描述
开 本: 16开包 装: 平装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787030353030
编辑推荐
高等院校工科、经济管理类各专业本科学生，工程技术人员
内容简介
《概率论与数理统计（第二版）》根据全国高等院校工科数学“概率论与数理统计”课程教学的基本要求，介绍了该课程的基本理论和方法。《概率论与数理统计（第二版）》是第二版，内容在**版的基础上有所增删，内容包括：**事件及其概率，**变量及其概率分布，多维**变量及其概率分布，**变量的数字特征，大数定律与中心极限定理，样本及抽样分布，参数估计，假设检验等。其特点是紧密联系工程实际，叙述直观、详细，深入浅出，例题丰富，习题配备适当合理。
目 录
目录
第二版前言
**版前言
第1章 概率论的基本概念 1
1.1 **试验与**事件 1
1.2 频率与概率 6
1.3 等可能概型 10
1.4 条件概率与**事件的独立性 15
1.5 全概率公式与贝叶斯公式 24
本章小结 27
习题1 29
第2章 **变量及其分布 33
2.1 **变量的概念 33
2.2 离散型**变量及其概率分布 34
2.3 **变量的分布函数 42
2.4 连续型**变量及其概率密度 45
2.5 **变量函数的分布 54
本章小结 56
习题2 57
第3章 多维**变量及其分布 61
3.1 多维**变量的概念 61
3.2 二维离散型**变量 63
3.3 二维连续型**变量 72
本章小结 81
习题3 82
第4章 **变量的数字特征 85
4.1 **变量的数学期望 85
4.2 **变量的方差 93
4.3 协方差与相关系数 98
本章小结 102
习题4 104
第5章 大数定律与中心极限定理 107
5.1 大数定律 107
5.2 中心极限定理 109
本章小结 111
习题5 112
第6章 样本及抽样分布 114
6.1 **样本 114
6.2 抽样分布 116
6.3 经验分布函数与直方图 123
本章小结 126
习题6 127
第7章 参数估计 129
7.1 点估计 129
7.2 估计量的评价标准 137
7.3 区间估计 141
7.4 正态总体均值与方差的区间估计 144
7.5 单侧置信区间 151
本章小结 153
习题7 155
第8章 假设检验 159
8.1 假设检验原理与步骤 159
8.2 单个正态总体的假设检验 163
8.3 两个正态总体的假设检验 171
8.4 非正态总体的假设检验 178
8.5 假设检验与区问估计的关系 180
8.6 样本容量的选择 182
8.7分布拟合检验与独立性检验 187
本章小结 193
习题8 194
习题答案 196
附录 206
附表一 几种常用的概率分布 206
附表二 泊松分布表 208
附表三 标准正态分布表 210
附表四 X2分布表 211
附表五 t分布表 213
附表六 F分布表 215
附表七 均值的t检验的样本容量 225
附表八 均值差的t检验的样本容量 227
附表九 相关系数检验表 229
第二版前言
**版前言
第1章 概率论的基本概念 1
1.1 **试验与**事件 1
1.2 频率与概率 6
1.3 等可能概型 10
1.4 条件概率与**事件的独立性 15
1.5 全概率公式与贝叶斯公式 24
本章小结 27
习题1 29
第2章 **变量及其分布 33
2.1 **变量的概念 33
2.2 离散型**变量及其概率分布 34
2.3 **变量的分布函数 42
2.4 连续型**变量及其概率密度 45
2.5 **变量函数的分布 54
本章小结 56
习题2 57
第3章 多维**变量及其分布 61
3.1 多维**变量的概念 61
3.2 二维离散型**变量 63
3.3 二维连续型**变量 72
本章小结 81
习题3 82
第4章 **变量的数字特征 85
4.1 **变量的数学期望 85
4.2 **变量的方差 93
4.3 协方差与相关系数 98
本章小结 102
习题4 104
第5章 大数定律与中心极限定理 107
5.1 大数定律 107
5.2 中心极限定理 109
本章小结 111
习题5 112
第6章 样本及抽样分布 114
6.1 **样本 114
6.2 抽样分布 116
