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开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787519252199丛书名: 山东省教师招聘考试辅导教材
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内容简介
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目 录
章数与代数
节数与式
第二节方程与不等式
第三节函数
牛刀小试
第二章图形与几何
节平面图形
第二节图形的对称、平移和旋转
第三节视图与投影
牛刀小试
第三章统计与概率
节统计
第二节概率
牛刀小试
第四章综合与实践
节课题学习
第二节数学活动
章集合、逻辑与算法初步
节集合与逻辑
第二节算法初步
牛刀小试
第二章函数
节函数概念
第二节基本初等函数
第三节三角函数
牛刀小试
第三章不等式、数列与极限
节不等式
第二节数列
第三节极限
牛刀小试
第四章推理证明与排列组合
节推理与证明
第二节排列、组合与二项式定理
牛刀小试
第五章向量与复数
节向量
第二节复数
牛刀小试
第六章立体几何
节直线与平面
第二节棱柱、棱锥与球
牛刀小试
第七章解析几何
节直线与方程
第二节圆与方程
第三节圆锥曲线
第四节极坐标与参数方程
牛刀小试
第八章统计与概率
节统计
第二节概率
牛刀小试
章数学分析
节极限
第二节函数连续性
第三节导数与微分
第四节积分
牛刀小试
第二章高等代数
节行列式
第二节矩阵
第三节线性方程组
牛刀小试
第三章空间解析几何
节空间坐标系与向量
第二节空间的平面与直线
第三节曲面及曲线方程
牛刀小试
章义务教育数学课程标准（２０１１年版）
节前言
第二节课程目标
第三节内容标准
第四节实施建议
牛刀小试
第二章普通高中数学课程标准（２０１７年版）（节选）
节课程性质与基本理念
第二节学科核心素养与课程目标
第三节课程结构
第四节课程内容
第五节实施建议
牛刀小试
中公教育·山东分部一览表
中公教育·全国分部一览表
节数与式
第二节方程与不等式
第三节函数
牛刀小试
第二章图形与几何
节平面图形
第二节图形的对称、平移和旋转
第三节视图与投影
牛刀小试
第三章统计与概率
节统计
第二节概率
牛刀小试
第四章综合与实践
节课题学习
第二节数学活动
章集合、逻辑与算法初步
节集合与逻辑
第二节算法初步
牛刀小试
第二章函数
节函数概念
第二节基本初等函数
第三节三角函数
牛刀小试
第三章不等式、数列与极限
节不等式
第二节数列
第三节极限
牛刀小试
第四章推理证明与排列组合
节推理与证明
第二节排列、组合与二项式定理
牛刀小试
第五章向量与复数
节向量
第二节复数
牛刀小试
第六章立体几何
节直线与平面
第二节棱柱、棱锥与球
牛刀小试
第七章解析几何
节直线与方程
第二节圆与方程
第三节圆锥曲线
第四节极坐标与参数方程
牛刀小试
第八章统计与概率
节统计
第二节概率
牛刀小试
章数学分析
节极限
第二节函数连续性
第三节导数与微分
第四节积分
牛刀小试
第二章高等代数
节行列式
第二节矩阵
第三节线性方程组
牛刀小试
第三章空间解析几何
节空间坐标系与向量
第二节空间的平面与直线
第三节曲面及曲线方程
牛刀小试
章义务教育数学课程标准（２０１１年版）
节前言
第二节课程目标
第三节内容标准
第四节实施建议
牛刀小试
第二章普通高中数学课程标准（２０１７年版）（节选）
节课程性质与基本理念
第二节学科核心素养与课程目标
第三节课程结构
第四节课程内容
第五节实施建议
牛刀小试
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节数与式
一、实数的相关概念
实数的分类如图1-1-1。
图1-1-1
当然还可以分为正实数、零、负实数。有理数还可以分为正有理数、零、负有理数。
（一）数轴
数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中实现数形结合的载体。数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。实数与数轴上的点是一一对应的。
（二）值
值的代数意义：｜a｜=a（a>0），0（a=0），-a（a<0）。
值的几何意义：一个数的值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。
（三）相反数、倒数
若a，b两个数互为相反数，则a b=0。实数a的相反数记为-a。非零实数a的倒数记为，0没有倒数。若m，n两个数互为倒数，则m·n=1。
（四）科学记数法
科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a（1≤｜a｜＜10，n为整数）与10n相乘的形式，这种记数法叫作科学记数法。当我们要标记或运算某个较大或较小且位数较多的数时，科学记数法能够免去浪费很多空间和时间。
二、代数式
（一）代数式的分类
用加、减、乘、除、乘方和开方等运算符号连接数和字母而成的式子称为代数式，单独的一个数或者一个字母也是代数式。代数式的分类如图1-1-3。
