非线性算子的迭代算法及其应用

本书是作者近年来从事研究不动点理论课的成果，结合了前辈的相关专著，逐渐探索出非线性算子不动点理论方向相关理论的历史发展、必要的理论准备以及了解该方向的*发展所需要的内容。内容包括：首先介绍了非线性算子理论及迭代算法的背景及简史以及迭代算法的发展情况。接着研究了带误差的 Ishikawa 迭代序列、 Mann 迭代序列和三步迭代序列的收敛性方面的若干性质，及其在几类映射下的具体结论。其次研究了非扩张非自身映射的 Ishikawa 迭代的收敛性。 在自反、具有弱序列连续对偶映射的 Banach 空间框架下，应用粘性逼近方法讨论了当系数序列满足一定条件时，Ishikawa 强收敛性；渐近非扩张非自身映射平均迭代的收敛性；在具有一致Ga teaux范数的 Banach 空间框架下，采用粘性逼近方法得到了渐近非扩张映射的两种平均迭代算法的强收敛定理。*后对非扩张映像的变分不等式问题和广义均衡问题进行深入的研究建立了更有效的迭代格式。本书撰写时，补充了部分基础知识，以方便读者阅读。每一个方向的成果都为非线性不动点理论领域做出了一些贡献。 

本书是作者近年来科研工作的整理和总结，基于Hibert空间和Banach空间的集合理论和非线性算子理论，对满足不同条件的非线性迭代算子进行研究，得到了一些有效算法和收敛定理，并在此基础上将非线性算子理论应用到分数阶微分方程以及分数阶发展方程。内容包括：首先介绍了非线性算子理论及迭代算法的背景、简史以及迭代算法的发展情况。接着研究了多种关于非扩张映像迭代序列的收敛性方面若干性质及其强收敛结论。其次研究了多种压缩映像不动点的迭代逼近问题。然后对非扩张映像的变分不等式问题和广义均衡问题进行深入的研究建立了更有效的迭代格式。然后在Banach空间下对有限族增生算子公共零点和多值映像公共不动点的迭代逼近构造了多种迭代格式并得到相应强收敛定理。后将非线性算子理论应用到分数阶微分方程以及分数阶发展方程，进一步研究了分数阶微分方程的分解法与预估-校正法，并对低反应扩散方程的紧有限差分方法、广义的空间-时间分数阶对流-扩散方程深一步的研究。

