数学圈丛书:数字乾坤

• 学过多年数学而又还给老师的我们，一定会被博学而热情洋溢的作者惊到——数字1~9原来有这么多的迷人性质，还跟我们的生活息息相关！
• 数字1：取一个随机的正整数，*位为1的概率有多大？当然是九分之一。然而如果改变一下场景，比如计算城镇的人口规模呢？*位是1的可能性不再是1/9≈ 11%，而是30%左右。不仅仅城镇规模是这样；所得税、街道门牌号、河流的长度等等，许多现象都存在同样的背离。根据本福特定律，这些现象的*位的值为n的概率是log10(1 1/n)。这种违反直觉的小数字倾向已被应用到法律中，偷税者造假的数据很可能违反本福特定律从而引发稽查。
• 数字3：为什么下水道井盖是圆的？井盖也可以是方形，而且也容易制造些。问题是一旦方形井盖被揭开——通常超过50kg重——就很容易掉进洞里去。为了避免掉下去，井盖各个角度的宽度应该设计成一样的。显然圆具有这种特性，因为*宽度就是圆的直径。各个角度具有相同宽度的形状被称为定宽曲线。*简单的非圆定宽曲线是勒洛三角形。生活中勒洛三角形被用于标志物，其他等宽曲线则常被用作硬币的形状，以便于自动售货机的识别。
• 如果你只是个初中生，那么你可以看懂这本书的每个章节的前半部分，遇到不懂的可以跳过去，若有缘你们后会有期！

如果你是文科生，这本书一定能让你有别于同侪的知识和脑洞，让你在他她眼中闪闪发光：）

数字1到9有各种惊人的特性。例如，要洗几次扑克牌才能洗匀？为什么所有的井盖都是圆的？妈妈如何能分辨出孩子的声音？你知道怎样识别伪造的数据吗？所有人之间真的只隔着6个人吗？只用4种颜色怎样确保地图上任何相邻区域都不会颜色一样？在《数字乾坤》中，马克·钱伯兰将带领读者领略数字的迷人之处，了解它们的历史、应用以及与数论、几何、混沌、数值分析和数学物理等多个数学领域的关联。

本书适合中学生、大学生、数学专家和数学爱好者，读者可以从各种角度品味数字的迷人之处。

马克·钱伯兰（Marc Chamberland），美国郡礼学院数学和自然科学讲席教授，在多个数学领域研究成果丰硕，热衷于向大众阐释数学的美和迷人之处，就数学和创造性主题进行了上百场讲座。

前言

1. 数字1
2. 数字2
3. 数字3
4. 数字4
5. 数字5
6. 数字6
7. 数字7
8. 数字8
9. 数字9
10. 答案
11. 进一步阅读
12. 专用名词译名表

人名译名表

以简明扼要的手法剖析数学中的事实、定理、证明、猜想和未解决的问题，内容丰富，涵盖几何、数论、组合学、和拓扑等领域。既有初等内容也包含高等主题，每一小节都能吸引你继续依靠自己深入探索。

——阿夫纳·阿什， Elliptic Tales的作者

对古今数学精华的巡礼，即便你对数学已不再感兴趣，这本书也能唤起你的好奇心。钱伯兰对每个主题的清晰阐释会让你有继续探索的兴趣。

             ——杰米·蓬默斯海姆，《数论》的合著者

这本书描述了与数字1到9有关的各种性质，并将数论、几何、混沌、应用数学等重要领域联系到了一起。《数字乾坤》对任何喜欢数学的人来说都是充满了有趣思想和迷人话题的金矿。

——李·福瑟吉尔，圣玛丽学院

《数字乾坤》是对小数字的赞美，通过非零个位数将各种数学知识组织到了一起。从简单到复杂，钱伯兰将各种有趣的数学为你娓娓道来，让*博学的读者也会为之着迷。

——詹妮弗·奎因，华盛顿大学

前言

一旦你掌握了数字，你实际上就不再是读数字，就像你读书不是在读单词一样。你读的是意义。

—杜波依斯

有一个传奇故事是关于20世纪的两位数学魔法师，来自剑桥的顶尖学者英国人哈代和来自印度的青年天才拉马努金。在哈代的邀请下，拉马努金前往英国与哈代开始了合作研究。几年后，拉马努金病倒了——感染了肺结核——不得不在疗养院休养。哈代回忆了在去探访拉马努金时两人不寻常的对话：