图1-1-3
1.整式
整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式统称为整式。
2．分式
形如，A，B是整式，B中含有未知数且B不等于0的代数式叫作分式。其中，A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。
3．无理式
含有关于字母开方运算的代数式叫作无理式。如，。
4．方根与根式
数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a。a的n次方根记为（n为大于1的自然数）。作为代数式，称为根式，n称为根指数，a称为根底数。在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其值相同，符号相反。
5．二次根式
式子（a≥0）叫作二次根式。（a≥0）是一个非负数。其中，a叫作被开方数。
（二）代数式有意义的条件
1.分式有意义的条件是分母不为零。
2.二次根式有意义的条件是被开方数（式）非负。
3.由实际应用中得到的代数式还要符合实际意义。
（三）代数式的运算
1．整式的加、减、乘、除运算及添括号、去括号法则。
2．分式的加、减、乘、除运算及分式的乘方。
3．二次根式的加、减、乘、除运算及二次根式的分母有理化。
4．代数式的恒等变形：添括号、去括号、拆项是代数式恒等变形的常用方法，乘法公式、因式分解是代数式恒等变形的工具；待定系数法、配方法也都可进行代数式的恒等变形。
5．代数式的化简求值：含有值的代数式的化简，通常可利用数轴的直观性；整式的化简求值常常要灵活运用配方法、换元法、整体代换思想和构造思想；分式的化简求值一般可对分子、分母的多项式因式分解、约分，再运用分式的性质化简计算；二次根式的化简求值一般应先考虑能否利用二次根式的性质、配方法、乘法公式等化简计算。
【例题1】试用?琢 ?茁，?琢-?茁表示2?琢和?茁。
【解析】解法1：2?琢=2?琢 （?茁-?茁）=（?琢 ?茁） （?琢-?茁），
?茁=·2?茁=［2?茁 （?琢-?琢）］=［（?琢 ?茁）-（?琢-?茁）］=（?琢 ?茁）-（?琢-?茁）。
解法2：设2?琢＝k1（?琢 ?茁） k2（?琢-?茁）=（k1 k2）?琢 （k1-k2）?茁，
比较等式两边的各项系数，可得k1 k2=2，k1-k2=0，
∴k1=1，k2=1，∴2?琢＝（?琢 ?茁） （?琢-?茁）。
设?茁=m1（?琢 ?茁） m2（?琢-?茁）=（m1 m2）?琢 （m1-m2）?茁，
比较等式两边的各项系数，可得m1 m2=0，m1-m2=1，
∴m1=，m2=-，∴?茁＝（?琢 ?茁）-（?琢-?茁）。
解法1是利用拆项、添加括号的方法进行代数式的恒等变形；解法2是利用待定系数法进行代数式的恒等变形。
【例题2】计算：÷·。
【解析】原式＝÷·
=··
=。
对分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一成乘法，后再进行约分化简。
第二节方程与不等式
一、方程
方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式。使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。
按照元与项次数的不同可以将方程分为几元几次方程。如，含有两个未知数且项次数为一次的方程叫作二元一次方程。
（一）一元一次方程的解法
去分母：在方程两边都乘以各分母的小公倍数（不含分母的项也要乘）。
去括号：先去小括号，再去中括号，后去大括号（记住如括号外有减号的话一定要变号）。
移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号。
合并同类项：把方程化成ax＝b（a≠0）的形式。
系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝。
（二）一元二次方程的解法
只含有一个未知数，未知数的次数是2，且次项系数不为0，这样的方程叫作一元二次方程。一般形式为ax2 bx c＝0（a≠0），设其两根为x1，x2，则x1 x2=-，x1x2=。一元二次方程的解法如下。
1．直接开平方法
用直接开平方法解形如（x-m）2=n2（n≥0）的方程，其解是x=m±n。它的特征是左边是一个关于未知数的完全平方数，右边是一个非负数。符合这个特征的方程就可以利用直接开平方法。
2．配方法
用配方法解一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的一般步骤是化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；移项，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；配方，即方程两边都加上一次项系数值一半的平方；化方程为（x m）2=n的形式，如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n<0，则原方程无实数解。
