数字信号处理基础教程

《数字信号处理基础教程》着重基本概念、基本原理的阐述及各概念之间的相互联系。既重视原理、概念和算法的讲解，保持课程知识体系的完整性和系统性，又重视算法实现和实践。本书图文并茂在介绍这些理论的同时将MATLAB引入其中，以工程实际为背景，深入详尽分析各种实例，使学生尽快掌握数字信号处理的精髓，掌握数字信号处理系统的设计与开发。并能提供完整的MATLAB程序。本书条理清楚，论述深入浅出，有较多的例题，便于自学。 

《数字信号处理基础教程》系统地讨论了数字信号处理的基础理论、基本概念、基本分析方法、算法、设计。全书共7章，包括三部分内容。*部分是离散时间信号（序列）与系统的基本概念、模拟信号用数字信号处理的原理方法、时域、频域（z变换）的分析方法，包括第1、2章的内容；第二部分为数字谱分析、离散傅里叶变换及其快速算法，包括第3、4章的内容；第三部分为各种IIR及FIR数字滤波器的基本概念、理论、结构与设计方法，这包括第5、6、7章；《数字信号处理基础教程》可作为大学本专科院校通信工程、电子信息工程、信息工程等专业的教材，也可供从事这些专业及相近专业数字信号处理的科学研究工作者和工程技术人员作为参考书。