华北理工大学教授，研究生导师，在国内专业期刊发表多篇学术论文，毕业后任教于华北理工大学，从事数学教学和研究工作

前言

第1章 不动点理论简介

1.1 非线性算子的不动点理论

1.2 迭代算法

1.3 变分不等式

1.4 均衡问题

第2章 非扩张映射的不动点迭代逼近

2.1一致渐近非扩张映象的不动点迭代问题

2.2渐近非扩张型映象具误差的三步迭代序列的收敛性

2.3 Banach空间中非扩张映像不动点的迭代逼近

2.4  非扩张自映像的粘性迭代逼近

2.5 非扩张自映像不动点的迭代逼近

2.6本章小结

第3章 压缩映像的不动点迭代逼近

3.1严格伪压缩映象的不动点迭代序列的收敛性

3.2 在Hilbert空间中严格渐近伪压缩映像不动点的迭代逼近

3.3 Hilbert空间中严格伪压缩映像不动点的迭代逼近

3.4  Banach空间中严格伪压缩映像不动点的迭代逼近

3.5 迭代逼近渐近伪压缩半群的公共不动点

3.6 本章小结

第4章 变分不等式与均衡问题的不动点迭代逼近

4.1 国内外研究基础

4.2 均衡问题和不动点问题的迭代逼近

4.3  均衡问题和优化问题的迭代逼近

4.4 Wiener-Hopf方程和广义变分不等式问题的迭代逼近

4.5 广义变分不等式系统的迭代逼近

4.6 本章小结

第5章 有限增生算子公共零点的迭代逼近

5.1 Banach空间中有限族增生算子公共零点的迭代强收敛定理

5.2 Banach空间中有限族增生算子公共零点的迭代强收敛定理

5.3有限族增生算子公共零点的复合迭代算法的强收敛定理

5.4关于多值映像公共不动点的强收敛定理

5.5 Banach空间中多值映像的新迭代Ishikawa算法

5.6 本章小结

第6章 与不动点性质有关的一些几何常数及其性质

6.1 Banach空间参数凸模

6.2 常数的几何性质

6.3 Banach空间中的广义凸性模

6.4 集值映射与不动点的性质

第7章 分数阶微分方程

7.1分数阶微分方程

7.2分数阶发展方程

7.3 Adomian分解法的研究及其在分数阶微分方程中的应用

7.4求分数阶微分方程预测–校正法及应用

7.5低反应扩散方程的紧有限差分方法的研究及应用

7.6广义的空间–时间分数阶对流–扩散方程的研究及在流体力学中的应用

7.7基于不动点定理的分数阶微分方程的研究

7.8基于不动点理论的分数阶发展方程的研究

7.9 本章小结

参考文献                                      

泛函分析作为一种抽象的数学理论，具有高度的抽象性、系统性和普遍性，因此成为各学科的重要工具。非线性算子不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函分析理论的重要组成部分，它与近代数学的许多分支有着紧密联系，特别是在各类微分方程、积分方程、算子方程和代数中起着重要作用。随着人们对自然界认识的不断深入，非线性科学在数学、物理学、化学、医学、经济学、控制论等领域中的重要性。目前，非线性分析中的非线性算子理论作为非线性科学的基础理论和基本工具，已成为现代数学的一个重要分支。   本书是作者近年来科研工作的整理和总结，内容涉及到不动点理论、非线性算子的迭代算法、变分不等式、均衡问题、分数阶微分方程等领域的理论及其应用。撰写时，补充了部分基础知识，以方便读者阅读。每一个方向的成果都为非线性算子迭代算法领域做出了一些贡献，同时也反映出作者紧跟时代步伐，力争在学科前沿做出成绩的愿望。   由于时间仓促，加之作者水平所限，本书难免会有错误和不妥之处，敬请专家、读者批评指正，我们将不胜感激。

第1章 不动点理论简介

    非线性算子的迭代算法是非线性泛函分析理论的重要组成部分，它与近代数学的许多分支有着紧密性联系，特别是在建立各类方程（其中包括各类线性或非线性的，确定或非确定型的微分方程，积分方程以及各类算子方程）解的存在问题中起着重要的作用。20世纪60年代，L.Collatz在他写的 《应用于数值分析的泛函分析》一书的引言中说：“由于两件事使数值分析发生了革命性的变化，这两件事就是应用了电子计算机和应用了泛函分析”。在20世纪计算机科学的建立和发展引起了科学技术翻天覆地的变化，它在各个部门学科及其分支中的巨大影响是不容置疑的。让人惊讶的是，不太为人所知的泛函分析对一门学科的影响竟然有着与计算机科学比肩的地位，其实让人惊讶的还远不止这些。随着人们对大自然认识的不断深入，已经逐渐认识到非线性科学在数学、物理学、化学、医学、经济学、工程学、控制论等科学领域中的重要性。

1.1 非线性算子的不动点理论

    非线性分析中的非线性算子理论作为非线性科学的基础理论和基本工具，已经成为现代数学的一个重要分支，并在其他分支中发挥重要的作用，尤其在处理实际问题中出现的大量微分方程时发挥着不可替代的作用.由于大量的非线性问题都与非线性算子方程有着密切的联系，而非线性算子方程的解往往可以转化为某个非线性算子的不动点.所以研究Banach空间中非线性算子方程解的迭代算法无疑具有重要的理论意义和实际意义.我们可以把看成是某个距离空间上的映射，于是解上述积分方程（从而解微分方程）的问题，就等价于求解空间中的满足的元，即求映射的不动点问题，研究映射的不动点是一个很重要的问题。

    不动点理论起源于求解方程的代数问题，后转化为几何理论中研究不动点的存在、个数、性质与求法的理论，成为拓扑学和泛函分析中的重要内容。较早的不动点定理是压缩映射原理，1890年由法国数学家Picard提出，后来被波兰数学家Bancah(1922)所发展，成为许多方程的解得存在性、性及迭代解法的理论基础。1910年荷兰数学家Brouwer证明了多面体的不动定理：设是欧氏空间中的非空有界闭凸集，则到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。这个定理被称为Brouwer不动点定理。1926年美国数学家S.Lefschetz发展了Brouwer定理，得到不动点指数中的Lefschetz不动点定理。1913年，G.D.Birkhoff证明了前一年法国数学家Henri Poincaré关于三提问题的一个猜想，得到Poincaré-Birkhoff不动点定理。G.D.Birkhoff还与另一美国数学家O.D.Kellogg于1922年共同把不动点定理推广到无穷维函数空间，并应用于证明微分方程的存在性。1930年乌克兰数学家Schauder将Brouwer不动点定理推广到线性赋泛函空间中的紧凸集、Bancah空间中的紧凸集等到自身的映射上，得到Schauder不定点定理。1935年原苏联数学家A.Tychonoff就将Brouwer的结果推广到局部凸拓扑线性空间中紧凸集到自身的映射上，得到Tychonoff不动点定理。1941年日本数学家Kakutani又将Brouwer的结果推广到极值映射上去。五六十年代，Browder,KyFan,Sadovskii等数学家将上述定理做了各种形式的推广。

