描述
开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787030430168丛书名: 提升综合素质-面向医学生的生物信息类教材
编辑推荐
线性代数,医学院校,教材
内容简介
《线性代数》是面向生物医学工程类、医学及其相关专业的一本线性代数课程的教材。《线性代数》内容包括行列式、矩阵及其基本计算、线性方程组，向量及其基本计算、线性空间、矩阵的特征值与特征向量和二次型。《线性代数》内容系统完整，符合*高等学校大学数学课程教学指导委员会**审定的《工科类本科数学基础课程教学基本要求》。通过在不同的章节引入与生物医学工程类专业、医学专业等有关的内容以突出专业应用特色。
目 录
目录
前言
第1章 行列式 1
1.1 二阶与三阶行列式 1
1.2 n阶行列式 5
1.2.1 全排列及逆序数 5
1.2.2 n阶行列式的定义 6
1.3 行列式的性质与计算 9
1.4 克拉默法则 22
习题1 27
第2章 矩阵 36
2.1 矩阵的概念 36
2.2 矩阵的运算 39
2.2.1 矩阵的加法 39
2.2.2 数与矩阵的乘法 40
2.2.3 矩阵的乘法 41
2.2.4 矩阵的转置 45
2.2.5 方阵的行列式及伴随矩阵 46
2.3 逆矩阵 48
2.4 矩阵的分块运算 52
2.4.1 分块矩阵的加法(减法) 53
2.4.2 数乘分块矩阵 54
2.4.3 分块矩阵的乘积 54
2.4.4 分块矩阵的转置 56
2.4.5 分块对角矩阵 56
2.5 矩阵的初等变换 58
2.5.1 矩阵的初等变换与矩阵的标准形 58
2.5.2 初等矩阵 62
2.6 矩阵的秩 68
2.6.1 矩阵的秩及其计算 68
2.6.2 不同矩阵秩间的一些关系 71
2.7 线性方程组有解的判别法 74
2.8 矩阵的应用(一) 78
2.8.1 矩阵在生物种群建模中的应用 78
2.8.2 矩阵在图像处理中的应用 81
2.8.3 矩阵在力学中的应用(一) 85
习题2 86
第3章 向量组及其线性关系 94
3.1 n维向量及其线性运算 94
3.2 向量组的线性组合 96
3.3 向量组的线性相关性 102
3.4 向量组的等价关系 106
3.5 线性方程组解的结构 108
3.5.1 齐次线性方程组 108
3.5.2 非齐次线性方程组 113
习题3 115
第4章 线性空间 123
4.1 线性空间的概念.123
4.2 子空间 127
4.3 线性空间的维数、基与坐标 131
4.3.1 线性空间中向量组的线性关系 131
4.3.2 线性空间的维数、基与向量的坐标 132
4.3.3 向量在不同基的坐标变换公式 134
4.4 欧氏空间 137
4.4.1 向量的内积 137
4.4.2 标准正交基与施密特正交化过程 142
4.5 线性变换 145
4.5.1 线性变换其运算 145
4.5.2 线性变换的矩阵表示 149
习题4 153
第5章 矩阵的特征值、特征向量与相似矩阵 157
5.1 特征值、特征向量.157
5.1.1 特征值、特征向量的概念 157
5.1.2 特征值、特征向量的性质 160
5.2 相似矩阵 164
5.3 矩阵对角化的条件 167
5.4 实对称矩阵的对角化 171
5.5 二次型 174
5.5.1 二次型的矩阵表示 174
5.5.2 正交变换化二次型为标准形 176
5.5.3 配方法化简二次型 179
5.5.4 正定二次型 180
5.5.5 二次型的几何应用 182
5.6 矩阵的应用(二) 184
5.6.1 矩阵在力学中的应用(二) 184
5.6.2 矩阵在生物中的应用举例 188
习题5 194
附录 基于MATLAB的矩阵运算 200
A.1 MATLAB简介 200
A.1.1 MATLAB窗口介绍 200
A.1.2 MATLAB常用命令与操作 201
A.1.3 MATLAB帮助 202
A.2 MATLAB数组的构造 203
A.2.1 直接输入矩阵 204
A.2.2 特殊的一维数组生成方法 204
