描述
开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787302483151丛书名: 新视野电子电气科技丛书
目录
第1章自由空间的静电场
1.1库仑定律
1.2电场强度矢量的定义
1.3连续电荷分布
1.4体积分和面积分
1.5给定电荷分布下的电场强度矢量
1.6电标量位的定义
1.7给定电荷分布的电位
1.8电压
1.9静电场中电场和电位之间的微分关系
1.10梯度
1.11三维和二维电偶极子
1.12高斯定律及其证明
1.13高斯定律的应用
1.14高斯定律的微分形式
1.15散度
1.16静电场中的导体
1.17带电导体产生的电场和电位的分析
1.18静电屏蔽
1.19任意形状金属体的电荷分布
1.20带电金属体数值分析的矩量法
1.21镜像理论
问题
第2章电介质、电容和电能量
2.1电介质的极化
2.2极化矢量
2.3束缚体电荷密度和面电荷密度
2.4极化电介质产生的电场和电位的分析
2.5广义高斯定律
2.6电介质材料的性质
2.7静电场的麦克斯韦方程
2.8线性、各向同性和均匀媒质中的静电场
2.9电介质电介质的边界条件
2.10泊松方程和拉普拉斯方程
2.11拉普拉斯方程数值解法的有限差分法
2.12电容器电容的定义
2.13均匀电介质电容器的分析
2.14不均匀电介质电容器的分析
2.15静电系统的能量
2.16电场能量密度
2.17静电系统的电介质击穿
问题
第3章恒定电流
3.1电流密度矢量和电流强度
3.2电导率与局部形式的欧姆定律
3.3导体的损耗和焦耳定律的局部形式
3.4连续性方程
3.5恒定电流的边界条件
3.6恒定电流场的电荷分布
3.7弛豫时间
3.8电阻、欧姆定律和焦耳定律
3.9电导和电容之间的对偶
3.10外部电能体积源和电源
3.11不均匀非理想电介质电容器的分析
3.12载有恒定电流的有损传输线的分析
3.13接地电极
问题
第4章自由空间的静磁场
4.1磁场力和磁通密度矢量
4.2毕奥萨伐尔定律
4.3给定电流分布的磁通密度矢量
4.4安培定律的公式
4.5安培定律的应用
4.6安培定律的微分形式
4.7旋度
4.8磁通守恒定律
4.9磁矢量位
4.10安培定律的证明
4.11磁偶极子
4.12洛伦兹力与霍尔效应
4.13磁场力的计算
问题
第5章媒质中的静磁场
5.1磁化矢量
5.2导磁材料的性能和分类
5.3磁化体电流和面电流密度
5.4广义安培定律
5.5导磁材料的磁导率
5.6静磁场的麦克斯韦方程和边界条件
5.7磁场的镜像理论
5.8磁化曲线与磁滞
5.9磁路——基本分析假设
5.10磁路的基尔霍夫定律
5.11非时变电磁场的麦克斯韦方程
问题
第6章慢时变电磁场
6.1感应电场强度矢量
6.2慢时变电场与磁场
6.3法拉第电磁场感应定律
6.4慢时变电磁场的麦克斯韦方程
6.5变压器感应的计算
6.6由于运动产生的电磁感应
6.7总电磁感应
6.8涡流
问题
第7章电感和磁场能量
7.1自感
7.2互感
7.3磁耦合电路的分析
7.4载流导体的磁场能量
7.5磁场能量密度
7.6从磁场能量计算内电感与外电感
问题
第8章快时变电磁场
8.1位移电流
8.2快时变电磁场的麦克斯韦方程
8.3电磁波
8.4快时变电磁场的边界条件
8.5快时变电流连续性方程的不同形式
8.6时谐电磁场
8.7时谐场量与电路量的复数表示
8.8复数域的麦克斯韦方程
8.9洛伦兹电磁位函数
8.10复域中高频位函数和场计算
8.11坡印廷定理
8.12复坡印廷矢量
问题
第9章均匀平面电磁波
9.1波动方程
9.2均匀平面波的近似
9.3均匀平面波的时域分析
9.4时谐均匀平面波和复数域分析
9.5电磁波谱
9.6任意方向的均匀TEM波
9.7有损媒质中的时谐波理论
9.8基本传播参数的明确表达式
9.9良电介质中波的传播
9.10良导体中波的传播
9.11集肤效应
9.12等离子体中波的传播
9.13色散和群速度
9.14电磁波的极化
问题
第10章平面波的反射与透射
10.1理想导电平面上的垂直入射
10.2在可穿透交界面的垂直入射
10.3良导体的表面电阻
10.4用摄动法计算小损耗
10.5理想导体上的斜入射
10.6矩形波导的概念
10.7电介质边界上的斜入射
10.8总内反射和布鲁斯特角
10.9多层媒质中的波传播
问题
第11章传输线的场分析
11.1均匀电介质的无损耗传输线中的TEM波
11.2横向平面中的静电场和静磁场分布
11.3传输线导体的电流和电荷
11.4双导体传输线的分析
11.5低损耗传输线
11.6传输线导体和电介质的衰减系数
11.7传输线的高频内电感
11.8传输线的原电路参数和副电路参数的计算
11.9非均匀电介质的传输线
11.10多层印制电路板
问题
第12章传输线的电路分析
12.1电报方程及其在复域中的解
12.2无损耗传输线的电路分析
12.3低损耗传输线的电路分析
12.4传输线的反射系数
12.5传输线的功率计算
12.6传输线的阻抗
12.7传输线电压和电流的完整解
12.8短路、开路和匹配传输线
12.9传输线谐振器
12.10低损耗谐振器的品质因数
12.11史密斯图的构建和基本性质
12.12利用史密斯图的传输线电路分析
12.13传输线的暂态分析
12.14一对戴维南等效电源和传输线暂态反射系数
12.15具有纯电阻终端的传输线的阶跃响应
12.16脉冲激励的传输线分析
12.17弹跳图
12.18电抗或非线性终端的暂态响应
问题
第13章波导和谐振腔
13.1基于平面波的多次反射矩形波导的分析
13.2行波和消散波
13.3波导主模式
13.4矩形波导的一般TE模式分析
13.5矩形波导中的TM模式
13.6任意波导模式的截止频率
13.7TE波和TM波的波阻抗
13.8沿波导的功率流
13.9低损耗波导
13.10波导色散和波速
13.11波导耦合器
13.12矩形谐振腔
13.13存储在谐振腔中的电磁能量
13.14低损耗矩形谐振腔的品质因数
问题
第14章天线和无线通信系统
14.1赫兹偶极子的电磁位函数和场矢量
14.2远场和近场
14.3任意天线的远场计算步骤
14.4辐射功率、辐射电阻、天线损耗和输入阻抗
14.5天线特征辐射函数和辐射方向图
14.6天线的方向性系数和增益
14.7天线的极化
14.8导线偶极天线
14.9理想导电接地平面上方的天线镜像理论
14.10单极天线
14.11磁偶极(小环)天线
14.12接收天线理论
14.13天线有效孔径
14.14无线链接弗利斯传输公式
14.15天线阵列
问题
附录A物理量、符号、单位和常数
附录B数学公式和恒等式
附录C矢量代数和微积分
附录D部分习题答案
前言电磁理论是技术教育的基础，但同时也是学生想学好的难的课程之一。为了帮助学生克服困难，这里向本科生提供了一本关于电磁场和波的教科书，名为《电磁学》。通过强调电磁理论数学的严格性和物理的理解力，本书为工程和物理专业的学生以及其他使用者提供综合知识和牢固的电磁学基础，目的是接近实际工程应用。本书主要（但不）是为电气、计算机工程、物理学和相关专业的大学三年级水平的学生设计的，既可以是两个学期（或两个1/4学期）的系列课程，也可以是一个学期（或一个1/4学期）的课程。本书包含关于静电场、恒定电流场、静磁场、慢时变（低频）电磁场、快时变（高频）电磁场、均匀平面电磁波、传输线、波导和谐振腔、天线和无线通信系统等14章内容。很显然，有很多关于本科生电磁学的教材（或许其中多数是适合于其他学科的）都很好，也很重要。然而，本书的目的在于结合所有这些书的精彩部分和优势。本书也引入一些目前已有的教材里没有提到的新的教学理念。本书介绍了许多非常规的章节内容，在理论和实际方面都很重要，包含了展示挑战性的课题、抽象化的电磁现象、创新方略和教学指导，提供了电磁场与波的计算及问题的求解，还有重要的（根据学生们目前的判断）例题解析、作业问题、概念性问题和MATLAB编程练习，目标是显著提高学生对于电磁学的理解，以及对待电磁学这一学科的态度。总体来说，本书旨在作为本科生电磁学的“终极资源”。本书特色如下： 371个带有详细分析和引导性解题方法的实例，与理论紧密结合，也包括解题的方略。 650个基于现实的课后问题，完全受求解的例题支撑（每个问题都对应一个例题）。 没有任何遗漏步骤的清晰、严谨、完整、有逻辑的内容展示，广度和深度的平衡，静态场（1/3）与动态场（2/3）的平衡。 包括传输线问题的方案，在内容的选择、重点、课程中材料的排序上都体现了灵活性。 很多非常规的标题和小标题以及新的推导、说明、证明、解释、例题、教学指导和可视化展示。 500个多选概念问题（在同步网站上），检验读者对本书内容的概念理解。 400个MATLAB上机练习和工程项目（在本书同步网站上），带有详细的解答（指导）和MATLAB程序代码（m文件）。本书同步网站： www.pearsonhighered.com/notaros。下面更详细地介绍上述内容和本书的其他特点。例题与课后问题本书重要的一个特点就是给出大量带有详细解答和引导性方法的实例以及与例题一一对应的课后问题（作业）。本书共有371个实例，都与理论紧密结合，很好地补充了理论性的概念，系统地培养学生解决问题的能力。本书还提供了650个问题，作为课后练习在章末出现。重要的是，对于每一个或一系列的作业问题，都对应一个或一系列的例题，其详细的解答为学生和其他读者提供了必要的指导并引导他们独立解决问题，完成作业任务，为测试和考试做准备。丰富且高质量的例题和习题对于一个课程和班级来说是至关重要的： 学生们要求有越来越多的例题，随之而来的就是大量的习题（作为作业和考试的准备），这正是本书所能提供的。本书中的例题和问题侧重于实体概念的推理和数学合成方法，不是纯粹公式化的（枯燥无味）解题方法。也没有枯燥、复杂的纯数学公式。这些例题的基本目标是教会读者从不同的（或多或少具有挑战性）方面对问题进行推导，并帮助他们获取信心，真正地理解并喜欢这些材料。很多的例题和问题都具有实际的工程背景。例题的解答展示并解释了每个步骤，有大量对方法、策略及其他解题方法的讨论。解题的方法通常会给出不止一种，以帮助读者真正地理解并培养解决实际电磁场问题的能力。通过获取这样的能力，读者也会得到在电磁场学习、理论基础和实际应用上的信心，这种能力不限于通过浏览书本去搜索一个“黑匣子”一样抽象的公式或者一连串的公式，也不是对计算器熟练地使用，进行枯燥的计算。实际上，重要例题对于教师来说也是非常有用的——尤其在教学过程中——因为这些例题更适合在班级内进行逻辑性描述和讨论，要比枯燥的或者纯粹的“数学”例题更令学生感兴趣。清晰，精确，全面连同大量的各种类型的例题和问题（还有简答题和练习题），为了兼顾宽度和深度的平衡，本书特色的就是整部教材贯穿始终的、专注内容的清晰性、完整性和教学方法。作为科学和工程学科的基础，电磁学给几乎所有它所涵盖的领域提供完整的物理解释和严密的数学模型。因此，除了几个基本的实验定律（例如库仑定律）以外，理所当然地必须考虑模型的建立，在建立令人印象深刻和激动的电磁学理论过程中，所有的过程步骤都以一致的、有意义的方式及足以让读者理解和领略到的细节清晰地展示给读者。这就是本书所试图做到的。简单地说，新的引出、说明、证据、解释和可视化都逐字逐句地进行了推导、证明和解释（除了几个实验定律以外）。困难的、重要的概念和推导均有规律地以不少于一种方式展示出来，帮助学生理解和掌握学习的内容。尽管偶尔会跳过某些步骤和细节，但我们做了的努力使论题、概念、方程和构思具有连贯的逻辑性。然而，这些也可以做成模块化结构，感到一些步骤、推导和证明在某个地方被忽视的读者（以后有机会）也可以这么做，但是这个留给读者来考虑（或者留给课程指导教师来考虑和建议），而不是由作者来完成。总的来说，我的方法是，在书中理论部分和例题中提供所有可能的（或者必要的）解释、引导和细节，而学生的实际理解材料的能力、思考能力和独立作业能力要通过每章后面的大量的相关的习题和概念性问题来测试和经受挑战。另一方面，我也完全意识到，乍看之下简洁会吸引学生，因为这明显意味着课后的阅读量较少。然而多数学生会承认，与一页有太多缺口的浓缩的材料截然相反，使用几页完整的解释和展示的材料会更容易、更快速地阅读和理解。在我这些年接触的学生中，我经常告诉他们事实上我更喜欢有完全推导和解释的，有大量作为例子并提供解答的问题的书，而不喜欢页数较少，许多重要部分、步骤和解释都空缺的，几乎没有详细解答的书。这就是我编写本书的原始动机。内容的选择在电磁学教学过程中，本书提倡并采用直接的或者按时间先后的顺序，而不是相反，这一点可以简要地概括为先静后动或者先场（静、准和快速时变的）后波（均匀平面波、传输线、波导和天线）。另外，本书以静态场（三分之一）和动态场（三分之二）的顺差为特色。如果有把一些章节安排给学生作为阅读作业的可能性，理想地使用本书的一门课程或者一个系列课程能完整地涵盖本书的所有内容。然而，在实际教学内容或者其中某些部分以及在一门课程（或者多门课程）中安排章节方面，本书允许很大的灵活性和很多不同的选择。个方案是快速浏览第1~7章，只做基本概念和方程，以及每章里面的一些例题，快速达到第8章（一般形式的麦克斯韦方程等），然后做所有关于一般形式麦克斯韦方程的应用，包括从第1~7章选出的论题，适量地完成所有其他章节涵盖的内容。这个方案基本上反映了电磁学教学过程中论题的反序（非时间先后顺序）。实际上，可以有很多适应不同重点领域和课程专业化成果的不同方案和有效的时间安排，所有这些按照时间先后顺序进展，贯穿本书的第1~14章，按照独立章节的内容选择不同的速度和不同的水准。为了帮助使用本书的老师制订教学计划，帮助学生和其他读者根据自己的学习目标和需要优化安排书的内容，表1和表2分别按照必修、选修和优先次序给出两种章节分类，以指出哪些章节可以跳跃或者略读。这仅仅是个参考，我希望书中的章节标题将会有大量的富有创造性的、有效的、多种多样的组合，定制出满足老师、学生和其他读者兴趣和需要的连贯的课程大纲和教学计划。
