数学的故事

从大禹治水、草船借箭到恩尼格码，从阿拉伯数字的旅行到自行车的发明，从阿基米德、欧几里得到祖冲之、华罗庚，从布丰的投针实验到冯·诺依曼的午餐，从埃及分数到开普勒猜想，数学的故事贯穿历史、古今、中外，遍及人类社会的每一个角落。
《数学的故事》共分三辑，共讲述了20个如诗歌一般优美的数学故事。甲辑是中外或者东西合璧的7个数学故事；乙辑是8个有关数学家的故事，涉及10多位专业或业余的数学家；丙辑的故事围绕5个有趣的数学问题展开，深入浅出且具有一定的挑战性。
为引发同学们、老师们甚至家长们的喜爱，作者在以下几个方面做了努力：
可读性：语言质朴自然，生动有趣，留有余味。
可视性：图文并茂，有些插图是作者亲自在故事发生地拍摄的。
想象力：每则故事都不只是某一位数学家的故事，而是把不同年代、不同国度的数学家故事串联起来，还会涉及数学之外的其他学科。
前沿性：把少数有代表性的前沿数学问题穿插于故事之中，将这些深浅不一或原创的问题用栩栩如生的故事展示出来。

在人类所有的发明中，数学和诗歌无疑是*古老的。可以说自从有了人类的历史，就有了这两样东西。如果说牧羊人计算绵羊的只数产生了数学，那么诗歌则起源于祈求丰收的祷告。无论数学还是诗歌，它们的故事和触角遍及人类社会的每一个角落，以及历史和生命的每一个瞬时。
《数学的故事》共分三辑，共讲述了20个如诗歌一般优美的数学故事。甲辑是中外或者东西合璧的7个数学故事；乙辑是8个有关数学家的故事，涉及10多位专业或业余的数学家；丙辑的故事围绕5个有趣的数学问题展开，深入浅出且具有一定的挑战性。
为引发同学们、老师们甚至家长们的喜爱，作者在以下几个方面做了努力：
可读性：语言质朴自然，生动有趣，留有余味。
可视性：图文并茂，有些插图是作者亲自在故事发生地拍摄的。
想象力：每则故事都不只是某一位数学家的故事，而是把不同年代、不同国度的数学家故事串联起来，还会涉及数学之外的其他学科。
前沿性：把少数有代表性的前沿数学问题穿插于故事之中，将这些深浅不一或原创的问题用栩栩如生的故事展示出来。

蔡天新
浙江台州人，曾是少年大学生，山东大学理学博士，浙江大学数学学院教授、博士生导师。同时是一位诗人、作家，旅行者、摄影师，近作有诗集《美好的午餐》《日内瓦湖》，随笔集《轻轻掐了她几下》《带着数字和玫瑰旅行》，旅行记《美国，天上飞机在飞》《里约的诱惑——回忆拉丁美洲》，摄影集《从看见到发现》，回忆录《我的大学》，主编《现代诗110首》（蓝、红、黄卷）、《漫游之诗》、《冥想之诗》。他的作品被译成20多种语言，并有英、法、西班牙语等外版著作10余种。
近年来，他应邀在海内外大中小学、图书馆、书店和企事业单位做过300多场公众讲座，先后在纪录片《西湖》、《南宋》里出镜解说并受邀参加博鳌论坛、央视《朗读者》节目和美国艾奥瓦大学国际写作计划。纽约、巴黎、剑桥、洛杉矶、法兰克福、墨西哥城、内罗毕等城市举办过他的诗歌朗诵会，他的摄影展先后在深圳、杭州、南京、郑州、合肥、上海、天津、休斯顿等城市举办。
他在上大学的路上次见到火车，如今足迹已遍及中国的每个省份和包括埃及、巴比伦、印度、腓尼基、迦太基、玛雅、印加、波斯和希腊等古文明所在地在内的100多个国家。2013年，他获得贝鲁特Naji
Naaman诗歌奖。2015年，他入选“首届杭州十大创新人物”。2018年，他的著作《数学传奇》获得国家科学技术进步奖，《数学简史》获得吴大猷科学普及著作奖创作类佳作奖。

序 言　… III

甲辑 数学的故事 … 001
从大禹治水到丢勒画《忧郁》 …003
马可·波罗和阿拉伯数字的旅行 …014
公鸡、母鸡、雏鸡与兔子 …025
黄金分割与五角星的故事 …035
自行车的发明与黎曼几何学 …045
玄妙的统计：从诸葛亮借箭说起 …056
恩尼格玛，从戚继光到图灵 …066