A.2.3 由已知矩阵提取或合并获得新矩阵 206
A.2.4 由函数生成特殊矩阵 207
A.3 数组和矩阵的运算 208
A.3.1 数组的运算 208
A.3.2 行列式运算 211
A.3.3 矩阵的运算 211
A.4 MATLAB中的线性方程组求解 215
A.4.1 利用逆矩阵求解线性方程组 215
A.4.2 求方程组的基础解系 217
A.5 应用MATLAB解决较为复杂的线性代数问题 219
A.5.1 二次曲面方程的化简 219
A.5.2 基于线性代数运算的数学建模问题 222
参考文献 226
参考答案 227
索引 239
前言
第1章 行列式 1
1.1 二阶与三阶行列式 1
1.2 n阶行列式 5
1.2.1 全排列及逆序数 5
1.2.2 n阶行列式的定义 6
1.3 行列式的性质与计算 9
1.4 克拉默法则 22
习题1 27
第2章 矩阵 36
2.1 矩阵的概念 36
2.2 矩阵的运算 39
2.2.1 矩阵的加法 39
2.2.2 数与矩阵的乘法 40
2.2.3 矩阵的乘法 41
2.2.4 矩阵的转置 45
2.2.5 方阵的行列式及伴随矩阵 46
2.3 逆矩阵 48
2.4 矩阵的分块运算 52
2.4.1 分块矩阵的加法(减法) 53
2.4.2 数乘分块矩阵 54
2.4.3 分块矩阵的乘积 54
2.4.4 分块矩阵的转置 56
2.4.5 分块对角矩阵 56
2.5 矩阵的初等变换 58
2.5.1 矩阵的初等变换与矩阵的标准形 58
2.5.2 初等矩阵 62
2.6 矩阵的秩 68
2.6.1 矩阵的秩及其计算 68
2.6.2 不同矩阵秩间的一些关系 71
2.7 线性方程组有解的判别法 74
2.8 矩阵的应用(一) 78
2.8.1 矩阵在生物种群建模中的应用 78
2.8.2 矩阵在图像处理中的应用 81
2.8.3 矩阵在力学中的应用(一) 85
习题2 86
第3章 向量组及其线性关系 94
3.1 n维向量及其线性运算 94
3.2 向量组的线性组合 96
3.3 向量组的线性相关性 102
3.4 向量组的等价关系 106
3.5 线性方程组解的结构 108
3.5.1 齐次线性方程组 108
3.5.2 非齐次线性方程组 113
习题3 115
第4章 线性空间 123
4.1 线性空间的概念.123
4.2 子空间 127
4.3 线性空间的维数、基与坐标 131
4.3.1 线性空间中向量组的线性关系 131
4.3.2 线性空间的维数、基与向量的坐标 132
4.3.3 向量在不同基的坐标变换公式 134
4.4 欧氏空间 137
4.4.1 向量的内积 137
4.4.2 标准正交基与施密特正交化过程 142
4.5 线性变换 145
4.5.1 线性变换其运算 145
4.5.2 线性变换的矩阵表示 149
习题4 153
第5章 矩阵的特征值、特征向量与相似矩阵 157
5.1 特征值、特征向量.157
5.1.1 特征值、特征向量的概念 157
5.1.2 特征值、特征向量的性质 160
5.2 相似矩阵 164
5.3 矩阵对角化的条件 167
5.4 实对称矩阵的对角化 171
5.5 二次型 174
5.5.1 二次型的矩阵表示 174
5.5.2 正交变换化二次型为标准形 176
5.5.3 配方法化简二次型 179
5.5.4 正定二次型 180
5.5.5 二次型的几何应用 182
5.6 矩阵的应用(二) 184
5.6.1 矩阵在力学中的应用(二) 184
5.6.2 矩阵在生物中的应用举例 188
习题5 194
附录 基于MATLAB的矩阵运算 200
A.1 MATLAB简介 200
A.1.1 MATLAB窗口介绍 200
A.1.2 MATLAB常用命令与操作 201
A.1.3 MATLAB帮助 202
A.2 MATLAB数组的构造 203
A.2.1 直接输入矩阵 204
A.2.2 特殊的一维数组生成方法 204
A.2.3 由已知矩阵提取或合并获得新矩阵 206
