描述
开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787567586147
第1章基本概念/ 1
§1集合/ 1
§2整数的整除/ 3
§3映射/ 5
§4二元运算/ 9
§5运算律/ 11
§6同态与同构/ 15
§7等价关系与集合的分类/ 20
第2章群论/ 26
§1群的定义/ 26
§2单位元、逆元、消去律/ 29
§3群的同态/ 32
§4变换群/ 35
§5置换群/ 38
§6循环群/ 44
§7子群/ 48
§8子群的陪集/ 52
§9不变子群、商群/ 57
§10同态与不变子群/ 62
第3章环与域/ 72
§1环的定义/ 72
§2交换律、单位元、零因子、整环/ 75
§3除环、域/ 79
§4无零因子环的特征/ 82
§5子环、环的同态/ 84
§6多项式环/ 88
§7理想/ 94
§8剩余类环/ 97
§9最大理想/ 101
§10商域/ 102
第4章整环里的因子分解/ 113
§1素元、唯一分解/ 113
§2唯一分解环/ 118
§3主理想环/ 121
§4欧氏环/ 124
§5多项式环的因子分解/ 127
§6因子分解与多项式的根/ 132
第5章扩域/ 139
§1扩域、素域/ 139
§2单扩域/ 142
§3代数扩域/ 149
§4多项式的分裂域/ 153
§5有限域/ 159
参考文献/ 167
符号表/ 168
名词索引/ 170
代数学是数学中最重要的、基础的分支之一．代数学的历史悠久，它随着数学本身的发展和应用、科学技术的进步
和需要而产生和发展．在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化，并在初等代数学的基础上产生和发展了近世代数学，即抽象代数学．它是一种带有运算的集合，即以代数系统为研究对象的一门学科．这样，从一般的集合出发，研究各种运算的性质，就具有非常重要的意义，因为它的结论和方法不仅可以渗透到数学的各个领域，而且在其他学科，例如在化学、物理、编码和计算机等理论中都有重要应用．
同构、群、环和域等基本概念对于大多数大学生来说都是新的，因此在概念的引入和定理的证明上，本书尽量采用通俗的语言和形象化的方法来表达，并辅以生动的例子，抽出若干最常用的代数系统，如整数加群、对称群Sn、GLn、整数环、多项式环、有理数（实数、复数）域等，将代数语言以它们为背景展示出来，并不计较多次返回同样的议题或者同一个例子，同时顾及从高中到大学的过渡，让基本的代数结构自然地产生．
本书是作者在长期的近世代数教学实践的基础上，参考国内外大量相关教材、专著、文献编写而成的.全书共五章，第1章介绍基本概念，是全书的基础；第2章和第3章介绍群、环、域理论，包括子系统、商系统和同态同构等，同时介绍了具体的群、环和域，是本书的核心内容；第4章介绍整环里的因式分解论，并由此介绍了两个特殊的环类——主理想整环和欧式环；第5章主要介绍了扩域，特别是有限扩域和有限域．同时，为了提高学生的解题能力，加强实训练习，每章后配有一定数量的习题供学生练习．
本书可作为师范院校和综合大学数学专业学生的教材和参考书，亦可作为其他数学爱好者和工程技术人员的参考书．在采用本书作为教材时，教师可根据实际情况作适当的取舍．
本书由成都师范学院郭茜、吴桂康主编.具体分工如下： 郭茜编写第一章至第三章；吴桂康编写第四章和第五章；全书由郭茜负责统稿.
本书的编写得到了成都师范学院
数学学院的支持和帮助，
参加教材审查会的同志们对本书亦提出了不少宝贵意见，
在此我们一并表示衷心感谢！
限于编者水平，书中错漏难免，我们希望大家在使用的同时不断提出意见，以便今后写出高质量的教材．
编者
2018．09
§1集合
集合的概念是数学中最基本的概念之一,在中学里,已经接触过集合的有关知识,这里只是进行一些复习和补充．
若干个（有限或无限多个）固定事物的全体称为一个集合（简称集）,通常用大写拉丁字母A, B, C, …来表示；而组成一个集合的事物称为这个集合的元素（有时简称元）,通常用小写拉丁字母a, b, c, …来表示．
若a是集合A的元素,则称a属于A,记为a∈A；若a不是集合A的元素,则称a不属于A,记为aA．
例如,一个班级的全体学生就是一个集合,而这个班级的每一个学生就是这个集合的元素．
通常,我们用N来表示全体自然数组成的集合,用Z来表示全体整数组成的集合,用Q来表示全体有理数组成的集合,用R来表示全体实数来组成的集合,用
C来表示全体复数组成的集合．
集合的表示方法一般有两种：
一种是列举法： 把集合的全部元素一一列举出来,并用花括号“｛｝”括起来表示． 如集合A由元素a, b, c, …组成,则表示为A＝{a, b, c, …}．
另一种是描述法： 利用集合所含元素的共同特征,采用条件限制的方式来表示这个集合． 如A＝｛x|x∈Z, x2＝1｝．
一个集合A所含元素的个数记为｜A｜．当A中含有有限个元素n时,则称A为有限集,记为｜A｜＝n；否则称A为无限集,记为|A|＝∞．
设A ,B是两个集合,若B的每一个元都属于A,则称B是A的子集,记为BA（或AB）．
把不含任何元素的集合称为空集合（简称空集）,记为 SymbolFC@
；并规定： 空集是任何一个集合的子集．
若集合A和集合B所包含的元是完全一样的,则称A和B相等,记为A＝B．
显然
A＝BAB,BA.
若集合BA,但存在元x∈A,且xB,则称集合B是集合A的真子集,记为BA（或AB）．
设A, B是两个集合,则由所有属于A且属于B的元组成的集合称为A和B的交集（简称交）,记为A∩B,即A∩B＝｛ x｜x∈A且x∈B｝．
例1设A是全体奇数组成的集合,而B是全体小于9的正整数组成的集合,那么
A∩B＝｛1, 3, 5, 7｝.
设A,B是两个集合,则由所有属于A和B的元组成的集合称为A和B的并集（简称并）,记为A∪B,即A∪B＝｛ x｜x∈A,或x∈B｝．
例2
设集合A＝{ x︱－1
A∪B＝{ x︱－1
对于两个以上的集合A1, A2, …的交集和并集的定义和上面完全类似．
设A1, A2, …, An是n个集合,由一切从A1, A2, …, An里按顺序取出的元素组（a1, a2, …, an）（ai∈Ai）所做成的集合称为A1, A2, …, An集合的积,记为
A1×A2×…×An.
并且，若｜Ai｜＝mi,则｜A1×A2×…×An｜＝m1×m2×…×mn．
例3
设集合A＝{0, 1},集合B＝{2, 3, 4},那么
A×B＝{（0,
2）, （0, 3）, （0, 4）, （1, 2）, （1, 3）, （1, 4）}，
且｜A×B｜＝6．
设A是一个集合,由A的所有子集构成的集合称为A的幂集,记为2A．
当集合A是有限集合时,2A的元素的个数正好是|2A|＝2|A|．证明留给读者．
例4
设A＝｛x, y｝,则2A＝｛ SymbolFC@ , ｛a｝, ｛b｝, A｝,且｜2A｜＝22＝4,即集合A的幂集2A有4个元素．
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