对称 科学元典

弁言 / 1
导读 / 1
序言及文献评注 / 1
一、 双侧对称性 / 1
二、 平移对称性、旋转对称性和有关的对称性 / 31
三、 装饰对称性 / 67
四、 晶体·对称性的一般数学概念 / 95
致谢 / 119
注释 / 123
附录Ⅰ / 129
A确定三维空间中由真旋转构成的所有有限群 / 131
B计入非真旋转 / 137
附录Ⅱ / 139
A拓扑和抽象代数: 理解数学的两种途径 / 141
B心蕴诗魂的数学家与父亲 / 160

对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面都意义重大。数学则是他的根本。
——外尔

外尔可以独自与19世纪的两个伟大的全能数学家——希尔伯特和庞加莱媲美。他在世时一直在纯数学和理论物理学发展的主流之间建立生动的联系。
——戴森

本书是一本精美的书！
——杨振宁

冯承天陆继宗
（上海师范大学物理系教授）

对称性一词在日常用语中有两种含义。一种含义是，对称的（symmetric）即意味着是非常匀称和协调的；而对称性（symmetry）则表示结合成整体的好几部分之间所具有的那种和谐性。

关于外尔

2015年诺贝尔物理学奖颁发给了发现中微子振荡现象的日本物理学家梶田隆章（Takaaki Kajita，1959—）和加拿大物理学家亚瑟·麦克唐纳（Arthur McDonald，1943—）。同年12月11日英国物理学会主办的《物理世界》（Physics World）公布“2015年十大突破”，其中有一项是关于在锇基材料中发现外尔费米子的。这两件事都与赫尔曼·外尔有关。想不到在他去世60年后，还会与科学新发现有如此紧密的关联。
外尔是20世纪上半叶举世闻名的数学家、理论物理学家和哲学家。在数学、理论物理两大领域均有重要建树。外尔的经历颇具传奇色彩，他是数学大师希尔伯特的学生，并曾继任这位大师的讲座教授职位；他又是相对论创始人爱因斯坦多个时期的同事，与建立薛定谔方程和提出薛定谔猫佯谬的薛定谔是挚友。1933年他与爱因斯坦、冯·诺伊曼等人同时成为美国普林斯顿高等研究院的批研究人员。
在外尔的众多研究中，他似乎对对称性情有独钟。当群论在19世纪发展起来后，20世纪初他就在拓扑群、李群和群表示论等方面做了众多出色工作。众所周知，群论是对称性的数学基础。
物理学方面，外尔在爱因斯坦创建广义相对论后不久，即于1918年撰写了《空间、时间、物质》（Raum, Zeit, Materie）一书，与泡利（Wolfgang Pauli，1900—1958)撰写的《相对论》（Theory of Relativity）同为早介绍相对论的两本名著。量子力学确立后不久的1928年，他撰写了《群论和量子力学》（Gruppentheorie und Quantenmechanik）一书，阐述了量子力学与群论的关系。在该书中他还特别指出“（狄拉克假设）导致了在所有情形中正电和负电在本质上的等价性”，指明了正负电荷，亦即正反粒子的对称性。同年外尔导出了描述零质量、自旋1/2粒子的相对论性波动方程——外尔方程，满足这一方程的粒子叫外尔费米子。外尔费米子没有质量，故它们的手性（或称手征性，粒子自旋在运动方向上的投影）是确定的。例如中微子的手性只能为左，反中微子的手性只能为右，因而它们成了破坏左右对称的罪魁祸首。中微子振荡的发现表明中微子并不是零质量的，从而不再是严格意义上的外尔费米子。因此，2015年发现凝聚态物质中有外尔费米子存在的意义更为重大。
外尔与对称以及对称性破坏的关系远不止此，是他个引入规范对称性，希望以此统一电磁和引力相互作用。虽然当时他用的实数尺度变换并不能得到正确的结论，但只要把实数的尺度变换改成虚数的位相变换，就能发展出正确的规范理论。这种理论现在已被普遍认为是描述自然界四种相互作用力的基础理论。
外尔就是这样一位与“对称”素有渊源的数学大师。