A.2.4 由函数生成特殊矩阵 207
A.3 数组和矩阵的运算 208
A.3.1 数组的运算 208
A.3.2 行列式运算 211
A.3.3 矩阵的运算 211
A.4 MATLAB中的线性方程组求解 215
A.4.1 利用逆矩阵求解线性方程组 215
A.4.2 求方程组的基础解系 217
A.5 应用MATLAB解决较为复杂的线性代数问题 219
A.5.1 二次曲面方程的化简 219
A.5.2 基于线性代数运算的数学建模问题 222
参考文献 226
参考答案 227
索引 239
前 言
序言
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第1章 行列式
在许多实际问题中，常会遇到求解线性方程组的问题.行列式的概念*初是伴随着线性方程组的求解而发展起来的.它是研究线性代数的基础工具，也是线性代数中的一个重要概念.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及计算方法，进而介绍以数学家克拉默(G. Cramer，1704|1752)名字命名的用n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默法则.
1.1 二阶与三阶行列式
设二元线性方程组
(1.1)
利用消元法可得
当时，方程组(1.1)有**解:
(1.2)
在式(1.2)中，解 x1; x2的分子、分母都是两项的代数和，其中分母 a11a22. a12a21是由方程组的四个未知数系数确定的，为了便于记忆，引入二阶行列式(determinant of second order).
定义1.1由四个数排成二行二列(横排称行、竖排称列)的数表
(1.3)
表达式称为数表(1.3)所确定的二阶行列式，并记作
即
其中称为行列式的元素(elements ofadeterminant)，下标(subscript)i称为行标，表示该元素位于行列式中第i行，下标j称为列标，表示该元素位于行列式中第j列.
式(1.4)也称为对角线法则(diagonal rule)(图1.1)所示，实线部分称为主对角线，虚线部分称为副对角线.
(1.4)
图1.1 二阶行列式展开法示意图
(1.5)
利用二阶行列式，式(1.2)中记称为方程组(1.1)的系数行列式.把系数行列式的**列和第二列分别换成方程组右端的常数列所得到的行列式记为
(1.6)
则当D 6=0时，方程组(1.1)有**解
类似地，对三元线性方程组，
也可以用相应的三阶行列式来简化表示它的解.
定义1.2设有9个数排成三行三列的数表
(1.7)
记
(1.8)
式(1.8)称为由数表(1.7)所确定的三阶行列式(determinant of third order).￥定义1.2表明三阶行列式含有六项，每项均为不同行不同列的三个元素乘积再冠以正负号，其规律遵循如图1.2所示的对角线法则，其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号，对应着式(1.8)中的三项正项，每一条虚线上的三个元素的乘积带负号，对应着式(1.8)中的三项负项，六项的代数和就是三阶行列式的展开式.
图1.2 三阶行列式展开法示意图
利用三阶行列式，记行列式，则当 D 6=0时线性方程组(1.6)的解可**的表示为
其中
例1 求三阶行列式的值.
解
例2 解线性方程组
解由于方程组的系数行列式
同理可得
故方程组的解为
二、三阶行列式除了用来解方程组外，还可以用于解决平面几何中的一些问题.例3设三角形的三点坐标为A(x1; y1);b(x2; y2); C(x3; y3)，它们构成逆时针回路，则该三角形的面积为
1.2 n阶行列式
解在空间直角坐标系中考虑这个问题，不妨假设这三个点的坐标为
利用向量的运算得
而
因此
1.2 n阶行列式
前面讨论表明行列式是解线性方程组的有力工具，那么自然要考虑能否把以上结果推广到n元一次方程组，即线性方程组中去?为此，需要先定义n阶行列式，并讨论其性质和计算.
