描述
开 本: 128开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787030538888
编辑推荐
从事抽水蓄能建设设计、运行、科研和技术管理等方面工作的专业人员，高等学校研究生和本科生
内容简介
《抽水蓄能机组过渡过程》全面系统地介绍抽水蓄能机组过渡过程的基本理论、数值模拟、模型试验和原型观测，并列出我国数十台不同比转速水泵水轮机全特性曲线和数座抽水蓄能电站的基本资料、实测数据与模拟结果。《抽水蓄能机组过渡过程》分为12章，从水泵水轮机全特性空间曲面的构建与变化规律、基于水泵水轮机全特性空间曲面的过渡过程数值模拟与分析、基于水泵水轮机反S特性及脉动特性的导叶关闭规律优化、抽水蓄能电站调压室设置条件与输水管道系统布置准则、抽水蓄能机组过渡过程模型试验与实测反演分析五个方面进行深入浅出地论述，绝大多数内容是武汉大学“水电站过渡过程与控制”课题组近年的研究成果，为解决抽水蓄能机组过渡过程设计和运行面临的主要难题提供理论依据、分析手段和工程措施。
目 录
目录
第1章 水泵水轮机全特性空间曲面表征与构建 1
1.1 水泵水轮机全特性的表征方式 1
1.1.1 四象限全特性平面表征方式 1
1.1.2 单位参数为纵横坐标的全特性平面表征方式 4
1.1.3 全特性空间曲面的表征方式 4
1.2 全特性NURBS曲面重建与外延理论 5
1.2.1 曲线与曲面的参数表达 5
1.2.2 NURBS基本概念 6
1.2.3 曲面拟合参数优化算法 8
1.2.4 全特性曲面开度内插 12
1.2.5 全特性曲面开度线外延 12
1.3 实例分析 17
1.3.1 重构曲面对原始数据点逼近精度分析 21
1.3.2 重构曲面内插开度线精度分析 23
1.3.3 重构曲面外延开度线精度分析 26
参考文献 29
符号说明 30
第2章 水泵水轮机全特性变化规律 34
2.1 全特性曲线数据库建立 34
2.1.1 水泵水轮机特征参数标准化 34
2.1.2 数据库建立 35
2.2 全特性曲线特征点的变化规律 37
2.2.1 全特性曲线特征点与比转速 37
2.2.2 回归分析基本理论 37
2.2.3 高效点单位参数与比转速的统计性分析 38
2.2.4 坐标交点单位参数与比转速的统计性分析 40
2.3 全特性空间曲面特征交线的变化规律 41
2.3.1 特征交线定义与提取 41
2.3.2 特征交线理论公式推导和理想化处理 44
2.3.3 任意比转速特征交线构造 50
2.3.4 特征交线变化规律 54
参考文献 54
符号说明 55
第3章 任意比转速水泵水轮机全特性曲线构造 59
3.1 全特性多区间的空间变换 60
3.1.1 全特性曲线分区与标准化 60
3.1.2 全特性曲线的空间变换 61
3.2 任意比转速全特性曲线的构造方法 64
3.2.1 四维数据建立与插值 64
3.2.2 全特性曲线的逆变换与构造结果 65
3.2.3 反S曲线处理 67
3.3 基于Java与Matlab混合编程实现全特性曲线的构造 69
3.3.1 Java和Matlab混合编程原理 69
3.3.2 全特性构造系统的设计 69
参考文献 71
符号说明 72
第4章 基于全特性空间曲面过渡过程的数学模型 74
4.1 基于空间曲面的水轮发电机组过渡过程的数学模型 75
4.1.1 有压管道非恒定流方程 75
4.1.2 发电机一阶方程 76
4.1.3 导叶运动方程或调速器方程 76
4.1.4 水轮机特性方程 79
4.2 基于转速偏差函数且给定导叶开度的机组边界条件求解 80
4.2.1 求解流程 80
4.2.2 Ω的单调性及在搜索边界的符号判别 81
4.3 实例分析 86
参考文献 88
符号说明 89
第5章 水泵水轮机反S特性与机组过渡过程 93
5.1 水泵水轮机反S特性形成机理与测量 93
5.1.1 反S特性形成机理 93
5.1.2 反S特性曲线测量 99
5.2 反S特性与飞逸稳定性的内在联系 101
5.2.1 数学模型 101
5.2.2 波动解析分解 102
5.2.3 飞逸稳定性及影响因素 104
5.2.4 模型试验及与数值模拟的对比 107
5.2.5 小结 108
5.3 反S特性与甩负荷水击压强的内在联系 108
5.3.1 数学模型 109
5.3.2 反S区过渡过程特性 111
5.3.3 反S特性与水击压强关联性 112
5.3.4 小结 114
参考文献 114
符号说明 116
第6章 基于反S特性的运行稳定性及调节品质 119