乙辑 数学家的故事 … 077
个留名的泰勒斯 …079
畴人之家出身的祖冲之 …086
会造桥和打仗的秦九韶 …096
拿破仑与他的数学家师友 …107
皇帝、女皇与数学大咖 …119
婚礼，从婆什迦罗到拉曼纽扬 …127
冯·诺依曼的午餐和家教 …139
战俘营、棉花店与讲座教授 …150

丙辑 有趣的数学问题 … 161
阴阳完美数的故事 …163
埃及分数与狄多女王 …176
回文数与角谷猜想 …185
布丰的实验与蒙特卡罗 …194
堆球问题与开普勒猜想 …203

后 记　… 213

在人类所有的发明中，数学和诗歌无疑是古老的。可以说自从有了人类的历史，就有了这两样东西。如果说牧羊人计算绵羊的只数产生了数学，那么诗歌则起源于祈求丰收的祷告，由此看来，两者均源于生存的需要。比较而言，数学可能诞生于稍早的游牧文明，而诗歌则出现在农耕文明之初。无论数学还是诗歌，它们的故事和触角遍及人类社会的每一个角落，以及历史和生命的每一个瞬时。
2016 年初夏，诗人北岛来杭州，电话约我见面。晚餐时，北岛说自己小时候数学很糟糕，但认为数学非常重要。当着其他朋友的面，他邀请我写一本《给孩子的数学故事》的书。我知道，几年前北岛选编了《给孩子的诗》a，出版后，一时洛阳纸贵，孕妇和幼孩母亲都纷纷购买。虽然如此，我并未立刻答应，因为若干年前，曾有多家出版社向我约过同名书稿。
原因有三。首先，我觉得中国的孩子够辛苦了，不想再给他们增添课外负担。其次，我从没有给少年儿童写过书，不知什么样的故事能吸引他们。再次，拙作《数学传奇—那些难以企及的人物》写作始于1990 年，历时 1/4 个世纪，而作为“给孩子”系列书的主编，北岛希望我年内能完成书稿，是否来得及？撰写可不同于选编，每篇文章每个字词都得自己操笔。
那以后，北岛来过几次电话，分别是从北京和南方，后来他又加我微信交流。北岛很真诚，“我调研过了，你是全中国适合写这本书的人”。这句话后打动了我。我与北岛认识已经 20 多年，次见面是在 1995 年夏天的巴黎。4 年以后还是在同一座城市，我和巴黎的朋友为他庆祝 50 岁生日。2004 年夏天，北岛次回湖州南浔老家省亲，我和家人也陪同前往。
虽说之前我曾 10 多次在北岛主编的《今天》杂志上发表诗歌、散文或译作，我们也都是《读书》杂志和三联书店的作者，他应该读过我的书籍或文章，包括数学文化方面的，没想到他还那么认真地去做调研。
可以说，是北岛的真诚和认真打动了我，于是我答应下来，在夏日远足归来以后，便开始动笔了。幸运的是，那个暑假特别长，因为 G20（二十国集团）峰会在杭州召开。万事开头难，有了篇以后，剩下的都好办了。就像写作其他书籍一样，我享受其中。
其间还有别的故事发生。几乎在北岛来杭州的同一个星期，一位叫余建春的河南打工青年给我寄来一封手写的信函。小余老家是信阳新县，毕业于郑州一所牧业专科学校，业余喜欢钻研数论问题。在没有学过高等数学，也不知道同余符号等基础知识的情况下，小余得出了几个有意思的数论结果，包括给出无穷多组相邻的自然数，它们的立方和均为立方数。遗憾的是，这个结果外国人已经先他一步得出来了。
余建春的另一个发现是，给出著名的卡迈克尔数的一种新的判断方法，他用二次式代替经典的一次式，且效率不低，这是包括我本人在内的数论工作者没考虑过的。卡迈克尔数是一类伪素数，它虽不是素数，但在某种意义上有着与素数相同的性质。我给小余回了信，对这项结果表示肯定。他随即回复我，他已到杭州打工，希望来浙大拜访我。刚好第三天我有研究生讨论班，便邀他来班上讲，给了他 30 分钟的时间。我觉得小余的难能可贵之处在于，不是冲着某某大猜想，而是专注于小问题。
我在朋友圈不经意提及此事，被敏感的晚报记者小 Z 看见，她联系我希望能采访余建春。出乎我的意料，她的报道和消息持续发酵，包括新华社、央视、《人民日报》、《中国日报》、《参考消息》，美国的 CNN（美国有线电视新闻网）、《华盛顿邮报》，英国的 BBC（英国广播公司）、《泰晤士报》，甚至法国巴黎地铁小报都进行了正面报道。父母早亡的小余命运因此改变，先后得到湖州、上海和香港的三位贵人相助，有机会迈出国门，并喜结良缘。与此同时，我发现有些报道明显过头，因此婉拒了包括伦敦《每日电讯报》等数十家媒体的采访要求。
这件事给我的启示是，数学虽然比较抽象，有时是无用的，却是大众（无论中外）关心的一门学科。毕竟，不管你是否愿意，绝大多数人都要学上十几年数学。可以说，学好数学是一桩幸福美好的事儿，学不好数学则是一桩痛苦莫名甚或悲惨的事儿。众所周知，一个人能否学好一门课程或学科的关键在于他或她有无兴趣，以及兴趣的多寡。这样一来，这本书的意义就不言自明了：它也许可以帮助更多人了解和喜欢数学。
至于后来发生的各种分歧，则完全出乎我的意料。这本书的出版也延宕了一年，不再属于北岛主编的“给孩子”系列书，但仍然由中信出版社出版。虽然如此，我还是要感谢北岛，是他的邀稿和催促，才有了这本书。在此期间，拙作《数学简史》（初来自一位物理学家的建议和敦促）由中信出版社出版，入选 2017 年度“中华优秀科普图书榜”，获得中信出版集团“年度经典再版图书奖”，我本人也荣膺“年度作者”称号。《数学传奇》则于 2018 年年初荣获“国家科学技术进步奖”（上一次数学类图书获此奖项是在 2010 年，即由华罗庚、段学复、吴文俊、姜伯
驹等前辈大家合作的《数学小丛书》）。
也正是在这一年多时间里，这本书的绝大部分篇目陆续得以发表，其中《人民文学》刊发了三则故事，《南方周末》整版刊发了一则故事，其他文章散见于“知识分子”、“赛先生”和“科学人”等微信公众号，以及《科学画报》、《中国数学会通讯》、《中国工业与应用数学会通讯》
和《数学文化》等杂志，在此一并向包括中信出版社在内的诸位编辑致意。与此同时，我真诚地希望数龄（学习数学的年份）不同的读者会有不同的收获，期待你们的批评指正！