3．公式法
公式法是使用求根公式求出一元二次方程的解的方法。它是通过配方法推导出来的，一元二次方程的求根公式是x=（b2-4ac≥0）。
4．分解因式法
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。
（三）二元一次方程组的解法
含有两个未知数，且所含未知项的次数都是1的整式方程叫作二元一次方程。两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程组。它的一般形式是ax bx=c，dx ey=f（a，b，d，e都不为0）。二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解。二元一次方程组的解法如下。
1．代入消元法
【例题1】解方程组：x＋y＝5，（1）6x＋13y＝89。（2）
【解析】由（1）得x＝5－y，（3）
把（3）代入（2），得6（5－y）＋13y＝89，即y＝。
把y＝代入（3），得x＝5－，即x＝－。
故x＝－，y＝为方程组的解。
2．加减消元法
【例题2】解方程组：x＋y＝9，（1）x-y＝5。（2）
【解析】由（1）＋（2）得2x＝14，
即x＝7，把x＝7代入（1），
得7＋y＝9，解得y＝2，
故x＝7，y＝2为方程组的解。
（四）一元三次方程的解法
一元三次方程的解法是先消去次高项（即二次项），再作变换转换为一元二次方程来解。
设有一元三次方程
ax3＋bx2＋cx＋d＝0（a≠0），
令x＝y－，则方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0转化为y3＋py＋q＝0，其中
p＝c-，q＝- d。
作变换y＝u＋v，由方程y3＋py＋q＝0得
（u＋v）3＋p（u＋v）＋q＝0，
进一步整理得
u3＋v3＋q＋（3uv＋p）（u＋v）＝0。
令u3 v3 q=0，3uv p=0，可得u3 v3=-q，u3v3=-p3。设z1，z2是方程z2 qz-p3=0的两个根，由根与系数的关系即可知z1＝u3，z2＝v3，即
u3=- =z1，v3=–=z2，
于是有
u1=，u2=ωu1，u3=ω2u1；
v1=，v2=ωv1，v3=ω2v1，
其中
ω=-1 i，ω2=-1-i，
所以方程y3＋py＋q＝0有三个解，为
y1=u1 v1，y2=ωu1 ω2v1，y3=ωv1 ω2u1，
则原一元三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的解为
x1=u1 v1-，x2=ωu1 ω2v1-，x3=ωv1 ω2u1-。
注：
（1）一元三次方程的根与系数的关系
如果三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0（a≠0）的三个根分别是α，β，γ，那么ax3 bx2 cx d=a（x-α）（x-β）（x-γ），把上式的右边展开，得ax3 bx2 cx d=ax3-a（α β γ）x2 a（βγ γα αβ）x-aαβγ。
因为这是一个恒等式，所以两边x的同次幂的系数相等，于是有
-a（α β γ）=b，a（βγ γα αβ）=c，-aαβγ=d，
由此可得一元三次方程的根与系数的关系为
α β γ=-，βγ γα αβ=，αβγ=-。
（2）卡尔丹判别法
令Δ=2 3，则
①当Δ＞0时，方程有一个实根，一对共轭复根；
②当Δ＝0时，方程有三个实根，其中有一个二重根；
③当Δ＜0时，方程有三个不相等的实根。
二、不等式
不等式是用不等号将两个解析式连接起来所组成的式子。例如，2x 2y≥2xy，sinx≤1，2x<3，5x≠5等。
能使一个不等式成立的未知数的一个值，叫作这个不等式的一个解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
（一）不等式的性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（二）不等式同解原理
1.不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。
2.如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式F（x）＋H（x）
一、实数的相关概念
实数的分类如图1-1-1。
图1-1-1
当然还可以分为正实数、零、负实数。有理数还可以分为正有理数、零、负有理数。
（一）数轴
数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中实现数形结合的载体。数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。实数与数轴上的点是一一对应的。
（二）值
值的代数意义：｜a｜=a（a>0），0（a=0），-a（a<0）。
值的几何意义：一个数的值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。
（三）相反数、倒数