6.1 水泵水轮机调节系统的线性数学模型 119
6.1.1 输水管道子系统的水击模型 119
6.1.2 水轮机模型 123
6.1.3 调速器模型 126
6.1.4 发电机负荷模型 128
6.2 水轮机工作区域的稳定性 129
6.2.1 依据林纳德奇帕特判据的稳定性分析 129
6.2.2 采用非线性数学模型进行稳定性验证及调节品质分析 131
6.3 水泵水轮机空载稳定性 137
6.3.1 空载点的水轮机调节系统数学模型 137
6.3.2 空载工况波动特性分析 139
6.3.3 空载扰动数值仿真 141
参考文献 142
符号说明 143
第7章 水泵水轮机过渡过程中脉动压强的数值模拟 146
7.1 实测压强波动信号的时频和频域分析 147
7.1.1 实测压强波动信号的时域分析 147
7.1.2 实测压强波动信号的频域分析 151
7.2 利用水泵水轮机模型试验脉动压强等值线图的脉动压强的模拟方法 152
7.2.1 脉动压强等值线的分布特点及外延 153
7.2.2 脉动压强等值线的内插算法 154
7.3 实例分析及对过渡过程中脉动压强的几点认识 157
参考文献 164
符号说明 165
第8章 基于反S特性及脉动压强的导叶关闭规律优化 168
8.1 基于反S特性与脉动压强的水轮机甩负荷工况导叶关闭规律优化理论 168
8.1.1 时间步长内水头平方根X的变化规律的理论分析 169
8.1.2 时间步长内工况点移动有向线段的分类及ΔX符号变化 171
8.1.3 机组甩负荷导叶拒动工况轨迹线分区与X变化分析 173
8.1.4 机组甩负荷导叶关闭条件下轨迹线夹角变化对各分区ΔX的影响 174
8.1.5 基于反S特性的导叶关闭规律的优化原则 176
8.2 各种导叶关闭规律的对比分析 183
8.2.1 直线关闭规律与先快后慢的两段折线关闭规律 183
8.2.2 延时+快关及先慢后快两段折线关闭规律、快关+延时+快关的三段折线关闭规律 186
8.2.3 球阀与导叶联动的关闭规律 187
8.2.4 导叶不同步装置及关闭规律 189
8.2.5 水轮机工况各种导叶关闭规律的应用情况 192
8.3 水泵断电工况特点及导叶关闭规律优化 193
8.3.1 水泵工况初始开度的选择 193
8.3.2 水泵断电工况过渡过程的轨迹线与导叶关闭规律的优化 194
8.3.3 水泵断电工况导叶关闭规律的应用情况 196
参考文献 196
符号说明 197
第9章 抽水蓄能机组水力干扰与相继甩负荷 200
9.1 水力干扰过渡过程 200
9.1.1 水力干扰数学模型 200
9.1.2 水力干扰模拟与分析 205
9.1.3 原型试验验证 214
9.1.4 小结 216
9.2 抽水蓄能机组相继甩负荷 217
9.2.1 数学模型 217
9.2.2 相继甩水击压强上升机理 221
9.2.3 验证与工程措施 223
9.2.4 小结 225
参考文献 226
符号说明 227
第10章 抽水蓄能电站调压室水力设计 231
10.1 基于调节保证控制的抽水蓄能电站调压室设置条件 231
10.1.1 抽水蓄能机组过流特性 231
10.1.2 快速减小段流量变化过程的模拟及流量有效减小时间Ts的推导 232
10.1.3 上游调压室设置条件及工程实例 236
10.1.4 下游调压室设置条件及工程实例 240
10.2 “引水道上下游双调压室”系统的运行稳定性 242
10.2.1 基本方程与波动稳定条件 242
10.2.2 稳定域变化的一般规律 243
10.2.3 稳定断面的设计准则与要点 247
10.3 连接管对“引水道调压室”系统运行稳定性的影响 248
10.3.1 长连接管调压室稳定断面的推导 248
10.3.2 动态调节品质分析 252
参考文献 254
符号说明 256
第11章 抽水蓄能机组过渡过程模型试验 262
11.1 模型试验设计 262
11.1.1 输水管道系统模型相似率 262
11.1.2 调压室模型相似率 264
11.1.3 水泵水轮机模型相似率 265
11.1.4 调速器模型相似率 266
11.1.5 发电机/电动机模型相似率 268
11.1.6 正态模型相似率与变态模型相似率 269
11.2 模型试验装置 270
11.2.1 模型管道与循环水道设计 271
11.2.2 模型抽水蓄能机组 272
11.2.3 电气与控制系统 274
11.2.4 量测系统 275
11.3 模型试验结果 277