关于对称性

“对称”是日常生活中的一种常见现象。例如，我们的人体是左右对称的，北京旧皇城的布局是左右对称的，故宫和普通四合院等房屋建筑也是左右对称的，就连中文中有许多词汇也具有与对称相类似的对仗，如： 东西、阴阳、黑白，等等。中国文学的体裁中，除诗、词、曲、赋等外，还有一种形式——对联，它更是体现出了一种独特的对称。我们曾见到过一副打油诗式的对联： 上联为“坐北朝南吃西瓜，皮往东扔”；下联是“从上至下读《左传》，书向右翻”。虽其水准尚不够登大雅之堂，却充分显示了对称之美。中国文字这种形式上的优美，几乎是任何一种外语无法表达的。不信，你把这副对联翻译成外文试试看。
“对称”是宇宙间普遍、重要的特性之一，近代科学表明几乎自然界的重要规律都与对称有关。远至天体的形状、运行轨道；近如人类的胚胎发育等问题无一不与对称有关联。众所周知，数学是人类从日常生活实践中抽象出来，并加以精炼和提高而形成的学科，对称现象也被提高凝练成了数学的一个分支。科学上的任何概念都是有严格定义的，对称也不例外。数学上它的严格定义是“组元的构形在其自同构变换群作用下所具有的不变性”。这个定义过于专业，不太容易理解，让我们用通俗一些的例子来加以说明。
讲一个图形是对称的，是指这个图形在某些操作下保持不变。例如： 一个平面正方形绕其中心（即其两条对角线的交点）旋转90°后是不变的，即与自身是重合的。一个平面正六边形绕其中心旋转60°后也保持不变，而一个圆，绕其圆心旋转任何角度都是不变的，因此圆的对称程度，所以被古希腊的学者誉为为完美的图形。当然这还只是一种绕中心旋转的对称，称作中心对称。还有其他的操作，如正方形绕其对角线或两边中点的连线翻转180°也是保持不变的，此时对角线或两边中点的连线是其对称轴，这种对称被称作轴对称。对正方形来说，既有中心对称，又有轴对称。以上这些都是平面（即二维空间）对称的例子，也是简单例子。当然二维空间中的对称图形除了中心对称、轴对称之外，可能还有其他对称，如平移对称等。三维空间中也有类似的对称，不过情况就复杂得多了。
除了空间的对称，时间也有对称，如有时间平移对称、时间反演对称等。空间对称和时间对称合起来统称时空对称，它们在物理学中扮演了一个重要的角色。20世纪20年代，德国女数学家诺特证明了对称性与守恒定律的根本联系——诺特定理： 一个物理系统作用量的可微对称性具有一个对应的守恒定律。简单来讲，就是一种对称性（不变性）对应一个守恒定律。例如空间的平移不变性（空间的均匀性）对应于线动量守恒；空间的转动不变性（空间的各向同性）对应于角动量守恒；时间平移不变性（时间的均匀性）对应于能量守恒。能量守恒、动量守恒、角动量守恒都是普适的守恒定律。空间的均匀性、空间的各向同性和时间的均匀性用数学来表达，就是相应的各种对称性。
在物理学中，除了时空对称性还有所谓的内稟对称性，即内部空间的对称性。例如，电荷守恒就是一维位相空间平移对称的结果。推而广之，可以这样说，自然界的所有重要规律都与某种对称性有关。自然界的四种基本相互作用都与一种特殊的对称性，即外尔首先提出的规范对称性有关。
数学上处理对称性的理论是“群论”，要把这样高深的理论与日常生活中常见的对称现象结合起来介绍，真不是一件易事。写好一本这样的科普书籍，作者必须具有两个前提条件： 一是要有深厚的数学功底，二是要熟悉自然界乃至艺术领域中林林总总、丰富多彩的对称现象。由外尔这样一位与“对称”素有渊源、学术造诣又深的数学大师来撰写这样的书是合适不过的了。《对称》（Symmetry）一书是根据外尔即将退休前在普林斯顿大学做的几个有关对称性的演讲，编辑而成的一本优秀科普书籍，是“一本精美的小书”（杨振宁语）。