谁发明了独轮车？
自行车的发明，让乡村的小伙子们能够去遥远的村庄寻找他们心仪的女孩子。我所认识的已故美国作家戈尔·维达尔（G.
Vidal）因此认定，自行车的发明使得世界人口有了少许增长。在自行车发明之前，人类早已发明了有轮子的手推车。大约在公元前 1500—前 900 年完成的印度医学典籍《梨俱吠陀》（Rigveda）里，就有这样的诗句：

男人与女人相互平等
一如手推车的两个轮子

这部典籍是印度医学之源，也是吠陀教的经典文献《吠陀》中的一部。全书用诗的语言写成，“吠陀”的本义是知识，“梨俱”是赞美诗的意思。
直到 19 世纪 60 年代，为躲避宗教迫害，从东海岸的纽约移民到西部犹他州盐湖城的摩门教徒们，在首领杨百翰（Brigham Young）的带领下，依靠手推车完成迁移。如今，以杨百翰命名的大学作为美国的教会大学、历史第三悠久的私立大学以及拥有一个频繁参加国际演出的歌舞团而闻名。
手推车通常分为独轮、两轮、三轮和四轮这 4 种。虽说多轮运货车大约在 5 000 年前就已经出现，但独轮车的发明却要迟许多。一般认为，独轮车是由古希腊人发明的，可是证据少得可怜，仅有两张发现于阿提卡半岛的古代建筑物资清单，时间是公元前 408 年至前406 年。
清单上出现了 monokyklou、dikyklos 和 tetrakyklos 字样，后两者的意思分别为“双轮车”和“四轮车”；而 mono 有单一之意，再加上非复数后缀，因此 monokyklou 被解释为独轮车是合理的。但实际上，在整个古希腊时期，都没有其他关于独轮车的文字、图像或实物留存下来。
除了希腊，中国也被视为早发明独轮车的国家。独轮车的图
像出现在四川和山东发掘的汉墓壁画及浮雕中，按文字记载，独轮车的概念来自三国时期的蜀国丞相诸葛亮。陈寿的《三国志》里记载有“木牛流马，皆出其意”，经后人考证，木牛流马就是独轮车。到了宋代，高承所撰《事物纪原》也将独轮车的发明归功于诸葛亮。
早些时候，在主要取材于西汉经学家刘向所著《孝子传》的《二十四孝》一书中，有自幼丧母的董永用“鹿车”载父的故事。“鹿车载自随”，鹿车正是独轮车的别称。董永后来卖身葬父，成为孝子的模范，他的故乡湖北孝感因此得名。那里还流传着“董永与七仙女”的爱情故事和“一日夫妻百日恩”的俗语。
在范晔的《后汉书》里，也有两则与鹿车有关的故事。其一是“共挽鹿车”。大夫鲍宣的新娘少君出自有钱人家，嫁妆丰厚，但鲍宣拒绝接受。于是少君便把华丽的服饰全部收起来，改穿简朴衣裳，与鲍宣一起推着鹿车去了鲍宣家。拜见婆母后，她就提着水瓮去汲水，奉行做媳妇的礼节，获得乡亲称赞。