表1按照必修和选修进行章的分类。基于特定的重点领域和课程或者系列课程所期望的内容以及可能的课时，其中必修的章是那些将来会在多数课程覆盖的内容，而一些选修的章可能会被跳过（或者略读）。在课程内容选择过程中，这个在章层面上的分类可以结合表2所给的章节层次分类
必 修 的 章选 修 的 章
第1章自由空间的静电场第2章电介质、电容和电能量
第3章恒定电流第5章材料媒质中的静磁场
第4章自由空间的静磁场第7章电感和磁场能
第6章慢时变电磁场第10章平面波的反射与透射
续表
必 修 的 章选 修 的 章
第8章快时变电磁场第11章传输线的场分析
第9章均匀平面电磁波第13章波导和谐振腔
第12章传输线的电路分析第14章天线和无线通信系统
表2根据覆盖范围的优先次序，按照两个“层次”进行章节分类。如果特定的重点领域、课程或者系列课程期望的具体内容以及可能的课时，任何某一章中的某一节或者更多的节被跳过（或者被略读），就建议从第二层次选修，当然这个对于层次的节，不排除可能的遗漏（或者只是略提一下）
章层次的节第二层次的节
第1章自由空间的静电场1.1~1.4，1.6，1.8~1.10，1.13~1.161.5，1.7，1.11，1.12，1.17~1.21
第2章电介质、电容和电能量2.1，2.6，2.7，2.9，2.10，2.12，2.13，2.15，2.162.2~2.5，2.8，2.11，2.14，2.17
第3章恒定电流3.1~3.4，3.8，3.10，3.123.5~3.7，3.9，3.11，3.13
第4章自由空间的静磁场4.1，4.2，4.4~4.7，4.94.3，4.8，4.10~4.13
第5章材料媒质中的静磁场5.1，5.5，5.6，5.8，5.115.2~5.4，5.7，5.9，5.10
第6章慢时变电磁场6.2~6.56.1，6.6~6.8
第7章电感和磁场能7.1，7.4，7.57.2，7.3，7.6
第8章快时变电磁场8.2，8.4，8.6~8.8，8.11，8.128.1，8.3，8.5，8.9，8.10
第9章均匀平面电磁波9.3~9.7，9.11，9.149.1，9.2，9.8~9.10，9.12，9.13
第10章平面波的反射与透射10.1，10.2，10.4~10.710.3，10.8，10.9
第11章传输线的场分析11.4~11.6，11.811.1~11.3，11.7，11.9，11.10
第12章传输线的电路分析12.1~12.6，12.11，12.12，12.1512.7~12.10，12.13，12.14，12.16~12.18
第13章波导和谐振腔13.1~13.3，13.6，13.8，13.9，13.1213.4，13.5，13.7，13.10，13.11，13.13，13.14
第14章天线和无线通信系统14.1，14.2，14.4~14.6，14.8，14.14，14.1514.3，14.7，14.9~14.13
终重要的是，如果在课堂上一些章节被跳过或者略读，但是在教材中却没有被跳过或者简略，学生可以利用本书那些没有安排为详细讲解的章节内容快速找到并领会其他信息，填补缺失的部分。传输线问题的方案在使用本书过程中，按照章节（主题）顺序的一个可能的例外就是第12章（传输线的电路分析）。该章可以安排在不同位置，即安排在任何时间甚至课程的开始，接着继续传输线问题的方案，以达到教和学的目的。也就是说，本书传输线场和路的分析完全被解偶了。因此，任何场理论方面的内容都放在第11章（传输线的场分析），而纯电路理论放在第12章。如果首先讲电路分析，传输线的单位长度特性（分布参数）被认为理所当然（假设已知）来自场的分析。表3给出使用本书学习一阶传输线分析的方案。
表3对于传输线问题的方案，本书内容的排序。第12章仅用电路理论的概念阐述（所有关于传输线的场论方面的内容放在第11章），因此传输线的内容可以放在课程的开始（或者课程开始后的任何时间）。注意有两节介绍（或者复习）时谐电压和电流的复数表示（8.6节和8.7节），必须放在第12章之前讲解
8.6节时谐电磁场
8.7节时谐场和电路品质因数的复数表示
第12章传输线的电路分析第1~11、13、14章或者表1中的章和表2中的节的选择
多项选择的概念性问题本书在同步网站提供500个概念性问题。这些都是多项选择题，集中于教材的核心概念，要求概念推理和理解而不是计算。它们用来检查读者理论学习和例题学习的效果（作业问题和概念问题参考每节的后）。总体来说，概念性问题看起来简单一些，但是学生经常发现这些概念性问题比标准的问题还难。在教学方法上，这些概念性问题是宝贵的资源。这些概念性问题作为课内问题和讨论（所谓的主动式教学）与传统教学的结合也是理想的。 此外，概念性问题非常适合课堂评价，即评定学生的成绩和评价教学效果，通常作为课程的“预备测试”和“期末测试”分数之间的“收益”，尤其ABET和类似的考核标准（在这些标准中的关键词是“评价”）。本书提供了大量经过选择的概念性问题，在课程中和整个课堂教学中，对于不同点上的个别主题，指导教师可以很容易地用作部分和终的评价手段。
MATLAB 练习，学习指南和课程设计本书在同步网站上提供大量综合性的MATLAB练习，并与教材密切结合。不论理论还是例题，都被设计成有助于提高学生对电磁学更强的直观感觉和更深入的理解，并让学生发现电磁学更吸引人和令人喜爱。之所以选择MATLAB，主要是因为它是在科学和工程教育的世界范围内被普遍接受的标准。同步网站上共有400个MATLAB练习，涉及本书所有章节，在每节的后还有补充问题和概念性问题。每节都有大量的辅导练习，且都有非常详细的解答以及MATLAB代码（m文件）。这个资源给指导教师提供了丰富的资源来安排课内和课后作业。矢量代数和微积分本书介绍了矢量代数和矢量微积分的内容，并逐渐在本书各章节使用，着重于物理的理解和与电磁场理论概念的即时联系，而不是单纯的数学知识。它们完全与电磁场理论的发展相结合。电磁场理论确确实实地属于生活并指导生活。梯度、散度、旋度、拉普拉斯以及线（环量）、面（通量）和体积分逐步地从物理学（电磁学）视角加以推导。它们很自然地作为电磁场方程和定律的积分部分，并且其物理意义鲜明，而且容易理解。此外，即使没有学过矢量代数和矢量微积分的读者，直接通过前面几章（见附录3“矢量代数和微积分索引”），也能实实在在地学习或者更新矢量分析概念。电路理论的链接本书关于电磁理论和电路理论之间的联系的详细讨论贯穿所有章节。书中有对包含直流和交流电路理论的所有单元的物理解释。所有基本的电路理论方程（电路定律、元件定律等）都是从电磁场理论推导的。总的来说，以电磁理论作为电路理论和电气工程的基础，目标是使读者培养对电磁理论的欣赏； 以电路理论作为电磁场理论的近似，可以使读者理解电路理论的局限性。历史回顾本书几乎所有章都给出相当详细的、引人入胜的电磁场领域的著名科学家和先驱者的传记。有40个传记，按我的观点，这些传记不仅从历史上看非常有趣，而且也是有益的。这些传记给整个科学技术界提供了令人难忘的、始终如一的、完整的理论——电磁理论——按照时间顺序发生的真实的故事。同时很多还提供了技术事实和解释，以补充本书的材料不足。我也感觉到关于发现者的一些基本知识——他们对于人类取得了划时代的科学进步，做出了深远的贡献——例如法拉第、麦克斯韦、亨利、赫兹、库仑、特斯拉、海维赛德、奥斯特、安培、欧姆、韦伯等，是工程和物理学学生“综合教育”中不能替代的部分。补充读物本书每章末配有问题详细解答过程（书中例题的求解用同样的方式提供）的解答手册（给指导教师），概念性问题的答案，所有MATLAB计算机练习和设计的MATLAB代码（m文件），以及用PowerPoint幻灯片制作的教材和补充读物中的图解。网站上也提供了本书的电子教材。致谢本书基于作者在前南斯拉夫（塞尔维亚）贝尔格莱德大学、美国柯林斯堡的博尔德科罗拉多大学、马萨诸塞州达特茅斯大学和科罗拉多州立大学20多年的电磁教学和研究。我感谢在这些机构工作的同事，还有我以前的博士研究生，他们的讨论、建议、想法、热情、首创精神、协作教学以及合作著书形成了我在电磁学方面的知识、教学风格、教授方法和著作，他们是Branko Popovi教授（已故）、Milan Ili教授、Miroslav Djordjevi教授、Antonije Djordjevi教授、Zoyo Popovi教授、Gradimir Boilovi、Momilo Dragovi教授（已故）、Branko Kolundijavi教授、Vladimir Petrovi教授以及Jovan Surutka教授（已故）。我感谢这些年来我所教过的所有学生，他们给了我在教授电磁学过程中的全部快乐，教会我如何把教学做得更好。我尤其感谢我现在的博士研究生Nada ekelji、Ana Mani和Sanja Mani，他们在撰写MATLAB计算机练习、教程和代码过程中给予我非常宝贵的帮助，并且检查书中的引出和例题，求解精选的每章后面的问题。我把特别的感激之情献给我的同事和曾经的学生Milan Ili教授，感谢他在写书伊始的计算机插图方面的出色的工作和帮助。我的同事和曾经的学生AndjelijaIli、Miroslav Djordjevi教授以及Olivera Notaro对书中的插图也做了非常有益的贡献，在此表示衷心的感谢。我感谢本书原稿的评审专家，他们提出了极其详细的、有用的、积极的和充分的意见，我认为这些意见帮助我提高了书的质量，他们是Indra Chatterjee教授、Robert J. Coleman教授、Cindy Harnett教授、Jianming Jin教授、Leo Kempel教授、Edward F. Kuester教授、Yifei Li教授、Krzysztof A. Michalski教授、Michael A. Parker教授、Andrew F. Peterson教授、Costas D. Sarris教授和Fernando L. Teixeira教授。特别感谢Pearson Prentice Hall出版社团队的全体成员，他们都很优秀。尤其要感谢我的编辑Andrew Gilfillan，他给了我极大的帮助和支持，他的输入在手稿和书形成的几个阶段都是基本的工作。感谢我制作人Scott Disanno非常熟练地引导书的制作。感谢Prentice Hall出版社的副主编和编辑部主任Marcia Horton在设计的初始阶段的大量交流和支持。感谢Prentice Hall出版社早期的发行人Tom Robbins初的鼓励。我希望他们喜欢我们广泛的交流和讨论。我要感谢我的妻子Olivera Notaro，她也在科罗拉多州立大学电子与计算机工程系任教，她不仅给予我一贯的大力支持和理解，而且直接参与手稿写作和书的制作，提出了非常独特的想法和建议，如果没有她，这本书是不可能的，或者至少是非常困难的。我还要感谢我可爱的女儿Jelena和Milica非凡的支持，希望我能实现对她们的承诺，离开写作休息一段时间。和我以前的书一样，我很悲伤本书的写作占据我这么长的时间，我挚爱的父母Smilja和Mile没有收到本书的清样就去世了。后就个人而言，我的确热爱电磁学和电磁学教学，我希望本书将至少会把我的一部分热爱和热情传递给读者，帮助越来越多的学生开始喜欢和欣赏这个迷人的、具有无穷无尽影响力的学科。我很骄傲我能够在我的班级传递这些，而且现在很高兴也很渴望利用这本书把这些传播给更多的读者。请把关于这本书的评论、建议、问题和修正（我希望不会有很多）发给我： [email protected]。Branislav M. Notaro柯林斯堡，科罗拉多“我坚信，学生们花在这本书上的时间是值得的。但我说不清楚怎样才能把作者的信心传递给学生。”——本书手稿的匿名评审专家“I believe but cannot explain that the authors confidence is somehow transferred to the student as a trust that the text they are reading and learning from is worth their time.”——Anonymous reviewer of the book manuscript
图3.1两端维持一个电位差的导体
考虑一个导体，其两端与电压为V的电源相连，如图3.1所示。因为导体两端有电位差，在导体内部存在一个强度为E的电场（通过导体的E的线积分，即式（1.90），不是零）。注意这个情况与图1.38中的情况本质上是不同的，图1.38中发生了电荷的瞬态重新分配，导体内部零电场下的静电平衡建立起来。这里导体不是孤立的，而是通过导线与电动势源（发电机）连接，提供使自由电荷移动的力，并阻止电荷堆积在一起，有使导体内的电场减弱的趋势。为了简单起见，假设导体内的自由电荷载流子只有电子（例如在金属导体中）。因此每个电荷的电场力为（由式（1.23））