目录

绪论

第1章离散时间信号与系统

1.1引言

1.2模拟信号转换成数字信号方法

1.2.1理想采样

1.2.2采样定理

1.2.3重构带限模拟信号

1.3离散时间信号——序列

1.3.1离散时间信号及其表示

1.3.2常用典型序列

1.3.3序列的周期性

1.3.4序列的运算

1.3.5序列的能量

1.3.6用单位脉冲序列表示任意序列

1.3.7序列的卷积

1.4离散时间系统

1.4.1线性系统

1.4.2时不变系统

1.4.3系统的因果性

1.4.4系统的稳定性

1.4.5常系数线性差分方程

1.4.6线性时不变系统的输入输出关系

1.4.7线性时不变系统的性质

1.5MATLAB应用实例

【本章习题】

第2章Z变换与序列傅里叶变换

2.1序列的Z变换

2.2序列傅里叶变换

2.3拉普拉斯变换、Z变换、傅里叶变换的关系

2.4离散时间系统的频域分析

2.5MATLAB应用实例

【本章习题】

第3章离散傅里叶变换

3.1引言

3.2周期序列的离散傅里叶级数

3.2.1离散傅里叶级数定义

3.2.2离散傅里叶级数的性质

3.3有限长序列离散傅里叶变换

3.3.1离散傅里叶变换定义

3.3.2DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系

3.4离散傅里叶变换的性质

3.5频域采样理论

3.6MATLAB应用实例

【本章习题】

第4章快速傅里叶变换

4.1直接计算DFT的运算量和减少运算量的途径

4.2基2FFT算法

4.2.1时域抽取法基2FFT(DITFFT)基本原理

4.2.2DITFFT算法与直接计算DFT运算量的比较

4.2.3DITFFT的运算规律及编程思想

4.2.4按时间抽取的FFT算法的其他形式流图

4.3频域抽取法基2FFT(DIFFFT)基本原理

4.3.1算法原理

4.3.2DITFFT与DIFFFT的异同

4.3.3IDFT的高效算法及编程考虑

4.4利用FFT分析时域连续信号频谱

4.4.1基本步骤

4.4.2可能出现的误差

4.5MATLAB应用实例

【本章习题】

第5章数字滤波器基本结构及状态变量分析法

5.1引言

5.2用信号流图表示网络结构

5.3无限长单位冲激响应滤波器的基本结构

5.3.1直接型

5.3.2级联型

5.3.3并联型

5.4有限长单位冲激响应滤波器的基本结构

5.4.1直接型

5.4.2级联型

5.4.3频率采样型

5.5状态变量分析法

5.5.1由信号流图建立状态方程

5.5.2由系统函数建立状态方程

5.5.3由状态变量分析法转换到输入输出分析法

5.6MATLAB应用实例

【本章习题】

第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计

6.1滤波器基本概念

6.2模拟滤波器设计

6.2.1巴特沃斯型模拟低通滤波器的设计方法

6.2.2模拟高通、带通和带阻滤波器设计

6.3脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器

6.3.1变换原理

6.3.2变换方法

6.3.3脉冲响应不变法的优缺点

6.4用双线性变换法设计IIR数字滤波器

6.4.1变换原理

6.4.2双线性变换法设计数字滤波器的步骤

6.4.3数字角频率和模拟角频率之间的关系

6.4.4双线性变换法特点

6.5MATLAB应用实例

【本章习题】

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计

7.1线性相位FIR数字滤波器的性质

7.1.1FIR滤波器

7.1.2线性相位FIR滤波器特性

7.1.3线性相位FIR数字滤波器的幅度特点

7.1.4线性相位FIR数字滤波器零点分布特点

7.2用窗函数法设计FIR滤波器

7.2.1设计思路

7.2.2设计原理

7.2.3典型窗函数

7.2.4用窗函数法设计FIR滤波器方法

7.3频率取样设计法

7.3.1设计思路与原理

7.3.2线性相位的约束

7.3.3设计步骤

7.3.4FIR滤波器和IIR滤波器的比较

7.4MATLAB应用实例

【本章习题】

附录A各章习题详细解答

参考文献

前言
随着信息、通信、计算机科学与技术的迅速发展，数字信号处理的理论得到快速发展，其应用领域也日益广泛，“数字信号处理”已快速成长为一个主要的学科领域，成为各大专院校相关专业的一门重要专业基础必修课程，其课程的学科内容也在不断充实和完善，从而推动教材内容也随之进行修改、充实和更新。
本书具有如下主要特点：
（1） 强调基础，内容包括数字信号与系统； 离散傅里叶变换及快速算法(数字谱分析)； 滤波器理论与设计（IIR、FIR）三大块。现在许多高校限于学时等因素也只讲这些内容，而目前许多数字信号处理教材内容不断增加，如小波变换、数字信号处理中的有限字长效应、线性预测和最优线性滤波器、自适应滤波器及功率谱估计等。这些内容往往成了“摆设”，当然并不是说不应该有这些新知识，只是大部分普通高校没有讲授。
（2） 本书的习题也进行了有针对性的设计，包括填空题、选择题、计算题及综合题，同时大部分习题给出了详细答案。这些习题都非常有启迪意义，能够帮助读者更好地理解数字信号处理的相关内容。以往教材每章都给出大量习题，在附录中给出答案，但这些答案非常简单，有的还省略了，同时配套出版习题解答书籍，可能是考虑让学生自己来思考，但对互联网如此发达的今天，这样只会增加障碍与不便。
（3） 本书中各章末都拿出一节增加MATLAB应用实例，并给出完整程序，有助于学生理解和掌握数字信号处理的基本理论和基本实现方法。
（4） 本书虽强调基础，但知识能全面、深入地阐述近年来数字信号处理领域的新技术和新成果； 图文并茂，能用图形说明的不用文字阐述； 结合典型实例进行分析，实用性、实践性强，理论联系实际，侧重实用，使学生在实践中掌握数字信号处理的基本概念、基本方法和基本应用。
本书由陈纯锴进行规划、组织和统编，天津工业大学电子与信息工程学院数字信号处理课程组老师均参与编写，陈纯锴编写了绪论、第6、7章及第1、5章部分内容，第4章由龙帮强老师完成，第1章部分内容由徐妮妮老师完成，第2章由王少娜老师完成，第3章由关雪梅老师完成，第5章部分内容由王雯老师完成。全书由陈纯锴统稿。澳大利亚Wollongong大学的J. Tong教授与天津工业大学的吴涛老师提出了建议与意见，在此表示感谢！
在本书的编写过程中，我们参阅了大量文献，在此对本书末列出的参考文献以及书中未能提及资料来源的文献的作者表示诚挚的感谢。另外还要感谢清华大学出版社的赵凯编辑及其他工作人员，他们在本书的出版过程中给予了大力支持与帮助。由于编者水平有限，疏漏和不当之处在所难免，敬请读者批评指正。本教材配有完整课件，联系人： 陈纯锴，Email: [email protected]。
编者2018年5月

第5章
CHAPTER 5

数字滤波器基本结构

及状态变量分析法

数字信号处理的目的之一，是设计某种设备或建立某种算法分析处理序列，使序列具有某些确定的性质，这种设备或是算法结构就是数字滤波器。与FFT一样，网络结构是数字滤波器设计中的一个非常重要内容，也是数字信号处理的重要内容。因为数字滤波器的稳定性、运算速度以及系统的成本和体积等许多重要性能都取决于其网络结构。本章的主要内容就是理解数字滤波器结构的表示方法； 无限长脉冲响应(IIR)基本网络结构，掌握IIR滤波器的直接型、级联型和并联型结构； 有限长脉冲响应(FIR)基本网络结构，掌握FIR滤波器的直接型、级联型、频率采样型结构； 最后，阐述了滤波器网络结构的状态变量分析方法。
5.1引言
1. 描述数字滤波器的方法
一般，数字滤波器可以采用下面4种方法描述。
(1) 系统单位脉冲响应h(n)(系统的时域特性)。
(2) 系统频率响应(变换域特性)：
H(ejω)=∑∞n=－∞h(n)·e－jωn，Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)(51)

