微积分II

《微积分Ⅱ》可供综合性大学、理工科大学、师范院校作为教材, 也可供相关专业的工程技术人员参考阅读. 

本套书由《微积分Ⅰ》、《微积分Ⅱ》两《微积分II》组成。《微积分Ⅰ》内容包括极限与函数的连续性、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用、广义积分、向量代数与空间解析几何。在附录中简介了行列式和矩阵的部分内容。《微积分Ⅱ》内容包括多元函数微分学、二重积分、三重积分及其应用、曲线积分、曲面积分、场论初步、数项级数、幂级数、傅里叶级数、广义积分的敛散性的判别法、常微分方程初步等。本套书继承了微积分的传统特色，内容安排紧凑合理，例题精练，习题量适难易恰当。
本套书可供综合性大学、理工科大学、师范院校作为教材，也可供相关专业的工程技术人员参考阅读。

前言
第5章 多元函数微分学
5.1 多元函数的极限与连续性
5.1.1 点集基本知识
5.1.2 多元函数的概念
5.1.3 多元函数的极限
5.1.4 多元函数的连续性
习题5.1
5.2 偏导数与全微分
5.2.1 偏导数
5.2.2 高阶偏导数
5.2.3 全微分
5.2.4 高阶微分^*
习题5.2
5.3 复合函数与隐函数的偏导数
5.3.1 复合函数的偏导数
5.3.2 隐函数的偏导数
习题5.3
5.4 二元函数的泰勒公式^*
习题5.4
5.5 多元向量函数^*
习题5.5
5.6 偏导数在几何上的应用
5.6.1 空间曲线的切线与法平面
5.6.2 空间曲面的切平面与法线
习题5.6
5.7 极值与条件极值
5.7.1 二元函数的极值
5.7.2 最大值与最小值
5.7.3 条件极值
习题5.7
5.8 方向导数
习题5.8
第6章 重积分
6.1 二重积分的概念与性质
6.1.1 二重积分的概念
6.1.2 二重积分的性质
习题6.1
6.2 二重积分的计算
6.2.1 累次积分法
6.2.2 换元积分法
习题6.2
6.3 三重积分
6.3.1 三重积分的概念与性质
6.3.2 累次积分法
6.3.3 换元积分法
习题6.3
6.4 重积分的应用
6.4.1 重积分在几何上的应用
6.4.2 重积分在物理上的应用^*
习题6.4
6.5 广义重积分简介
习题6.5
第7章 曲线积分·曲面积分与场论
7.1 第一类曲线积分
7.1.1 第一类曲线积分的概念与性质
7.1.2 第一类曲线积分的计算
习题7.1
7.2 第二类曲线积分
7.2.1 第二类曲线积分的概念与性质
7.2.2 第二类曲线积分的计算
7.2.3 两类曲线积分之间的联系
习题7.2
7.3 格林公式及其应用
7.3.1 格林(Green)公式
7.3.2 平面上第二类曲线积分与路径无关的条件
习题7.3
7.4 第一类曲面积分
7.4.1 第一类曲面积分的概念与性质
7.4.2 第一类曲面积分的计算
习题7.4
7.5 第二类曲面积分
7.5.1 第二类曲面积分的概念与性质
7.5.2 第二类曲面积分的计算
习题7.5
7.6 高斯公式与斯托克斯公式
7.6.1 高斯(Gauss)公式
7.6.2 斯托克斯(Stokes)公式
习题7.6
7.7 场论初步
7.7.1 场的概念
7.7.2 数量场·等值面·梯度
7.7.3 向量场的流量与散度
7.7.4 向量场的环流量与旋度
7.7.5 有势场
习题7.7
第8章 无穷级数
8.1 常数项级数
8.1.1 常数项级数的概念
8.1.2 收敛级数的基本性质
习题8.1
8.2 正项级数
习题8.2
8.3 任意项级数
8.3.1 交错级数
8.3.2 绝对收敛与条件收敛
习题8.3
8.4 函数项级数
8.4.1 函数项级数的收敛与一致收敛
8.4.2 一致收敛级数的性质^*
习题8.4
8.5 幂级数
8.5.1 幂级数的收敛半径
8.5.2 幂级数的性质
习题8.5
8.6 泰勒级数
习题8.6
8.7 广义积分的敛散性
8.7.1 无穷限广义积分敛散性判别法
8.7.2 无界函数广义积分的敛散性判别法
8.7.3 *函数与B函数
习题8.7
第9章 傅里叶级数
9.1 三角级数·三角函数系的正交性
习题9.1
9.2 函数展开成傅里叶级数
习题9.2
9.3 任意周期的周期函数的傅里叶级数
习题9.3
第10章 常微分方程初步
10.1 微分方程的基本概念
10.2 一阶微分方程的初等解法
10.2.1 变量分离方程
10.2.2 可化为变量分离方程的类型
习题10.2
10.3 一阶线性微分方程
习题10.3
10.4 全微分方程与积分因子
10.4.1 全微分方程
10.4.2 积分因子
习题10.4
10.5 解的存在唯一性定理^*
10.6 高阶微分方程
10.6.1 可降阶的高阶微分方程
10.6.2 二阶线性微分方程
10.6.3 二阶线性常系数微分方程
10.6.4 欧拉方程^*
习题10.6
10.7 微分方程应用举例^*
习题10.7
参考文献
附录 部分习题参考答案

第 5章多元函数微分学

在前面几章中 ,我们讨论的函数是只有一个自变量的函数 ,即一元函数 ,研究的是一元函数的微积分 .但在现实问题中 ,常常出现一个变量依赖于两个或两个以上变量的情形 ,这就是多元函数 .因此 ,将一元函数的微积分推广到多元函数的微积分是必要的 ,也是自然的 .本章讨论多元函数及其微分学,多元函数的积分学则留到下面的章节讨论.