Fe=－eE（3.1）
式中电荷量e（e>0）由式（1.3）给出。这个力迫使电子在导体两端之间穿过导体移动。然而，由于电子不处于自由空间中，所以它们不能在电场的影响下无限加速。电子获得很高速度之前与原子晶格碰撞，然后获得一个新的随机速度?瘙經t。由于电场E每隔Δtc，即10－14s（典型的室温下碰撞的平均间隔时间）必须重新开始对电子加速，因此它只是轻微地但以系统化的方式改变电子的随机热运动速度。这个相对轻微的自由电子的系统漂移是电传导（电流）的基础。一个简单的初始瞬变之后，电子获得一个稳态平均速度，其大小由外加电场加速力Fe和原子晶格碰撞的分散效应之间的平衡决定。这个速度叫作漂移速度，记作?瘙經d。一般，vdvt，由于外场施加前电场对当前的速度分布只产生很小的改变，?瘙經d是自由电荷沿电场线方向微观速度的宏观合成。在多数情况下，对于合理数量的电流载流子，在金属中自由电荷沿电场线方向的微观速度在数量级上不比?瘙經d的10-4m/s大（我们在后面的例题中可以看到）。漂移速度和电场强度矢量呈线性比例关系，即
?瘙經d=－μeE（3.2）
式中常数μe是给定材料中所谓的电子迁移率。该迁移率的单位是m2/(Vs)，定义为正数。对于电子，?瘙經d的方向以及Fe的方向都与E的方向相反。好的导体迁移率高。现在我们可以说，导体中的电荷载流子以宏观平均速度?瘙經d穿过导体移动。这是一个有序的电荷定向移动，构成穿过导体的电流。然后我们引入一个新的场量，描述一点的电流： 电流密度矢量J，定义为
J=Nv(－e)?瘙經d（3.3）
式中Nv是载流子的浓度，即单位体积或1m3载流子的数量（单位是m-3）。例如，金属铜中导体电子的浓度为Nv=8.45×1028m-3。由于每个铜原子有一个传导带电子，所以这个数值等于单位体积铜原子的数量。对于所有固体，单位体积的原子数近似相等。电流密度也可以通过电流强度I定义，电流强度又定义为电荷穿过一个面的运动速率（例如穿过圆柱形导体的截面），即
I=dQdt（3.4）
换句话说，I等于在时间元dt内穿过一个面的电荷的总量除以dt。电流强度通常简称电流，单位是安培或安（A），等于C/s。电流密度矢量的方向与电荷的宏观运动方向一致，即电流方向。如果设一个垂直于电流线的面积元dS，如图2.3(a)所示，就可以给出电流密度矢量的大小：
J=dIdS（3.5）
式中dI是穿过面dS的电流。J的单位是A/m2，意味着它实际上是代表一个体电流的面密度。
为了表明式（3.3）和式（3.5）中的电流密度J的定义是等效的，我们知道在时间间隔dt内通过面dS的电荷总量为
dQ=NvdSvddtΔv(－e)（3.6）
（在时间间隔dt内，一个电荷移动距离vddt，在体积Δv=dSvddt内所有电荷的总数量为浓度Nv乘以Δv，这些电荷通过面dS）。利用式（3.3）中电流密度J的定义，这个公式变为
dQ=JdSdt（3.7）
再除以dt，根据J可以得到流过dS的电流强度dI：
dI=JdS（3.8）
这个公式实际上与式(3.5)相同。在电流密度矢量与面积元不互相垂直的情况下，流过面积元的电流是
dI=JdSn=JdScosα=J·dS（3.9）
式中dSn是dS在与J垂直的平面的投影，α是J和dS之间的夹角（见图1.30）。因此，通过任意面S的总电流，如图3.2(b)所示，等于电流密度矢量穿过这个面的通量：
I=∫SJ·dS（3.10）
图3.2(a)通过电流强度定义电流密度，(b)通过一个面的总电流的计算
如果导体中存在几种以不同的平均速度漂移的自由电荷载流子，合成的电流密度矢量是式（3.3）中电流密度的矢量和：
J=∑Mi=1Nviqi?瘙經di（3.11）
该式对应于每一种载流子（例如半导体中的电子和空穴）。同样地，在计算式（3.4）中的合成电流强度时，取电荷的净流量。正电荷沿E的方向移动，负电荷沿相反方向，但是两者都加到总电流里。因此式（3.4）、式（3.5）和式（3.10）适用于计算任何导体和任何电荷载流子组合。
图3.3面电流密度矢量(JS)
在很多情况中，电流位于表面上一个非常薄（理论上无限薄）的片中，如图3.3所示。这就是所谓的面电流，用面电流密度矢量JS描述，其定义为
JS=NSq?瘙經d（3.12）
式中Ns是电荷载流子的面浓度（单位面积载流子的数量，单位m-2）。注意面电流密度矢量有时记作K。根据电流强度，面电流密度是
JS=dIdl（3.13）
式中dI是流过一个与电流垂直（图3.3）的线元dl的电流。JS的单位是A/m，表示面电流的线密度。例如，一个载有电流I的非常薄的铝带（箔），电流I均匀分布于宽度为w的铝带内，其面电流密度JS=Iw，JS方向与铝带轴线平行。例题3.1沿1km长铜线的电子漂移一条长度l=1km，半径r=3mm的铜线，载有强度I=10A的恒定电流。电流在铜线截面内均匀分布。求电子沿铜线漂移的时间。解答： 由于电流在导线截面（S）内均匀分布，导线的电流密度为（式（3.10））
J=IS=1πa2=3.54×105A/m2（3.14）
根据式（3.3），电子的漂移速度是
vd=1Nve=2.62×10－5m/s（3.15）
式中Nv=8.45×1028m-3，是铜中传导电子的浓度，e是一个电子电荷的值，见式（1.3）。因此电子沿铜线漂移所需的时间是
t=lvd=3.82×107s（3.16）
这个值约等于442天。当然，不需要等待442天接收通过一条1km长的传输线发送的通信信号。在后面的章节可以看到，沿传输线行进的时变信号在构成传输线的导体外部以电磁波的形式传播，而不是通过导体内的电子漂移。导体实际上引导波沿传输线传播。如果媒质是空气，速度是3×108m/s（真空中的光速），穿过1km长的传输线的行进时间仅为3.33μs。3.2电导率与局部形式的欧姆定律再考虑电流密度为J的金属导体（电荷由电子携带）。将式（3.2）带入式（3.3）得到
J=NveμeE（3.17）
这个方程也可以写为
J=σE（3.18）
式中比例常数
σ=Nveμe（3.19）
这是一个被称为电导率的宏观媒质参数。这个参数总为正值，一般情况代表材料传导电流能力的量。电导率的单位是西门子每米（S/m）。σ的倒数记为符号ρ，称为电阻率。电阻率单位是欧姆米（Ωm）。利用电阻率，式（3.18）为
E=ρJ,ρ=1σ（3.20）
式（3.18）和式（3.20）都称为局部形式或点形式的欧姆定律。注意式（3.18）是三个一般电磁构成方程之一（另一个是式（2.46））。为了包含材料所有可能的导电性质，该式可以写成下列形式：
J=J(E)（3.21）
然而，就电导性而言，多数导电材料都是线性和各向同性的，即J(E)=σE，式中σ与电场强度和电流密度无关（线性性质），对所有方向都相等（各向同性）。在均匀导体中，σ在所考虑的区域中各点不变化。另一方面，对于不均匀导体，σ是空间坐标的函数（σ=σ(x,y,z)）。电导率几乎总是温度T的函数。少数例外之一是称为康铜的合金（55%铜，45%镍），其电导率在0~100℃的温度范围内几乎是常数。对于金属导体，电子的移动性随温度的升高而降低（因为振动的原子之间的平均碰撞时间间隔Δtc减小了）。因此，随着温度升高，电导率降低，电阻率升高。在T0=293K（20℃）左右的室温，电阻率随温度T的变化几乎是线性的，可以写出
ρ(T)=ρ0［1 α(T－T0)］（3.22）
式中ρ0=ρ0(T0)。对于多数金属（铜、铝、银等），电阻率的温度系数α近似等于0.4%每开尔文。对于一些材料，电阻率在某一温度下会骤降为零：
ρ(T)=0（T
式中Tcr是材料的临界温度。这一性质是在1911年由卡末林·昂内斯发现的，被称为超导电性，这样的材料被认为具有超导体的性质。大部分超导体是金属元素，在几个开尔文温度时表现为超导状态。例如，铝（Tcr=1.2K）、铅（Tcr=7.2K）、铌（Tcr=9.2K）以及这些金属的合金和混合物。近些年发现了新型陶瓷材料，在相当高的温度下成为超导状态（因此生产和维护费用较低）。例如1986年发现的氧化钇钡铜合金（YBa2Cu3O7），Tcr=80K，所以它的超导电性可以利用液氮冷却达到。有趣的是，一些好的正常导体，比如银和铜，在任何温度下都无法变成超导状态，而陶瓷超导体是正常的好的绝缘体，它们在足够低的温度下才会变成超导状态。局部形式的欧姆定律也适应于有多种电荷载流子的导体（见式（3.11））。在等离子体和气体中，电荷载流子是电子和正离子（贫电子原子或分子）。在被称为电解液的液体导体中，电荷载流子是正、负离子。在所有的情况里，带正电和负电的粒子（离子和电子）都对电导率有影响。在半导体（例如硅和锗）中，原子晶格中由电子漂移产生的空缺称为空穴，可以在原子间移动，就像正的电荷载流子，每个空穴带电荷e。因此半导体的电导率是
σ=Nveeμe Nvheμh（3.24）
公式的项代表沿与电场E相反方向移动的电子对电导率的影响，第二项则是沿电场E方向移动的空穴对电导率的影响。浓度Nve和Nvh随温度的升高而快速增加（温度的升高加速自由电子和空穴的增加）。因此，半导体的电导率随温度的升高而升高，这一点与金属导体的温度特性是相反的。通过把非常少量的杂质加入到纯的（本征的）半导体中，电导率可以大大提高。称为施主的杂质（例如磷）提供额外的电子，形成N型半导体； 称为受主的杂质（例如硼）可以提供额外的空穴，形成P型半导体。这个过程被称作半导体的掺杂。注意，在一个半导体晶体的P型区和N型区的边界形成一个结区，称为PN结（见图2.9），用于半导体设备中（二极管和晶体管）。一般半导体器装置中的电流密度由两部分组成： 漂移电流密度J=σE和扩散电流密度Jdif，取决于材料中电荷载流子的浓度的梯度，从而不满足局部形式的欧姆定律。因此，总电流密度矢量和电场强度矢量之间的关系，即式（3.21），在半导体装置中通常是非线性的。与相对介电常数（εr）不同，如表2.1所示，从好的绝缘体到半导体，再到好的导体，材料电导率在一个非常宽的范围值间变化。以S/m为单位，σ（室温下）的范围从熔融态的石英大约10-17，树脂10-9，纯水10-2，锗2.2，到银6.17×107。我们看到，电导率的范围从石英到银，达到了25个数量级（1025），对于超导体趋于无穷大。表3.1列出了常见材料的电导率。常使用的金属导体铜（Cu）的电导率为
σCu=58MS/m（3.25）
在许多应用中，我们认为铜和其他金属导体是理想的电导体（PEC），
σ→∞（3.26）
当然，超导体也被归入这个类。根据式（3.18）和式（3.26），得到
E=Jσ=0（3.27）
表3.1部分材料的电导率*
材料σ/Sm-1材料σ/Sm-1
石英（熔融）~10-17碳（石墨）7.14×104蜡~10-17铋8.70×105聚苯乙烯~10-16铸铁~106硫黄~10-15镍铬合金106云母~10-15汞(液态)1.04×106石蜡~10-15不锈钢1.1×106橡胶（硬）~10-15硅钢2×106陶瓷~10-14钛2.09×106碳（金刚石）2×10-13康铜（45%镍）2.26×106玻璃~10-12德银3×106聚乙烯1.5×10-12铅4.56×106木头10-11~10-8焊锡7×106电木~10-9铌8.06×106大理石~10-8锡8.7×106花岗岩~10-6铂9.52×106干土~10-4青铜107蒸馏水2×10-4铁1.03×107硅（本征的） 凡士林4.4×10-4镍1.45×107黏土5×10-3黄铜（30%锌）1.5×107湖水10-2锌1.67×107湿土~10-2钨1.83×107动物脂肪**4×10-2钠2.17×107动物肌肉（垂直于纤维）**8×10-2镁2.24×107动物身体（平均）**0.22硬铝合金3×107动物肌肉（平行于纤维）**0.4铝3.5×107动物血液**0.7金4.1×107锗（本征的）2.2铜5.8×107海水3-5银6.17×107铁酸盐102汞（<4.1K）∞碲~5×102铌（<9.2K）∞硅（掺杂的）1.18×103YBa2Cu3O7（<80K）∞*适用于室温的下直流和低频电流。
**也适用于人类。
即在理想导体内部电场永远为零。这也意味着理想导体上任意两点间的电压（式（1.90））是零。后，所谓的运流电流，由正负带电粒子在真空或惰性气体（其中σ=0）中运动产生，也不遵守欧姆定律。例如阴极射线管中的电子束和雷暴中带电粒子的猛烈运动。运流电流密度由下式给出：
J=ρ?瘙經（3.28）
式中?瘙經是粒子速度，ρ是真空或惰性气体中的体电荷密度（单位体积的电荷）。注意ρ=Nvq，Nv是粒子浓度，q是元电荷，我们观察到由式（3.28）和式（3.3）分别给出的运流电流和传导电流密度的等价性。但是，式（3.28）中的速度?瘙經不是电荷的漂移速度（?瘙經d），因此式（3.2）不满足。概念性问题（见本书同步网站）： 3.1和3.2。
