描述
开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 精装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787030447319
第1章对流扩散问题分数步数值方法基础
1.1对流扩散问题的特征差分方法和有限元方法
1.1.1模型问题及其特征有限元方法
1.1.2特征有限元格式的误差估计
1.1.3基于线性插值的特征差分方法
1.1.4基于二次插值的特征差分方法
1.1.5拓广和应用
1.2求解抛物型方程的分数步简单格式及Four1er分析
1.2.1纵横追赶格式
1.2.2稳定化校正格式
1.2.3解无混合导数的热传导方程的分解格式
1.2.4解有混合导数的热传导方程的分解格式
1.2.5算子的近似因子分解格式
1.2.6预估校正格式
1.2.7非齐次边界条件情形下过渡层边值的取法
1.3解多维抛物型方程的经济格式及能量模分析
1.3.1原始问题及差分格式
1.3.2DouglasRachford交替方向法的稳定性
1.3.3PeacemanRachford交替方向法的稳定性
1.4经济格式与因子化格式的等价性
参考文献
第2章双曲型方程的交替方向有限元方法
2.1双曲型方程有限元方法的稳定性和收敛性
2.1.1关于连续时间的有限元逼近
2.1.2关于离散时间的有限元逼近
2.2非线性双曲型方程有限元方法及其理论分析
2.2.1问题1的有限元逼近
2.2.2问题11？1l1的有限元逼近
2.3非线性双曲型方程组的稳定性和收敛性
2.3.1格式1的理论分析
2.3.2格式11的理论分析
2.4非线性双曲型方程组的交替方向有限元方法
2.4.1预备知识
2.4.2交替方向的Galerk1n格式
2.4.3误差分析
2.5线性双曲型方程的类新型交替方向有限元方法
2.5.1预备知识
2.5.2类新的交替方向有限元格式
2.5.3误差估计
2.6二维拟线性双曲型方程交替方向有限元类新方法
2.6.1记号与假设
2.6.2Galerk1n交替方向法的提出
2.6.3Hl模误差估计
2.6.4L2模误差估计
2.6.5交替方向有限元格式的矩阵实现
2.6.6数值算例
2.7三维拟线性双曲型方程交替方向有限元类新方法
2.7.1记号与假设
2.7.2Galerk1n交替方向法的提出
2.7.3Hl模误差估计
2.7.4L2模误差估计
2.7.5变替方向有限元格式的矩阵实现
2.7.6数值算例
2.8类三维非线性双曲型方程交替方向有限元方法
2.8.1记号与假设
2.8.2Galerk1n交替方向法的提出
2.8.3Hl模误差估计
2.8.4L2模误差估计
2.8.5数值算例
2.9非矩形域上非线性双曲型方程交替方向有限元方法
2.9.1记号与假设
2.9.2Galerk1n交替方向法的提出
2.9.3矩阵形式
2.9.4三层格式的先验误差估计
2.9.5四层格式的先验误差估计
参考文献
第3章抛物型问题的交替方向有限元方法
3.1对流扩散方程的交替方向有限元方法
3.1.1系数可分离的对流扩散方程的交替方向特征有限元方法
3.1.2般系数的对流扩散方程的交替方向特征有限元方法
3.2对流扩散问题的特征修正交替方向变网格有限元方法
3.2.1引言
3.2.2特征修正交替方向变网格有限元格式
3.2.3收敛性分析
3.2.4应用
3.3对流占优抛物型积分微分方程的交替方向特征有限元方法
3.3.1方程模型及特征有限元数值分析
3.3.2交替方向特征有限元数值分析
3.4非矩形区域上非线性抛物型方程组的交替方向有限元方法
3.4.1引言
3.4.2抛物型微分方程组的算子分裂格式及误差估计
3.4.3抛物型积分微分方程组的算子分裂格式及误差估计
3.4.4初始值的选取
3.5对流扩散型方程的多步Galerk1n格式的交替方向预处理迭代解法02f/
3.5.1顸备知识
3.5.2三维非线性对流扩散问题多步Galerk1n格式的ADP1解法
3.5.3对流占优扩散问题的沿特征方向多步离散Galerk1n法的ADP
解法
3.5.4初始启动格式
3.5.5算法的拟优工作量估计与比较
参考文献
第4章二阶椭圆问题的混合元交替方向法
4.1Po1sson方程的混合有限元Rav1artThomas格式
4.1.1引言
4.1.2混合元模型
4.1.3三角形混合元
4.1.4误差估计
4.1.5四边形混合元
4.2二阶椭圆问题新的混合元格式
4.2.1关于RTN元和BDM元的描述
4.2.2个简单模型问题的应用