若a，b两个数互为相反数，则a b=0。实数a的相反数记为-a。非零实数a的倒数记为，0没有倒数。若m，n两个数互为倒数，则m·n=1。
（四）科学记数法
科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a（1≤｜a｜＜10，n为整数）与10n相乘的形式，这种记数法叫作科学记数法。当我们要标记或运算某个较大或较小且位数较多的数时，科学记数法能够免去浪费很多空间和时间。
二、代数式
（一）代数式的分类
用加、减、乘、除、乘方和开方等运算符号连接数和字母而成的式子称为代数式，单独的一个数或者一个字母也是代数式。代数式的分类如图1-1-3。
图1-1-3
1.整式
整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式统称为整式。
2．分式
形如，A，B是整式，B中含有未知数且B不等于0的代数式叫作分式。其中，A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。
3．无理式
含有关于字母开方运算的代数式叫作无理式。如，。
4．方根与根式
数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a。a的n次方根记为（n为大于1的自然数）。作为代数式，称为根式，n称为根指数，a称为根底数。在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其值相同，符号相反。
5．二次根式
式子（a≥0）叫作二次根式。（a≥0）是一个非负数。其中，a叫作被开方数。
（二）代数式有意义的条件
1.分式有意义的条件是分母不为零。
2.二次根式有意义的条件是被开方数（式）非负。
3.由实际应用中得到的代数式还要符合实际意义。
（三）代数式的运算
1．整式的加、减、乘、除运算及添括号、去括号法则。
2．分式的加、减、乘、除运算及分式的乘方。
3．二次根式的加、减、乘、除运算及二次根式的分母有理化。
4．代数式的恒等变形：添括号、去括号、拆项是代数式恒等变形的常用方法，乘法公式、因式分解是代数式恒等变形的工具；待定系数法、配方法也都可进行代数式的恒等变形。
5．代数式的化简求值：含有值的代数式的化简，通常可利用数轴的直观性；整式的化简求值常常要灵活运用配方法、换元法、整体代换思想和构造思想；分式的化简求值一般可对分子、分母的多项式因式分解、约分，再运用分式的性质化简计算；二次根式的化简求值一般应先考虑能否利用二次根式的性质、配方法、乘法公式等化简计算。
【例题1】试用?琢 ?茁，?琢-?茁表示2?琢和?茁。
【解析】解法1：2?琢=2?琢 （?茁-?茁）=（?琢 ?茁） （?琢-?茁），
?茁=·2?茁=［2?茁 （?琢-?琢）］=［（?琢 ?茁）-（?琢-?茁）］=（?琢 ?茁）-（?琢-?茁）。
解法2：设2?琢＝k1（?琢 ?茁） k2（?琢-?茁）=（k1 k2）?琢 （k1-k2）?茁，
比较等式两边的各项系数，可得k1 k2=2，k1-k2=0，
∴k1=1，k2=1，∴2?琢＝（?琢 ?茁） （?琢-?茁）。
设?茁=m1（?琢 ?茁） m2（?琢-?茁）=（m1 m2）?琢 （m1-m2）?茁，
比较等式两边的各项系数，可得m1 m2=0，m1-m2=1，
∴m1=，m2=-，∴?茁＝（?琢 ?茁）-（?琢-?茁）。
解法1是利用拆项、添加括号的方法进行代数式的恒等变形；解法2是利用待定系数法进行代数式的恒等变形。
【例题2】计算：÷·。
【解析】原式＝÷·
=··
=。
对分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一成乘法，后再进行约分化简。
第二节方程与不等式
一、方程
方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式。使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。
按照元与项次数的不同可以将方程分为几元几次方程。如，含有两个未知数且项次数为一次的方程叫作二元一次方程。
（一）一元一次方程的解法
去分母：在方程两边都乘以各分母的小公倍数（不含分母的项也要乘）。
去括号：先去小括号，再去中括号，后去大括号（记住如括号外有减号的话一定要变号）。
移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号。
合并同类项：把方程化成ax＝b（a≠0）的形式。
系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝。
（二）一元二次方程的解法
只含有一个未知数，未知数的次数是2，且次项系数不为0，这样的方程叫作一元二次方程。一般形式为ax2 bx c＝0（a≠0），设其两根为x1，x2，则x1 x2=-，x1x2=。一元二次方程的解法如下。
1．直接开平方法
用直接开平方法解形如（x-m）2=n2（n≥0）的方程，其解是x=m±n。它的特征是左边是一个关于未知数的完全平方数，右边是一个非负数。符合这个特征的方程就可以利用直接开平方法。