《对称》一书简介

《对称》一书由双侧对称性，平移对称性、旋转对称性和有关的对称性，装饰对称性，晶体·对称性的一般数学概念四个部分，以及两个附录组成。

双侧对称性

双侧对称性（bilateral symmetry）就是上面提到的左右对称性，外尔举出的此种对称的个例子是天平。天平确实能够很好地体现出左右对称，即使在两边的重量不等、有所倾斜时，我们的潜意识中仍把天平的两臂看作是左右对称的。
接着外尔对双侧对称给出了几何上的精确描述： “一个物体，即一个空间构形，如果在关于给定平面E的反射下变为其自身，我们就说它关于E是对称的。”（参见正文图1，下同）同时他还把它与对于一根轴的旋转对称联系了起来，于是双侧对称性指的也就是绕某一根轴旋转180°仍变为其自身的一种性质。
外尔在这一节中大量引用了出现在无机界、有机界以及艺术领域中的左右对称实例。其中有公元前4世纪希腊的“祈祷的男孩”雕像（图2）；公元前4—5世纪两河流域苏美尔人的大量双侧对称的图案（图3，图4），甚至还做出“在所有古代的种族中，似乎苏美尔人特别酷爱严格的双侧对称性或纹章对称性”的结论。随后的波斯、拜占庭文明继承苏美尔人的这种偏好，也有着大量的双侧对称实例。
外尔指出，与东方艺术相对照，“西方艺术倾向于降低、放宽、修改甚至破坏严格的对称。但是不对称只在罕见的情况下才等于没有对称”。他举出的例子之一是著名的威尼斯圣马可教堂中一组拜占庭风格的浮雕圣像： 中间是耶稣、两边分别是圣母玛利亚和施洗者约翰。圣母玛利亚和施洗者约翰当然不会互相构成镜像对称，不过这组浮雕圣像确实还是有些双侧对称的味道。由此外尔还引入了一个非常重要的概念——对称性破缺（broken symmetry）。这是一个非常重要的概念，在外尔去世十多年后，对称性破缺成了理论物理中的一个关键概念，几乎成为主流物理理论——标准模型——的根本。被美国物理学家、诺贝尔物理学奖得主利昂·莱德曼（Leon Max Lederman，1922—）戏称为“上帝粒子”的希格斯玻色子（2012年被发现）就完完全全是对称性破缺的产物。没有它，构成世界万物的所有粒子都将是零质量的，这样整个宇宙就将是没有质量的。这会是多么荒诞离奇呀！由此也可看出对称性破缺是多么举足轻重。希格斯玻色子的发现是对自然界存在对称性破缺的肯定。
在这一节中，外尔除了让广大读者见识到了艺术领域双侧对称的丰富实例，他还深刻揭示了在无机界、生物界、人体以至胚胎发育中的左右对称问题。他指出，“在无机界中，为引人注目的对称性例子要数晶体了”。“对于32个几何上可能的晶（体对称性）类来说，它们中的大多数都包含双侧对称性，但是也并非它们全都包含这种对称性。当该晶类不含双侧对称性时我们就可能有所谓的对映晶体（enantiomorph crystals），它们以左旋形式和右旋形式存在，……”外尔认为这种“左旋”“右旋”形式也是一种左右对称性，并且对人体有很大影响。例如，“人体含有右旋形式的葡萄糖以及左旋形式的果糖。在基因型上的这一不对称性将可怕地表现为一种被称为苯丙酮尿症的代谢病，并导致精神病。这种病人当摄入少量左旋苯基丙氨酸后，就会痉挛。但摄入右旋形式却没有这种灾难性的结果。”这样一来，就把视野扩大到了人体。
外尔还讨论了与种系发生（phylogenetic）和个体发育（ontogenesis）有关的左和右的问题，并提出了两个问题： “一个动物的一个受精卵在次分裂为两个细胞后是否就固定了正中面，从而使得其中的一个细胞含有发育为左半边的潜力，而另一个细胞含有发育成右半边的潜力？另一个问题是，是什么决定了次分裂的这个平面？”接下来他引用生物界的大量实例，从理论高度回答了这两个问题。记得我们在次翻译《对称》时，曾向一些有关的专业人士请教过，不料大都回答说不了解或没有考虑过。想不到一个数学家居然在胚胎学方面会有如此丰富的知识和深层次的考虑。
后，让我们用外尔对左和右的哲理性思考来结束关于双侧对称性的介绍。首先，外尔认为“左和右之间并不存在像动物的雌和雄之间或前和后两端之间的那种内在的差异和截然的相反性”。简单地说，就是要人为地选择了“左”，才能确定“右”。他还引用了莱布尼茨的术语： 左和右是不可区分的。莱布尼茨认为上帝创造人时，先造一只“右”手，还是先造一只“左”手，那是没有区别的。而康德的看法却不同，如果上帝先造了一只“左”手，即使那时没有对象与之相比，这只“左”手已经具有左手的特征了。外尔认为，科学思维是站在莱布尼茨一边的。

