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开 本: 16开包 装: 平装胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787030554543
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微分方程,教材
内容简介
《微分方程》是在云南财经大学多次使用的微分方程讲义的基础上整理而成的。《微分方程》内容包括微分方程模型，常微分方程的基本概念，初等积分法，一阶常微分方程组，高阶线性常微分方程，偏微分方程的概念，线性偏微分方程的Adomian分解法，特征线法、达朗贝尔公式和分离变量法，布莱克-斯科尔斯方程，非线性偏微分方程的Adomian分解法，变分迭代法简介等。
目 录
目录
前言
第0章 微分方程模型 1
0.1 经济学中的微分方程 1
0.1.1 多马增长模型 1
0.1.2 微观动态市场模型 3
0.1.3 具有价格预期的市场模型 4
0.1.4 通货膨胀与失业相互作用模型 5
0.1.5 国民经济增长模型 7
0.1.6 广告模型 9
0.2 人口与生态学中的微分方程 11
0.2.1 人口模型——单一群体模型 11
0.2.2 两种群相互作用模型 17
0.3 军事科学中的微分方程 22
0.4 日常生活中的微分方程 27
0.4.1 减肥的数学模型 27
0.4.2 汤冷却的数学模型 29
0.4.3 宣传运动的效果 30
0.4.4 跳伞运动员为什么能安全着地 32
0.5 数学物理中的经典微分方程 33
0.5.1 波动方程 33
0.5.2 热传导方程 35
0.5.3 拉普拉斯方程和泊松方程 36
0.6 期权的布莱克-斯科尔斯方程 37
0.6.1 股票与期权 37
0.6.2 伊藤微分法则 38
0.6.3 投资组合的无套利原则 39
0.6.4 用偏微分方程分析期权定价理论 41
0.7 交通流的数学模型 41
0.8 *速降线问题与追线问题 44
0.8.1 *速降线问题 44
0.8.2 追线问题 47
0.9 医学科学中的微分方程 50
0.9.1 传染病模型 50
0.9.2 药物在体内的分布 54
第1章 常微分方程的基本概念 58
第2章 初等积分法 66
2.1 可分离变量方程 66
2.1.1 可分离变量方程及其解法 66
2.1.2 **类可化成可分离变量的方程：齐次方程 72
2.1.3 第二类可化成可分离变量的方程 74
2.2 一阶线性方程 78
2.2.1 一阶线性方程及其解法 78
2.2.2 伯努利方程 84
2.2.3 里卡蒂方程 86
2.3 全微分方程积分因子 88
2.3.1 全微分方程 88
2.3.2 积分因子 92
2.4 一阶隐式方程 99
2.5 某些可降阶的方程 107
2.5.1 y（n）=f（x）型微分方程 107
2.5.2 y=f（x，y）型微分方程 107
2.5.3 y=f（y，y）型微分方程 109
2.5.4 恰当导数方程 109
2.6 初值问题解的存在**性定理、奇解、包络 113
2.6.1 解的存在**性定理 113
2.6.2 奇解 115
2.6.3 包络 118
第3章 一阶常微分方程组 122
3.1 初等积分法 首次积分 122
3.2 向量函数与矩阵函数， 解的存在**性定理 136
3.3 一阶齐次线性方程组的一般理论 141
3.4 一阶非齐次线性方程组的一般理论 148
3.4.1 通解结构 148
3.4.2 常数变易法 149
3.5 常系数齐次线性常微分方程组的解法 153
3.6 常微分方程（组）稳定性理论简介 167
3.6.1 一维动力系统的平衡点及稳定性 168
3.6.2 二维动力系统的平衡点及稳定性 169
第4章 高阶线性常微分方程 177
4.1 n阶线性常微分方程的一般理论 177
4.1.1 n阶线性常微分方程的概念 177
4.1.2 n阶齐次线性常微分方程的一般理论 179
4.1.3 n阶非齐次线性常微分方程的一般理论 182
4.2 n阶常系数齐次线性方程的解法 185