历史回顾海克·卡默林·昂内斯（Heike Kamerlingh Onnes，1853—1926），荷兰物理学家，莱顿大学教授，于1913年因其在超低温下物质性质的研究获得诺贝尔物理学奖。他在实验中接近了零度，0.9K，在当时这是一个轰动性的实验结果。他是个制取出液态氦的人（1908年）。昂内斯在1911年发现在温度低至大约4K时汞的电阻率完全消失，并因此发现了超导电性。功率的SI单位——瓦［特］（W）是为纪念詹姆斯·瓦特（James Watt，1736—1819）命名的，他是一名苏格兰机械工程师和发明家，以其在18世纪60年代蒸汽机的革命性的改进而闻名，这项改进导致工业革命的伟大进步，他也以发明单位“马力”著称，这是一个测量他的蒸汽机功率的单位。3.3导体的损耗和焦耳定律的局部形式下面从能量的观点考虑流导体中的电流。显然，自由电荷载流子（例如电子）在振动的原子间的碰撞中加速，每一次碰撞它们都损失获得的动能。因此能量通过载流子从电场E传递到原子，促进热振动，终导致导体的温度升高。这意味着通电导体中，电能不断地转化成热。我们希望找出这个能量转化率（功率）的表达式。我们从式（3.7）给出的电荷dQ所受的电场力开始，这个力等于dQE。这个力沿电场线使dQ移动距离dl所做的功（见式（1.72））是
dWe=dQEdl=JdSdtEdl=JEdvdt(dv=dSdl) （3.29）
式中dv是导体的体积元。这个功转换（损耗）为热能，称为焦耳热。这个转换率dWedt(单位为J/s)是功率，称为焦耳损耗功率或欧姆损耗。因此，体积dv的焦耳损耗功率为
dPJ=dWedt=JEdv（3.30）
这个功率的体密度是
pJ=dPJdv=JE=J2σ=σE2（3.31）
该式被称为局部（点）形式的焦耳定律。功率的单位是瓦［特］（W），因此功率密度的单位是W/m3。在体积v范围内（例如整个导体）总的焦耳损耗功率（转化为热的电能）通过对功率dPJ在v上的积分得到：
PJ=∫vpJdvdPJ=∫vJEdv（3.32）
概念性问题（见本书同步网站）： 3.3。
3.4连续性方程现在考虑电磁学基本定律之一——连续性方程，这是电荷守恒定律的数学表达式。电荷是不能毁灭的，也不能消失或创造。电荷可以从一个位置移动到另一个位置，但是永远既不能凭空出现也不能凭空消失。令一个包围体积v的任意闭合面S放置在具有时变电流的区域中，如图3.4(a)所示，令QS和QS dQS分别表示t和t dt两个时刻v中的净电荷。在v中不能产生电荷的变化量dQS，但只能从面S的外部区域带进来，是通过穿过S的电流带进来的。所以，电荷dQS在时间dt内穿过面S，这正是式（3.4）中的电流强度的定义。因此，
I进=dQSdt（3.33）
是穿过面S进入v区域的电流强度。于是沿相反方向穿过面S的电流，即流出这个区域的电流为
I出=－I进=－dQSdt（3.34）
另一方面，根据式（3.10），穿过S离开v的电流等于通过S（该面是闭合面）向外的电流密度矢量的总通量，也就是
I出=∮SJ·dS（3.35）
图3.4电流区域中的任意闭合面S： (a)一般情况和(b)通过导线会集到一个节点的电流
结合前面两个式子，我们得到
∮SJ·dS=－dQSdt（3.36）
这是连续性方程（积分形式）。这个公式表明，电流密度矢量通过任意闭合面向外的通量等于被那个面包围的总电荷对时间导数的负值。利用体电荷密度ρ表达电荷，连续性方程变为
∮SJ·dS=－ddt∫vρdv（3.37）
如果面S不随时间变化，时间导数可以移到体积分里，即
∮SJ·dS=－∫vρtdv
（3.38）
由于ρ通常是时间和空间坐标的多变量函数，用偏导数代替普通的导数。通过应用散度定理，将式（1.173）带入式（3.38），或者简单的仿照广义高斯定律的微分形式，即式（2.45）得到连续性方程的微分形式：
·J=－ρt（3.39）
这个公式表明，J在一个给定点的散度等于该点电荷密度时间变化率的负值，这个公式也被称为在某一点的连续性方程。对于稳定（非时变）电流，电荷密度在时间上是常数，ρt=0，连续性方程的积分形式简化为
∮SJ·dS=0（3.40）
恒定电流连续性微分方程是
·J=0（3.41）
因此，非时变电流密度矢量在任何环境下散度处处为零，即恒定电流是无散的或螺线管的。矢量场的零散度表示场中没有源或槽使得通量线发出或终止。这意味着恒定电流的流线是自己闭和的（恒定电流必须在闭合回路中流动），与起止于电荷的静电场强度的流线不同。如图3.4(b)所示，如果恒定电流通过汇集在一个节点的N根导线流入和流出体积v，则式（3.40）是指流出节点的所有电流的代数和为零，即
∑Nk=1Ik=0（3.42）
对于图3.4(b)的情况和标记，I1－I2－I3 I4=0，式（3.42）如果应用到一个直流电路的一个节点，表示基尔霍夫电流定律。像基尔霍夫电压定律（式（1.92））一样，在某些限定和假设条件下，上述形式的基尔霍夫电流定律也适用于时变电路和交流电路，这些将在本章的后面讨论。在恒定电流场的学习中，我们总是想到导体中的非时变电流是由静电场产生的，静电场是一个保守场，意思是电场强度矢量E的线（环路）积分沿任何（闭合）路径都为零，
∮CE·dl=0（3.43）
通过电流密度的连续性方程，即式（3.21）（或适用于线性媒质的式（3.18）），我们也会想到J和E在导体内任一点都是有关的。例题3.2电容器的元件定律证明流过电容器的电流等于电容器的电容与电容器的端电压变化率的乘积。
图3.5具有时变电流的电容器（例题3.2）
解答： 如图3.5所示，电容为C的电容器与时变电压v这里使用小写字母符号表示电压和电流，以凸显那些量是时变量。相连接。我们假设这是一个理想电容器，即电介质是理想的（不导电），以及电路中沿线连接的导体没有额外的电荷（电荷只分布在电容器的极板上）。为了将通过电容器的电流i和电容器的电荷Q联系到一起，我们把时变电流的连续性方程的积分形式，即式（3.36），应用到面S，该面仅完全地将电容器的上极板包围（图3.5）。流出闭合区域的总电流（方程的左侧）等于-i，而包围起来的总电荷（出现在方程的右侧）等于上极板的电荷，即电容器电荷： QS=Q。因此，式（3.36）变为
－i=－dQdt（3.44）
将Q=Cv（式（2.112））带入，得
i=Cdvdt（3.45）
我们看到，i与电压对时间的变化率呈线性比例关系，C是比例常数。这是电容器的元件定律（电流电压特性），该定律结合基尔霍夫定律和其他元件定律，在电路理论中被广泛地应用。例题3.3非理想电介质的球形电容器一个填充电导率为σ，均匀、非理想电介质的球形电容器。内电极半径为a，外电极的内半径为b（b>a）。电极的电导率远远大于σ，所以电极可以看作理想导体。电容器与非时变电压V的发电机连接。求： (a) 电介质中的电流密度矢量； (b) 电容器的焦耳损耗功率。
解答： (a) 由于σ≠0，在电容器电路中存在恒定电流强度I，如图3.6所示。为了确定电介质中的电流密度矢量，我们应用恒定电流的连续性方程
图3.6具有均匀非理想电介质并通有非时变电流的球形电容器（例题3.3）
的积分形式，即式（3.40）。一般，连续性方程的应用与广义高斯定律，即式（2.43）的应用类似。这个问题是球对称（见例题1.18）问题之一，如图2.43所示，电流密度矢量的形式是
J=J(r)r^（3.46）
式中r是球坐标系的半径坐标，r^是半径单位矢量（图3.6）。应用连续性方程的面S是圆心位于坐标原点（与静电场中相应的高斯面一样，例如图2.16中），半径为r（a
J(r)4πr2－I=0（3.47）
这意味着J穿过S向外的通量等于流过电容器端子的电流I。因此
J(r)=I4πr2(a
根据式（3.18），电介质中的电场强度是
E(r)=J(r)σ=I4πσr2（3.49）
两极板间的电压已经由下式给出：
V=Va－Vb=∫br=aEdr=I4πσ1a－1b（3.50）
式中Va和Vb是极板的电位（由于σ电极σ，每个电极都是等势体）。联立式（3.48）和式（3.50），得到
J(r)=σabV(b－a)r2（3.51）
(b) 利用式（3.32），在半径为r、厚度为dr的薄球壳中取dv（式（1.33）），电介质的焦耳损耗功率是
PJ=∫vpJdv=∫br=aJ(r)2σ4πr2drdv=4πa2b2V2(b－a)2∫badrr2=4πa2b2V2b－a（3.52）
电极中没有焦耳损耗（理想导体），所以这就是电容器总的损耗功率。概念问题（见本书同步网站）： 3.4~3.6； MATLAB练习（见本书同步网站）。3.5恒定电流的边界条件恒定电流场的应用涉及电导率不同的导电媒质间的交界面。在本节中，我们将给出电流密度矢量J和电场强度矢量E穿越这样的交界面时的边界条件公式。将时变电流的连续性方程的积分形式，即式（3.38），与广义高斯定律的积分形式，即式（2.44），进行比较，得出矢量J的法向分量的边界条件和矢量D的法向分量的边界条件，即式（2.85），是相同的形式。的差别是方程的右侧，其中ρs（可能存在于表面的面电荷密度）被－ρst代替。得到
n^·J1－n^·J2=－ρst（3.53）
式中n^是表面单位法向矢量，方向从区域2指向区域1。对于恒定电流，式（3.53）中的－ρst=0，与式（3.43）对应的边界条件是式（2.84）（式（3.43）对于静电场是一样的）。所以完整的恒定电流边界条件是
n^×E1－n^×E2=0或E1t=E2t（3.54）
n^·J1－n^·J2=0或J1n=J2n（3.55）
n^×E1－n^×E2=0（n^的方向是区域2指向区域1）（2.84）
n^·D1－n^·D2=ρs（n^的方向是区域2指向区域1）（2.85）
我们看到，在恒定电流场中，电场强度矢量的切向分量和电流密度矢量的法向分量，即Et和Jn，穿过边界时都是连续的。正如我们在后续章节中会看到的，式（3.54）中Et的边界条件对于任意的时变场都有相同的形式。通过类比电场公式（2.87）的推导过程，得到在电导率为σ1和σ2的两个线性导电媒质边界电流密度线的折射定律：
tanα1tanα2=σ1σ2（3.56）
图3.7在导体导体交界面恒定电流线的折射
式中α1和α2分别是区域1和区域2中电流场线与交界面法向的夹角，如图3.7所示。
注意，如果媒质2是良导体，而媒质1是低损耗电介质，则σ2σ1，即σ1σ2≈0，式（3.56）给出对于任意α2，tanα1≈0。因此
α1≈0(σ2α1)（3.57）
这意味着电流线永远都是以与边界面成直角（与边界面法向度角是零）离开（或进入）良导体。注意，如果媒质1是理想的电介质（例如空气），则σ1=0，tanα2→∞，由此得出
α2=90°(σ1=0)（3.58）
这意味着电流线永远平行于被非导电媒质包围的导体表面。概念问题（见本书同步网站）： 3.7和3.8。3.6恒定电流场的电荷分布在恒定电流场中的电场强度矢量E是由系统中静止的额外电荷产生的。在通常情况下，这些电荷不仅在导体表面存在，在导体内部也有。系统中电荷的分布是以电流分布为条件的，而且只有先确定电流分布，电荷分布才能确定。导体内部电流密度矢量J的分布可以通过求解控制恒定电流场的基本方程得到，我们总结出方程如下：
∮CE·dl=0∮SJ·dS=0J=J(E)［J=σE］（3.59）
一旦J的解已知，电荷分布就可以通过广义高斯定律与电通量密度矢量D的基本方程联立得出：
∮SD·dS=QSD=D(E)［D=εE］（3.60）
注意，假设媒质是线性的，D和J与E都成线性比例。结果得到D和J之间的线性关系式：
D=εE=εσJ（3.61）
这个对偶关系在很多情况中都会用到。从广义高斯定律的微分形式，即式（2.45）开始，利用式（3.61）和式（3.41），导体中的体电荷密度是根据计算两个函数乘积的导数法则，可将散度算子，也是微分算子，用于一个标量和一个矢量函数的乘积中，得到·（fa）=（f）·a f（·a）。
ρ=·D=·εσJ=·εσJ εσ(·J)=J·εσ（3.62）
我们看到·J=0不代表ρ=0。体电荷密度在εσ≠常数的不均匀导电媒质中不是零，其大小与εσ的梯度成比例。另一方面，也得出在通有恒定电流的均匀媒质（σ和ε不随位置变化）中不可能有额外的体电荷存在（ρ=0）。结合式（3.61）和式（3.55），D相应的边界条件，即式（2.85），可以给出媒质1（参数为σ1和ε1）和媒质2（参数为σ2和ε2）交界面上的面电荷密度：
ρs=n^·D1－n^·D2=ε1σ1n^·J1－ε2σ2n^·J2=ε1σ1－ε2σ2Jn（3.63）
式中Jn=n^·J1=n^·J2是穿过边界面的电流密度矢量的法向分量（n^的方向如图2.10和图3.7所示）。注意，只有在ε1σ1=ε2σ2的特殊情况下ρs=0。如果两种媒质都是金属导体，可近似认为ε1=ε2=ε0，所以式（3.63）变为
ρs=ε01σ1－1σ2Jn（3.64）
后，根据式（2.59）计算极化矢量P，然后分别利用式（2.19）和式（2.89）得出束缚体电荷和束缚面电荷密度ρp和ρps，可以求出电介质中束缚（极化）电荷的分布。问题： 3.1； 概念问题（见本书同步网站）： 3.9和3.10； MATLAB练习（见本书同步网站）。3.7弛豫时间我们从静电场可知，放置在导体内部的电荷会移动到导体表面，然后在静电平衡条件下，以使导体内部E=0的方式重新分布。根据连续性方程（时变电流），可以定量分析非静电过渡过程，并计算达到一个平衡所需的时间。考虑电导率为σ、介电常数为ε的均匀导电媒质。媒质中电流密度矢量J和电通量密度矢量D是通过式（3.61）的对偶性关系互相联系在一起的。结合广义高斯定律的微分形式，即式（2.45），以及连续性方程，即式（3.39），可以得出