5.1多元函数的极限与连续性

5.1.1点集基本知识

为了讨论多元函数 ,我们需要先介绍 n维空间 Rn中点集的基本知识 .首先我们把距离及邻域的概念推广到 n维空间.设 P1(a1,a2, ,an),P2(b1,b2, ,bn) ∈ Rn ,我们用

表示两点 P1,P2间的距离 .定义 5.1.1 (邻域)设 P0 ∈ Rn , δ> 0,点集

Nδ(P0)= { P | P ∈ Rn ,ρ(P, P0)
称为点 P0的δ邻域 ,简称邻域 .点集

N.δ(P0)= Nδ(P0){P0}

称为点 P0的去心 δ邻域 ,简称去心邻域 .下面我们给出 n维空间中内点、外点、边界点、聚点以及开集和闭集的概念 .定义 5.1.2 (内点,外点,边界点,聚点)设 G . Rn ,

(1)若 P0 ∈ G,且存在 δ> 0,使得 Nδ(P0) . G,则称 P0是 G的内点 . G的内点的集合称为 G的内部 ,记为G.

(2)若 P0 ∈ G,且存在 δ> 0,使得 Nδ(P0)G = .,则称 P0是 G的外点 . G的外点的集合称为 G的外部 .

(3)若 P0 ∈ Rn ,且对任意的 δ> 0, Nδ(P0)中既有点属于 G,又有点不属于 G,则称 P0是 G的边界点 . G的全部边界点的集合称为 G的边界 ,记为G.

(4)若 P0 ∈ Rn ,且对任意的 δ> 0, δ(P0)中总有点属于 G,则称 P0是 G的聚点 .

定义 5.1.3 (开集,闭集)设 G . Rn ,

(1)若 G的所有点都是 G的内点,即 G = G. ,则称 G为开集 .

(2)若 G关于全集 Rn的补集 (即 Rn G)为开集,则称 G为闭集 .

(3)如果点集 G内任意两点 ,都可用曲线连接起来 ,且该曲线上的点都属于 G,则称 G为连通集 .

(4)若 G是开集,又是连通集,则称 G为开区域 .

(5)若存在开区域 A,使得 G = A称 .A,则称 G为闭区域 .

(6)开区域与闭区域统称区域 .我们规定 ,空集 .既是开集又是闭集 ,因而全空间 Rn既是开集又是闭集 .除此之外 , Rn的任何非空真子集都不可能既是开集又是闭集.定义 5.1.4 (有界集 )设 G . Rn , P0 ∈ Rn .若存在 k ∈ R,使得 G . Nk(P0),则称 G为有界集 ,此时称 d(G) = sup{ ρ(P1,P2)|. P1,P2 ∈ G }

为 G的直径 .否则,称 G为无界集 .例 5.1.1设 R3中的点集

A = {(x, y, z)| x 2 + y 2 + z< 1 },

B = {(x, y, z)| x 2 + y 2 + z 2 : 1 },

C = {(x, y, z)| x 2 + y 2 + z 2 =1 },

则由定义可得下列结论:

(1) A= B = A, C = ;

(2) A = B = C = C;

(3)集合 A, B的聚点的集合都是 B, C的聚点的集合是 C;

(4) A, B, C都是连通集,也是有界集,直径都是 2;

(5) A是开集也是开区域, B是闭集也是闭区域, C是闭集但不是闭区域.例 5.1.2设 R2中的点集 G = (x, y是)是是x = n 1 ,y = n 1 ,n ∈ N不 ,则由定义可得下列结论 :

(1) G = ;

(2) .G = G称 {(0, 0)};

(3)集合 G有唯一的聚点 (0, 0);

(4) G不是连通集,不是开集,也不是闭集;

(5) G是有界集且 d(G)= 2.

5.1.2多元函数的概念

定义 5.1.5 (n元函数)设 D . Rn ,我们称映射为定义在 D上的 n元函数 . n元函数也常常记为

y = f(P ),P ∈ D,或 y = f(x1,x2, ,xn), (x1,x2, ,xn) ∈ D.

变量 x1,x2, ,xn称为自变量 , y称为因变量 , D称为函数 f的定义域 ,记为 D(f).

f(D)= { f(P )| P ∈ D(f)}称为函数 f的值域 .在记号上,我们常将二元函数 f : D → R (D . R2)记为

z = f(x, y), (x, y) ∈ D;将三元函数 f : D → R (D . R3)记为

u = f(x, y, z), (x, y, z) ∈ D.