4.3 n阶常系数非齐次线性方程的解法 191
4.3.1 **类型自由项 f（x）=Pm（x)eax 191
4.3.2 第二类型自由项 f（x） 198
4.4 可化成常系数的常微分方程 202
4.4.1 欧拉方程 202
4.4.2 通过变量变换可化成常系数线性方程的方程 204
第5章 偏微分方程的概念 208
5.1 基本概念和定义 208
5.1.1 偏微分方程的基本概念 208
5.1.2 数学问题 211
5.1.3 线性偏微分算子 213
5.2 二阶两个自变量的半线性偏微分方程的分类 215
5.2.1 二阶两个自变量的半线性偏微分方程的分类与标准形 215
5.2.2 二阶线性偏微分方程的通解 222
第6章 线性偏微分方程的Adomian分解法 224
6.1 Adomian分解法概述 224
6.1.1 标准Adomian分解法 224
6.1.2 Adomian分解法的消除噪声项 227
6.1.3 修正的Adomian分解法 228
6.2 波动方程 232
6.2.1 一维波动方程 232
6.2.2 高维波动方程 236
6.3 热传导方程 241
6.3.1 一维热传导方程 241
6.3.2 高维热传导方程 243
6.4 拉普拉斯方程 247
第7章 特征线法、达朗贝尔公式和分离变量法 256
7.1 特征线法 256
7.1.1 一阶（拟）线性偏微分方程的通解 256
7.1.2 一阶（拟）线性偏微分方程的初值问题 262
7.2 达朗贝尔公式 反射法 271
7.2.1 达朗贝尔公式：无界弦的自由振动规律 271
7.2.2 反射法：半限长弦的自由振动规律 272
7.2.3 齐次化原理：无界弦的受迫振动规律 273
7.2.4 高维波动方程 275
7.3 分离变量法简介 277
7.3.1 有界弦的波动方程277
7.3.2 有界杆的热传导方程 282
7.3.3 有界区域上的拉普拉斯方程 284
第8章 布莱克-斯科尔斯方程 289
8.1 傅里叶变换 289
8.1.1 傅里叶变换与逆变换 289
8.1.2 傅里叶变换法解偏微分方程 292
8.2 布莱克-斯科尔斯方程的解 294
第9章 非线性偏微分方程的Adomian分解法 298
9.1 非线性项的Adomian多项式分解 298
9.2 用Adomian分解法解非线性偏微分方程 301
9.3 数学物理中的几个著名偏微分方程 308
9.3.1 克莱因-戈登方程 308
9.3.2 伯格斯方程 313
9.3.3 电报方程 315
9.3.4 KDV方程 317
9.4 非线性常微分方程的Adomian分解法 319
第10章 变分迭代法简介 325
参考文献 341
部分习题参考答案 343
前言
第0章 微分方程模型 1
0.1 经济学中的微分方程 1
0.1.1 多马增长模型 1
0.1.2 微观动态市场模型 3
0.1.3 具有价格预期的市场模型 4
0.1.4 通货膨胀与失业相互作用模型 5
0.1.5 国民经济增长模型 7
0.1.6 广告模型 9
0.2 人口与生态学中的微分方程 11
0.2.1 人口模型——单一群体模型 11
0.2.2 两种群相互作用模型 17
0.3 军事科学中的微分方程 22
0.4 日常生活中的微分方程 27
0.4.1 减肥的数学模型 27
0.4.2 汤冷却的数学模型 29
0.4.3 宣传运动的效果 30
0.4.4 跳伞运动员为什么能安全着地 32
0.5 数学物理中的经典微分方程 33
0.5.1 波动方程 33
0.5.2 热传导方程 35
0.5.3 拉普拉斯方程和泊松方程 36
0.6 期权的布莱克-斯科尔斯方程 37
0.6.1 股票与期权 37
0.6.2 伊藤微分法则 38
0.6.3 投资组合的无套利原则 39
0.6.4 用偏微分方程分析期权定价理论 41
0.7 交通流的数学模型 41
0.8 *速降线问题与追线问题 44
0.8.1 *速降线问题 44
0.8.2 追线问题 47
0.9 医学科学中的微分方程 50
0.9.1 传染病模型 50
0.9.2 药物在体内的分布 54