ρ=·D=·εσJ=εσ·J=－εσρt（3.65）
式中比例εσ可以被提到散度算子外面，因为它是一个常数（媒质是均匀的）。整理一下，我们得到的媒质中的电荷密度ρ满足方程
ρt εσρ=0（3.66）
这是一个关于时间t的一阶偏微分方程。其解由下式给出：
ρ=ρ0e－σεt=ρ0e－tτ（3.67）
式中ρ0是在t=0时刻电荷密度初值。一般情况下，ρ也是空间坐标的函数，即ρ=ρ(x,y,z,t)。式（3.67）表明，导体中给定位置的电荷密度随着时间呈指数减少，完全与任何施加的电场无关。时间常数
τ=εσ（3.68）
被称作弛豫时间（单位是s），它等于任一点的电荷密度衰减到其初值的1e(36.8%)所需的时间。可以容易地看出大约在4.6τ后，ρ衰减至ρ0的1%，而当t=10τ时，ρ≈4.5×10－5ρ0，即ρ≈0。对于金属导体，τ非常短，几乎不能测量或者观察出来。例如铜τCu≈10－19s。甚至比金属差得多的导体，其弛豫时间也是非常短的（例如蒸馏水τH2O≈10－5s）。另一方面，良电介质（绝缘体）的弛豫时间都相对地长（例如τ玻璃≈10－5min， τ云母≈15h， τ石英≈50d）。本章主要讲述非时变电流和场，对于时变电流和场，我们注意到弛豫时间的概念也用来确定材料的电特性（导电特性和电介质特性）。即与给定应用中的兴趣次数相比，参数为σ和ε的材料是良导体还是良电介质，是由弛豫时间决定的。因此，对于频率为f的时谐（正弦）场，式（3.68）给出的弛豫时间与时间周期时间周期（T）定义为一个间隔，该间隔之后时谐的（或者说时间周期的）函数随着时间重复自己，而频率（f）是单位时间（1s）函数的重复次数，所以f乘以T等于1。T=1f进行比较，如果τT，媒质被归类为良导体。尤其如果τ=0(σ→∞)，就说这个材料是理想导体（PEC）。而如果τT，那么材料就被认为是良电介质（绝缘体）。对于理想的（无损耗）电介质（σ=0），取极限τ→∞。对于τ的所有其他（中间的）值，其材料被归类为准导体。现在我们就可以理解： 在某些频率下被看作良导体的一些材料，在足够高的频率（即更短的时间周期）下可以表现出像良电介质的特性。例如，在频率f1=1kHz，f2=10MHz，f3=30GHz时，普通的乡村土地（作为频率的函数，假设参数不发生任何变化时，εr≈14和σ≈10－2S/m），分别表现为良导体、准导体和良电介质。对导电和电介质材料在不同频率下性质的进一步讨论，将在后面章节中，在麦克斯韦方程组和电磁波传播的内容中进行。3.8电阻、欧姆定律和焦耳定律考虑任意形状的导体，由电导率为σ的线性（通常不均匀）材料制成，如图3.8所示。令导体端面SA和SB由良理想导电材料（或者是电导率比σ大很多的材料）覆盖。如果在两个端面间施加电压为V、密度为J的电流在导体中垂直端面流过（式（3.57）），并与电阻器的侧面平行（式（3.58））。由于连续性方程，导体的每个截面都必须通过同样的总电流。这个电流是
I=∫SJ·dS=∫SσE·dS（3.69）
式中E是导体内的电场强度矢量。另一方面，SA和SB之间的电压等于相同矢量E沿连接这些面的任意路径的线积分（式（1.90）），即
V=∫BAE·dl（3.70）
图3.8任意形状的导体——电阻器
请注意，如果V升高（由于某种原因），电场线不会改变形状，但是在导体内部各个位置的E会按比例升高，通过式（3.69），电流I也一样变化。因此V和I的比例是一个常数，即
R=VI（3.71）
称作导体的电阻。一个有两个端面、电阻为R的导体通常看作是一个电阻器。电压、电流和电阻之间的关系就是欧姆定律：
V=RI（3.72）
电阻永远都是非负值（R≥0），单位是欧姆（Ω），等于VA。R的值取决于导体（电阻器）的形状和尺寸，以及材料的电导率σ（或电阻率ρ）。
历史回顾乔治·西蒙·欧姆（Georg Simon Ohm，1789—1854），德国物理学家和数学家，慕尼黑大学教授。在童年时期，欧姆从他的父亲那里接受了良好的数学和科学教育，他的父亲是一名锁匠，完全靠自学成才。在1811年，欧姆获得了艾尔朗根大学（University Erlangen）的数学博士学位。他对物理也产生了兴趣，研究了电流和热流间的类似关系。在傅里叶的热传导研究之后，在1825年和1826年发表的一系列论文中，欧姆给出了电路模型中传导的数学描述。他假设，正如两点间的热流动速率取决于这两点间的温度差，热理所应当通过两点间的材料传导，因此，两点间的电流应该取决于两点间的电位差和两点间材料的电导率。通过用不同长度和粗细的细导线做实验，他发现对于给定的导线两端电位差，通过一条导线的电流强度与导线的长度成反比，与导线的截面面积成正比。由于欧姆在数学和物理学方面有非常渊博的知识，他能够基于制成表格的实验数据推导出数学关系。在1827年，他定义了导线的电阻，并给出存在于导线电阻，电位差（电压）和电流强度之间的简单的关系。这就是现在所知道的欧姆定律。完整的电传导理论的深入阐述出现在1827年在柏林（Berlin）出版的他的著作Die Galvanische Kette, Mathematisch Bearbeitet（《伽伐尼电路，数学分析》）中。起初欧姆的研究没有引起大家的兴趣，他的成果，包括欧姆定律，直到1841年才得到完全的承认和赞许，这时他获得了皇家学会颁发的科普利奖，不久之后成为几个欧洲学会的会员。就在1852年，也就是欧姆去世的前两年，他实现了他一生的志向，被任命为慕尼黑大学物理学主席。在1881年，欧姆的名字更加让世人铭记，这一年国际电工会议（International Electrical Congress）决定将欧［姆］作为电阻的单位。
为了纪念维尔纳和威廉·冯·西门子兄弟，德国工程师和发明家，西［门子］被采纳为电导的SI单位。厄内斯特·维尔纳·冯·西门子（Ernst Werner von Siemens，1816—1892）在电报（针式电报机）、电缆传输（大型海底电缆）和能源生产方面的几个发明，对那时的电气工程新学科做出了贡献，是伟大的电气工业企业家之一。1847年在柏林，他和机械工约翰·乔治·哈尔斯克（Johann Georg Halske，1814—1890）一起成立了西门子&哈尔斯克电报建设公司（Siemens & Halske Telegraph Construction Company），就是后来闻名的西门子（Siemens）。卡尔·威廉·冯·西门子（Karl Wikhelm von Siemens，1823—1883）是一个培训机械工程师和成功的商人。他重要的发明是交流储热炉和电的高温测量仪。他后来成为英籍人士，查尔斯·威廉·西门子爵士（Sir Charles William Siemens）。电阻的倒数称为电导，符号为G。根据欧姆定律，有
G=1R=IV（3.73）
电导单位是西［门子］（S），S=Ω－1=AV。注意，有时姆欧（欧姆反过来写）用来代替西［门子］。
图3.9电阻器的电路模型表示
图3.9给出电阻器的电路模型表示。在电路理论中，假设电阻只存在于电路的电阻器中，而互相连接的导体被看作是理想导电体。因此每个连接导体都是零电阻，而且是等电位的（起短路作用）。电路中只有电压降存在于电路元件的两端。注意，欧姆定律，即式（3.72），对电阻器的时变电压（v）和电流（i）也是有效的（v=Ri）。它代表电阻器的元件定律，是电路理论的基本元件定律之一（另一个元件定律是对于电容器的式（3.45））。
对于线性电阻器，对不同的电压V和电流I，R保持常数。但是对于非线性电阻器，材料的电导率取决于外加电场E，因此R取决于外加电压（或电流），即
R=R(V)（3.74）
非线性电阻器的例子有半导体（PN）二极管，其电流电压特性为I=I(V)，是非线性函数。图3.8中的电阻器的焦耳或欧姆损耗的总功率由式（3.32）给出，式中v是电阻器的体积。为了进行体积分，首先将v分解成薄片，以等电势面为底（与电流线垂直）。然后把每个薄片沿电流线分解成体积为dv=dSdl的小管状块，如图3.10所示，公式为
PJ=∫vJEdv=∫BA∫SJEdSdldv（3.75）
图3.10一般形状电阻器的焦耳（欧姆）损耗功率的求解
注意，Edl等于每个小管状块底面间的电压dV，这一点对薄片内的所有小管状块都是相同的（因为薄片与相邻薄片间的交界面是等电势面）。因此dV对于S上的横截面积分是常数，可以提到积分外面。因此通过v把整个积分分成两个独立的积分：
PJ=∫BA∫SJEdSdldv=∫BAEdl∫SJdS=VI（3.76）
分别等于电阻器的电压V（式（3.70））和电流I（式（3.69））。应用式（3.72）和式（3.73），电阻器中焦耳损耗的功率的等价表达式为
PJ=VI=RI2=V2R=GV2=I2G（3.77）
这就是著名的焦耳定律。例题3.4等横截面导体电流的均匀性恒定电流流过一个由均匀材料制成的长导体，该导体具有形状任意的等横截面。证明在整个导体中电流密度相同。
图3.11等横截面的均匀导体中的恒定电流（例题3.4）
解答： 参考图3.11，导体中的电流密度矢量只有z方向的分量，J=Jz(x,y,z)z^。根据恒定电流连续性方程的微分形式，即式（3.41），以及笛卡儿坐标系下的散度表达式，即式（1.167），得到
·J=Jzz=0（3.78）
这意味着Jz不是z的函数，即它不沿着导体方向变化。
为了证明J在导体的横截面上也不变化，对导体内部的长方形周线C应用式（3.43），长度为a的边与电流线平行（图3.11）。利用式（3.18），可以得出
∮CE·dl=∮CJσ·dl=1σ∮CJ·dl=0（3.79）
式中σ是媒质的电导率，由于媒质均匀（σ=常数），1σ可以从积分提出来。因此
∮CJ·dl=J1a－J2a=0（3.80）
J1和J2分别代表沿着周线与J平行的两个边的电流密度。由此得出结论，这些电流密度是相同的：
J1=J2（3.81）
注意，C可以是导体内的任意位置，所以J1和J2可以和导体横截面上任意对点相关联。这说明J与x和y无关，即在导体的整个横截面上都是相同的。结合之前得出的关于电流在z方向均匀的结论，得到
J=常数（3.82）
历史回顾詹姆斯·普雷斯科特·焦耳（James Prescott Joule，1818—1889），英格兰科学家，皇家学会会员。作为索尔福德一个富有的啤酒商的儿子，焦耳接受的是家庭教师的教育，包括著名的英格兰化学家和物理学家约翰·道尔顿（John Dalton，1766—1844）。后来，他一边在家庭啤酒厂工作，一边利用空闲时间学习电学（在那时是新兴学科），他尤其对电动机效率感兴趣。在几次尝试设计产生无穷功率的超高效电动机（这个可能性在早期论文中曾被提出），并为蒸汽机提供一个理想的替代品之后，他认识到这个目标是不可能达到的，转而对研究电产生的热产生了兴趣。焦耳缺乏数学功底，却是一个狂热的实验家。基于大量的对电动机和其他电路热的测量，1840年他发现了电流在电路中一段时间内产生的热量等于电流强度的平方乘以电路的电阻和时间。这个发现被称为焦耳定律。他测量了他能想到的每个过程产生的热，并且研究了进入系统的功的大小与离开系统的热量之间的关系。在他1847年进行的著名的“浆轮”实验中，他用了一个下落的重物带动装有水的隔热桶里的浆轮转动，并非常精确地测量由于轮子摩擦产生的水温增加——以确定水中耗散的热量的机械当量。他得出一般性结论： 热只是许多形式的能量的一种，能量可以从一种形式转化为另一种形式，但是一个封闭系统中的总能量保持不变。根据这一结论，他对能量守恒定律的发现和认识从根本上做了贡献。人们为了纪念焦耳，也把焦［耳］作为功和能量的单位。例题3.5等横截面电阻器的电阻确定一个形状任意、等横截面的均匀电阻器的电阻，截面积为S。电阻器的长度是l，材料的电阻率是σ。求这个电阻器的电阻值。解答： 式（3.82）表明电流在电阻中是均匀分布的。因此电阻的电流密度是
J=IS（3.83）
式中I是通过电阻的电流强度，即式（3.69）。利用式（3.70），电阻端电压是
V=El=Jσl=IlσS（3.84）
因此，电阻器的电阻是
R=VI=lσS（3.85）
例题3.6两个串联电阻如图3.12(a)所示，半径为a的圆柱形电阻器由长度为l1和l2两部分组成。这两部分电导率为σ1和σ2(σ1≠σ2)，电阻器端电压为V。求流过电阻器的电流。
图3.12由两个不同电导率部分组成的圆柱形电阻器： (a)几何结构和(b)电路表示（例题3.6）
解答： 流过电阻器两部分的电流是相等的，可以把它们表示为串联的两个均匀电阻器，如图3.12(b)所示。这种连接的总电阻为
R=R1 R2（3.86）
利用式（3.85），式中每个电阻器的电阻分别为
R1=l1σ1πa2，R2=l2σ2πa2（3.87）
因此流过图3.12(a)中电阻器的电流为
I=VR1 R2=πσ1σ2a2Vσ2l1 σ1l2（3.88）
例题3.7两个并联电阻如图3.13(a)所示，长度为l的电阻器由两个不同电导率——σ1和σ2的同轴层组成，这两层的横截面面积为S1和S2。流过电阻器的电流为I。计算(a)电阻器的电流密度和(b)电阻器的端电压。解答： (a) 式（3.54）表明，两层内的电场强度是相等的：
E1=E2=E（3.89）
因此，两层的电流密度是不相等的，J1=σ1E1和J2=σ2E2。流过电阻器的总电流为