6.3 经验分布函数与直方图 123
本章小结 126
习题6 127
第7章 参数估计 129
7.1 点估计 129
7.2 估计量的评价标准 137
7.3 区间估计 141
7.4 正态总体均值与方差的区间估计 144
7.5 单侧置信区间 151
本章小结 153
习题7 155
第8章 假设检验 159
8.1 假设检验原理与步骤 159
8.2 单个正态总体的假设检验 163
8.3 两个正态总体的假设检验 171
8.4 非正态总体的假设检验 178
8.5 假设检验与区问估计的关系 180
8.6 样本容量的选择 182
8.7分布拟合检验与独立性检验 187
本章小结 193
习题8 194
习题答案 196
附录 206
附表一 几种常用的概率分布 206
附表二 泊松分布表 208
附表三 标准正态分布表 210
附表四 X2分布表 211
附表五 t分布表 213
附表六 F分布表 215
附表七 均值的t检验的样本容量 225
附表八 均值差的t检验的样本容量 227
附表九 相关系数检验表 229
前 言
序言
媒体评论
评论
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第1章 概率论的基本概念
在自然界和人们的日常实践活动中经常遇到各种各样的现象，这些现象大体上可分为两类：一类是确定现象，例如“在一个标准大气压下，纯水加热到100℃时必然沸腾，冷却到0℃时必然会结冰”，“向上抛一块石头必然下落”，“同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引”等等，这种在一定条件下有确定结果（也就是说，只有一种试验结果）的现象称为确定现象或必然现象；另一类是**现象，例如：“工程招标中，各投标方中标的机会有多大”，“测量一个物体的长度，其测量误差的大小”，“从一批电视机中随便取一台，这台电视机寿命的长短”，“在相同的条件下，向上抛一枚质地均匀的硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上”等等，这些现象在一定条件下进行试验或观察某结果可能发生，也可能不发生（也就是说，试验的结果有多种可能），而且在每次试验之前都无法预测会出现哪一个结果（也就是说，不能肯定试验会出现哪一个结果），这种现象称为**现象。
1.1 **试验与**事件
1.1.1 **试验
南于**现象的结果事先不能预知，乍看起来似乎毫无规律，然而人们发现当同一**现象大量重复出现时，其每种可能的结果出现的频率具有稳定性，从而表明**现象也有其固有的规律性。人们把**现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为**现象的统计规律性。概率论与数理统计是研究和揭示**现象统计规律的一门数学学科。
为了对**现象的统计规律性进行研究，就需要对**现象进行重复观察，下面举一些重复观察**现象的例子。
E1：抛一枚硬币三次，观察出现正面的次数；
E2：抛一枚硬币，观察出现正面、反面的情况；
E3：记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数；
E4：从某厂生产的同型号的灯泡中抽取一只，测试其寿命（即正常工作的小时数）。
由以上各例我们可以看出，他们都具有如下共同的特点：
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 每次试验的可能结果不止一个，但所有可能的结果在试验前是明确知道的；
(3) 每次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
在概率论中，我们将对具有上述三个特点的**现象的观察称为**试验，简称试验，记为E。本书以后在无特殊说明的情况下，提到的试验都指**试验。
1.1.2 样本空间
尽管一个**试验将要出现的结果是不确定的，但其所有可能结果是明确的，要研究**试验，首先要弄清楚这个试验的所有可能的结果。我们把**试验的每一种可能的结果称为一个样本点；所有样本点的全体构成的集合称为样本空间，记作。
例如，E，的样本空间为；
E2的样本空间为；
E3的样本空间为；
E4的样本空间为，其中x表示灯泡的寿命。