4.2.3渐近误差估计
4.3二维混合元交替方向迭代方法
4.3.1引言
4.3.2在矩形上合适的混合元
4.3.3在RTk空间Uzawa型交替方向选代方法
4.3.4ArrowHurw1tz交替方向格式
4.3.5数值实验的初步结果
4.4三维混合元交替方向迭代方法
4.4.1引言
4.4.2个Uzawa交替方向方法
4.4.3对于RT(OJh)空间的特殊分析
4.4.4ArrowHurw1tz交替方向迭代格式
4.4.5数值试验结果
4.5混合有限元交替方向迭代方法的进展
4.5.1引言
4.5.2混合元空间的描述
4.5.3Uzawa交替方向方法
4.5.4ArrowHurw1tz交替方向迭代方法
4.5.5虚拟时间步长的选择
4.5.6数值试验问题
4.5.7三维模型问趣的计算结果
4.5.8二维问题的数值试验结果
4.6混合元交替方向迭代格式的稳定性和收敛性
4.6.1引言
4.6.2第1种修正ArrowHurw1tz交替方向迭代格式
4.6.3第2种修正ArrowHurw1tz交替方向迭代格式
4.6.4第1种三维ArrowHurw1tz交替方向迭代格式
4.6.5第2种变形三维ArrowHurw1tz交替方向迭代格式
4.7二阶椭圆问题的ArrowHurw1tz交替方向混合元方法的谱分析
4.7.1引言
4.7.2ArrowHurw1tz交替方向迭代法
参考文献
第5章二相渗流驱动问题的分数步方法
5.1可压缩二相渗流问题的分数步特征差分方法
5.1.1分数步特征差分格式
5.1.2收敛性分析
5.1.3推广和应用
5.2二相渗流问题迎风分数步差分格式
5.2.1引言
5.2.2二阶修正迎风分数步差分格式
5.2.3格式1的收敛性分析
5.2.4格式11的收敛性分析
5.3多组分可压缩渗流问题的分数步特征差分方法
5.3.1分数步特征差分格式
5.3.2L2模误差估计
5.4三维二相渗流动边值问题的迎风分数步差分方法
5.4.1引言
5.4.2迎风分数步差分格式
5.4.3收敛性分析
5.4.4应用
5.5三维热传导型半导体的分数步特征差分法
5.5.1特征分数步差分格式
5.5.2收敛性分析
5.6半导体的修正分数步迎风差分方法
5.6.1分数步迎风差分方法
5.6.2收敛性分析
参考文献
第6章多层渗流耦合问题的分数岁方法
6.1多层渗流方程耦合系统的迎风分数步差分方法
6.1.1二阶迎风分数步差分格式
6.1.2二阶格式的收敛性分析
6.1.3阶迎风分数步差分格式及其收敛性分析
6.1.4应用
6.2非线性多层渗流方程耦合系统的迎风分数步差分方法
6.2.1引言
6.2.2迎风分数步差分方法
6.2.3收敛性分析
6.3多层非线性渗流耦合系统的特征分数步差分方法
6.3.1引言
6.3.2问题1的特征分数步差分格式
6.3.3收敛性分析
6.3.4问题11的特征分数步差分格式及分析
6.4三维渗流耦合系统动边值问题迎风分数步差分方法
6.4.1引言
6.4.2区域变换
6.4.3迎风差分格式和分析
6.4.4迎风分数步差分格式和分析
6.4.5拓广和实际应用
参考文献
第7章渗流力学数值模拟中的交替方向有限元方法
7.1油气资源数值模拟的交替方向特征变网格有限元格式
7.1.1引言
7.1.2交替方向特征修正变网格有限元格式
7.1.3收敛性分析
7.2多组分可压缩渗流问题特征交替方向有限元方法
7.2.1某些准备工作
7.2.2修正特征交替方向有限元程序
7.2.3收敛性分析
7.3强化采油特征交替方向有限元方法
7.3.1数学模型
7.3.2特征交替方向有限元格式
7.3.3收敛性分析~
7.4非矩形域渗流耦合系统特征修正交替方向有限元方法
7.4.1引言
7.4.2某些准备工作
7.4.3特征修正算子分裂有限元格式
7.4.4收敛性分析
7.4.5拓广和应用
7.5半导体瞬态问题的变网格交替方向特征有限元方法
7.5.1某些预备工作
7.5.2特征修正交替方向变网格有限元格式
7.5.3收敛性分析
参考文献
索引
在能源、环境、半导体器件数值模拟等科学和技术领域，其数学模型是一类高维对流扩散偏微分方程组的初边值问题，对这类大规模科学与工程计算来说，其计算节点通常可达数万甚至数千万个，数值模拟时间有的需要长达数年、数十年，甚至数千万年，需用分数步方法来解决这类实际计算问题，这类方法的基础是Peaceman，Rachford和Douglas（1955年）的工作，随后一些美国和前苏联的数学家的工作拓广和改进了这个方法，他们是Douglas，Rachford，Baker，Ol1phant，Bagr1norvsk11，Samarck11，Yanenko等，本章介绍这一领域的基础部分．