1.2.1 全排列及逆序数
为了定义n阶行列式，本节首先引入全排列、逆序数和对换的概念.定义1.3把n个不同的数排成一列，称为这n个数的全排列(full permu- tation).n个不同的数的所有排列种数，通常用 Pn 表示.显然对n个自然数.各元素之间有一个标准次序，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义1.4在一个排列中，若数 it > is，则称it与is构成一个逆序(inversion).一个排列中所有逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为.
例如，逆序数是奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列称为偶排列.例如，排列25431是偶排列，排列23415是奇排列.因，故自然数序列是偶排列.
定义1.5 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续称为对换.将相邻两个元素对调，称为相邻对换(adjacent transposition).例如，排列bm调换ab得到排列，称为相邻对换.
定理1.1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
证明设排列对换a与b得到排列，除a与b外，其他元素的逆序数不改变.当ab时，经对换后a的逆序数不变，b的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
设排列为，现来对换a与b.
排列先经过 m 次相邻对换得到排列，此排列再经过 m+1次相邻对换得到排列，因此总共经过2m+1次相邻对换，原排列对换成新排列bma，所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性1.2.2n阶行列式的定义.
为了给出n阶行列式的定义，先来研究三阶行列式定义的结构，
不难看出三阶行列式定义具有以下特点:①三阶行列式恰有3!项;②每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积;③每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列的奇偶性.例如，项 a13a21a32列标排列的逆序数为;为偶排列，所以取正号，项 a11a23a32列标排列的逆序数为;
1.2 n阶行列式为奇排列，所以取负号.因此，三阶行列式的定义可以表示为
其中为排列的逆序数，为1，2，3的一个排列.
同样二阶行列式也可以表示为
仿此可以把行列式定义推广到n阶行列式.
定义1.6定义由 n2个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;记作.
简记为det(aij):数 aij 称为 det(aij)的元素.所在对角线称为行列式的主对角线(main diagonal)，相应地，所在对角线称为行列式的副对角线(antidiagonal， counterdiagonal， secondary diagonal).当n=1时，一阶行列式 (注意不要与**值记号相混淆).￥由对换及排列的奇偶性得到n阶行列式的等价定义.
定义1.7 n阶行列式也可定义为
其中.为行标排列的逆序数.由定义1.6和定义1.7得以下定理.
在许多实际问题中，常会遇到求解线性方程组的问题.行列式的概念*初是伴随着线性方程组的求解而发展起来的.它是研究线性代数的基础工具，也是线性代数中的一个重要概念.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及计算方法，进而介绍以数学家克拉默(G. Cramer，1704|1752)名字命名的用n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默法则.
1.1 二阶与三阶行列式
设二元线性方程组
(1.1)
利用消元法可得
当时，方程组(1.1)有**解:
(1.2)
在式(1.2)中，解 x1; x2的分子、分母都是两项的代数和，其中分母 a11a22. a12a21是由方程组的四个未知数系数确定的，为了便于记忆，引入二阶行列式(determinant of second order).
定义1.1由四个数排成二行二列(横排称行、竖排称列)的数表
(1.3)
表达式称为数表(1.3)所确定的二阶行列式，并记作
即
其中称为行列式的元素(elements ofadeterminant)，下标(subscript)i称为行标，表示该元素位于行列式中第i行，下标j称为列标，表示该元素位于行列式中第j列.
式(1.4)也称为对角线法则(diagonal rule)(图1.1)所示，实线部分称为主对角线，虚线部分称为副对角线.
(1.4)
图1.1 二阶行列式展开法示意图
(1.5)
利用二阶行列式，式(1.2)中记称为方程组(1.1)的系数行列式.把系数行列式的**列和第二列分别换成方程组右端的常数列所得到的行列式记为
(1.6)
则当D 6=0时，方程组(1.1)有**解
类似地，对三元线性方程组，
也可以用相应的三阶行列式来简化表示它的解.