第1章 常微分方程的基本概念 58
第2章 初等积分法 66
2.1 可分离变量方程 66
2.1.1 可分离变量方程及其解法 66
2.1.2 **类可化成可分离变量的方程：齐次方程 72
2.1.3 第二类可化成可分离变量的方程 74
2.2 一阶线性方程 78
2.2.1 一阶线性方程及其解法 78
2.2.2 伯努利方程 84
2.2.3 里卡蒂方程 86
2.3 全微分方程积分因子 88
2.3.1 全微分方程 88
2.3.2 积分因子 92
2.4 一阶隐式方程 99
2.5 某些可降阶的方程 107
2.5.1 y（n）=f（x）型微分方程 107
2.5.2 y=f（x，y）型微分方程 107
2.5.3 y=f（y，y）型微分方程 109
2.5.4 恰当导数方程 109
2.6 初值问题解的存在**性定理、奇解、包络 113
2.6.1 解的存在**性定理 113
2.6.2 奇解 115
2.6.3 包络 118
第3章 一阶常微分方程组 122
3.1 初等积分法 首次积分 122
3.2 向量函数与矩阵函数， 解的存在**性定理 136
3.3 一阶齐次线性方程组的一般理论 141
3.4 一阶非齐次线性方程组的一般理论 148
3.4.1 通解结构 148
3.4.2 常数变易法 149
3.5 常系数齐次线性常微分方程组的解法 153
3.6 常微分方程（组）稳定性理论简介 167
3.6.1 一维动力系统的平衡点及稳定性 168
3.6.2 二维动力系统的平衡点及稳定性 169
第4章 高阶线性常微分方程 177
4.1 n阶线性常微分方程的一般理论 177
4.1.1 n阶线性常微分方程的概念 177
4.1.2 n阶齐次线性常微分方程的一般理论 179
4.1.3 n阶非齐次线性常微分方程的一般理论 182
4.2 n阶常系数齐次线性方程的解法 185
4.3 n阶常系数非齐次线性方程的解法 191
4.3.1 **类型自由项 f（x）=Pm（x)eax 191
4.3.2 第二类型自由项 f（x） 198
4.4 可化成常系数的常微分方程 202
4.4.1 欧拉方程 202
4.4.2 通过变量变换可化成常系数线性方程的方程 204
第5章 偏微分方程的概念 208
5.1 基本概念和定义 208
5.1.1 偏微分方程的基本概念 208
5.1.2 数学问题 211
5.1.3 线性偏微分算子 213
5.2 二阶两个自变量的半线性偏微分方程的分类 215
5.2.1 二阶两个自变量的半线性偏微分方程的分类与标准形 215
5.2.2 二阶线性偏微分方程的通解 222
第6章 线性偏微分方程的Adomian分解法 224
6.1 Adomian分解法概述 224
6.1.1 标准Adomian分解法 224
6.1.2 Adomian分解法的消除噪声项 227
6.1.3 修正的Adomian分解法 228
6.2 波动方程 232
6.2.1 一维波动方程 232
6.2.2 高维波动方程 236
6.3 热传导方程 241
6.3.1 一维热传导方程 241
6.3.2 高维热传导方程 243
6.4 拉普拉斯方程 247
第7章 特征线法、达朗贝尔公式和分离变量法 256
7.1 特征线法 256
7.1.1 一阶（拟）线性偏微分方程的通解 256
7.1.2 一阶（拟）线性偏微分方程的初值问题 262
7.2 达朗贝尔公式 反射法 271
7.2.1 达朗贝尔公式：无界弦的自由振动规律 271
7.2.2 反射法：半限长弦的自由振动规律 272
7.2.3 齐次化原理：无界弦的受迫振动规律 273
7.2.4 高维波动方程 275
7.3 分离变量法简介 277
7.3.1 有界弦的波动方程277
7.3.2 有界杆的热传导方程 282
7.3.3 有界区域上的拉普拉斯方程 284
第8章 布莱克-斯科尔斯方程 289
8.1 傅里叶变换 289
8.1.1 傅里叶变换与逆变换 289
8.1.2 傅里叶变换法解偏微分方程 292
8.2 布莱克-斯科尔斯方程的解 294
第9章 非线性偏微分方程的Adomian分解法 298