平移对称性、旋转对称性和有关的对称性

为了帮助读者更好地阅读本节，外尔在开头就介绍了一些有关对称的数学知识，如映射、自同构等数学术语，以及群论的一些基础知识。对称的数学理论是群论，没有这方面的基础知识，是很难充分理解本书的内容的。
平移对称性、旋转对称性和双侧对称性同为几何对称性。旋转对称性我们在前面已经提到过。外尔在这里举的例子是浮士德诅咒魔鬼靡菲斯特的正五角星（图21）。绕五角星中心转过角度72°、144°、216°、288°以及360°（即0°）的5个旋转，将使五角星转回到原来的位置；还有对于五角星中心到其5个顶点连线的5个反射也保持其位置不变。这10个操作构成一个描写正五角形对称性的群。
关于平移对称性，在作了数学上的一些讨论后，外尔以饰带为例做了说明。图23至图25是几个带状装饰图案。很明显，向左或向右移动这些带子的一个图案格，整个带状装饰图案是不会发生任何变化的。接着他以威尼斯总督官邸（多格斯宫）为例(图26)，举出了建筑学中的平移对称性。相信任何一个到威尼斯旅游过的人，都会对这座位于圣马可广场边上的瑰丽建筑物印象深刻、赞叹不已。在生物界也有大量的平移对称性存在，在这里“动物学家把平移对称性称为分节（metamerism）现象，……。枫树的芽枝和杈枝风兰（Angraecum distichum）的芽枝（图27）可以作为例子”。
“在一维时间上的等间隔重复是节律（rhythm）的音乐原理。”外尔又把空间的平移对称性转移到了时间上来。空间的平移对称性是建立在空间中等间隔重复的格式之上的，把这种格式转移到时间上来就形成了节律。“诗歌的韵律特色也是与此有密切关系的。”如果持有这种观点，那么上面提到的中国文学形式——对联，也具有双侧对称性的观点是有一定道理的。
装饰艺术中旋转对称性的例子也是俯拾皆是，外尔在这里列举了雅典式的花瓶（图29）和公元前7世纪的爱奥尼亚派的罗德式水罐（图30），以及古埃及的一些柱头（图31）。其实这方面的例子在中国也是很多的，许多博物馆中展出的种类繁多的从新石器时期的陶罐到明清鼎盛时期的瓷器，都具有这种旋转对称的图案花纹。
外尔特别用意大利比萨城内神奇广场上三个世界闻名建筑物中的两个： 浸礼会教堂（Baptisterium）和比萨斜塔，作为例子来说明建筑物中呈现出的旋转对称性。浸礼会教堂是一个圆形的建筑（图33），“在它外部你可以辨认出6个水平层，其中每一层都具有不同阶数n的旋转对称性。若再加上比萨斜塔，这幅图就会给人以更深刻的印象。比萨斜塔有6个拱形柱廊，它们都具有同样高阶的旋转对称性”。顺便提一下，神奇广场上还有一个著名建筑物，虽然外尔没有提及，但其知名度并不亚于上面的两个，它就是位于比萨斜塔和浸礼会教堂之间的，传说伽利略曾在其内发现单摆周期性的天主教大教堂。
植物界和动物界中的旋转对称性更是不胜枚举。外尔列举的例子有： 具有三重极点旋转对称的鸢尾花（iris）（图35），具有八边形对称性的圆盘水母（Discomedusa）（图37）。对于水母，外尔还特地引述了苏格兰生物学家汤普森在他的经典著作《论生长与形式》中对水母描述的一段话： “活水母所具有的几何对称性是如此之明显和规则，以致使人们设想在这些小生物的成长和构造中可能有一些物理学上的或力学上的要素。”
外尔还指出在有机界中频频出现的五角形对称性，在无机界的晶体中却找不到它的踪影： 晶体只有2、3、4和6阶的旋转对称性。在后面的章节中外尔还指出在建筑物中五角形的例子也是罕见的，美国在第二次世界大战期间建成的五角大楼可算是世界上的大型五角形建筑物。外尔在他的演讲中，调侃地说： “五角大楼规范之大和形状之奇特，为轰炸机提供了引人注目的陆上目标。”不想谶语成真，在它开工之日（1941年9月11日）的整整60年后，被恐怖分子劫机撞击了。
这一节中除平移对称性、旋转对称性外还介绍了其他对称性。他给出了“一张包含全部（真旋转和非真旋转）有限群的完整的表”。所谓非真旋转，就是不仅有旋转，还包含反射。真旋转构成的有限群是循环群；包含了反射的非真旋转构成的群是二面体群，当然还有其他正多面体群。