11.3.1 水泵水轮机反S特性的动态测试 277
11.3.2 飞逸稳定性试验 278
11.3.3 机组甩负荷试验 280
11.3.4 两台机组相继甩负荷试验 281
11.3.5 导叶关闭规律试验 282
参考文献 283
符号说明 284
第12章 抽水蓄能机组调试试验与反演预测分析 288
12.1 调试试验与反演预测分析的基本要求 288
12.1.1 测试的物理量及相应测点的布置 288
12.1.2 传感器的类型、精度、量程与频率的选取 290
12.1.3 数据采集 292
12.2 反演及预测计算分析 293
12.2.1 反演预测计算所需资料 293
12.2.2 反演计算分析 301
12.2.3 预测计算分析 303
12.3 工程实例分析 305
12.3.1 黑麋峰抽水蓄能电站调试试验结果的时频分析 305
12.3.2 洪屏抽水蓄能电站调试试验反演及预测分析 311
参考文献 319
符号说明 320
第1章 水泵水轮机全特性空间曲面表征与构建 1
1.1 水泵水轮机全特性的表征方式 1
1.1.1 四象限全特性平面表征方式 1
1.1.2 单位参数为纵横坐标的全特性平面表征方式 4
1.1.3 全特性空间曲面的表征方式 4
1.2 全特性NURBS曲面重建与外延理论 5
1.2.1 曲线与曲面的参数表达 5
1.2.2 NURBS基本概念 6
1.2.3 曲面拟合参数优化算法 8
1.2.4 全特性曲面开度内插 12
1.2.5 全特性曲面开度线外延 12
1.3 实例分析 17
1.3.1 重构曲面对原始数据点逼近精度分析 21
1.3.2 重构曲面内插开度线精度分析 23
1.3.3 重构曲面外延开度线精度分析 26
参考文献 29
符号说明 30
第2章 水泵水轮机全特性变化规律 34
2.1 全特性曲线数据库建立 34
2.1.1 水泵水轮机特征参数标准化 34
2.1.2 数据库建立 35
2.2 全特性曲线特征点的变化规律 37
2.2.1 全特性曲线特征点与比转速 37
2.2.2 回归分析基本理论 37
2.2.3 高效点单位参数与比转速的统计性分析 38
2.2.4 坐标交点单位参数与比转速的统计性分析 40
2.3 全特性空间曲面特征交线的变化规律 41
2.3.1 特征交线定义与提取 41
2.3.2 特征交线理论公式推导和理想化处理 44
2.3.3 任意比转速特征交线构造 50
2.3.4 特征交线变化规律 54
参考文献 54
符号说明 55
第3章 任意比转速水泵水轮机全特性曲线构造 59
3.1 全特性多区间的空间变换 60
3.1.1 全特性曲线分区与标准化 60
3.1.2 全特性曲线的空间变换 61
3.2 任意比转速全特性曲线的构造方法 64
3.2.1 四维数据建立与插值 64
3.2.2 全特性曲线的逆变换与构造结果 65
3.2.3 反S曲线处理 67
3.3 基于Java与Matlab混合编程实现全特性曲线的构造 69
3.3.1 Java和Matlab混合编程原理 69
3.3.2 全特性构造系统的设计 69
参考文献 71
符号说明 72
第4章 基于全特性空间曲面过渡过程的数学模型 74
4.1 基于空间曲面的水轮发电机组过渡过程的数学模型 75
4.1.1 有压管道非恒定流方程 75
4.1.2 发电机一阶方程 76
4.1.3 导叶运动方程或调速器方程 76
4.1.4 水轮机特性方程 79
4.2 基于转速偏差函数且给定导叶开度的机组边界条件求解 80
4.2.1 求解流程 80
4.2.2 Ω的单调性及在搜索边界的符号判别 81
4.3 实例分析 86
参考文献 88
符号说明 89
第5章 水泵水轮机反S特性与机组过渡过程 93
5.1 水泵水轮机反S特性形成机理与测量 93
5.1.1 反S特性形成机理 93
5.1.2 反S特性曲线测量 99
5.2 反S特性与飞逸稳定性的内在联系 101
5.2.1 数学模型 101
5.2.2 波动解析分解 102
5.2.3 飞逸稳定性及影响因素 104
5.2.4 模型试验及与数值模拟的对比 107
5.2.5 小结 108
5.3 反S特性与甩负荷水击压强的内在联系 108
5.3.1 数学模型 109
5.3.2 反S区过渡过程特性 111
5.3.3 反S特性与水击压强关联性 112
5.3.4 小结 114
参考文献 114
符号说明 116
第6章 基于反S特性的运行稳定性及调节品质 119
6.1 水泵水轮机调节系统的线性数学模型 119