从这些例子可以看出，随着试验的不同，样本空间可能相当简单，也可能相当复杂，在今后的讨论中，都认为样本空间是预先给出的，当然对于同一个**试验，如果考虑问题的角度不同，则其样本空间的选择也可能有所不同。
例如，掷一颗骰子这个**试验，若考虑出现的点数，则样本空间为；若考虑的是出现奇数点还是出现偶数点，则样本空间也可以取为及。
由此说明，同一个**试验可以有不同的样本空间，在实际问题中，选择恰当的样本空间来研究**现象是概率论中特别值得研究的问题。
1.1.3 **事件
当我们通过**试验来研究**现象时，根据我们研究的曰的，将**试验的每一个可能的结果即一个样本点构成的集合，称为一个基本事件。冈为**试验的所有可能结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，例如，在抛掷硬币的试验中“出现反面”与“出现正面”是两个基本事件；在掷骰子试验中“出现1点”，“出现2点”，“出现3点”， ，“出现6点”这些都是基本事件，但是，在研究过程中，我们常常不是关心某一个样本点在试验后是否出现，而是关心满足某些条件的样本点在试验后是否出现，我们称满足这一条件的样本点构成的样本空间的子集为**事件，简称事件，通常用大写的字母A，B，C， 表示。在试验后，如果出现了事件A中包含的某一个样本点，则称事件A发生，否则称事件A不发生，
因为样本空间包含所有样本点，它也是本身的子集，冈而在一次试验中，必然要出现中的某一样本点，也就是说在试验中，必然要发生，所以称为必然事件。由于空集不包含任何一个的样本点，所以，在任意一次试验后，永远不可能发生，困此，称够为不可能事件，实质上必然事件就是在每次试验中都发生的事件，不可能事件就是在每次试验中都不发生的事件，必然事件与不可能事件的发生与否，已经失去了“不确定性”即**性，因而本质上不是**事件，但为了讨论问题的方便，还是将它看作**事件。
例1.1.1 一批产品共10件，其中2件次品，其余为正品，从中任取3件，这是**试验，如：
A表示“恰有一件正品”；
B表示“恰有两件正品”；
C表示“至少有两件正品”；
D表示“至少有一件次品”，这些都是**事件；
Ω表示“三件中有正品”为必然事件；
表示“三件都是次品”为不可能事件，对这个**试验来说，基本事件总数为个。
1.1.4 事件的关系与运算
对**试验而言，它的样本空间可以包含很多**事件，概率论的任务之一就是研究**事件的规律，通过对较简单事件规律的研究掌握更复杂事件的规律，为此，需要研究事件和事件之间的关系与运算。
今后若没有特殊说明，认为样本空间是给定的，且还定义了国中的一些事件A，B，C，Ak (k=1，2， )等，由于**事件是样本空间的子集，从而事件的关系与运算和集合的关系与运算完全相类似。
1. 事件的包含关系
若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作或，如图1.1.1所示，
特别地，对任何事件
例1.1.2 设某种动物从出生活至20岁记为事件A，从出生到25岁记为事件B，则。
2. 事件的相等
若，同时有，称事件A与事件B相等，记作A=B。易知相等的两个事件A与B总是同时发生或同时不发生，在同一样本空间中两个事件相等意味着它们含有相同的样本点。
3. 和事件（或并事件）
我们称“事件A与事件B中至少有一个发生”的事件为事件A和事件B的和事件（或并事件），记作，如图1.1.2所示，
实质上，表示“A发生或B发生”，显然。
类似地，称为个事件。的和事件，称。为可列个事件的和事件。
图1.1.2
例1.1.3 设有某种网柱形产品，若底面直径和高都合格，则该产品合格。
令A表示“直径不合格”，B表示“高度不合格”，则表示“产品不合格”。
4. 积事件（或交事件）
我们称“事件A与事件B同时发生”的事件为事件A和事件B的积事件（或交事件），记作，简记，如图1.1.3所示。
实质上，表示“A发生且B发生”。显然，
类似地，称为扎个事件。的积事件，称。为可列个事件的积事件。
如例1.1.3中，若C表示“直径合格”，D表示“高度合格”，则表示“产品合格”。
5. 差事件
我们称“事件A发牛而事件B不发生”的事件为事件A与事件B的差事件，记作A-B，如图1.1.4所示。
图1.1.3
图1.1.4
实质上，明显地有。
如例1.1.3中事件A-B表示“该产品的直径不合格，而高度合格”。