9.1 非线性项的Adomian多项式分解 298
9.2 用Adomian分解法解非线性偏微分方程 301
9.3 数学物理中的几个著名偏微分方程 308
9.3.1 克莱因-戈登方程 308
9.3.2 伯格斯方程 313
9.3.3 电报方程 315
9.3.4 KDV方程 317
9.4 非线性常微分方程的Adomian分解法 319
第10章 变分迭代法简介 325
参考文献 341
部分习题参考答案 343
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第0章 微分方程模型
微积分产生的一个内在动因来自于人们对自然界运动规律的探索需求，而自然界运动规律通过实验观测来认识清楚是完全不可能的，但源自古希腊的理性精神认为自然界运动是服从一定的客观规律的，而且这种规律可用数学语言表述出来，即抽象为某种数学结构，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，运动规律就一目了然了。
物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律、能量守恒定律、弦振动规律、电磁波（声波）的传播、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化、期权定价等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的微分方程描述的数学模型的研究。
那么，什么是微分方程呢？所谓微分方程就是由自变量、未知函数以及未知函数的导数（偏导数）组成的方程。如果方程中的自变量的个数只有一个，即未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；如果自变量的个数为两个或两个以上，即未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。
微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且也越来越多地应用于社会科学的各个领域。下面，我们分节逐步阐述之。
0.1 经济学中的微分方程
微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题。一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间t为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应经济量的意义或规律，*后作出预测或决策。下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用。
0.1.1 多马增长模型
在各种经济增长模型中，*早的是由英国经济学家哈罗德（R. F. Harrod）和美国经济学家多马（E. Domar）分别建立的哈罗德经济增长模型和多马经济增长模型。这里我们仅讨论多马增长模型。多马增长模型的假设是：
（1）年投资（流量）比率I（t）的任意变化会产生双重效果：它将影响总需求及该经济体的生产能力。
（2）I（t）变化的需求效应通过乘数过程立即发挥作用。因此，I（t）的提高会通过I（t）增量的乘数作用增加年收入流量比率Y（t）。乘数k=1/s，其中s表示已知的边际储蓄倾向，假设I（t）是**的影响收入流量比率的（参数的）支出流量，则我们可以写出（0.1.1）。
（3）投资的生产能力效应通过该经济能够生产的潜在产出能力的变化来度量。假定能力-资本比率不变，我们可以写出k/K=ρ（常数）其中k表示生产能力或每年的潜在产出流量，ρ表示能力-资本比率。当然，这意味着资本存量为K（t）的经济体每年能够生产的产出或收入，等于k=ρK，将其微分，得生产函数dk=ρdK，从而（0.1.2）。
在多马增长模型中，均衡被定义为充分利用的状态。因此，为达到均衡，要求总需求恰好等于该年度能够生产的潜在产出，即Y=k。但是，若我们从均衡状态出发，则要求生产能力变化与总需求变化相等，即（0.1.3）。