6.1.1 输水管道子系统的水击模型 119
6.1.2 水轮机模型 123
6.1.3 调速器模型 126
6.1.4 发电机负荷模型 128
6.2 水轮机工作区域的稳定性 129
6.2.1 依据林纳德奇帕特判据的稳定性分析 129
6.2.2 采用非线性数学模型进行稳定性验证及调节品质分析 131
6.3 水泵水轮机空载稳定性 137
6.3.1 空载点的水轮机调节系统数学模型 137
6.3.2 空载工况波动特性分析 139
6.3.3 空载扰动数值仿真 141
参考文献 142
符号说明 143
第7章 水泵水轮机过渡过程中脉动压强的数值模拟 146
7.1 实测压强波动信号的时频和频域分析 147
7.1.1 实测压强波动信号的时域分析 147
7.1.2 实测压强波动信号的频域分析 151
7.2 利用水泵水轮机模型试验脉动压强等值线图的脉动压强的模拟方法 152
7.2.1 脉动压强等值线的分布特点及外延 153
7.2.2 脉动压强等值线的内插算法 154
7.3 实例分析及对过渡过程中脉动压强的几点认识 157
参考文献 164
符号说明 165
第8章 基于反S特性及脉动压强的导叶关闭规律优化 168
8.1 基于反S特性与脉动压强的水轮机甩负荷工况导叶关闭规律优化理论 168
8.1.1 时间步长内水头平方根X的变化规律的理论分析 169
8.1.2 时间步长内工况点移动有向线段的分类及ΔX符号变化 171
8.1.3 机组甩负荷导叶拒动工况轨迹线分区与X变化分析 173
8.1.4 机组甩负荷导叶关闭条件下轨迹线夹角变化对各分区ΔX的影响 174
8.1.5 基于反S特性的导叶关闭规律的优化原则 176
8.2 各种导叶关闭规律的对比分析 183
8.2.1 直线关闭规律与先快后慢的两段折线关闭规律 183
8.2.2 延时+快关及先慢后快两段折线关闭规律、快关+延时+快关的三段折线关闭规律 186
8.2.3 球阀与导叶联动的关闭规律 187
8.2.4 导叶不同步装置及关闭规律 189
8.2.5 水轮机工况各种导叶关闭规律的应用情况 192
8.3 水泵断电工况特点及导叶关闭规律优化 193
8.3.1 水泵工况初始开度的选择 193
8.3.2 水泵断电工况过渡过程的轨迹线与导叶关闭规律的优化 194
8.3.3 水泵断电工况导叶关闭规律的应用情况 196
参考文献 196
符号说明 197
第9章 抽水蓄能机组水力干扰与相继甩负荷 200
9.1 水力干扰过渡过程 200
9.1.1 水力干扰数学模型 200
9.1.2 水力干扰模拟与分析 205
9.1.3 原型试验验证 214
9.1.4 小结 216
9.2 抽水蓄能机组相继甩负荷 217
9.2.1 数学模型 217
9.2.2 相继甩水击压强上升机理 221
9.2.3 验证与工程措施 223
9.2.4 小结 225
参考文献 226
符号说明 227
第10章 抽水蓄能电站调压室水力设计 231
10.1 基于调节保证控制的抽水蓄能电站调压室设置条件 231
10.1.1 抽水蓄能机组过流特性 231
10.1.2 快速减小段流量变化过程的模拟及流量有效减小时间Ts的推导 232
10.1.3 上游调压室设置条件及工程实例 236
10.1.4 下游调压室设置条件及工程实例 240
10.2 “引水道上下游双调压室”系统的运行稳定性 242
10.2.1 基本方程与波动稳定条件 242
10.2.2 稳定域变化的一般规律 243
10.2.3 稳定断面的设计准则与要点 247
10.3 连接管对“引水道调压室”系统运行稳定性的影响 248
10.3.1 长连接管调压室稳定断面的推导 248
10.3.2 动态调节品质分析 252
参考文献 254
符号说明 256
第11章 抽水蓄能机组过渡过程模型试验 262
11.1 模型试验设计 262
11.1.1 输水管道系统模型相似率 262
11.1.2 调压室模型相似率 264
11.1.3 水泵水轮机模型相似率 265
11.1.4 调速器模型相似率 266
11.1.5 发电机/电动机模型相似率 268
11.1.6 正态模型相似率与变态模型相似率 269
11.2 模型试验装置 270
11.2.1 模型管道与循环水道设计 271
11.2.2 模型抽水蓄能机组 272
11.2.3 电气与控制系统 274
11.2.4 量测系统 275
11.3 模型试验结果 277
11.3.1 水泵水轮机反S特性的动态测试 277
11.3.2 飞逸稳定性试验 278