定义1.2设有9个数排成三行三列的数表
(1.7)
记
(1.8)
式(1.8)称为由数表(1.7)所确定的三阶行列式(determinant of third order).￥定义1.2表明三阶行列式含有六项，每项均为不同行不同列的三个元素乘积再冠以正负号，其规律遵循如图1.2所示的对角线法则，其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号，对应着式(1.8)中的三项正项，每一条虚线上的三个元素的乘积带负号，对应着式(1.8)中的三项负项，六项的代数和就是三阶行列式的展开式.
图1.2 三阶行列式展开法示意图
利用三阶行列式，记行列式，则当 D 6=0时线性方程组(1.6)的解可**的表示为
其中
例1 求三阶行列式的值.
解
例2 解线性方程组
解由于方程组的系数行列式
同理可得
故方程组的解为
二、三阶行列式除了用来解方程组外，还可以用于解决平面几何中的一些问题.例3设三角形的三点坐标为A(x1; y1);b(x2; y2); C(x3; y3)，它们构成逆时针回路，则该三角形的面积为
1.2 n阶行列式
解在空间直角坐标系中考虑这个问题，不妨假设这三个点的坐标为
利用向量的运算得
而
因此
1.2 n阶行列式
前面讨论表明行列式是解线性方程组的有力工具，那么自然要考虑能否把以上结果推广到n元一次方程组，即线性方程组中去?为此，需要先定义n阶行列式，并讨论其性质和计算.
1.2.1 全排列及逆序数
为了定义n阶行列式，本节首先引入全排列、逆序数和对换的概念.定义1.3把n个不同的数排成一列，称为这n个数的全排列(full permu- tation).n个不同的数的所有排列种数，通常用 Pn 表示.显然对n个自然数.各元素之间有一个标准次序，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义1.4在一个排列中，若数 it > is，则称it与is构成一个逆序(inversion).一个排列中所有逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为.
例如，逆序数是奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列称为偶排列.例如，排列25431是偶排列，排列23415是奇排列.因，故自然数序列是偶排列.
定义1.5 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续称为对换.将相邻两个元素对调，称为相邻对换(adjacent transposition).例如，排列bm调换ab得到排列，称为相邻对换.
定理1.1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
证明设排列对换a与b得到排列，除a与b外，其他元素的逆序数不改变.当ab时，经对换后a的逆序数不变，b的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
设排列为，现来对换a与b.
排列先经过 m 次相邻对换得到排列，此排列再经过 m+1次相邻对换得到排列，因此总共经过2m+1次相邻对换，原排列对换成新排列bma，所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性1.2.2n阶行列式的定义.
为了给出n阶行列式的定义，先来研究三阶行列式定义的结构，
不难看出三阶行列式定义具有以下特点:①三阶行列式恰有3!项;②每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积;③每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列的奇偶性.例如，项 a13a21a32列标排列的逆序数为;为偶排列，所以取正号，项 a11a23a32列标排列的逆序数为;
1.2 n阶行列式为奇排列，所以取负号.因此，三阶行列式的定义可以表示为
其中为排列的逆序数，为1，2，3的一个排列.
同样二阶行列式也可以表示为
仿此可以把行列式定义推广到n阶行列式.
定义1.6定义由 n2个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;记作.
简记为det(aij):数 aij 称为 det(aij)的元素.所在对角线称为行列式的主对角线(main diagonal)，相应地，所在对角线称为行列式的副对角线(antidiagonal， counterdiagonal， secondary diagonal).当n=1时，一阶行列式 (注意不要与**值记号相混淆).￥由对换及排列的奇偶性得到n阶行列式的等价定义.
定义1.7 n阶行列式也可定义为
其中.为行标排列的逆序数.由定义1.6和定义1.7得以下定理.
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