线性代数（第二版）（“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材；普通高等教育“十二五”应用型本科规划教材）

“十二五”普通高等教育本科***规划教材、普通高等教育“十二五”应用型本科规划教材。
经典畅销教材优化再版。
概念前瞻，实效性强。总结教改成果，吸取国内外作品优点，精选例题，推陈出新。
突出应用能力的培养，通过建模学习，培养用数学意识，获取知识的能力。
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本书为普通高等教育“十二五”*规划教材，是依据高等学校经济管理类本科数学基础课程教学基本要求，在总结线性代数课程教学改革成果，吸收国内外同类教材的优点，结合我国高等教育发展趋势的基础上编写而成。
本书在为学生提供必要的基础知识和基本技能的同时，优化构建教学内容与课程体系，注重课程的思想性和结构特征，突出数学应用和建模能力的培养。力求实现理论教学与实际应用、知识传授与能力培养的统一。全书内容包括矩阵、线性方程组、向量空间、矩阵的特征值与特征向量、二次型、线性代数应用与模型。
本书结构严谨，逻辑清晰，叙述清楚，注重应用，例题典型，习题丰富，内容组织上力求做到自然直观，通俗易懂，教与学结合，易教易学。
本书适合于高等学校经济类和管理类各专业学生使用，也可供理工科学生和科技工作者阅读参考。

张学奇：教授，长期在高等院校从事公共数学基础课和数学专业课教学工作，参编普通高等教育“十五”*规划教材《高等数学》、《高等数学辅导教程》、《经济数学》、《工程数学》教材4部，主编普通高等教育“十一五”*规划教材《微积分》、《微积分辅导教程》、《微积分习题全解》教材3部，主编 “十二五”普通高等教育本科*规划教材《线性代数》、《线性代数辅导教程》、《线性代数习题全解》教材3部。编写的教材和课件曾获*优秀教材一等奖，全国多媒体大赛一等奖。

目 录
章 矩阵
§1.1 矩阵的概念
一、矩阵的概念
二、几种特殊的矩阵
习题1.1
§1.2 矩阵的运算
一、矩阵的加法
二、数与矩阵乘法
三、矩阵的乘法
四、矩阵的转置
习题1.2
§1.3 方阵的行列式
一、二阶、三阶行列式
二、排列与逆序
三、n阶行列式的定义
四、行列式的性质
五、行列式按行（列）展开
六、行列式计算
七、方阵的行列式
习题1.3
§1.4 可逆矩阵
一、可逆矩阵
二、矩阵可逆的条件
三、可逆矩阵的运算性质
习题1.4
§1.5 分块矩阵
一、矩阵的分块
二、分块矩阵的运算
习题1.5
§1.6 矩阵的初等变换
一、矩阵的初等变换与初等阵
二、矩阵的等价标准形
三、利用初等变换求逆矩阵
习题1.6
§1.7 矩阵的秩
一、矩阵的秩
二、利用初等变换求矩阵的秩
习题1.7
总习题一
第二章 线性方程组
§2.1 线性方程组
一、线性方程组的概念
二、克拉默(Cramer)法则
三、高斯(Gauss)消元法
四、线性方程组有解的判定定理
习题2.1
§2.2 n维向量及其线性运算
一、 n维向量的概念
二、向量的线性运算
习题2.2
§2.3 向量间的线性关系
一、向量组的线性组合
二、向量组的线性相关性
三、向量组的线性组合与线性相关关系定理
习题2.3
§2.4 向量组的秩
一、向量组的等价
二、极大线性无关组和向量组的秩
三、向量组的秩与矩阵的秩的关系
习题2.4
§2.5 线性方程组解的结构
一、齐次线性方程组解的结构
二、非齐次线性方程组解的结构
习题2.5