11.3.3 机组甩负荷试验 280
11.3.4 两台机组相继甩负荷试验 281
11.3.5 导叶关闭规律试验 282
参考文献 283
符号说明 284
第12章 抽水蓄能机组调试试验与反演预测分析 288
12.1 调试试验与反演预测分析的基本要求 288
12.1.1 测试的物理量及相应测点的布置 288
12.1.2 传感器的类型、精度、量程与频率的选取 290
12.1.3 数据采集 292
12.2 反演及预测计算分析 293
12.2.1 反演预测计算所需资料 293
12.2.2 反演计算分析 301
12.2.3 预测计算分析 303
12.3 工程实例分析 305
12.3.1 黑麋峰抽水蓄能电站调试试验结果的时频分析 305
12.3.2 洪屏抽水蓄能电站调试试验反演及预测分析 311
参考文献 319
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第1章 水泵水轮机全特性空间曲面表征与构建
水泵水轮机全特性通常由转轮模型实验获得，该全特性曲线在抽水蓄能电站设计和运行中起着关键性的作用，尤其在过渡过程中。例如，水泵断电工况，在失去动力之后，管道中水流在其自重的作用下迅速减速，出现反向流动，从水泵工况区跨越到水泵制动工况区；若导叶关闭较慢或者拒动，则转轮在反向水流作用下，机组转速逐渐下降至零，并向相反的方向转动，此时水流方向和机组转动方向均与水轮机工况相同，即进入了水轮机工况区。若导叶拒动，则机组转速达到飞逸点，进入水轮机制动工况区，甚至进入反水泵工况区。上述整个过程经历了水泵工况区、水泵制动工况区、水轮机工况区、水轮机制动工况区与反水泵工况区5个区域。为了正确方便地研究水泵水轮机全特性对水泵水轮机转轮水力设计、抽水蓄能电站输水系统设计、调节保证设计、机组运行（机组启动、工况转换、过渡过程等）的作用，有必要对水泵水轮机全特性进行精细化的数值处理与表达。为此，本章首先对传统的水泵水轮机全特性表征方式予以介绍，指出其问题所在；其次提出水泵水轮机全特性空间曲面的表征方式及曲面构建、内插、外延的理论与方法；*后通过水泵水轮机全特性实例，讨论重构曲面的精度。
1.1 水泵水轮机全特性的表征方式
1.1.1 四象限全特性平面表征方式
20世纪30年代，苏联的沙波夫将水力机械全特性实验得到的各种工作状态下的特性综合地用一簇射线来表示，即称为水力机械的全特性。它是在固定水轮机转轮直径D1和导叶开度α的前提下，以横坐标表示流量，纵坐标表示转速，在坐标平面上划分水力机械不同的工作状态区域。图1.1即为该表征方式下的反击式水力机械四象限特性图。
图1.1 反击式水力机械四象限特性[1]
图1.1根据流量Q、转速n、水头H与力矩M（或者效率η）的正、负、零，将水力机械的工作状态划分为8个区域，按顺序用罗马数字I~VIII表示，其中I为正向水轮机工况区；V为反向水轮机工况区；VII为正向水泵工况区；III为反向水泵工况区；II、IV、VI、VIII均为制动工况区。制动工况区总是介于水轮机和水泵工况区之间，是它们的过渡工况。各区域水力机械的工作参数的变化汇总于表1.1。
装有可逆式水泵水轮机的抽水蓄能机组，其正常工况处于I区和VII区；但对于过渡过程，如水泵断电，机组有可能经过VII、VIII、I、II及III 5个区域。
表1.1 四象限每个工况区域的工作参数和每条分界线的特征
注：沿水流流动方向，将流进水力机械的水流单位能量定义为进口处水流能量Ein，流出水力机械的水流单位能量定义为出口处水流能量Eout
图1.2给出了混流式水力机械的四象限特性。该图中实线表示水头，虚线表示力矩，清晰地显示了反击式水力机械四象限八工况区域的全特性。但一张图只能表示固定直径与导叶开度(若转桨式水轮机，桨叶转角也是固定的)下的参数与特性之间的变化规律。若直径与开度是变化的，则应用起来就很不方便。因此，采用以单位转速n′1和单位流量Q′1为纵横坐标的综合特性曲线形式来描述反击式水力机械全特性变化规律是更为合适的。
图1.2 混流式水力机械的四象限特性[1]
1.1.2 单位参数为纵横坐标的全特性平面表征方式
水泵水轮机通常分别采用Q′1~n′1和M′1~n′1为纵横坐标，以导叶开度α为参变量来描述其流量特性曲线和力矩特性曲线，即水泵水轮机全特性曲线，如图1.3所示。
图1.3 水泵水轮机全特性曲线[2]