问何种投资I（t）能够每时每刻满足这一均衡条件？
为了回答这一问题，我们将（0.1.1）和（0.1.2）代入（0.1.3），得到如下一阶齐次线性常微分方程（0.1.4）因为（0.1.4）设定了I（t）变化的确定模式，解出此方程就求出了均衡投资路径I（t）。
若设t=0时的初始投资率为I（0）=I0，则方程（0.1.4）的解（见2.1节例4）为（0.1.5）。
此结果具有不平凡的经济意义：为使生产能力和需求在不同时间保持平衡，投资流量比率必须按照指数e沿着图0.1描述的路径增长。显然，所要求的投资增长率越高，生产能力-资本比率和边际储蓄倾向也越大。
图0.1
0.1.2 微观动态市场模型
前面的多马增长模型是一个一阶齐次线性方程。下面我们介绍经济学中的另一个齐次线性方程：微观动态市场模型。
对某一特定商品，假设其需求函数与供给函数都是价格P的线性函数（0.1.6）当需求量Qd与供给量Qs相等，即Qd=Qs时，我们得到均衡价格（某一确定常数）（0.1.7）。
设t=0时初始价格是P0，当P0=1P时，则市场早已达到均衡状态，无须进行动态分析。但当P06=1P时，需对价格P进行适当的调整，经过一段过程之后才能达到价格的均衡水平1P。在调整过程中，价格P随时间t变化，而Qd与Qs都是P的函数，故Qd，Qs，P都是时间t的函数。
因此，我们的动态问题是：给定调整过程所需要的充分时间，能够将价格P调整至均衡水平1P吗？即等式成立吗？
为回答这个问题，我们假定在某一时刻价格对时间的变化率总是在该时刻存在超额需求的比例，用公式表示就是（0.1.8）其中j＞0表示不变调整常数。根据这个模型，当且仅当Qd=Qs，即达到均衡时，有dP/dt=0。
将（0.1.6）代入（0.1.8），我们得到一阶非齐次线性常微分方程（0.1.9）在初始价格是P0时，方程（0.1.9）的解（见2.2节例6）为（0.1.10）。
由（0.1.10）可见，当j（β+δ）＞0时，有（0.1.11）所以当给定调整过程所需要的充分时间时，是能够将价格P调整至均衡水平1P的，我们称这种均衡为动态稳定的均衡。
0.1.3 具有价格预期的市场模型
在前面形成的动态市场模型中，Qd和Qs都是现期价格P的函数。但是有时买者和卖者不仅将其市场行为建立在现期价格的基础上，而且建立在当时价格趋势的基础上。
在连续时间情况下，价格趋势信息基本上可由两个导数dP/dt（价格是否上升）和d2P/dt2（价格是否以递增速率上升）得到。为将价格趋势纳入考察范围，我们现在将这两个导数作为需求函数和供给函数的额外变量（0.1.12）。
若我们只讨论供求函数的线性形式，并将自变量简写为P，则（0.1.12）可写成（0.1.13）其中α；β；γ；δ是从原来的市场模型带来的（见（0.1.6）），而m；n；u；v是新的参数。这四个未限定其符号的新参数，体现了买者和卖者的价格预期。例如，若m＞0，价格上升将导致Qd增加。
为简化起见，我们假设反需求函数含有价格预期因素。具体而言就是令（0.1.13）中的m；n非零，而u=v=0，进而假设在每一时点，市场都是出清的，即Qd=Qs。然后，我们令需求函数与供给函数相等得到（规范化后）的微分方程（0.1.14）这是一个二阶常系数非齐次线性常微分方程。现在我们求出方程（0.1.14）的解（见4.3节例4），并考察瞬时均衡P（t）的动态稳定性（稳定与不稳定的概念见3.6节）。
方程（0.1.14）的特解是一个稳定均衡，即模型的平衡点。我们在三种情形下求出其通解，并得到如下结论：
当n＞0时，瞬时均衡是P（t）动态不稳定的。当n＜0；m＜0时，瞬时均衡P（t）都是动态稳定的。
0.1.4 通货膨胀与失业相互作用模型