装饰对称性

在这一节中，外尔讨论了一种特殊的几何对称性： 二维情况的装饰对称性和三维情况的结晶对称性。
二维的装饰图案到处可见，外尔举出了浴室中的铺地瓷砖、自然界的蜂巢（图48）、人类眼睛视网膜上的色素、玉米的排列（图50）以及硅藻的表面（图51），等等。这里面有一个哪些形状的图案能够铺满一个二维面的问题。
外尔从多方面阐明了六边形（图49）是能够做到这一点的图形之一。补充一下，近发现的碳同位异形体石墨烯是一种二维晶体，其上碳原子的排列也是六边形的。除平面的石墨烯外，还有柱面的碳纳米管和球面的富勒烯。碳纳米管的碳原子排列也是六边形的，因为柱面和平面本质上是相同的。而球面富勒烯的情况就不同了，尽管正六边形的瓷砖能铺满平面，但外尔指出“一个六边形的网是不可能覆盖球面的”。所以富勒烯系列中的C60不能由单一的六边形铺满它的表面，而是由20个六边形和12个五边形铺砌成的32面体。它与足球相类似，故C60也被称为足球烯。
虽然外尔在发现富勒烯的多年前就去世了，但他给出了一张酷似富勒烯的图形（图55）。不过这张不是富勒烯的图，而是德国博物学家、达尔文进化论的捍卫者和传播者海克尔给出的一张辐射虫之一的含硅骨架图。这幅图看似像由一个六边形的网构成了整个球面，其实不然，其中的一些网眼不是六边形而是五边形。这与我们上面提到的富勒烯C60情况是一致的。
接着外尔用向量的平移，建立起了平面点阵。有了平面点阵结构，就可以在这个框架中方便地讨论各种平面装饰图案了。外尔指出，“对于有双重无限关联的二维装饰而言，有17种本质上不同的对称性。在古代的装饰图案中，尤其是古埃及的饰物中，我们能找到所有这17个对称群的例子”。他引用了埃及的饰物（图65）、中国的窗格（图67，图68）等插图来做说明，并指出如要详细地分析，就要对17个装饰群“作一番精准的代数描述”。不过他认为这已超出这次演讲的范围了。