I=J1S1 J2S2=(σ1S1 σ2S2)E（3.90）
由此得到
E=Iσ1S1 σ2S2（3.91）
以及
J1=σ1Iσ1S1 σ2S2，J2=σ2Iσ1S1 σ2S2（3.92）
(b) 电阻器的端电压是
V=El=J1=Ilσ1S1 σ2S2（3.93）
注意，V也可以利用图3.13(b)所示的等效电路求出。即由于两层电阻器的端电压是相等的，所以可以把它们表示为并联的两个均匀电阻器。这个连接的总电导为
G=G1 G2（3.94）
根据式（3.85），有
G=σ1S1l σ2S2l（3.95）
电阻器的端电压是V=IG。
图3.13(a)两个同轴层的电阻器，(b)可以表示为并联的两个均匀电阻器（例题3.7）
例题3.8球形电容器的电导求图3.6所示的非理想（导电的）电介质的球形电容器的电导。解答： 利用式（3.73）和式（3.50），根据定义，可知非理想球形电容器的电导为
G=IV=4πσabb－a（3.96）
实际上，这就是所谓的电容器的漏电导（理想电容器的电介质是理想的，零漏电导）。但是注意，图3.6所示的系统也可以表示球形电阻器，电阻为
R=1G=ρ(b－a)4πab（3.97）
式中ρ=1σ是极板间（电阻性）材料的电阻率。也要注意，利用电导（或电阻）和焦耳定律，即式（3.77），可以很容易求出电容器（电阻器）的焦耳损耗功率为
PJ=GV2=V2R=4πσabV2b－a（3.98）
当然，这个结果与式（3.52）的结果相同。问题： 3.2~3.9； 概念问题（见本书同步网站）： 3.11~3.17； MATLAB练习（见本书同步网站）。3.9电导和电容之间的对偶考虑放置在电导率为σ、介电常数为ε的均匀导电媒质中的一对金属体（电极），如图3.14所示。电极的电导率远大于σ。另电极间的电压为V。根据式（3.62），媒质（σ和ε是常数）中没有体电荷（ρ=0）。根据式（3.57），电流（和电场）线与电极表面垂直。现在，在媒质中，利用电流密度矢量J和电场通量密度矢量D之间的对偶关系，即式（3.61），把电极间的电导G和电容C的关联起来。
图3.14均匀导电媒质中的两个金属电极
对完全包围正电极的任意面S（图3.14）应用恒定电流的连续性方程，即式（3.40），和广义高斯定律，即式（3.60），得
I=∫SJ·dS=σε∫SD·dS=σεQ（3.99）
式中I是离开正电极流过导电媒质（并进入负电极）的总电流，Q是正极板上的总电荷（负极板上的总电荷为-Q），σε由于是常数，可以提到积分符号外面，即媒质是均匀的注意，对于不均匀媒质，也存在函数σ和ε的比值σε=常数的情况。。用V除这个方程，得到
IV=σεQV（3.100）
利用式（3.73）和式（2.113），得到G和C之间下面的对偶关系：
G=σεC（3.101）
注意，由于C的定义，即式（2.113），依赖于电极上电荷Q和-Q的存在，与电介质媒质（介电常数为ε）中是否存在电流无关，式（3.101）中的G和C不必代表参数为σ和ε的非理想电介质系统的电导和电容。它们也可以是两个独立的对偶系统，分别代表置于理想电介质（介电常数为ε，包括ε=ε0的情况和零电导率）中时一对电极间的电容，和置于导电媒质（电导率为σ和全部任意介电常数）中时同样电极间的电导。根据电极间的电阻R，式（3.101）可以重写为
RC=εσ=τ（3.102）
图3.15图3.14系统的网络模型表示
式中的τ由式（3.68）给出，是电极间材料的弛豫时间，图3.15给出图3.14系统的电路的模型表示。这是一个一阶电容电路，由于式（3.102），其时间常数(τC=RC)与材料的弛豫时间τ=εσ是相等的。
式（3.101）和式（3.102）的关系在已知电容的情况下推导电极结构的电导和电阻的表达式时是非常有用的，反之亦然。例如，根据式（2.119）给出的电极半径为a和b（a
G=σεC=4πσab－a（3.103）
（与式（3.96）相同）。例题3.9非理想电容器的自放电一个平行平板电容器，填充相对介电常数εr=6、电导率σ=10-14S/m的非理想电介质。电容器与理想电池连接，充分充电至极板间电压为20V，然后断开电池。求电容器电压衰减至1V所需的时间。解答： 这个电容器可以表示为图3.15中的等效网络，其中C和R分别是电容器极板间的电容和电阻。在电路没有电池的情况下，C放电电流也是流过R的电流，借助式（3.45）和式（3.72），得
－Cdvdt=vR→dvdt vτC=0（3.104）
式中时间常数τC=RC，由式（3.102）得出。这个微分方程的解是
v(t)=v(0)e－tRC=v(0)e－σεt（3.105）
后，对方程两端取自然对数，得到要求解的时间：
t=－εrε0σlnv(t)v(0)=265min（3.106）
式中v(0)=20V，v(t)=1V。显然，带电的均匀非理想电介质电容器的自身（开路）放电与其形状（几何结构）和尺寸完全无关，和式（3.67）所描述的导体中电荷重新分布完全类似。电容器电压v(t)和电荷Q(t)= Cv(t)随着时间按指数衰减，其速率由电容器极板间填充的有损电介质的弛豫时间决定。概念问题： 3.18~3.21； MATLAB练习（见本书同步网站）。3.10外部电能体积源和电源在图3.1的连接中可以观察到，需要一个外部电压源（例如化学电池）维持导体中的恒定电流。这个电源在电路中产生一个电位升高，在导体两端制造一个电位差。从能量的角度，必须有一个外部能源，通过连续地提供能量维持恒定电流流过电路，然后在导体中以焦耳热的形式消耗掉。在具体情况中，各种外部能源（例如化学能、机械能、热能、光能等）转化为导体中的电场能，并终消耗成热能。一般，在模拟电路理论电源模型中，用能够把能量传输给电荷的体分布能源的两种场理论模型： 模拟电压源和模拟电流源。考虑一个体积为v的源区域，如图3.16(a)所示，其中有一个非电的外力Fi，称为外加力，作用在电荷载流子（例如电子）上，把过剩的正、负电荷分开。举一个例子，这个外加力推动金属导线内的电子在磁场中（我们在后续章节中会看到）移动。在形式上用载流子的电荷q（对于电子q=-e）除Fi，得到一个用V/m表达的量：
Ei=Fiq（3.107）
图3.16(a)强度为Ei的外加电场形成的外部电源模型，(b)电路的电压源模型
Ei称为外加电场强度矢量。尽管这个场的量纲和单位与E都是相同的，但并不是一个真正的电场（一个由电荷产生的场）。由于在区域v内还有电荷产生的场，q受到的合力为
Ftot=Fi qE=q(Ei E)（3.108）
这个力驱使电荷通过区域移动。因此这个区域的电流密度矢量是
J=σ(Ei E)（3.109）
式中σ是区域v中材料的电导率。非常重要的一点是要注意Ei与J无关。正如我们在后面指出的，强度为Ei的外加电场形成的体分布（整个v）能源模型可以用在很多不同的电磁情况中。但是，在这里要注意图3.16(a)所示的特定情况，实际代表电路理论中的电压源。这个电源与电阻为R的电阻器连接。结合式（1.90）和式（3.109），源区（电源）的B和A端之间的电压为
VBA=∫BAE·dl=∫BA－Ei Jσ·dl（3.110）
颠倒积分限的顺序，得到
VBA=∫BAEi·dl－∫BAJσ·dl（3.111）
定义方程右侧项是电源的电动势（emf）：
E=∫BAEi·dl（3.112）
注意，E等于外力Fi移动电荷q从电源的负极（A）到正极（B）所做的功再除以q。电动势的单位是V。式（3.111）的第二个积分与电路中的电流I成线性比例关系：
∫BAJσ·dl=RgI（3.113）
式中比例常数Rg称作电源的内阻。因此，式（3.111）写为
VBA=E－RgI（3.114）
图3.16(b)给出了电源的等效电路模型。注意，如果电源的A和B端子是开路的(R→∞)，则没有电流通过电源（I=0），可以写出（见图3.16(b)）
(VBA)开路=VCA=E(I=0)（3.115）
因此，电源的电动势也等于其开路时的电压。一个理想电压源是零内阻的（Rg=0），即没有内部损耗，意指这样的电源电压永远等于其电动势，与通过它的电流无关。对于所有的I和所有的R，也就是
VBA=E（3.116）
这实质上就是电源中外加电场强度Ei与电流密度J完全无关的推论。另一方面，通过欧姆定律，即式（3.72），图3.16中的电压VBA可以写为
VBA=RI（3.117）
联立式（3.114），得到
E=RgI RI（3.118）
总之，对于有许多电动势源和电阻（包括电源的内阻）的闭合电路，有
∑Mj=1Ej=∑Nk=1RkIk（3.119）
这个方程是基尔霍夫电压定律，（即式（1.92））的表达式。这个方程说明电路中沿闭合路径电动势（电压升）的代数和等于这一路径内电阻端电压降（RI）的代数和。对式（3.118）的两端乘I，得到
EI=RgI2 RI2（3.120）
通过焦耳定律，即式（3.77），出现在这个方程右侧的表达式分别代表电源和电阻为R的电阻器的焦耳损耗功率。这两个功率都转化为热。因此，根据能量守恒定律，方程左侧的表达式
Pi=EI（3.121）
一定是电源的电动势产生的功率。在局部形式中，场强为Ei的外加电场的功率体密度（单位W/m3）是（见式（3.31））
pi=dPidv=Ei·J（3.122）
因此区域v内的电源总功率为（见式（3.32））
Pi=∫vEi·Jdv（3.123）
如图3.17(a)所示，现在令电源区域的电荷以密度为Ji的外加非传导电流移动，与电场强度E无关。这是在电磁学中应用的第二种能量源的通用模型一个经典的例子就是所谓的范德格拉夫发电机，其中外电流由在移动的电介质带上机械地传输的电荷组成，因此电介质带实际的移动速度代表等效电荷的等效漂移速度（?瘙經d）。但是在这里，电荷的速度（即电介质带的速度）很明显与电场强度矢量E无关，而且式（3.2）没有意义。。电流密度Ji不符合局部形式的欧姆定律，在这个区域内总电流密度矢量是注意，对于由外加电场模拟的能源区域的式（3.109）和有外加电流区域的式（3.124），两者都可以看作电流密度的一般构成方程，即式（3.21）。换句话说，式（3.21）通常包含了基于外加场和外加电流，以及材料传导性质的体积能量源模型。
J=σE Ji（3.124）
该式的标量形式（用于图3.17(a)所示的情况）为
J=－σE Ji（3.125）
这个与图3.17(b)所示的电路模型中的电流源类比，描述为
I=－GgV Ig（3.126）
式中Ig和Gg分别是电源的电流强度和内电导。注意Ig等于电源端子短路（V=0）电流。理想电流源内电导为零（Gg=0），或者内电阻无穷大。这意味着这种电源的电流总是常数，即
I=Ig（3.127）
即电流与电源端电压（和电导）无关。用密度为Ji的外加电流表示的电源功率密度是
pi=－E·Ji（3.128）
式中的负号是必需的，因为矢量E（由正电荷和负电荷产生的电场强度矢量）和Ji（外加电流密度矢量，与其他电流密度矢量一样，正电荷载流子与其方向一致，负电荷载流子方向则相反）的方向是相反的。对于图3.17(a)所示的情况，pi=EJi。区域v内的电源总功率为
Pi=－∫vE·Jidv（3.129）
注意，图3.17(b)中的电流Ig产生的功率为
Pi=VIg（3.130）
该功率传递到电路的其余部分，在两个电阻中转化为热损耗掉，总的焦耳损耗功率是GgV2 GV2。
图3.17(a)由密度为J的外加电流模拟的外部电源，(b)电路的电流源模型
3.11不均匀非理想电介质电容器的分析现在分析分段均匀和连续不均匀的非理想（有损耗）电介质电容器中的恒定电流场。一般在这样的系统中，不仅电容器电极表面存在电荷，而且在均匀电介质层间的边界面以及连续不均匀电介质体中也存在电荷。我们从计算电流分布，即电介质中电流密度矢量J开始分析。然后通过局部形式的欧姆定律确定电场强度矢量E。通过在整个电介质上对E积分，得到电极间的电压和电容器的电导（或电阻）。后，应用微分形式的广义高斯定律以及对应的边界条件，系统中电荷的分布可以从电通量密度矢量D求出。作为一个说明，考虑图3.18(a)所示的有两层非理想电介质层的平行板电容器。令两层电介质的介电常数分别为ε1和ε2，电导率分别为σ1和σ2，厚度分别为d1和d2。每个极板的表面积为S。极板可以看作是理想导体。假设电容器与时变电压为V的理想电压源连接，我们来分析这个电容器。电介质中的电流密度矢量垂直于极板（式（3.57）），且在每个电介质层中都均匀分布（式（3.82））。根据J的法向分量的边界条件，即式（3.55），将其应用在两层电介质的交界面，积分形式的恒定电流连续性方程，即式（3.40），将其应用到包含正极板的矩形闭合面（图3.18(a)），该闭合面的右侧位于两个电介质中的任意一层，得到
J1=J2=J=IS（3.131）
式中I是流过电容器的电流。电介质中的电场强度是
E1=Jσ1=Iσ1S，E2=Jσ2=Iσ2S（3.132）
图3.18有两层非理想电介质的电容器的分析： (a) 每层矢量为J、D和E的几何结构和(b)系统的等效电路
电容器的端电压为
V=E1d1 E2d2=ISd1σ1 d2σ2（3.133）
所以电容器的电导注意图3.12(b)所示的电阻器中的电流场可以用同样的方法分析。是
G=IV=σ1σ2Sσ2d1 σ1d2（3.134）