我记得他在普特尼养病时有一次我去看他。我是坐出租车去的，车牌号是1729，我说这个数字似乎相当乏味，希望不是不祥之兆。“不，”他回应道，“这是个很有趣的数；它是可以用两种方式表示为两个立方数之和的最小的数”（Hardy, Ramanujan, p. 12）

的确，1729 = 1³  12³ = 9³  10³。怎么会有人看得出来呢？你必须花很长时间研究数字并建立很多关联。拉马努金依靠天赋、旺盛的求知欲、和专注成为了数字大师。哈代的长期合作者利特伍德在听到这个出租车牌的故事时评论说，“所有正整数都是拉马努金的朋友。”

这本书写的是个位数，从1到9。虽然也很想包括0，但我还是坚持只包括计数数。每个数字都有迷人的性质，关联到许多不同的数学领域，包括数论、几何、混沌、数值分析、数学物理，等等。一些主题不需要很多数学背景，例如披萨定理，具有好奇心的12岁小学生都能理解；还有一些主题需要中等程度的数学知识，少部分主题，例如E₈，则需要较高深的数学，不适合给小孩子读。基本上每个章节都是独立的短文。对于担心的读者，每一章中靠前的小节通常更简单，前面几章整体上也更简单。一些主题会在我的网上视频《引爆数学》中进一步探讨。每个人肯定都能从书中找到新的知识和启发，数字1到9以魔术般的方式与数学的多个维度联系到了一起。我希望你能把这些数字当作朋友。

本福特定律

取一个随机的正整数，第一位为1的概率有多大？当然是九分之一。1并没有什么特别：遇到其它数字的可能也同样是九分之一。然而如果改变一下场景，比如计算城镇的人口规模呢？第一位是1的可能性不再是1/9 ≈ 11%，而是30%左右。不仅仅城镇规模是这样；所得税、街道门牌号、斐波那契数列、河流的长度、等等，许多现象都存在同样的背离。根据本福特定律，这些现象的第一位的值为n的概率是log₁₀(1 1/n)。图1.10给出了计算出的百分比。

图1.10 根据本福特定律得出的第一位数字的概率分布

不难证明这些概率加起来为1：

第一个观察到并记录这种现象的是美国天文学家西蒙·纽康。他于1881年注意到对数表的第一页比后面的页面要脏得多，对数表在计算中经常要用到。直到20世纪30年代，弗兰克·本福特才再次注意到这种现象，随后他分析了大量人工的和天然的数据集。一般来说，具有某种指数增长率的现象都服从本福特定律。

这种违反直觉的小数字倾向已被应用到法律中。偷税者为了让伪造的文件看起来可信，会修改文件中的数据。为了让数据看起来真实，他们会以随机的方式捏造数据。这会导致数据违背本福特定律，从而引发稽查。

勒洛三角形

为什么下水道井盖是圆的？自从轮子发明以来，圆盘形就无处不在，但井盖似乎没有什么必要用圆形。井盖也可以是方形，而且也容易制造些。问题是一旦方形井盖被揭开——通常超过50kg重——就很容易掉进洞里去。为了避免掉下去，井盖各个角度的宽度应该设计成一样的。显然圆具有这种特性，因为最大宽度就是圆的直径。各个角度具有相同宽度的形状被称为定宽曲线。最简单的非圆定宽曲线是勒洛三角形（图3.21）。这种曲线以德国工程师弗朗兹·勒洛命名，是由3段圆弧组成。勒洛三角形的每个“角”都是对应圆弧的圆心。巴比埃定理证明等宽曲线的周长等于宽度乘以π。这个面积没有类似的属性。布拉施克—勒贝格定理证明勒洛三角形在具有相同半径的所有等宽曲线中面积最小。

图3.21：勒洛三角形

勒洛三角形有一个机械特性是可以用来钻接近方形的洞。截面为勒洛三角形的钻头当然无法用于标准钻孔；要钻出方形的洞，钻头旋转的同时钻轴也必须沿圆周移动。为了完成这个任务需要特制的钻头夹具。在机械领域，勒洛三角形有时候容易与凡克尔发动机的转子相混淆。