(3) 系统函数H(z)(变换域特性)：
H(z)=∑∞n=－∞h(n)·z－n(52)
(4) 差分方程(输入输出序列间的关系)：
y(n)=∑Mi=0bix(n－i)－∑Ni=1aiy(n－i)(53)
2. 实现方法
硬件实现： 根据描述数字滤波器的数学模型或信号流图，用数字硬件设计成一台专门的设备，构成专用的信号处理机。
软件实现： 直接利用通用计算机，将所需要的运算编成程序让计算机执行。
为了用计算机或专用硬件完成对输入信号的处理(运算)，必须把式(52)或者式(53)变换成一种算法，按照这种算法对输入信号进行运算。其实，式(53)就是对输入信号的一种直接算法，如果已知输入信号x(n)以及ai、bi和n时刻以前的y(n－i)，则可以递推出y(n)值。但给定一个差分方程，不同的算法有多种，例如：
H(z)=11－3z－1 2z－2=21－2z－1－11－z－1=11－2z－1·11－z－1(54)
不同的算法将直接影响系统运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成本等，因此研究实现信号处理的算法是一个很重要的问题。我们用网络结构表示具体的算法，因此网络结构实际表示的是一种运算结构。本章是第6、7章数字滤波器设计的必要基础。在介绍数字系统的基本网络结构之前，先介绍网络结构的表示方法。
5.2用信号流图表示网络结构
观察式(53)可知，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟。三种基本运算框图及其流图如图51所示。

图51三种基本运算的流图表示

例如,二阶数字滤波器为
y(n)=a1y(n－1) a2y(n－2) b0x(n)

其方框图及信号流图结构如图52所示。

图52二阶网络方框图及信号流图

图52（b）中，1、2、3、4、5为网络节点。x(n)： 输入节点或源节点(没有输入支路)，y(n)： 输出节点或阱节点(没有输出支路)。节点之间用有向支路连接，每个节点可以有几条输入支路和几条输出支路，任意节点的节点值等于它所有输入支路的信号和。而输入支路的信号值等于这一支路起点处节点信号值乘以支路上的传输系数。如果支路上不标传输系数值，则认为其传输系数为1。节点2处的节点值可以用w2(n)表示，其他节点类似，则有如下方程组：
w2(n)=y(n)=w1(n)
w3(n)=w2(n－1)=y(n－1)
w4(n)=w3(n－1)=y(n－2)
w5(n)=a1w3 a2w4=a1y(n－1) a2y(n－2)
w1(n)=b0x(n) w5(n)=b0x(n) a1y(n－1) a2y(n－2)

不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数，可以有很多种信号流图与其对应。从基本运算考虑，满足以下三个条件，称为基本信号流图(Primitive Signal Flow Graghs)。
(1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1。
(2) 流图环路中必须存在延时支路。
(3) 节点和支路的数目是有限的。
从该例中可以看出，用信号流图表示系统的运算情况(网络结构)是比较简明的。以下我们均用信号流图表示网络结构。一般将网络结构分成两类，一类称为有限长单位脉冲响应(Finite Impulse Response，FIR)网络，另一类称为无限长单位脉冲响应(Infinite Impulse Response，IIR)网络。FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程为
y(n)=∑Mi=0bix(n－i)(55)

其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照式(55)，则
h(n)=bn,0≤n≤M
0,其他
系统函数为
H(z)=∑Mn=0bnz－n
另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在反馈环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的：
y(n)=∑Mi=0bix(n－i)－∑Ni=1aiy(n－i)
系统函数为
H(z)=∑Mi=0biz－i1 ∑Ni=1aiz－i(56)
例如，一个简单的一阶IIR网络的差分方程为
y(n)=ay(n－1) x(n)
其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。
综上所述，这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述其网络结构。
5.3无限长单位冲激响应滤波器的基本结构
无限长单位冲激响应(IIR)特点包括： ①系统的单位冲激响应h(n)是无限长的； ②系统函数H(z)在有限Z平面上有极点存在； ③结构上存在输出到输入的反馈，即结构是递归的。其基本结构有： 直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、级联型和并联型。
5.3.1直接型
1. 直接Ⅰ型

系统输入输出关系的N阶差分方程为
y(n)=∑Mi=0bix(n－i)－∑Ni=1aiy(n－i)

对应的系统函数为
H(z)=N(z)·1D(z)=∑Mi=0biz－i·11 ∑Ni=1aiz－i=H1(z)·H2(z)(57)
直接Ⅰ型IIR滤波器结构如图53所示。

图53直接Ⅰ型IIR滤波器结构