在通货膨胀与失业问题的现代关系中，*广泛使用的一个概念是菲力普斯关系。菲力普斯（Alban William Phillips）原来的公式是描述货币工资率与失业率之间的经验关系：w=f（U）（0.1.15）其中小写字母w表示货币工资W的增长率。即（w=W/W），U表示失业率，f（U）是U的减函数，即f0（U）＜0.这是原始的模型，但在后来的应用中，菲力普斯关系已被调整为一种将通货膨胀率（非w）与失业率联系的函数。这种调整或许以这种观点为基础：价格上升是普遍存在的，从而反映增长的货币工资成本的w为正，这必然带有通货膨胀的含义。但正w的膨胀性压力可能被（假定为外生的并以T表示的）劳动生产率的增长所抵消。具体而言，膨胀性效应仅当工资增长快于生产率增长时才能具体表现出来。以小写字母p表示通货膨胀率（即价格水平P的增长率p=P/P），则可写出（0.1.16）将（0.1.15）采用线性形式（0.1.17）将（0.1.17）代入（0.1.16），得到调整的菲力普斯关系（0.1.18）。
*近，经济学家喜欢采用预期增加的菲力普斯关系（0.1.19）其中。表示预期的通货膨胀率。正如弗里德曼教授所阐述的，（0.1.19）所包含的思想是：如果膨胀性趋向在相当长时期内存在，人们便会形成某种通货膨胀预期，并力图将这种预期纳入其货币工资需求。因此，w应为π的增函数。将这种思想纳入到（0.1.18）中，就产生了如下方程：（0.1.20）。
我们已引入一个新的变量来表示预期的通货膨胀，所以有必要假设通货膨胀预期是如何形成的。我们在这里采用试用性预期假设（0.1.21）此方程不解释。值的大小，而是描述其随时间变化的方式。如果实际通货膨胀率p超过预期通货膨胀率π，则过低的。将会向上调整（dπ/dt＞0）；反之，π将会向下调整（dπ/dt＜0）。
可以认为（0.1.20）和（0.1.21）构成了一个完整的模型。但由于两个方程中存在三个变量，所以必须视其中一个变量为外生的。比如，如果我们将。和p视为内生的，则必须将U视为外生的。还有一个更令人满意的选择是引入第三个方程来解释变量U，则模型就会包含更丰富的行为特征。但更为重要的是，这将为我们提供一个考察通货膨胀对失业的反馈效果的机会。方程（0.1.21）告诉我们U如何影响p，但反过来p又会影响U。
为简便计，我们仅考察通过货币政策传递的反馈。以M表示名义货币余额，名义货币余额的增长率以m=M/M来表示，我们假设（0.1.22）这里，m。p表示实际货币增长率，因此，（0.1.22）规定了dU/dt与实际货币余额增长率负相关。由于变量p成为dU/dt的一个决定性的因素，所以模型现在包含了从通货膨胀到失业的反馈。
方程（0.1.20）、（0.1.21）和（0.1.22）构成了一个包含三个变量π、p和U的封闭模型。但消去其中两个变量，可以将模型化简为一个单变量的微分方程。若令单变
微积分产生的一个内在动因来自于人们对自然界运动规律的探索需求，而自然界运动规律通过实验观测来认识清楚是完全不可能的，但源自古希腊的理性精神认为自然界运动是服从一定的客观规律的，而且这种规律可用数学语言表述出来，即抽象为某种数学结构，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，运动规律就一目了然了。
物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律、能量守恒定律、弦振动规律、电磁波（声波）的传播、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化、期权定价等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的微分方程描述的数学模型的研究。
那么，什么是微分方程呢？所谓微分方程就是由自变量、未知函数以及未知函数的导数（偏导数）组成的方程。如果方程中的自变量的个数只有一个，即未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；如果自变量的个数为两个或两个以上，即未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。
微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且也越来越多地应用于社会科学的各个领域。下面，我们分节逐步阐述之。
0.1 经济学中的微分方程