在日常文化中，勒洛三角形被用于标志物，等宽曲线则常被用作一些硬币的形状。英国的20便士和50便士硬币就是有7条“边”的等宽曲线，这种设计是为了便于自动售货机识别。加拿大一元硬币——常被叫做“Loonie”因为上面印了潜鸟（loon）——和美国的苏珊·安东尼1美元纪念币都是有11条“边”的等宽曲线。图3.22展示了其中3种硬币。

图3.22：等宽硬币：英国50便士（上）、加拿大元（中）、和美国苏珊•安东尼1美元纪念币（下）

等宽曲线可以是平滑的，或具有任意多个角。如果这样的曲线有角，类似勒洛三角形，则可以通过围着曲线滚动一个圆并沿着路径的外沿得到更平滑的曲线。等宽曲线通常都没有紧凑的解析表达式，但方程

表示了一条等宽曲线。

回到井盖的例子，圆形相对于其他等宽曲线仍然具有优势，因为更容易制造，放置的时候也不需要旋转。井盖为什么是圆的的问题在微软的工作面试中很流行。

镶嵌

你获得了一份给一个大房间铺瓷砖的工作（不用担心，我们会指导你）。雇主厌倦了方形和矩形瓷砖，想让你铺点别的。你还能用什么形状的瓷砖来铺呢？数学家称这种排列为镶嵌。

如果你只用全等正多边形，则只有3种可能：正方形、等边三角形和正六边形。这些是正则镶嵌。如果可以用多种正多边形，并且每个点周围的砖块集是一样的，则会增加8种排列。它们被称为半正则镶嵌或阿基米德镶嵌。如果你去掉这些限制，则有无数种可能。

许多艺术家和设计师通过在砖块上添加图案和花纹来增加镶嵌的对称美感。在各种文化的墙和地毯上都可以看到美丽的镶嵌。西班牙的阿尔罕布拉宫是伊斯兰镶嵌艺术的博物馆。这种艺术启发荷兰艺术家艾舍尔发明了各种迷人的镶嵌。

只用正五边形无法构造镶嵌，因为108°的内角无法拼到一起（如果你不信，可以试一试）。但五边形可以与其他形状组合。16世纪初，德国艺术家阿尔布莱希特·杜勒发现了用正五边形和菱形构造的镶嵌。一个世纪后，开普勒——是的，就是那个研究行星的哥们——发现了一种用正五边形、五角星和“融合的十边形”构造的镶嵌（图5.5）。

图5.5：五边形、五角星和融合的十边形组成的镶嵌。

既然正则镶嵌很容易就能铺满平面，干嘛还要大费周折去找五边形的镶嵌呢？开普勒的成果启发了罗杰·彭罗斯，他发现了一种新的基于五边形的镶嵌，可以非周期地铺满平面。与前面讨论的镶嵌不同，非周期镶嵌无法通过平移复制自身；它不重复。这种镶嵌曾被认为不存在，但是在上世纪60年代，一种用了大约100种不同砖块的非周期镶嵌被构造出来。此后研究者发现了砖块种类越来越少的非周期镶嵌。让人吃惊地是，彭罗斯居然将这个数字缩减到了2.这两种砖块被称为“风筝”和“飞镖”（图5.6）。这些砖块的所有角度都是π/5的整数倍。正五边形虽然拒绝单独形成镶嵌，却启发了非周期镶嵌的发现。

风筝和飞镖怎样拼到一起铺满平面呢？有一种方法是用黑和白对点着色，然后要求相邻砖块的点颜色匹配。另一种方法是匹配砖块上的圆弧。

图5.6：风筝和飞镖，以及匹配的方法。

彭罗斯镶嵌还通过另一种方式与数字5联系到一起。用“无理的”二维平面——错开所有高维网格点的平面——对五维超立方体进行切片，就能生成彭罗斯镶嵌。

非周期镶嵌也彻底改变了晶体学。直到上世纪80年代，人们都普遍认为晶体只有2、3、4和6重旋转对称。通过数十年的寻找，2009年，一种准周期的矿物晶体（或简称准晶）被发现。这种物质被称为二十面石，具有标准模型中所不允许的5重对称性。这种准晶是铝铜铁合金，以小颗粒的形式存在。据报道二十面石是在俄罗斯的赛亚山脉被发现，有证据表明它来自地外，据推测是45亿年前由一颗小行星带到地球。