6. 互不相容事件（或互斥事件）
若事件A与事件B不能同时发生，即，称事件A与事件B为互不相容事件（或互斥事件），如图1.1.5所示。
注 任意两个基本事件都是互斥的。
7. 对立事件（或逆事件）
我们称“差事件”为事件A的对立事件或称为事件A的逆事件，记作A，如图1.1.6所示。
图1.1.5
图1.1.6
显然，由此说明，在一次试验中A与A有且仅有一个发生，另外。
若A与B为互斥事件，则AB=万；而若A与B为对立事件，则且，因此，若A与B为互斥事件，则A与B不一定为对立事件；但若A与B为对立事件，则A与B必为互斥事件，
例1.1.4 设有100件产品，其中5件产品为次品，从中任取10件产品。记A表示“10件产品中至少有一件次品”，则其逆事件A表示“10件产品中没有次品”，即“10件产品全是正品”。
由此说明，若事件A比较复杂时，往往它的对立事件比较简单，因此，我们往往可以把对复杂事件的研究转化为对它的对立事件的研究。
事件间的关系及运算和集合的关系及运算是一致的，因此，事件之间满足如下运算规律：
(1) 交换律：
(2) 结合律：
(3) 分配律：
(4) 德？摩根律：
例1.1.5甲、乙、丙三人各射击一次靶子，记事件A表示“甲击中靶子”，事件B表示“乙击中靶子”，事件C表示“丙击中靶子”，则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：
(1) “甲未击中靶子”：
(2) “甲击中靶子而乙未击中靶子”：
(3) “三人中只有丙未击中靶子”：
(4) “三人中恰好有一人击中靶子”：
(5) “三人中至少有一人击中靶子”：
(6) “三人巾至少有一人未击巾靶子”：
(7) “三人中恰有两人击中靶子”：
(8) “三人中至少两人击中靶子”：
(9) “三人均未击中靶子”：
(10) “三人中至多一人击中靶子”：
(11) “三人中至多两人击中靶子”：
注 用其他事件的运算来表示一个事件，方法往往不**，如本例中的(6)和(11) 实际上是同一事件，读者应学会用不同方法表达同一事件，特别在解决具体问题时，往往要根据需要选择一种恰当的表示方法，
例1.1.6 化简下列事件：
(1)
解 (1)
(2)
1.2 频率与概率
1.2.1 频率
对一个**试验来说，**事件发牛的可能性大小是自身决定的，并且是客观存在的，概率是**事件发生可能性大小的度量。本节要研究的一个根本问题，是对一个给定的**事件发生可能性大小的度量究竟如何描述？如何计算？我们希望找到一个合适的数来表示**事件在一次试验中发生可能性的大小，为此，我们首先引入频率，他描述了**事件发生的频繁程度，进而引出表示**事件在一次试验中发生可能性的大小的数——概率。
在自然界和人们的日常实践活动中经常遇到各种各样的现象，这些现象大体上可分为两类：一类是确定现象，例如“在一个标准大气压下，纯水加热到100℃时必然沸腾，冷却到0℃时必然会结冰”，“向上抛一块石头必然下落”，“同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引”等等，这种在一定条件下有确定结果（也就是说，只有一种试验结果）的现象称为确定现象或必然现象；另一类是**现象，例如：“工程招标中，各投标方中标的机会有多大”，“测量一个物体的长度，其测量误差的大小”，“从一批电视机中随便取一台，这台电视机寿命的长短”，“在相同的条件下，向上抛一枚质地均匀的硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上”等等，这些现象在一定条件下进行试验或观察某结果可能发生，也可能不发生（也就是说，试验的结果有多种可能），而且在每次试验之前都无法预测会出现哪一个结果（也就是说，不能肯定试验会出现哪一个结果），这种现象称为**现象。
1.1 **试验与**事件
1.1.1 **试验
南于**现象的结果事先不能预知，乍看起来似乎毫无规律，然而人们发现当同一**现象大量重复出现时，其每种可能的结果出现的频率具有稳定性，从而表明**现象也有其固有的规律性。人们把**现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为**现象的统计规律性。概率论与数理统计是研究和揭示**现象统计规律的一门数学学科。