    以上所有不动点定理的研究都是对其存在性的研究。半个多世纪以来，特别是近三十年来，由于实际需要的推动和数学工作者的努力，对不动点定理的依据已经出现了多元化的局面，不在局限于存在性的研究。众所周知，Bancah压缩映像原理实际上是经典的Picard迭代法的抽象表述。学者们研究发现，根据这一定理，不仅可以判定不动点的存在性和性，而且还可以构成一个迭代程序，逼近压缩映像的不动点到任意精确程度。由此非线性算子不动点迭代逼近这门学科也应运而生。目前，这门学科的理论及应用的研究也已取得重要的进展，并且日趋完善。为了逼近非线性算子不动点，历史上曾出现过多种迭代格式：Picard迭代格式、正规Mann迭代格式、Ishikawa迭代格式、Halpern迭代格式、粘滞迭代法、快下降迭代法、正规化迭代法、混杂迭代法(CQ算法)等多种形式，迭代格式的收敛性构成了非线性算子不动点理论研究中的重要问题。有关非线性算子不动点迭代逼近的研究近年来非常活跃，见参考文献.从具体空间(如空间)到抽象空间(如空间、Banach空间、赋范线性空间)；从单值映像到集值映像；从一般意义的映像(非扩张映像、相对非扩张映像、伪压缩映像、强伪压缩映像等)到渐进意义的映像(如渐进非扩张映像、相对渐进非扩张映像、渐进伪压缩映像、渐进强伪压缩映像等)；从迭代序列的构造(如Mann与Ishikawa迭代序列、具误差(或混合误差)的Mann与Iihikawa迭代序列、修正的Mann与Ishikawa迭代序列)到迭代序列的强(弱)收敛性、稳定性及非线性算子方程解得存在性，可以说成果十分丰富．关于非线性算子不动点迭代逼近问题，学者们主要是从两方面来进行进一步的研究：一方面是非线性算子的性质，包括各种算子不动点的存在性条件等；另一方面是用各种更好更有效的迭代格式逼近算子的不动点。    目前，非线性分析中的非线性算子理论作为非线性科学的理论基础和基本工具，已成为现代数学的一个基本分支，并在其分支中发挥着重要作用，尤其是在处理实际问题中出现的大量微分方程时发挥着不可替代的作用。由于大量的非线性问题都与非线性算子方程有着密切联系，而非线性算子方程的解往往可以转化为某个非线性算子的不动点问题。其中一个著名的例子就是凸可行问题对，Hilbert空间中的有限个闭凸子集且，寻找某个点。由于实Hilbert空间H中任意非空闭凸子集K均可被看做H到K度量投影pk的不动点集，因此凸可行问题也就转化为找一个点属于非扩张映射有限族的不动点集的交集，即寻找非扩张映射有限族的公共不动点问题。

   自20世纪初Trouwer和Banach提出两个以他们姓氏命名的Trouwer定理和Banach压缩映像原理之后，半个多世纪以来，特别是近三十年来，由于实际需要的推动和数学工作者的努力，这门学科已经出现了多样化的局面，Banach压缩映像原理实际上是经典的Picard迭代法的抽象表述.根据这一定理，不仅可以判定不动点的存在性和性，而且还可以构成一个迭代程序，逼近压缩映像的不动点到任意精确程度.因此Banach映像原理在近代数学的许多分支，特备是在应用数学的几乎各个分支都有广泛的应用. Banach在上个世纪二十年代提出这一原理后，大半个世纪以来，特别是近二十多年来，压缩映像的概念和Banach压缩映像原理已经从各个方面和各个不同的角度有了重要的发展.许多人提出了一系列新型的压缩映像概念，和一系列新型的压缩映像的不动点定理，而且其中的某些结果已经被成功地运用于Banach空间中非线性Volterra积分方程，非线性积分–微分方程和非线性泛函微分方程解的存在性和性，另外，压缩型映像的某些不动点定理还被成功地应用于随机算子理论和随机逼近理论。