微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题。一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间t为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应经济量的意义或规律，*后作出预测或决策。下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用。
0.1.1 多马增长模型
在各种经济增长模型中，*早的是由英国经济学家哈罗德（R. F. Harrod）和美国经济学家多马（E. Domar）分别建立的哈罗德经济增长模型和多马经济增长模型。这里我们仅讨论多马增长模型。多马增长模型的假设是：
（1）年投资（流量）比率I（t）的任意变化会产生双重效果：它将影响总需求及该经济体的生产能力。
（2）I（t）变化的需求效应通过乘数过程立即发挥作用。因此，I（t）的提高会通过I（t）增量的乘数作用增加年收入流量比率Y（t）。乘数k=1/s，其中s表示已知的边际储蓄倾向，假设I（t）是**的影响收入流量比率的（参数的）支出流量，则我们可以写出（0.1.1）。
（3）投资的生产能力效应通过该经济能够生产的潜在产出能力的变化来度量。假定能力-资本比率不变，我们可以写出k/K=ρ（常数）其中k表示生产能力或每年的潜在产出流量，ρ表示能力-资本比率。当然，这意味着资本存量为K（t）的经济体每年能够生产的产出或收入，等于k=ρK，将其微分，得生产函数dk=ρdK，从而（0.1.2）。
在多马增长模型中，均衡被定义为充分利用的状态。因此，为达到均衡，要求总需求恰好等于该年度能够生产的潜在产出，即Y=k。但是，若我们从均衡状态出发，则要求生产能力变化与总需求变化相等，即（0.1.3）。
问何种投资I（t）能够每时每刻满足这一均衡条件？
为了回答这一问题，我们将（0.1.1）和（0.1.2）代入（0.1.3），得到如下一阶齐次线性常微分方程（0.1.4）因为（0.1.4）设定了I（t）变化的确定模式，解出此方程就求出了均衡投资路径I（t）。
若设t=0时的初始投资率为I（0）=I0，则方程（0.1.4）的解（见2.1节例4）为（0.1.5）。
此结果具有不平凡的经济意义：为使生产能力和需求在不同时间保持平衡，投资流量比率必须按照指数e沿着图0.1描述的路径增长。显然，所要求的投资增长率越高，生产能力-资本比率和边际储蓄倾向也越大。
图0.1
0.1.2 微观动态市场模型
前面的多马增长模型是一个一阶齐次线性方程。下面我们介绍经济学中的另一个齐次线性方程：微观动态市场模型。
对某一特定商品，假设其需求函数与供给函数都是价格P的线性函数（0.1.6）当需求量Qd与供给量Qs相等，即Qd=Qs时，我们得到均衡价格（某一确定常数）（0.1.7）。
设t=0时初始价格是P0，当P0=1P时，则市场早已达到均衡状态，无须进行动态分析。但当P06=1P时，需对价格P进行适当的调整，经过一段过程之后才能达到价格的均衡水平1P。在调整过程中，价格P随时间t变化，而Qd与Qs都是P的函数，故Qd，Qs，P都是时间t的函数。
因此，我们的动态问题是：给定调整过程所需要的充分时间，能够将价格P调整至均衡水平1P吗？即等式成立吗？
为回答这个问题，我们假定在某一时刻价格对时间的变化率总是在该时刻存在超额需求的比例，用公式表示就是（0.1.8）其中j＞0表示不变调整常数。根据这个模型，当且仅当Qd=Qs，即达到均衡时，有dP/dt=0。
将（0.1.6）代入（0.1.8），我们得到一阶非齐次线性常微分方程（0.1.9）在初始价格是P0时，方程（0.1.9）的解（见2.2节例6）为（0.1.10）。
由（0.1.10）可见，当j（β+δ）＞0时，有（0.1.11）所以当给定调整过程所需要的充分时间时，是能够将价格P调整至均衡水平1P的，我们称这种均衡为动态稳定的均衡。
0.1.3 具有价格预期的市场模型
在前面形成的动态市场模型中，Qd和Qs都是现期价格P的函数。但是有时买者和卖者不仅将其市场行为建立在现期价格的基础上，而且建立在当时价格趋势的基础上。
在连续时间情况下，价格趋势信息基本上可由两个导数dP/dt（价格是否上升）和d2P/dt2（价格是否以递增速率上升）得到。为将价格趋势纳入考察范围，我们现在将这两个导数作为需求函数和供给函数的额外变量（0.1.12）。