为了对**现象的统计规律性进行研究，就需要对**现象进行重复观察，下面举一些重复观察**现象的例子。
E1：抛一枚硬币三次，观察出现正面的次数；
E2：抛一枚硬币，观察出现正面、反面的情况；
E3：记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数；
E4：从某厂生产的同型号的灯泡中抽取一只，测试其寿命（即正常工作的小时数）。
由以上各例我们可以看出，他们都具有如下共同的特点：
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 每次试验的可能结果不止一个，但所有可能的结果在试验前是明确知道的；
(3) 每次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
在概率论中，我们将对具有上述三个特点的**现象的观察称为**试验，简称试验，记为E。本书以后在无特殊说明的情况下，提到的试验都指**试验。
1.1.2 样本空间
尽管一个**试验将要出现的结果是不确定的，但其所有可能结果是明确的，要研究**试验，首先要弄清楚这个试验的所有可能的结果。我们把**试验的每一种可能的结果称为一个样本点；所有样本点的全体构成的集合称为样本空间，记作。
例如，E，的样本空间为；
E2的样本空间为；
E3的样本空间为；
E4的样本空间为，其中x表示灯泡的寿命。
从这些例子可以看出，随着试验的不同，样本空间可能相当简单，也可能相当复杂，在今后的讨论中，都认为样本空间是预先给出的，当然对于同一个**试验，如果考虑问题的角度不同，则其样本空间的选择也可能有所不同。
例如，掷一颗骰子这个**试验，若考虑出现的点数，则样本空间为；若考虑的是出现奇数点还是出现偶数点，则样本空间也可以取为及。
由此说明，同一个**试验可以有不同的样本空间，在实际问题中，选择恰当的样本空间来研究**现象是概率论中特别值得研究的问题。
1.1.3 **事件
当我们通过**试验来研究**现象时，根据我们研究的曰的，将**试验的每一个可能的结果即一个样本点构成的集合，称为一个基本事件。冈为**试验的所有可能结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，例如，在抛掷硬币的试验中“出现反面”与“出现正面”是两个基本事件；在掷骰子试验中“出现1点”，“出现2点”，“出现3点”， ，“出现6点”这些都是基本事件，但是，在研究过程中，我们常常不是关心某一个样本点在试验后是否出现，而是关心满足某些条件的样本点在试验后是否出现，我们称满足这一条件的样本点构成的样本空间的子集为**事件，简称事件，通常用大写的字母A，B，C， 表示。在试验后，如果出现了事件A中包含的某一个样本点，则称事件A发生，否则称事件A不发生，
因为样本空间包含所有样本点，它也是本身的子集，冈而在一次试验中，必然要出现中的某一样本点，也就是说在试验中，必然要发生，所以称为必然事件。由于空集不包含任何一个的样本点，所以，在任意一次试验后，永远不可能发生，困此，称够为不可能事件，实质上必然事件就是在每次试验中都发生的事件，不可能事件就是在每次试验中都不发生的事件，必然事件与不可能事件的发生与否，已经失去了“不确定性”即**性，因而本质上不是**事件，但为了讨论问题的方便，还是将它看作**事件。
例1.1.1 一批产品共10件，其中2件次品，其余为正品，从中任取3件，这是**试验，如：
A表示“恰有一件正品”；
B表示“恰有两件正品”；
C表示“至少有两件正品”；
D表示“至少有一件次品”，这些都是**事件；
Ω表示“三件中有正品”为必然事件；
表示“三件都是次品”为不可能事件，对这个**试验来说，基本事件总数为个。
1.1.4 事件的关系与运算
对**试验而言，它的样本空间可以包含很多**事件，概率论的任务之一就是研究**事件的规律，通过对较简单事件规律的研究掌握更复杂事件的规律，为此，需要研究事件和事件之间的关系与运算。
今后若没有特殊说明，认为样本空间是给定的，且还定义了国中的一些事件A，B，C，Ak (k=1，2， )等，由于**事件是样本空间的子集，从而事件的关系与运算和集合的关系与运算完全相类似。
1. 事件的包含关系
若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作或，如图1.1.1所示，