抽水蓄能电站有着固定的上、下游水位关系，所以工况点变动范围在水泵水轮机全特性曲线中只占据5个工况区域。对于流量全特性曲线，在**象限中以M′1=0为界，分为水轮机工况区和水轮机制动工况区，第二象限为水泵制动工况区，第三象限为水泵工况区，第四象限为反水泵工况区；对于力矩全特性曲线，**象限为正向水轮机工况区，第二象限以Q′1=0为界，分为水泵制动工况区和水泵工况区，第四象限以Q′1=0为界，分为水轮机制动工况区和反水泵工况区。
由图1.3可知，水泵水轮机流量特性和力矩特性随导叶开度、单位转速呈强烈的非线性变化，尤其在水泵工况区、水泵制动工况区之间，以及在水轮机工况区、水轮机制动工况区及反水泵工况区之间均出现了开度线交叉、聚集、扭卷等现象，并且曲线在这两个区间范围内呈反“S”形，即出现了对应于同一开度α和单位转速n′1，有着两个不同的单位流量Q′1或单位力矩M′1的多值现象。这两个区间范围分别被称为全特性曲线的驼峰区和反S区，它们是造成机组启动并网困难、功率频率调节难以满足要求、过渡过程中脉动压强巨大和水力振动异常剧烈等问题的根源所在。然而传统的平面曲线表达方式无法研究和破解全特性开度线交叉、聚集、扭卷等强烈非线性现象，而且由于插值的误差，由导叶开度和单位转速n′1分别建立计算式求得的单位流量Q′1和单位力矩M′1，有可能并没有完全对应于同一工况点。因此，多值的问题与对应的问题有可能导致迭代计算无法收敛，继而造成数值计算结果的异常波动。
1.1.3 全特性空间曲面的表征方式
由于水泵水轮机全特性可以表示为上述4个参数连续变化的非线性函数，因此可将水泵水轮机全特性表征为空间坐标系On′1Q′1M′1下以开度α为参变量的空间曲面。在微分几何的计算机辅助几何设计（computer aided geometric design，CAGD）[3]中，描述空间曲线曲面的数学模型不胜枚举，具有代表意义的如弗格森(Ferguson)参数曲线曲面、孔斯(Coons)双三次样条曲面、贝齐尔(Bézier)曲线曲面、B样条曲线曲面、非均匀有理B样条曲线曲面等。无论采用哪种数学模型来表达，其都采用参数曲面的表示法，且曲面的表达式均为基函数与系数矢量乘积再求和的形式。该表达方式可有效地解决上述全特性传统处理方法中存在的两个问题：①参数方程表示的曲线曲面很容易处理多值问题，只要参数选取得当，多值的问题将不复存在；②基函数决定了曲线曲面的基本性质，系数矢量的三个分量表达了空间点的三个坐标，而且同一点三个坐标分量的基函数相同，于是有助于解决对应的问题。另外，由于非均匀有理B样条[4]（non-uniform rational B-spline，NURBS）是用于曲线曲面描述的*广为流行的数学方法，因此本章选择NURBS曲线曲面作为水泵水轮机全特性空间曲线曲面的数学模型。
1.2 全特性NURBS曲面重建与外延理论
1.2.1 曲线与曲面的参数表达
曲线与曲面的表达方法可分为参数表达与非参数表达两种。非参数表达方法又分为显式与隐式两种。
对于一平面曲线，式(1.1)和式(1.2)均为其直角坐标下非参数表达方法，其中，式(1.1)为显式方程，式(1.2)为隐式方程。
(1.1)
(1.2)
但是，所有非参数方程（无论显式还是隐式）均存在以下问题[5]：①与坐标轴相关；②不易处理无穷大斜率；③对于空间曲线、曲面难以用常系数的非参数化函数表示；④不易处理多值问题；⑤不易计算曲线、曲面上的点及其他信息，如采用隐式方程表达时，计算曲线或曲面上一点需求解一个非线性方程组；⑥不便于曲线、曲面的分段、分片描述；⑦不易于解决高维问题等。而参数方程表达的曲线曲面，就能够解决上述问题。
在参数表达方法中，空间曲线上的一点p的3个坐标都可写成某个独立参数u的标量函数，即
(1.3)
式(1.3)还有另一种表达方法[5]，即
(1.4)
式(1.4)的左边为该点位置矢量，右边表示p是参数u的矢函数。如果用基函数形式来表达曲线，则有
(1.5)
式中，为基函数，决定了曲线的整体性质；称为系数矢量。
曲面表达方法与曲线类似，它通常被表示成双参数u和v的矢函数[5]：
(1.6)
相应地以基函数形式来表达曲面，则有
(1.7)
式中，m是以u为变量的一组基函数；n是以v为变量的另一组基函数，两者均用于定义曲线，各取其一组成的乘积，即得到用于定义曲面的以u和v为双变量的一组基函数为系数矢量。空间曲面与参数平面的映射关系如图1.4所示。
图1.4 空间曲面与参数平面的映射关系
1.2.2 NURBS基本概念
1. NURBS定义
对于给定的一组非降实数序列（该序列也称为节点矢量），第i个k+1阶（或者k度）B样条基函数可根据公式按如下定义[4]：
(1.8)
式中，0≤i≤p，且
(1.9)