本章共4节．1.1节为对流扩散问题的特征差分方法和有限元方法．1.2节为求解抛物型方程的分数步简单格式及Four1er分析．1.3节为解多维抛物型方程的经济格式及能量模分析．1.4节为经济格式与因子化格式的等价性．
1.1对流扩散问题的特征差分方法和有限元方法
对流占优的扩散方程，因其对流项系数远大于扩散项系数，所以对流项为该方程中的主导项，如果忽略扩散项，则问题“退化”为一阶双曲型方程，孝虑到对流占优扩散问题的双曲特性，Douglas与Russell于1982年首次将特征线方法应用于对流占优扩散方程[1]，他们将特征线法与Galerk1n有限元及有限差分相结合，提出了求解对流占优扩散问题的特征有限元方法及特征差分方法，阐明了它们的理论机理，随后他们与其他学者又将特征有限元方法和特征差分方法应用于渗流力学中的多相渗流、半导体器件设计等科学计算问题，取得一系列研究重要成果[2~4]．
1.1.1模型问题及其特征有限元方法
考虑一维对流占优扩散方程的初值问题：
此处，而，是区域上的sobolev空间。还假定
数值求解问题（1.1.1）的特征有限元方法的基本思想是，将（1.1.1a）中的一阶双曲项改写为沿特征方向丁的方向导数，从而将（1.1.1a）改写为关于变元T，x的不含一阶空间导数项的热传导方程，然后再对该热传导方程作Galerk1n有限元全离散，即得特征有限元格式．
记，则有，而方程（11.1a）可改写为
注意到，当时，有，从而问题的弱形式是：求可微映射，使，此处
对问题（1.1.5）作Galerk1n有限元全离散，设为取定的时间步长，记在，任取点，先建立的差商离散，为此，过点4沿作直线lA（即过点A之特征线的线性近似）与较于点由图1.1.1易见
在A点Euler向后差商近似
因此在此时层（1.1.5）可改写为，此处
设为选定的有限元空间，即为分段次多项式空间且具有如下的逼近性质，有，此处。为与无关之常数上，记有限元解在（1.1.8）中略去右端第二项，即沿T方向的局部逼近误差项．将检验函数空间换为，问题（1.1.1）的Euler向后特征有限格式定义为：求映射，使得，此处中将有限元的初值定义为原初始值的椭圆投影，仅仅是为了误差分析理论处理上的简便，也可用其他方式定义醒，如取醒为在中的投影或插值等．
因双线性泛函在上对称、正定、有界，线性泛函在H1（R）上有界，由Lax-M1lgram定理知，从（l.l.l0）可以确定初值，同理注意到，可以推出，从（1.1.10）利用u可依次确定，即格式（1.1.10）可解．
从特征有限元格式（1.1.10）的构造过程可见，其一个显著特点是，用沿一阶双曲项特征方向T的导数取代传统Galerk1n方法中按（1.1.1）沿时间方向￡的导数c筹，用沿丁方向演化的步进数值格式取代沿方向演化的步进格式，特征有限元格式在算法构造上就反映了原问题（1.1.1）的解乱“沿特征线传播”的对流占优性质，且问题（1.1.1）的解乱沿下方向的导数篙兰远小于沿t方向的导数笔芋，从作差商离散所产生的局部逼近误差远小于从作同一离散所产生的逼近误差，因而，特征有限元格式比Galerk1n格式有更好的精度和数值效果．由于特征有限元格式具有解沿特征线方向演化的“迎风”性质，所以它比Galerk1n格式有着更好的稳定性．且可采用比Galerk1n格式更大的时间步长△t．
以后记号M和￡分别表示一般的正常数和小正数，在不同之处有不同的含义．
1.1.2特征有限元格式的误差估计
为对特征有限元格式建立L2误差估计．对问题（1.1.1）的解引进椭圆投影，使得（1.1.11）显然在．记
从（1.1.8）、（1.1.10）和（1.1.11）可得误差方程：
由（l.l.l0b），（1.1.11）知：
选定检验函数，对于（1.1.12）右端项，估计
注意到标准的向后差商的误差方程是
类似地，沿特征线有
对此误差项，取模，经计算可得
这个映射的Jacobi矩阵为
假定，若足够小，S是可逆的．其行列式．对于固定的t，s显然映射为自身．因此对于同样是正确的．因此推出。
于是推出（1.1.12）右端项的估计
现估计（1.1.12）右端第二项，为此写则有
后考虑
定理1.1.1设，其中在R中均有界，则当△t充分小时，必有（1.1.15）
证明设，则对足够小，是可逆的，和是的形式．因此
……
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