第三章 向量空间
向量空间是线性代数研究的基本对象.本章主要介绍向量空间及基、维数、坐标等概念和向量的内积与正交矩阵．
§3.1 向量空间
向量空间是线性代数中较为抽象的概念之一．本节主要介绍向量空间、子空间、向量空间的基和向量的坐标等概念.
一、向量空间与子空间
在解析几何中，我们已经接触过平面或空间的向量．两个向量可以相加，也可以用一个实数去乘一个向量．这种向量的加法以及数与向量的乘法满足一定的运算规律．向量空间正是解析几何里向量概念连同它们上面定义的线性运算的一般化．
定义1 设V是一个非空向量集合，P是一个数域．如果在集合V中定义了两种运算：对于其中每两个元素 与 ，定义了它们的和 也是V中的元素；对于任何元素 与数 ，定义了乘积 也是集合V中的元素．并且这两种运算满足下列8条运算规律：
（1） ；
（2） ；
（3）在V中存在一个元素0，使得对于任意 ，均有 ，称元素 为V的零元素；
（4）对于任意的 ，存在一个元素 ，使得 ，称 为 的负元素；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） .
其中 是V中的任意元素，k，l是P中的任意数．则称集合V是数域P上的向量空间．
例1 实数集 上的所有 维向量组成的集合，记作 .即

容易验证，按照 维向量的加法和数乘运算， 构成实数域 上的向量空间，称 为实数集上的 维向量空间.
特别地，当 时， 为二维向量空间，二维向量 表示平面上的一个点，或表示以原点为起点 为终点的向量.当 时， 为三维向量空间，三维向量 表示空间上的一个点，或表示以原点为起点 为终点的向量.
当 时， 维向量空间 没有直观的几何意义，但与 或 中向量具有相同的代数性质.
例2 实数集 上的所有 实矩阵的全体，记为 ，即

容易验证，按照矩阵的加法和数乘运算， 构成实数域 上的向量空间.
例3 设实矩阵 ，齐次线性方程组 的解集为 ，由齐次线性方程组解的性质可以验证 构成实数域 上的向量空间. 称 齐次线性方程组 的解空间.
然而，非齐次线性方程组 的解集为 却不是向量空间，事实上，当 时，对于 ，有 ，可知 ，故 不是向量空间.
定义2 数域P上向量空间V的一个非空子集合W，如果W对于V的两种运算是封闭的，即（1）对任意 ，有 ；（2）对任意 ， 有 ；则称W为V的一个子空间.
例4 是 的子空间，实际上 表示 的 平面.
例5 是 的子空间，称为零子空间.
例6 齐次线性方程组 的解空间 为 的子空间.
二、 的基与向量的坐标
由前述内容可知，向量组的极大无关组与向量组等价.因此，只要找到向量组的一个极大无关组，就等于掌握了这个向量组.
例如，在三维向量空间 中，向量组

就是 的一个线性无关组， 中任意一个向量 都可表示为

向量 称为 的基，而 称为 在基 下的坐标.一般地，我们有如下定义.
定义3 在 中，任意 个线性无关的向量 称为 的一组基. 的基中所含向量的个数称为 的维数，记为 .
实际上，这 个线性无关向量 构成 的极大无关组，因此， 基的概念是将有限个向量构成的向量组的极大无关组的概念推广到 上.
显然， 中的向量组 为 的一组基，一般称 称为 的标准基或自然基.因此 .
定义4 设向量 为 的一组基， 是 中的向量，则存在的一组数
，使

称 为向量 在基 下的坐标，记为 .
对于 的标准基 ，由于 中任意一个向量 可表示为

所以 为 在标准基 下的坐标.
例7 证明 为 的一组基.并求 中任意一个向量 在此基下的坐标.
证 由于矩阵 的行列式

所以， 线性无关，即 为 的一组基.
设 在基 下的坐标为 ，则有

此线性方程组的增广矩阵

得到方程组的解为

故 在基 下的坐标为
三、 的基变换与坐标变换
在 中，任意 个线性无关的向量都可以作为 的一组基.同一个向量关于不同的基的坐标是不同的，为了研究不同基下坐标的关系，下面介绍基变换与坐标变换.
定义5 设 和 是 的两组基，且
（1）
将上式写成矩阵形式，有
（2）
记矩阵 ，称矩阵 为由基 到基 的过渡矩阵.式（2）称为基变换公式.