由于当时，因此区间也称为的支撑。样条的这个局部支撑性质可用来简化B样条拟合中的计算。在很多实际应用中，节点向量是非均匀的。换句话说，每个节点ti可能不止出现一次，*常用的非均匀节点矢量是：将两个端点节点重复B样条阶数的次数，并且将这些节点值正规到[0，1]区间，也就是说，由于曲线重建为曲面重建的特例，为了不失一般性，在此仅介绍曲面重建相关的一些概念。
给定一组三维控制点，相应的权重q以及两个节点向量阶NURBS参数曲面可定义如下[4]：
水泵水轮机全特性通常由转轮模型实验获得，该全特性曲线在抽水蓄能电站设计和运行中起着关键性的作用，尤其在过渡过程中。例如，水泵断电工况，在失去动力之后，管道中水流在其自重的作用下迅速减速，出现反向流动，从水泵工况区跨越到水泵制动工况区；若导叶关闭较慢或者拒动，则转轮在反向水流作用下，机组转速逐渐下降至零，并向相反的方向转动，此时水流方向和机组转动方向均与水轮机工况相同，即进入了水轮机工况区。若导叶拒动，则机组转速达到飞逸点，进入水轮机制动工况区，甚至进入反水泵工况区。上述整个过程经历了水泵工况区、水泵制动工况区、水轮机工况区、水轮机制动工况区与反水泵工况区5个区域。为了正确方便地研究水泵水轮机全特性对水泵水轮机转轮水力设计、抽水蓄能电站输水系统设计、调节保证设计、机组运行（机组启动、工况转换、过渡过程等）的作用，有必要对水泵水轮机全特性进行精细化的数值处理与表达。为此，本章首先对传统的水泵水轮机全特性表征方式予以介绍，指出其问题所在；其次提出水泵水轮机全特性空间曲面的表征方式及曲面构建、内插、外延的理论与方法；*后通过水泵水轮机全特性实例，讨论重构曲面的精度。
1.1 水泵水轮机全特性的表征方式
1.1.1 四象限全特性平面表征方式
20世纪30年代，苏联的沙波夫将水力机械全特性实验得到的各种工作状态下的特性综合地用一簇射线来表示，即称为水力机械的全特性。它是在固定水轮机转轮直径D1和导叶开度α的前提下，以横坐标表示流量，纵坐标表示转速，在坐标平面上划分水力机械不同的工作状态区域。图1.1即为该表征方式下的反击式水力机械四象限特性图。
图1.1 反击式水力机械四象限特性[1]
图1.1根据流量Q、转速n、水头H与力矩M（或者效率η）的正、负、零，将水力机械的工作状态划分为8个区域，按顺序用罗马数字I~VIII表示，其中I为正向水轮机工况区；V为反向水轮机工况区；VII为正向水泵工况区；III为反向水泵工况区；II、IV、VI、VIII均为制动工况区。制动工况区总是介于水轮机和水泵工况区之间，是它们的过渡工况。各区域水力机械的工作参数的变化汇总于表1.1。
装有可逆式水泵水轮机的抽水蓄能机组，其正常工况处于I区和VII区；但对于过渡过程，如水泵断电，机组有可能经过VII、VIII、I、II及III 5个区域。
表1.1 四象限每个工况区域的工作参数和每条分界线的特征
注：沿水流流动方向，将流进水力机械的水流单位能量定义为进口处水流能量Ein，流出水力机械的水流单位能量定义为出口处水流能量Eout
图1.2给出了混流式水力机械的四象限特性。该图中实线表示水头，虚线表示力矩，清晰地显示了反击式水力机械四象限八工况区域的全特性。但一张图只能表示固定直径与导叶开度(若转桨式水轮机，桨叶转角也是固定的)下的参数与特性之间的变化规律。若直径与开度是变化的，则应用起来就很不方便。因此，采用以单位转速n′1和单位流量Q′1为纵横坐标的综合特性曲线形式来描述反击式水力机械全特性变化规律是更为合适的。
图1.2 混流式水力机械的四象限特性[1]
1.1.2 单位参数为纵横坐标的全特性平面表征方式
水泵水轮机通常分别采用Q′1~n′1和M′1~n′1为纵横坐标，以导叶开度α为参变量来描述其流量特性曲线和力矩特性曲线，即水泵水轮机全特性曲线，如图1.3所示。
图1.3 水泵水轮机全特性曲线[2]
抽水蓄能电站有着固定的上、下游水位关系，所以工况点变动范围在水泵水轮机全特性曲线中只占据5个工况区域。对于流量全特性曲线，在**象限中以M′1=0为界，分为水轮机工况区和水轮机制动工况区，第二象限为水泵制动工况区，第三象限为水泵工况区，第四象限为反水泵工况区；对于力矩全特性曲线，**象限为正向水轮机工况区，第二象限以Q′1=0为界，分为水泵制动工况区和水泵工况区，第四象限以Q′1=0为界，分为水轮机制动工况区和反水泵工况区。