晶体·对称性的一般数学概念

本节是在上节的基础上，把二维点阵推广到三维点阵，也即晶体的情况。由二维点阵可讨论各种平面装饰物，它们可以用来装饰表面、构成二维装饰艺术。虽然“艺术从未进入立体装饰物的领域，但在自然界中却有立体装饰”。自然界中的立体装饰就是晶体。
人们对晶体结构的认识，开始只是一种猜测。从一些矿石，如方解石的纹理面，猜想晶体中原子的排列是有规则的。但如何用实验来证实这种猜想呢？物理学家想到了使用光栅的光学衍射实验。晶体中原子的排列是有规则的，有规则排列的原子不就形成了一个天然的光栅吗？不过若要用光栅进行光学衍射实验，光栅的宽度必须与光的波长相匹配。可是晶体原子排列构成的光栅的宽度实在太窄了，普通光的波长都是它宽度的千倍以上，根本不可能发生相干现象。20世纪来临前夕，伦琴发现的X射线，给这个实验带来了希望。如果X射线是一种射线（当时还不知道伦琴发现的是个什么“东西”，故称之为“X”）的话，那它的波长极短，与晶体原子间的距离相当，用它来照射晶体是有可能出现衍射条纹的。1912年劳厄用X射线照射晶体，结果正如外尔在书中描述的那样，“这样劳厄就一箭双雕了： 他既证实了晶体的点阵结构，又证明了X射线是短波长的光……图69和70是两张闪锌矿的劳厄照片，两者都取自劳厄的原始论文（1912年），它们是分别沿能呈现出阶数为4和3的绕轴对称性的方向拍摄的”。由于劳厄照片并不是直观地显示出晶体的结构，外尔用图71“给出了原子实际排列的一个三维（放大）模型的照片”。
作为立体饰物的晶体千姿百态，呈现出了丰富多彩的对称性质。外尔指出，“晶态物质的真正物理对称性，更多地是由其内部物理结构所揭示的，而不是其外形所表现的”。劳厄干涉图样反映出的晶体的原子排列结构完全证实了这一点。晶体具有很多的对称性，外尔指出“那些是晶体中的原子排列变成它自身的叠合所构成的不连续群Δ……”“对于群Δ本身，我们有230种不同的可能性……”这230种不连续群通常称作空间群，这230个空间群分属32种晶体点群和7大晶系和14种晶格类型（布拉菲格子）。在晶体学中，晶体学点群是对称操作（例如旋转、反射）的集合。这些操作以固定的中心向其他方向移动能使晶体复原，因此称为对称操作。对于一种真正的晶体（不是准晶体），点群对应的操作必须能够保持晶体的三维平移对称性。经过它的点群中任何操作之后，晶体的宏观性质依然和操作前完全相同。
外尔作为一个出色的理论物理学家，理所当然地会讨论与理论物理有关的话题。本节中他把物理上的相对性原理与对称性联系了起来。我们知道爱因斯坦就是在深入思考了相对性原理后，先后创建了狭义相对论和广义相对论的。外尔是爱因斯坦的同时代人，而且还长期共事，故对相对论非常熟。在本节中他强调了，“物理事件不只是发生在空间里，而且发生在空间和时间中。世界延伸着，它并不是一个三维而是四维连续统”。他指出，四维时空中的自同构群是洛伦兹群，并认为洛伦兹就是爱因斯坦的施洗者约翰。与相对论同为20世纪物理学革命的两大产物之一的量子力学，也是与对称性密切相连的，外尔指出“对称性在处理原子光谱和分子光谱时起着巨大的作用，而量子物理学原理却提供了理解这些光谱的钥匙”。
在讨论了艺术、生物学、晶体学和物理学的对称性之后，外尔转到数学上来。他认为，“数学是尤其要讨论一下的，这是因为一些本质上的概念，特别是有关群的一些基本概念，初就是从它们在数学（特别是在代数方程理论）中的应用而发展起来的”。确实数学对于对称性来说是特别重要的，这有两方面的含义： 一是对称性背后的数学理论就是群论；另一是数学中的许多理论也具有对称性。外尔从数域扩充谈到复数的引人，有了复数“能使所有的代数方程都可解”。一个一元n次的代数方程，不管系数是什么，它在复数域中总有n个解，或n个根。这就是高斯（在他的博士论文中证明）的代数基本定理。群论就是伽罗瓦在讨论代数方程根之间的对称性时发展起来的。
在正文的后，外尔总结说： “对称是一个十分广泛的课题，它在艺术和自然界中均有重大意义。数学是它的根本，而且，很难再找一个更好的课题来表现数学智慧的运作。”