特别地，对任何事件
例1.1.2 设某种动物从出生活至20岁记为事件A，从出生到25岁记为事件B，则。
2. 事件的相等
若，同时有，称事件A与事件B相等，记作A=B。易知相等的两个事件A与B总是同时发生或同时不发生，在同一样本空间中两个事件相等意味着它们含有相同的样本点。
3. 和事件（或并事件）
我们称“事件A与事件B中至少有一个发生”的事件为事件A和事件B的和事件（或并事件），记作，如图1.1.2所示，
实质上，表示“A发生或B发生”，显然。
类似地，称为个事件。的和事件，称。为可列个事件的和事件。
图1.1.2
例1.1.3 设有某种网柱形产品，若底面直径和高都合格，则该产品合格。
令A表示“直径不合格”，B表示“高度不合格”，则表示“产品不合格”。
4. 积事件（或交事件）
我们称“事件A与事件B同时发生”的事件为事件A和事件B的积事件（或交事件），记作，简记，如图1.1.3所示。
实质上，表示“A发生且B发生”。显然，
类似地，称为扎个事件。的积事件，称。为可列个事件的积事件。
如例1.1.3中，若C表示“直径合格”，D表示“高度合格”，则表示“产品合格”。
5. 差事件
我们称“事件A发牛而事件B不发生”的事件为事件A与事件B的差事件，记作A-B，如图1.1.4所示。
图1.1.3
图1.1.4
实质上，明显地有。
如例1.1.3中事件A-B表示“该产品的直径不合格，而高度合格”。
6. 互不相容事件（或互斥事件）
若事件A与事件B不能同时发生，即，称事件A与事件B为互不相容事件（或互斥事件），如图1.1.5所示。
注 任意两个基本事件都是互斥的。
7. 对立事件（或逆事件）
我们称“差事件”为事件A的对立事件或称为事件A的逆事件，记作A，如图1.1.6所示。
图1.1.5
图1.1.6
显然，由此说明，在一次试验中A与A有且仅有一个发生，另外。
若A与B为互斥事件，则AB=万；而若A与B为对立事件，则且，因此，若A与B为互斥事件，则A与B不一定为对立事件；但若A与B为对立事件，则A与B必为互斥事件，
例1.1.4 设有100件产品，其中5件产品为次品，从中任取10件产品。记A表示“10件产品中至少有一件次品”，则其逆事件A表示“10件产品中没有次品”，即“10件产品全是正品”。
由此说明，若事件A比较复杂时，往往它的对立事件比较简单，因此，我们往往可以把对复杂事件的研究转化为对它的对立事件的研究。
事件间的关系及运算和集合的关系及运算是一致的，因此，事件之间满足如下运算规律：
(1) 交换律：
(2) 结合律：
(3) 分配律：
(4) 德？摩根律：
例1.1.5甲、乙、丙三人各射击一次靶子，记事件A表示“甲击中靶子”，事件B表示“乙击中靶子”，事件C表示“丙击中靶子”，则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：
(1) “甲未击中靶子”：
(2) “甲击中靶子而乙未击中靶子”：
(3) “三人中只有丙未击中靶子”：
(4) “三人中恰好有一人击中靶子”：
(5) “三人中至少有一人击中靶子”：
(6) “三人巾至少有一人未击巾靶子”：
(7) “三人中恰有两人击中靶子”：
(8) “三人中至少两人击中靶子”：
(9) “三人均未击中靶子”：
(10) “三人中至多一人击中靶子”：
(11) “三人中至多两人击中靶子”：
注 用其他事件的运算来表示一个事件，方法往往不**，如本例中的(6)和(11) 实际上是同一事件，读者应学会用不同方法表达同一事件，特别在解决具体问题时，往往要根据需要选择一种恰当的表示方法，
例1.1.6 化简下列事件：
(1)
解 (1)
(2)
1.2 频率与概率
1.2.1 频率
对一个**试验来说，**事件发牛的可能性大小是自身决定的，并且是客观存在的，概率是**事件发生可能性大小的度量。本节要研究的一个根本问题，是对一个给定的**事件发生可能性大小的度量究竟如何描述？如何计算？我们希望找到一个合适的数来表示**事件在一次试验中发生可能性的大小，为此，我们首先引入频率，他描述了**事件发生的频繁程度，进而引出表示**事件在一次试验中发生可能性的大小的数——概率。
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