由图1.3可知，水泵水轮机流量特性和力矩特性随导叶开度、单位转速呈强烈的非线性变化，尤其在水泵工况区、水泵制动工况区之间，以及在水轮机工况区、水轮机制动工况区及反水泵工况区之间均出现了开度线交叉、聚集、扭卷等现象，并且曲线在这两个区间范围内呈反“S”形，即出现了对应于同一开度α和单位转速n′1，有着两个不同的单位流量Q′1或单位力矩M′1的多值现象。这两个区间范围分别被称为全特性曲线的驼峰区和反S区，它们是造成机组启动并网困难、功率频率调节难以满足要求、过渡过程中脉动压强巨大和水力振动异常剧烈等问题的根源所在。然而传统的平面曲线表达方式无法研究和破解全特性开度线交叉、聚集、扭卷等强烈非线性现象，而且由于插值的误差，由导叶开度和单位转速n′1分别建立计算式求得的单位流量Q′1和单位力矩M′1，有可能并没有完全对应于同一工况点。因此，多值的问题与对应的问题有可能导致迭代计算无法收敛，继而造成数值计算结果的异常波动。
1.1.3 全特性空间曲面的表征方式
由于水泵水轮机全特性可以表示为上述4个参数连续变化的非线性函数，因此可将水泵水轮机全特性表征为空间坐标系On′1Q′1M′1下以开度α为参变量的空间曲面。在微分几何的计算机辅助几何设计（computer aided geometric design，CAGD）[3]中，描述空间曲线曲面的数学模型不胜枚举，具有代表意义的如弗格森(Ferguson)参数曲线曲面、孔斯(Coons)双三次样条曲面、贝齐尔(Bézier)曲线曲面、B样条曲线曲面、非均匀有理B样条曲线曲面等。无论采用哪种数学模型来表达，其都采用参数曲面的表示法，且曲面的表达式均为基函数与系数矢量乘积再求和的形式。该表达方式可有效地解决上述全特性传统处理方法中存在的两个问题：①参数方程表示的曲线曲面很容易处理多值问题，只要参数选取得当，多值的问题将不复存在；②基函数决定了曲线曲面的基本性质，系数矢量的三个分量表达了空间点的三个坐标，而且同一点三个坐标分量的基函数相同，于是有助于解决对应的问题。另外，由于非均匀有理B样条[4]（non-uniform rational B-spline，NURBS）是用于曲线曲面描述的*广为流行的数学方法，因此本章选择NURBS曲线曲面作为水泵水轮机全特性空间曲线曲面的数学模型。
1.2 全特性NURBS曲面重建与外延理论
1.2.1 曲线与曲面的参数表达
曲线与曲面的表达方法可分为参数表达与非参数表达两种。非参数表达方法又分为显式与隐式两种。
对于一平面曲线，式(1.1)和式(1.2)均为其直角坐标下非参数表达方法，其中，式(1.1)为显式方程，式(1.2)为隐式方程。
(1.1)
(1.2)
但是，所有非参数方程（无论显式还是隐式）均存在以下问题[5]：①与坐标轴相关；②不易处理无穷大斜率；③对于空间曲线、曲面难以用常系数的非参数化函数表示；④不易处理多值问题；⑤不易计算曲线、曲面上的点及其他信息，如采用隐式方程表达时，计算曲线或曲面上一点需求解一个非线性方程组；⑥不便于曲线、曲面的分段、分片描述；⑦不易于解决高维问题等。而参数方程表达的曲线曲面，就能够解决上述问题。
在参数表达方法中，空间曲线上的一点p的3个坐标都可写成某个独立参数u的标量函数，即
(1.3)
式(1.3)还有另一种表达方法[5]，即
(1.4)
式(1.4)的左边为该点位置矢量，右边表示p是参数u的矢函数。如果用基函数形式来表达曲线，则有
(1.5)
式中，为基函数，决定了曲线的整体性质；称为系数矢量。
曲面表达方法与曲线类似，它通常被表示成双参数u和v的矢函数[5]：
(1.6)
相应地以基函数形式来表达曲面，则有
(1.7)
式中，m是以u为变量的一组基函数；n是以v为变量的另一组基函数，两者均用于定义曲线，各取其一组成的乘积，即得到用于定义曲面的以u和v为双变量的一组基函数为系数矢量。空间曲面与参数平面的映射关系如图1.4所示。
图1.4 空间曲面与参数平面的映射关系
1.2.2 NURBS基本概念
1. NURBS定义
对于给定的一组非降实数序列（该序列也称为节点矢量），第i个k+1阶（或者k度）B样条基函数可根据公式按如下定义[4]：
(1.8)
式中，0≤i≤p，且
(1.9)
由于当时，因此区间也称为的支撑。样条的这个局部支撑性质可用来简化B样条拟合中的计算。在很多实际应用中，节点向量是非均匀的。换句话说，每个节点ti可能不止出现一次，*常用的非均匀节点矢量是：将两个端点节点重复B样条阶数的次数，并且将这些节点值正规到[0，1]区间，也就是说，由于曲线重建为曲面重建的特例，为了不失一般性，在此仅介绍曲面重建相关的一些概念。
给定一组三维控制点，相应的权重q以及两个节点向量阶NURBS参数曲面可定义如下[4]：
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