二元函数和二元以上的函数统称为多元函数 .

与一元函数类似 ,对于由解析表达式给出的多元函数 ,常常并不明确表明定义域 ,此时多元函数的定义域理解为其自然定义域 ,也就是使这个解析表达式有意义时自变量所容许变化的范围.例如,二元函数 z = 1 . 1×2 . y2 ,其自然定义域为 {(x, y)| x 2 + y 2 < 1 }.

与一元函数类似 ,我们可以定义多元隐函数 ,多元复合函数 ,多元初等函数 ,以及多元有界函数,在此不赘述.

例 5.1.3讨论下列函数的定义域.

我们知道 ,一元函数 y = f(x)的图形是所有满足等式 y = f(x)的点 (x, y)的集合 ,通常是平面上的曲线 .类似地 ,二元函数 z = f(x, y)的图形是所有满足等式 z = f(x, y)的点 (x, y, z)的集合 ,通常是空间曲面 .例如函数 z =2x +3y +4的图形是空间中一平面 ,而函数 z = x2 + y2的图形是圆锥面.

5.1.3多元函数的极限

极限的概念是研究函数性态的重要工具.下面我们以二元函数为例来叙述多元函数极限的定义.

一、二重极限

定义 5.1.6 (二重极限)设 D . R2 ,函数 f(x, y)在 D上有定义, P0(x0,y0)是 D的聚点.若存在常数 A,使得对于任意给定的正数 ε,总存在正数 δ,当 P (x, y) ∈ D且 0
则称函数 f(x, y)在 P → P0时以 A为极限,记为

也记作

或

这个极限也称为二重极限.简单地说, lim f(x, y)= A .ε> 0, .δ> 0,当时,

恒有 |f(x, y) . A| < ε.以上关于二元函数的二重极限的概念,可相应地推广到 n元函数的 n重极限,读者可以自行完成.例 5.1.4试用定义证明 lim (2x +4y) = 10.

解因为是

二重极限的定义与一元函数极限的定义在形式上并无多大差异,因此,一元函数极限的运算法则 (如四则运算法则,无穷小的运算法则)与有关性质 (如极限的唯一性,局部有界性, 夹逼准则)等都可以推广到二重极限中来.但由于变量的增多,二元函数的定义域是平面点集,二重极限的复杂性在于点 P (x, y)在平面上趋向于点 P0(x0,y0)的方式是多种多样的,而二重极限 lim f(x, y)= A是指点 P (x, y)在定义域中以任何方式趋向于点 P0(x0,y0)时, 都趋向于同一个常数 A.因此,如果 P (x, y)在定义域中以某一特殊的方式 (如沿着某条确定的直线或某条确定的曲线)趋向于点 P0(x0,y0)时, f(x, y)趋向于某一常数,我们并不能由此断定二重极限存在.但是,如果当 P (x, y)以不同方式趋向于点 P0(x0,y0)时, f(x, y)趋向于不同的值,那么我们就可以断定函数 f(x, y)在 P0(x0,y0)处极限不存在.

例 5.1.5试求极限 .

解方法 1:因为

所以 ε> 0,取 δ =2ε,当 0
由定义可知 lim xy =0.

方法2:f(x,y)=xyx2+ y2 =xyx2+ y2 ,x是无穷小, : 1是有界变量,无

穷小与有界变量的积是无穷小,所以

方法 3:记 f(x, y)= x2 + y2 ,令 x = ρ cos θ, y = ρ sin θ,则 ,

所以

例 5.1.6 求下列极限:

例 5.1.7试证 f(x, y)= x2 + y2在 (x, y) → (0, 0)时无极限.

解方法 1:当点 P (x, y)沿直线 y =0趋向于 (0, 0)时,

当点 P (x, y)沿直线 y = x趋向于 (0, 0)时,

由此可知 ,当 (x, y)以不同方式趋向于 (0, 0)时, f(x, y)趋向于不同的值 ,所以 f(x, y)= xy

x2 + y2在 (x, y) → (0, 0)时无极限.

方法 2:令 x = ρ cos θ0,y = ρ sin θ0,θ0为常数,且 0 : θ0 < 2π,则 ,由于点 P沿着直线 L : x = ρ cos θ0,y = ρ sin θ0趋向于 (0, 0)时,

其极限值随着 θ0的变化 (即随着直线 L的变化 )而取不同的值 ,所以函数 f(x, y)在 (x, y) → (0, 0)时无极限.

二、累次极限

上面介绍的二重极限 ,是当函数的两个自变量 (如果是 n元函数 ,就是 n个自变量 )同时趋于各自的极限时所得出的 .除此之外 ,有时我们还会遇到函数的两个自变量按先后次序分别趋于各自的极限的情形,这就是累次极限.

对于二元函数 f(x, y),先把变量 y固定 (视 y为参数 ),这时 f(x, y)只是 x的一元函数 ,如果对于一切固定的 y,极限 lim f(x, y)存在,则这个极限是与 y有关的函数,记为

然后再让 y → y0,考虑 .(y)的变化,若 lim .(y)也存在,设为 A,即