自行车的发明者

1866 年，清朝派出首个出洋考察团，19 岁的辽宁铁岭少年张德彝随行。回国后他在游记《航海述奇》里使用了“自行车”一词，这是该词在汉语里首次出现。除了自行车，电报、螺丝等中译名也是张德彝首先使用的，他还介绍了蒸汽机、升降机、缝纫机、收割机、管道煤气、巧克力，等等。
关于自行车的发明，流传着这样一个故事：1790 年的一天，一位叫西夫拉克的法国青年行走在巴黎的一条小街上，受疾驰而过的马车启发，设计出初的自行车原型。不过，如今的历史学家大多认为，自行车是在 19 世纪初才诞生的。此时，离马车（还有牛车、驴车）的诞生已过了 4 000 多年。大约在公元前 2000 年，黑海附近的草原部落骑马来到底格里斯和幼发拉底之间的两河流域，并开始用马来拉有轮子的车。这些马车不仅拉货运物，也载人。之后，马车逐渐成为世界各国主要的交通和运输工具。
1817 年，德国人德莱斯（K. Drais）给自行车装上了车把，用来控制方向，次年在巴黎做了次展示。实用的自行车则要等到 1861年，法国人米肖父子（P. Michaux 和 E. Michaux）在自行车的前轮上安装了曲柄，无须踩地，用脚蹬就可以驱动车轮前进。第二年，他们制造了 140 多辆自行车，第 5 年的产量达到 400 辆。1879 年，英国人劳森（H.
Lawson）为自行车装上链条；1888 年，爱尔兰兽医邓禄普（J. Dunlop）发明了充气轮胎。
至于张德彝在他的游记中所描述的在伦敦街头见到的自行车，应该还没有链条和充气轮胎。“前后各一轮，一大一小，大者二尺，小者尺半，上坐一人，弦上轮转，足动首摇，其手自按机轴，而前推后曳，左右顾视，趣甚。”
其实，中国也有关于自行车发明的史料记载，那是在清朝康熙年间，发明者是扬州人黄履庄。据《清朝野史大观》记载：“黄履庄所制双轮小车一辆，长三尺余，可坐一人，不须推挽，能自行。行时，以手挽轴旁曲拐，则复行如初，随住随挽日足行八十里。”
黄履庄的表兄弟为他书写的小传里也提到此事，那年黄履庄还不到 28 岁。遗憾的是，黄履庄的自行车既没有保留下来，也没有得到推广，这是一件非常令人惋惜的事。黄履庄在工程机械制造方面有很深的造诣，除了自行车，他一生发明无数，被后人誉为“中国的爱迪生”。
黄履庄的发明远近闻名，并传到了安徽宣城梅文鼎的耳朵里。梅文鼎是清代著名的数学家，大学士李光地曾邀其住到京城自己的家中，向他学习数学和天文。后来经李光地推荐，康熙召见了梅文鼎，在南巡的御舟中两人曾连续三天谈论数学，康熙还亲书“绩学参微”四字以资鼓励。黄履庄去世后，其坟墓由江宁织造、作家曹雪芹的父亲奉旨建造。
梅文鼎听到黄履庄发明许多奇器的传言，将信将疑，亲自到扬州登门拜访。当他来到黄家，举手敲门，门边的一条狗突然朝他大叫，梅文鼎不知所措。这时候黄履庄开门来迎，只见他拍拍狗的脑袋，它就乖乖地躺下，不再吠叫了。
梅文鼎顿时眼界大开，原来这是黄履庄特制的木狗，有人来敲门时就会发出狗叫声，起到门铃的作用。遗憾的是，作为数学家的梅文鼎并未发现，黄履庄发明自行车的亮点在于，用两个圆圈代替两条直线（行走的双腿），也就是直线与圆概念的互换。在现代数学中，圆和直线是可以等价的。