2．配方法
用配方法解一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的一般步骤是化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；移项，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；配方，即方程两边都加上一次项系数值一半的平方；化方程为（x m）2=n的形式，如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n<0，则原方程无实数解。
3．公式法
公式法是使用求根公式求出一元二次方程的解的方法。它是通过配方法推导出来的，一元二次方程的求根公式是x=（b2-4ac≥0）。
4．分解因式法
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。
（三）二元一次方程组的解法
含有两个未知数，且所含未知项的次数都是1的整式方程叫作二元一次方程。两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程组。它的一般形式是ax bx=c，dx ey=f（a，b，d，e都不为0）。二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解。二元一次方程组的解法如下。
1．代入消元法
【例题1】解方程组：x＋y＝5，（1）6x＋13y＝89。（2）
【解析】由（1）得x＝5－y，（3）
把（3）代入（2），得6（5－y）＋13y＝89，即y＝。
把y＝代入（3），得x＝5－，即x＝－。
故x＝－，y＝为方程组的解。
2．加减消元法
【例题2】解方程组：x＋y＝9，（1）x-y＝5。（2）
【解析】由（1）＋（2）得2x＝14，
即x＝7，把x＝7代入（1），
得7＋y＝9，解得y＝2，
故x＝7，y＝2为方程组的解。
（四）一元三次方程的解法
一元三次方程的解法是先消去次高项（即二次项），再作变换转换为一元二次方程来解。
设有一元三次方程
ax3＋bx2＋cx＋d＝0（a≠0），
令x＝y－，则方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0转化为y3＋py＋q＝0，其中
p＝c-，q＝- d。
作变换y＝u＋v，由方程y3＋py＋q＝0得
（u＋v）3＋p（u＋v）＋q＝0，
进一步整理得
u3＋v3＋q＋（3uv＋p）（u＋v）＝0。
令u3 v3 q=0，3uv p=0，可得u3 v3=-q，u3v3=-p3。设z1，z2是方程z2 qz-p3=0的两个根，由根与系数的关系即可知z1＝u3，z2＝v3，即
u3=- =z1，v3=–=z2，
于是有
u1=，u2=ωu1，u3=ω2u1；
v1=，v2=ωv1，v3=ω2v1，
其中
ω=-1 i，ω2=-1-i，
所以方程y3＋py＋q＝0有三个解，为
y1=u1 v1，y2=ωu1 ω2v1，y3=ωv1 ω2u1，
则原一元三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的解为
x1=u1 v1-，x2=ωu1 ω2v1-，x3=ωv1 ω2u1-。
注：
（1）一元三次方程的根与系数的关系
如果三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0（a≠0）的三个根分别是α，β，γ，那么ax3 bx2 cx d=a（x-α）（x-β）（x-γ），把上式的右边展开，得ax3 bx2 cx d=ax3-a（α β γ）x2 a（βγ γα αβ）x-aαβγ。
因为这是一个恒等式，所以两边x的同次幂的系数相等，于是有
-a（α β γ）=b，a（βγ γα αβ）=c，-aαβγ=d，
由此可得一元三次方程的根与系数的关系为
α β γ=-，βγ γα αβ=，αβγ=-。
（2）卡尔丹判别法
令Δ=2 3，则
①当Δ＞0时，方程有一个实根，一对共轭复根；
②当Δ＝0时，方程有三个实根，其中有一个二重根；
③当Δ＜0时，方程有三个不相等的实根。
二、不等式
不等式是用不等号将两个解析式连接起来所组成的式子。例如，2x 2y≥2xy，sinx≤1，2x<3，5x≠5等。
能使一个不等式成立的未知数的一个值，叫作这个不等式的一个解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
（一）不等式的性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（二）不等式同解原理
1.不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。
2.如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式F（x）＋H（x）
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