若我们只讨论供求函数的线性形式，并将自变量简写为P，则（0.1.12）可写成（0.1.13）其中α；β；γ；δ是从原来的市场模型带来的（见（0.1.6）），而m；n；u；v是新的参数。这四个未限定其符号的新参数，体现了买者和卖者的价格预期。例如，若m＞0，价格上升将导致Qd增加。
为简化起见，我们假设反需求函数含有价格预期因素。具体而言就是令（0.1.13）中的m；n非零，而u=v=0，进而假设在每一时点，市场都是出清的，即Qd=Qs。然后，我们令需求函数与供给函数相等得到（规范化后）的微分方程（0.1.14）这是一个二阶常系数非齐次线性常微分方程。现在我们求出方程（0.1.14）的解（见4.3节例4），并考察瞬时均衡P（t）的动态稳定性（稳定与不稳定的概念见3.6节）。
方程（0.1.14）的特解是一个稳定均衡，即模型的平衡点。我们在三种情形下求出其通解，并得到如下结论：
当n＞0时，瞬时均衡是P（t）动态不稳定的。当n＜0；m＜0时，瞬时均衡P（t）都是动态稳定的。
0.1.4 通货膨胀与失业相互作用模型
在通货膨胀与失业问题的现代关系中，*广泛使用的一个概念是菲力普斯关系。菲力普斯（Alban William Phillips）原来的公式是描述货币工资率与失业率之间的经验关系：w=f（U）（0.1.15）其中小写字母w表示货币工资W的增长率。即（w=W/W），U表示失业率，f（U）是U的减函数，即f0（U）＜0.这是原始的模型，但在后来的应用中，菲力普斯关系已被调整为一种将通货膨胀率（非w）与失业率联系的函数。这种调整或许以这种观点为基础：价格上升是普遍存在的，从而反映增长的货币工资成本的w为正，这必然带有通货膨胀的含义。但正w的膨胀性压力可能被（假定为外生的并以T表示的）劳动生产率的增长所抵消。具体而言，膨胀性效应仅当工资增长快于生产率增长时才能具体表现出来。以小写字母p表示通货膨胀率（即价格水平P的增长率p=P/P），则可写出（0.1.16）将（0.1.15）采用线性形式（0.1.17）将（0.1.17）代入（0.1.16），得到调整的菲力普斯关系（0.1.18）。
*近，经济学家喜欢采用预期增加的菲力普斯关系（0.1.19）其中。表示预期的通货膨胀率。正如弗里德曼教授所阐述的，（0.1.19）所包含的思想是：如果膨胀性趋向在相当长时期内存在，人们便会形成某种通货膨胀预期，并力图将这种预期纳入其货币工资需求。因此，w应为π的增函数。将这种思想纳入到（0.1.18）中，就产生了如下方程：（0.1.20）。
我们已引入一个新的变量来表示预期的通货膨胀，所以有必要假设通货膨胀预期是如何形成的。我们在这里采用试用性预期假设（0.1.21）此方程不解释。值的大小，而是描述其随时间变化的方式。如果实际通货膨胀率p超过预期通货膨胀率π，则过低的。将会向上调整（dπ/dt＞0）；反之，π将会向下调整（dπ/dt＜0）。
可以认为（0.1.20）和（0.1.21）构成了一个完整的模型。但由于两个方程中存在三个变量，所以必须视其中一个变量为外生的。比如，如果我们将。和p视为内生的，则必须将U视为外生的。还有一个更令人满意的选择是引入第三个方程来解释变量U，则模型就会包含更丰富的行为特征。但更为重要的是，这将为我们提供一个考察通货膨胀对失业的反馈效果的机会。方程（0.1.21）告诉我们U如何影响p，但反过来p又会影响U。
为简便计，我们仅考察通过货币政策传递的反馈。以M表示名义货币余额，名义货币余额的增长率以m=M/M来表示，我们假设（0.1.22）这里，m。p表示实际货币增长率，因此，（0.1.22）规定了dU/dt与实际货币余额增长率负相关。由于变量p成为dU/dt的一个决定性的因素，所以模型现在包含了从通货膨胀到失业的反馈。
方程（0.1.20）、（0.1.21）和（0.1.22）构成了一个包含三个变量π、p和U的封闭模型。但消去其中两个变量，可以将模型化简为一个单变量的微分方程。若令单变
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