn}收敛于a，而{x2n}，{x2n+1}都是{xn}的子列，所以有limn→∞x2n=limn→∞x2n+1=a，A选项是正确的。
　　C选项与A选项同理，所以C选项正确。
　　对于B选项，{x2n}，{x2n+1}的极限都等于a，且{x2n}，{x2n+1}分别是下标为偶数和奇数的子列，故limn→∞xn=a。所以B选项是正确的。
　　对于D选项，limn→∞x3n=limn→∞x3n+1=a，但{x3n}，{x3n+1}的并集没有包含{xn}的所有项，所以不能推出limn→∞xn=a，故选D。
　　视频讲解
　　4.（2018年，10分）
　　设数列{xn}满足：x1>0,xnexn+1=exn－1（n=1,2,…）。证明{xn}收敛，并求limn→∞xn。
　　【思路分析】本题考查极限存在定理，即单调有界数列必有极限。证明时可从两个角度出发，首先可以利用数学归纳法证明其有下界，再利用常规方法证明其单调性，从而求出其极限。另外，可以利用泰勒公式证明其有界，利用拉格朗日中值定理证明其单调，也可以求出极限。
　　【解析】方法一：由题意可知xn+1=lnexn－1xn。
　　首先证明{xn}有下界，即证明xn>0：当n=1时，x1>0；假设当n=k时，xk>0；则当n=k+1时，xk+1=lnexk－1xk，其中exk－1>xk，可知xk+1>ln1=0，因此对于任意的n，有xn>0。
　　再证明{xn}的单调性：
　　exn+1－exn=exn－1xn－exn=exn－1－xnexnxn。
　　令f（x）=ex－1－xex，则f′（x）=－xex。当x>0时，f′（x）=－xex<0，故f（x）　　综上，{xn}为单调递减有下界的数列。由单调有界准则可知{xn}收敛。
　　设limn→∞xn=a，在xnexn+1=exn－1两边同时取极限，得aea=ea－1，解得a=0，故limn→∞xn=0。
　　方法二：由泰勒公式可知，ex=1+x+12ξ2，其中ξ介于0与x之间，从而可知ex－1≥x。
　　xn+1=lnexn－1xn≥0，
　　从而数列{xn}有下界。
　　另一方面，由Lagrange中值定理可知，
　　xnexn+1=exn－1=exn－e0=xneξn，其中0　　从而可知xn+1=ξn　　设limn→∞xn=a，在xnexn+1=exn－1两边同时令n→∞，得aea=ea－1，解得a=0，故limn→∞xn=0。
　　若f（x）满足：
　　①在闭区间［a，b］上连续；
　　②在开区间（a，b）内可导，
　　则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（b）-f（a）b-a=f′（ξ）。
　　考点三无穷小量的比较
　　（一）解题核心要点
　　设在某极限过程x→□中，函数α（x），β（x）都是无穷小量，并且都不为0：
　　如果limx→□α（x）β（x）=0，则称当x→□时，α（x）为β（x）的高阶无穷小量，或β（x）为α（x）的低阶无穷小量，记作α（x）=o［β（x）］；
　　如果limx→□α（x）β（x）=C≠0，则称当x→□时，α（x）与β（x）为同阶无穷小量；
　　在同阶无穷小中，如果limx→□α（x）β（x）=1，则称当x→□时，α（x）与β（x）为等价无穷小量，记作α（x）~β（x）。
　　按照上述定义，要比较两个无穷小量，直接相除取极限即可。