图的标号理论

本书系统介绍图的标号理论，是作者团队多年研究成果的积累，具有系统性、先进性，是图论相关专业重要参考书。 

本书主要介绍图的标号理论，从常见的一些标号图，到不常见的一些标号图，较为系统、全面地进行了分类介绍,综述近些年来关于图的标号问题的研究动态与研究成果。其主要内容包括优美图及其变形、和谐图、算术图、和图与整和图、素标号、亲切标号、魔术标号、L（2,1）标号、Fractional标号、控制标号与划分等。本书内容丰富、新颖，信息量大；结构层次分明、编排合理、系统性强；所包含的许多未解决的问题和猜想，趣味性强，可供读者探讨和研究。本书可供图论、运筹学、组合数学、离散数学、计算机应用等专业的研究生和教师使用。尤其是对从事图的标号问题研究的科技人员，本书具有较大的理论价值。

第1章图的基本知识(1)
1.1图的基本概念(1)
1.2树(8)
1.3图的连通度(10)
1.4Euler图与Hamilton图(11)
1.5匹配与因子分解(13)
1.6平面图(16)
1.7染色(18)
1.8Ramsey数(25)
1.9有向图(30)
1.10控制及其相关参数(34)
第2章优美图(39)
2.1优美图的概念(39)
2.2优美树(42)
2.3几类特殊图的优美性(47)
2.4非连通图的优美性(63)
2.5几类特殊的非优美图(67)
第3章优美图的变形(71)
3.1图的k优美性(71)
3.2几类特殊优美标号(75)
3.3全优美图与上全优美图(84)
3.4边优美图与线优美图(86)
3.5集优美图(92)
3.6有向优美图(93)
第4章和谐图与算术图(97)
4.1和谐图的概念与性质(97)
4.2几类特殊和谐图(99)
4.3算术图(110)
4.4加性（k,d）序列图(117)
第5章和图与整和图(123)
5.1和图(123)
5.2整和图(127)
5.3模和图(135)
5.4广义(模)和图(140)
第6章几类特殊标号(147)
6.1素标号(147)
6.2亲切标号(156)
6.3k均衡标号(168)
6.4因子标号与倍数标号(175)
第7章魔术标号(178)
7.1魔术标号(178)
7.2边魔术(全)标号(181)
7.3点魔术标号(190)
7.4反魔术标号(195)
第8章几类标号及其相关参数(205)
8.1L(2,1)标号(205)
8.2Fractional平衡标号(211)
8.3Fractional控制数(219)
8.4FBondage数(226)
8.5控制集划分数(228)
参考文献(235)

图论是一个既古老又年轻的数学分支。自从1736年Euler解决哥尼斯堡七桥问题以来，至今已有两百八十年的历史，这也使得Euler成为图论学科的主要创始人之一。同时，图论又是一门新兴学科，这主要是由于其包含的内容越来越丰富，不断地渗透到其他数学分支中，且应用越来越广泛。尤其是近二十多年来，随着计算机技术的飞速发展，信息化和数字化技术的不断进步，许多实际问题的数学模型促使人们关注离散型结构上的数字化技术，图论作为离散数学中的一个重要组成部分，自然得到了高速发展，这也许使得图的标号理论(包括图的标号和染色等)成为图论中发展快的分支之一。近十多年来，在计算机的帮助下，图的标号方法和技术都有了很大的改进和创新，图论中一些以数字化为特征的内容(如图的标号、染色、控制等)得到了更快的发展。这也使得其内容正在不断丰富，或许正在形成一种理论，暂且称之为图的标号理论、染色理论和控制理论。为了丰富和完善图的控制、染色理论的内容，笔者已先后于2008年、2013年出版过《图的控制理论》和《图的控制与染色理论》两本书，其内容主要是将图的点控制概念转向图上的边控制问题，从而产生了许多新概念和新内容。近几年来，随着图的控制与染色中的一些新概念和结果不断产生，一些新的问题和猜想不断提出，许多图论学者对图的标号产生了极大的兴趣。可以预见，在不远的将来，图的标号会更加受到人们的关注和重视，产生更加丰富的研究成果。本书主要介绍图的标号及其相关的参数问题的研究。全书共分为8章。为了保证全书在内容上的完整性和可读性，第1章介绍图的一些基本概念和基本理论，这一章的内容在一般图论教材中都有表述，熟悉图论的读者无须阅读，但要注意本书使用的符号和术语。第2章介绍优美图的概念和性质，综述了优美图的研究概况，列出近些年关于优美图的研究成果。第3章介绍优美图的一些变化，主要包括K优美图、全优美图、集优美图、有向优美图以及一些特殊的优美标号。第4章介绍和谐图和算术图的概念和性质，综述有关和谐图和算术图的相关结果。第5章着重介绍和图、整和图、模和图以及关于和图的几种变化形式，并讨论了其对应的相关参数。第6章主要是选择几种具有代表性的图标号概念及相关结论进行简单介绍，具体包含素标号、亲切标号、k均衡标号和因数(倍数)标号。第7章主要介绍魔术标号、边魔术标号、点魔术标号和反魔术标号的概念及相关结果。第8章介绍图的L(2,1)标号和Fractionl标号，并介绍了Fractional控制数和控制集划分数。该书在内容的编排上力求合理，并注意到各章内容和信息量相对独立和均衡，尽可能由易到难。书中有许多未给予证明的结论，均列出了对应的参考文献，这样既可满足读者的不同要求，又不影响可读性。书中还列出了一些未解决的问题和猜想，供读者思考，意在引起读者的兴趣，当然其中也有不少是著名难题。 对于图论专业的研究生，或者从事图的标号与染色方面的科研人员来说，该书或许是一本好的参考资料，至少可以为其提供一些内容信息和结论来源。尤其在目前国内关于图的标号方面的专著很少的情况下，该书具有较好的参考价值。本书的出版是在多项基金项目的共同资助下完成的，具体包括国家自然科学基金项(11361024，11261018，11261019，61263032)、江西省自然科学基金(20151BAB201002)、江西省高校科技落地计划项目(KJLD12067)。在写作过程中，得到了李春华、范自柱、王广富、左黎明、刘二根、汤鹏志、朱旭生、叶晓峰、吴跃生等多位老师的支持和帮助，也得到了在读研究生邹妍、赵丽鑫、张婷婷和魏旭颖等的大力帮助，此外，徐彤同志认真、仔细校对了全稿，在此一并深表谢意。由于作者水平有限，书中不足之处在所难免，敬请读者批评指正。