每层电介质电通量密度是注意如图2.25(a)所示，对于有两层理想电介质的相同电容器，与式（2.147）相反，D1≠D2。理想电介质电容器代表一个静电系统（没有电流），从广义高斯定律开始分析。非理想电介质电容器代表一个恒定电流系统，从连续性方程开始分析。
D1=ε1E1=ε1GVσ1S，D2=ε2E2=ε2GVσ2S（3.135）
式（3.62）表明，由于电介质层是均匀的，所以其中没有体电荷。利用式（3.63），层间边界面的面电荷密度是
ρs12=D2－D1=ε2σ2－ε1σ1J=(ε2σ1－ε1σ2)Vσ1d2 σ2d1（3.136）
式（3.136）中取式（3.65）中Jn=-J，因为相应边界条件的单位矢量n^方向是从媒质2指向媒质1。注意，如果ε1σ1=ε2σ2，ρs12=0。根据式（2.58），极板上的面电荷密度是
ρs1=D1=ε1σ2Vσ1d2 σ2d1，ρs2=－D2=－ε2σ1Vσ1d2 σ2d1（3.137）
图3.18(a)所示系统也可以援引电路理论的观点和概念解释和分析。电介质层间的交界面是等势面，因此可以看作金属。因此得到了两个串联的非理想电容器，每个电容器都表示为理想电容器和理想电阻的并联，等效电路如图3.18(b)所示。电路元件的大小为
C1=ε1Sd1，C2=ε2Sd2，R1=d1σ1S，R2=d2σ2S（3.138）
式中电阻R1和R2可以通过相应的电容C1和C2（也见式（2.157）），利用式（3.102）的关系或式（3.85）得到。利用电阻器串联的等效总电阻的表达式，即式（3.86），系统的电导是
G=1R1 R2=σ2σ1Sσ2d1 σ1d2（3.139）
计算图3.18(b)中电容的电荷：
Q1=C1V1=C1R1I=C1R1GV=ε1σ1GV（3.140）
Q2=C2V2=C2R2I=C2R2GV=ε2σ2GV（3.141）
V1和V2代表每个电介质层的端电压注意图3.18(b)中元件电压由电阻确定： V1=VR1R1 R2和V2=VR2R1 R2，称为电阻电压分配器。在同样的理想电介质层系统情况下（图2.25(a)和图2.26(a)），该系统是一个静电系统，电压由电容确定： V1=VC2C1 C2和V2=VC1C1 C2，称为电容电压分配器。。后，图3.18(a)中的面电荷密度由下式给出：
ρs1=Q1S，ρs12=Q2－Q1S，ρs2=－Q2S（3.142）
与式（3.136）和式（3.137）的结果相同一致。例题3.10连续不均匀非理想电介质的球形电容器一个球形电容器填充连续不均匀非理想电介质。电介质的介电常数和电导率与距离电容器中心的距离r有关，由表达式给出ε(r)=3ε0br和σ(r)=σ0b2r2(a
E=Jσ(r)=I4πσ(r)r2r^=I4πσ0b2r^=Er^（3.143）
式中I是电容器的电流强度。注意，电场强度在整个电介质中都是一样的（E为常数）。电极间的电压和电容器的电导是注意，由于ε（r）σ（r）≠常数，G和C不成比例关系，即式（3.101）不成立。电容C的求解见例题2.19。
V=∫baEdr=E(b－a)→G=IV=4πσ0b2b－a（3.144）
图3.19连续不均匀有损电介质的球形电容器（例题3.10）
(b) 电介质中的电通量密度矢量是
D=ε(r)Er^（3.145）
式中E=Vb－a。利用式（3.62）和式（1.717），电介质内部的自由体电荷密度是
ρ=·D=1r2ddr［r2D(r)］=Er2ddr(r2ε)=3ε0bV(b－a)r2（3.146）
电容器内外电极表面的自由面电荷密度分别是
ρsa=D(a )=ε(a )E=3ε0bVa(b－a)，ρsb=－D(b－)=－ε(b－)E=3ε0Vb－a（3.147）
(c) 根据式（2.59），电介质的极化矢量是
P=［ε(r)－ε0］Er^（3.148）
利用式（2.19），电介质的束缚体电荷密度是
ρp=－·P=－1r2ddr［r2P(r)］=－ε0V(3b－2r)r2(b－a)（3.149）
而式（2.23）给出电介质表面的束缚面电荷密度是
ρpsa=－P(a )=－ε0(3b－a)a(b－a)，ρpsb=P(b－)=－2ε0Vb－a（3.150）
(d) 电容器中总的自由电荷Q为零。为了证明这一点，有
Q=∫baρ(r)4πrdrdv ρpsaSa ρpsbSb
=12πε0bv 12πε0abVb－a－12πε0b2Vb－a=0（3.151）
式中dv取自半径为r、厚度为dr的球壳体积（见图1.9和式（1.33）），Sa=4πa2（内电极表面积），Sb=4πb2（外电极表面积）。问题： 3.10~3.16； 概念问题（见本书同步网站）： 3.22和3.23； MATLAB练习（见本书同步网站）。3.12载有恒定电流的有损传输线的分析本节将分析非时变（dc）的有损传输线。举个例子，一个具有（有限的）电导率为σc的导体和（非零）电导率为σd 的非理想电介质的同轴电缆。电缆的内导体半径为a，外导体的内外径分别为b和c（a
I(z Δz)－I(z)ΔI J2πrI′dΔz=0（3.152）
（电流I(z Δz)和I′dΔz流出S，而I(z)则流入S。）ΔI是电流I在沿距离Δz的变化，I′d是单位长度（p.u.l）电缆的漏电流（A/m）。因此有
ΔIΔz=－I′d=－(Id)p.u.l（3.153）
和
J=I′d2πr（3.154）
图3.20直流非理想导体和电介质的同轴电缆
利用局部形式的欧姆定律，即式（3.18），计算电介质中的电场强度矢量
E=Jσd=I′d2πσdrr^（3.155）
所以该电缆内外导体间的电压是
V=∫baEdr=I′d2πσdlnba（3.156）
定义一条传输线的单位长度电导，即1m（单位长度）长的传输线的电导除以1m：
G′=Gp.u.l=I′dV（3.157）
这也被看作是单位长度的漏电导，单位是S/m。对于同轴电缆，根据式（3.156）可得
G′=2πσdlnba（3.158）
沿距离Δz的电流I等于ΔI=ΔGV，式中
ΔG=G′Δz（3.159）
是长度Δz的整个电介质的电导。由于Δz趋近于零，式（3.153）的左侧表达式变为I关于z的导数。因此，结合式（3.153）和式（3.157），得到
dIdz=－G′V（3.160）
这是一个有损电介质传输线的电流和电压关于z的一阶微分方程。这个方程表明，电流沿传输线的变化率和负的传输线电压成比例，传输线单位长度电导为比例常数。在理想电介质传输线（电介质中没有损耗）情况下，G′=0，所以dIdz=0，得到
I=常数（3.161）
由于导体损耗1σc≠0，导体间的电压沿电缆变化，即V=V(z)。根据式（3.85），电缆的总电阻（对于非时变电流）为
R=R1 R2=lσcS1 lσcS2（3.162）
式中R1和R2分别是内外导体的电阻，S1和S2是导体的横截面面积。单位长度传输线的电阻是
R′=Rp.u.l=Rl（3.163）
（单位是Ω/m。）所以得到
R′=1πσc1a2 1c2－b2（3.164）
沿传输线长度Δz的电阻是
ΔR=R′Δz（3.165）
电阻端电压降是
V(z)－V(z Δz)=ΔRI（3.166）
这个方程可以重写为
V(z Δz)－V(z)ΔV=－R′ΔzI（3.167）
由于Δz趋近于零，上式变为
dVdz=－R′I（3.168）
显然，电压沿有损导体传输线的变化率和负的传输线电流成比例关系，传输线的单位长度电阻作为比例常数。对于理想电导体（PEC）的传输线，R′=0，dVdz=0，所以
V=常数（3.169）
式（3.167）、式（3.153）和式（3.157）表明，长度为Δz的每节传输线可以表示为一个由电阻为R′Δz的串联电阻器和一个电导为G′Δz的分流（并联）电阻器组成的电路单元，整个传输线可以用很多级联的相同小单元表示，如图3.21所示。因此，可以说传输线是一个分布参数（单位长度的参数）的电路，式（3.160）和式（3.168）对于电路单元实际上是基于基尔霍夫定律和欧姆定律。
图3.21直流状态下，导体和电介质都存在损耗的传输线的电路模型
式（3.160）和式（3.168）称为非时变电流和电压的传输线方程或电报方程。对于R′≠0和G′≠0的传输线，这两个方程是互相耦合的有两个未知数I(z)和V(z)的微分方程。对一个方程的z取导数，用另外一个方程的相应表达式取代其右侧表达式，可以消掉一个未知数（电流或电压），并得到下面的二阶微分方程，且只有电压或电流为未知数：
d2Vdz2－R′G′V=0，d2Idz2－R′G′I=0（R′≠0，G′≠0）（3.170）
这些方程的解是电压和电流沿传输线的指数函数。如果沿传输线R′=0，G′≠0，V=常数（式（3.169）），方程（3.160）的解是电流沿传输线的一个线性函数。反过来如果G′=0，R′≠0，I=常数（式（3.161）），方程（3.168）的解是电压沿传输线的一个线性函数。后如果G′=0，R′=0，则电流和电压沿传输线都不变化。注意，利用式（3.101）中的对偶关系，均匀非理想电介质传输线的单位长度漏电导可以通过单位长度电容求出：
G′=σdεC′（3.171）
式中ε是电介质的介电常数（对于同轴电缆，见式（3.158）和式（2.123））。也要注意式（3.170）中R′≠1G′。传输线的单位长度焦耳损耗功率P′J可以通过图3.21中一个电路单元的焦耳损耗功率除以Δz得到。单位是W/m。尤其在传输线的导体中（图3.21中的串联电阻），有
(P′J)c=ΔRI2Δz=R′I2（3.172）
在电介质中（图3.21中的并联电阻），有
(P′J)d=ΔGV2Δz=G′V2（3.173）
因此，传输线总的单位长度焦耳损耗功率为
P′J=R′I2 G′V2（3.174）
例题3.11理想导体非理想电介质的传输线一个长度为l，单位长度电导为G′的传输线与非时变电动势为E的理想电压源连接。传输线的另一端接有电阻为RL的负载。传输线导体中的损耗可以忽略不计。求： (a) 沿传输线导体的电流分布； (b) 传输线中总的焦耳损耗功率； (c) 电源的功率。解答： (a) 参考图3.22尽管与双线传输线类似，但图3.22中一对平行的水平传输线是一个任意双导体传输线的模型表示，由任意截面导体和不均匀电介质构成。，由于传输线导体中没有损耗，R′=0，沿线电压是（式（3.169））
V(z)=E(0≤z≤l)（3.175）
图3.22直流状态下由理想导体和有损电介质构成的传输线（例题3.11）
式（3.160）变为
dIdz=－G′E（3.176）
通过对其进行积分，得到
I(z)=－G′Ez I0(0≤z≤l)（3.177）
根据条件I(l)=VRL=ERL（z=l处的传输线电流等于通过负载的电流），求出积分常数是I0=G′El ERL（I0=I(0)是电源电流），所以得到
I(z)=G′E(l－z) ERL(R′=0,G′≠0)（3.178）
(b) 以式（3.173）为基础，传输线单位长度的焦耳损耗功率是
P′J=(P′J)d=G′V2=G′E2=常数(0≤z≤l)（3.179）
由于P′J沿传输线不变化，传输线中总的焦耳损耗功率，包括负载损耗，是
PJ=P′Jl传输线 E2RL负载=G′l 1RLE2（3.180）
(c) 式（3.121）表明，电源的功率是
Pi=EI(0)=EG′El ERL（3.181）
注意：
Pi=PJ（3.182）
当然这与负荷能量守恒定律是一致的，电源产生的功率传递到电路的其他部分，并在传输线的有损电介质和电阻性负载中消耗为热量。例题3.12有损双线传输线确定由有损导体和有损电介质构成的对称双细导线传输线的单位长度电阻和电导。导体和电介质的电导率分别是σc和σd。导体半径是a，两个导体轴线间距离为d（da）。解答： 传输线的单位长度电阻是单根线的2倍：
R′=21σcπa2（3.183）
（也见式（3.164））。根据式（3.171）和式（2.141），传输线单位长度电导为
G′=σdεC′=πσdlnda（3.184）
例题3.13浸在导电液体中的有非理想介质图层的双细导线传输线一个双细导线传输线的导体涂有电导率为σ1的非理想电介质的同轴薄涂层。每根导线半径为a，涂层厚度也为a，导线轴线间的距离为d（da）。传输线浸在电导率为σ2的液体中。传输线的单位长度电导是多少？解答： 传输线的单位长度（漏）电导的计算，其横截面如图3.23所示，可以与图2.31中传输线单位长度电容的计算完全并行地进行。这里，用I′d代替单位长度Q′，I′d是从传输线导体1通过涂层和液体漏到传输线导体2的电流。每个导体的漏电流密度，即从导体1漏出的电流密度和流入导体2的漏电流密度，如果在图3.23中的点M处计算，分别是
J1=I′d2πx，J2=I′d2π(d－x)（3.185）
导体间沿x轴总的电流密度是J=J1 J2。涂层中的电场强度是E=Jσ1，液体中E=Jσ2。根据式（2.182）计算导体间的电压为V，则传输线的单位长度电导是
G′=I′dV=π1σ1ln2 1σ2lnd2a－1（3.186）
注意，G′的表达式可以用相应的电导率替代式（2.183）中C′表达式的介电常数得到。即图3.23所示系统的σ项的不均匀与图2.31所示系统的ε项的不均匀是同样的形式，可以充分利用这两个系统的电导和电容间的一种对偶性。
图3.23浸在导电液体中的具有非理想电介质层的对称双细导线传输线的横截面（例题3.13）
例题3.14两种非理想电介质层的平面传输线图3.24给出由两个宽为w的平行金属带和带之间的两层电介质组成的一条平面传输线。金属带是理想导体，而两层电介质都是非理想的，电导率分别为σ1和σ2。层的厚度为d1和d2，长度为l。传输线的一端与非时变电动势为E的理想电压源连接，另一端开路。计算(a)传输线的单位长度电导和(b)沿金属带的电流。
图3.24两层非理想电介质的平面传输线（例题3.14）
解答： (a) 对如图3.24所示的矩形闭合面S应用连续性方程，非常像式（3.152），得
JwΔz=I(z)－I(z Δz)=I′dΔz（3.187）
（I′d是传输线的单位长度漏电流。）两个电介质层的电流密度都为
J=I′dw（3.188）
利用式（3.133）和式（3.157），得出金属带间的电压和传输线单位长度电导是
V=Jσ1d1 Jσ2d2=I′dwd1σ1 d2σ2→G′=I′dVd1σ1 d2σ2－1（3.189）
(b) RL→∞（传输线开路）时，沿传输线的电流由式（3.178）给出：
I(z)=G′E(l－z)=wE(l－z)d1σ1 d2σ2（3.190）
习题： 3.17～3.22； 概念问题（见本书同步网站）： 3.24~3.26； MATLAB仿真练习（见本书同步网站）。3.13接地电极考虑一个埋在地表下的任意形状的金属导体（电极）。这个导体可以表示一些电气或电子设备（位于地面上）的接地电极接地电极一般用于消除部分设备的静电感应，补偿安装在与导电体邻近的设备的电位，减少所谓的传导干扰（设备中不希望出现的感应电流，干扰设备中的“正常”电流和邻近设备的电流），引导（和避雷针一起）雷电中的电荷流向大地，等等。。假设大地的电导率σ在整个下半空间都是一样的。令强度为I的非时变电流从电极流入大地（通过细的绝缘导线将电流提供给电极），如图3.25(a)所示。由于电极的电导率远大于σ，式（3.57）表明离开电极的电流线垂直于电极表面。另一方面，根据式（3.58），大地中空气一侧的边界附近电流线是与边界面相切（平行）的。
图3.25(a)恒定电流的接地电极和(b)移去大地空气边界的等效系统——恒定电流的镜像理论
现在来考虑如图3.25(b)所示的系统，该系统通过在大地空气边界平面对图3.25(b)所示的下半空间取一个镜像得到。即下半空间的接地电极和原系统是相同的，在上半空间引入一个相对边界平面的对称电极（镜像电极），电极周围的整个空间都被电导率为σ的媒质填充。镜像电极的电流和原系统的电流（I）相同，也从电极（正镜像）流出。由于对称，图3.25(b)所示系统中对称平面的任一点的总电流密度矢量（由于两个电极）都只有水平分量。这意味着合成电流线是和对称平面平行的，这个平面对应图3.25(a)所示系统中大地空气的交界面。我们得出，在图3.25(a)和(b)所示系统中的下半空间的电流分布是相同的。这就是所谓的恒定电流的镜像理论（定理），表明任意一个恒定电流源（例如流入大地的恒定电流的接地电极）放置在与非导电媒质交界的边界平面附近的半导电空间（例如大地空气的交界面），在无限大导电媒质中可以用一个新的电源系统替代。新系统由原始的源电流本身和关于边界面的正的镜像组成。镜像电极（即其表面电荷）实际上代表原系统中两个半空间之间的边界上的等效面电荷。没有确定这个电荷并在原始系统中考虑其对总电场的贡献的直接方法，这就是为什么移去边界的等效的（均匀化的）系统一般更容易分析。通过分析图3.25(b)中的等效系统，确定大地中一给定的接地电流I的电流密度矢量J之后，图3.25(a)的原始系统中，对于具体应用中所有感兴趣的量都可以求出。大地中和大地表面的电场强度矢量是E=Jσ。接地电极的一个重要参数是它的接地电阻，定义为
Rgr=VgrI（3.191）
式中Vgr是电极对无穷远处参考点的电位。根据式（1.74），这个电位是
Vgr=∫无穷远电极E·dl（3.192）
沿大地表面电场线，在两点之间对E积分，这两点间的距离等于人的平均步长，围绕电极我们得到所谓的跨步电压——V跨步。这个电压与一个人在大地表面沿场线方向行走时两脚之间的电位差对应。在一个接地电极的上方区域，跨步电压对于大电流强度的电极可以引起非常大的V跨步值甚至有致命的后果的场合是一个重要参数。例题3.15半球形接地电极一个半径a=1m的半球形接地电极，随着地基埋在电导率为σ=10-3S/m的大地中，如图3.26(a)所示。电极电流I=1000A。求： (a) 电极的接地电阻； (b) 在地面上距离电极中心r1=2m和r2=r1 b两点之间的跨步电压，其中b=0.75m（人的平均步长）。解答： (a) 利用恒定电流的镜像理论，即图3.25，我们得到如图3.26(b)所示的等效系统，由互相压在一起的两个半球形电极组成，由此形成一个电流2I流入电导率为σ的均匀媒质的球形电极。由于球对称，媒质中的电流密度矢量J是半径方向的。因此，原系统中的J也是半径方向的，也是式（3.46）给出的形式。对电极周围半径为r的球面应用连续性方程，得到
J(r)=2I4πr2=I2πr2(a
图3.26(a)半球形接地电极和(b)等效的均匀介质中的球形电极（例题3.15）
注意通过对原系统中半径为r的半球面，即图3.26(a)，应用连续性方程得到同样的结果。结合式（3.18）和式（3.193），大地中的电场强度是
E(r)=J(r)σ=I2πσr2（3.194）
利用式（3.192）和式（3.191），得出相对于无穷远处参考点的电极电位和其接地电阻：
Vgr=∫∞r=aEdr=I2πσa→Rgr=VgrI=12πσa=159Ω（3.195）
(b) 跨步电压的值是
V跨步=∫r2r1Edr=I2π1r1－1r2=Ib2πσr1r2=21.7kV(b=r2－r1)（3.196）
例题3.16两个半球形接地电极如图3.27所示的电路，由电动势E=100V的理想电压源，忽略电阻的导线和两个半球形接地电极组成。每个电极的半径为a=2m，大地的电导率为σ=10mS/m，两电极中心间的距离为d=100m。计算电路中的电流。解答： 由于da，每个电极相对于在无穷远处的参考点电位可以彼此独立地计算，即作为一个独立的接地电极看待。因此从电源端看的等效电阻等于2Rgr，其中Rgr的表达式由式（3.195）给出。由于导线电阻忽略不计，电路的电流是
I=E2Rgr=πσaE=6.28A（3.197）
图3.27直流电路中的两个半球形接地电极（例题3.16）
例题3.17两个大地层中的半球形接地电极考虑如图3.28所示的半球形接地电极周围的一层大地的电导率σ1=5×10－3S/m，大地的其余部分电导率为σ2=10－3S/m。电极和两个大地层间的边界面的半径分别是a=1m和b=2m。电极的电流强度I=100A。确定： (a) 电极的接地电阻； (b) 大地的焦耳损耗功率。
图3.28由两个中心层构成的大地中的半球形接地电极（例题3.17）
解答： (a) 由于对称，两个大地层的电流都是半径方向的。对图3.28所示的闭合面S应用连续性方程，得到与式（3.193）一样的大地电流密度J的表达式。大地的电场强度矢量分别是E1=Jσ1(a
Vgr=∫∞aEdr=∫baE1dr ∫∞bE2dr=I2π1σ11a－1b 1σ2b（3.198）
根据上式，接地电阻（见式（3.191））等于
Rgr=VgrI=12πbb－aσ1a 1σ2=95.5Ω（3.199）
(b) 利用式（3.32），并将其与式（3.193）结合，得出大地的焦耳损耗功率是
PJ=∫vJEdv=∫∞aI2πr2E2πr2drdv=I∫∞aEdr（3.200）
式中dv是半径为r、厚度为dr的半球壳的体积（如图3.28所示）。注意该方程的后积分等于Vgr（式（3.198）），得到
PJ=VgrI=RgrI2（3.201）
根据给定的数据，得出PJ=955kW尽管是从特殊的接地电极中推导出来的，如图3.28所示，大地的焦耳损耗功率的表达式，即式（3.201），对于接地电阻为Rgr，电流为I的任意形状的接地电极都是成立的。注意，这实际上是焦耳定律，即式（3.77）的一个表达形式。。例题3.18深埋的球形接地电极一个半径a=30cm的球形接地电极，埋在电导率σ=10-2S/m的均匀大地中，球心处于相对于地表d=6m的深度，如图3.29(a)所示。有恒定电流通过电极，电极对无穷远处参考点的电位是Vgr=15kV。计算大地表面电场强度矢量的切向分量的值。
图3.29(a)深埋的球形接地电极和(b)等效系统——应用恒定电流的镜像理论（例题3.18）
解答： 由于da，与空气的边界对电极接地电阻的影响可以忽略不计，意味着Rgr的计算可以看作是对电导率为σ的无限大均匀媒质中的电极进行的。引用式（3.102）的对偶关系，可以进一步将Rgr与位于介电常数为ε的无穷大电介质媒质中的相同金属球的电容（C）联系在一起。式（2.121）给出ε=ε0时的电容，于是
Rgr=ε0σC=14πσa=26.5Ω（3.202）
因此，电极电流是I=VgrRgr=565.5A。应用恒定电流的镜像理论（图3.25）和叠加原理，可以得到图3.29(b)中M点的合成电流密度矢量，M点的位置由距离对称面上电极中心（O点）的投影的半径距离r决定，即
J=J原 J镜像（3.203）
式中J原和J镜像是流过各自电极的电流密度矢量。利用da这一条件，这些电流密度可以彼此独立地算出，其结果是
J原=J镜像=I4πR2→J=2J原cosα（3.204）
cosα=rR，R=r2 d2。图3.29(a)中，原系统大地表面电场强度矢量的切向分量是
Et(r)=Jσ=Ir2πσ(r2 d2)32（3.205）
根据条件
dEt(r)dr=0（3.206）
得出中心在圆心O点，半径为rmax=d2=4.24m的圆上，场强Et达到值。这个场强为
(Et)max=Et(rmax)=I39πσd2=96V/m（3.207）
注意，例如一个步距取b=0.75m作为人的平均步长，的跨步电压约为
(V步长)max≈(Et)maxb=72V（3.208）
这个值比式（3.196）求出的电压值要小很多。这是我们所期待的一个结果，因为图3.29(a)中的电极是深埋大地中的。问题： 3.23~3.29； 概念问题（见本书同步网站）： 3.27~3.30； MATLAB练习（见本书同步网站）。问题3.1根据电导率梯度求解电荷密度。在一个有恒定电流的区域内，材料电导率随空间坐标变化，σ≠常数，而介电常数不随空间坐标变化，ε=常数。如果该区域电位为V，证明体电荷密度是ρ=εσσ·V。3.2通有恒定电流的铜导线的各种计算。如例题3.1所描述的，一根铜导线通有恒定电流，计算：
(a) 在一小时内通过导线横截面的电子数；
(b) 导线中的电场强度；
(c) 导线两端的电压；
(d) 导线材料的焦耳损耗功率密度；
(e) 导线内总的欧姆损耗功率；
(f) 室温下导线的电阻；
(g) 100℃时导线的电阻（αCu=0.0039K-1）。3.3非理想电介质的平行板电容器。一个平行板电容器填充介电常数为ε、电导率为σ的均匀非理想电介质。极板间距为d，极板面积为S。如果极板间的电压为V（非时变），求：
(a) 电介质中的电流分布；
(b) 通过电容器端子的电流；
(c) 电容器的电导；
(d) 电容器的焦耳损耗功率；
(e) 电容器中的自由电荷分布；
(f) 电容器中的束缚电荷分布。3.4一半填充导电液体的球形电容器。一个球形电容器，其电极间不充分地填充导电液体电介质，占据电极之间的二分之一空间。电极半径是a和b（a
图3.30按(a)串联和(b)并联连接的不同电阻材料构成的两个长方体（问题3.6）
3.7沿电阻器电流方向的电导率梯度。如图3.31所示，是一个边长分别为a、b、c的长方体电阻，由连续不均匀的电阻材料构成。材料的电导率由下列x坐标函数给出： σ(x)=σ01 9xa(0≤x≤a)，其中σ0是常数。计算这个电阻器的电阻。
图3.31由连续不均匀电阻材料构成的长方形电阻器（问题3.7~问题3.9）
3.8与电阻器电流方向垂直的电导率梯度。假设如图3.31所示材料的电导率是y坐标函数，σ(y)=σ01 9sinπyb(0≤y≤b)，求电阻器的电阻。3.9指数电导率属性的集成电路电阻器。集成电路（IC）电阻器是通过向N型背景材料扩散一层P型杂质形成。由于扩散过程，穿过被处理区域的杂质浓度不均匀，因此得到的IC电阻器基本上可以用图3.31所示的结构表示，其电导率以函数σ=σ(y)变化。具体就是，σ(y)从空气电阻器交界面的σ1=100S/m按指数衰减到认为不导电的N型背景和长、宽和厚分别是a=4μm，b=1μm和c=2μm的P型区域的交界面的σ2=0.1S/m，确定IC电阻器的电阻。3.10具有两种有损电介质层的球形电容器。电极半径是a=5cm和c=15cm的球形电容器的电介质，由两个同心的非理想电介质层组成，其层间交界面的半径b=10cm。内电极附近的电介质层介电常数和电导率是εr1=12和 σ1=4×10－4S/m，另外一层 εr2=7，σ2=5×10－6S/m。电容器连接到非时变电压V=100V上。
(a) 求电介质内的电流分布；
（b） 利用该结果和积分（场理论法）计算： （a）电容器的电导，(b)每层电介质的焦耳损耗功率，(c)半径为a、b和c的每个边界上的自由电荷。3.11利用理想元件的等效电路求解。利用如图3.18(b)所示的两个理想电容器和理想电阻器组成的等效电路（电路理论法），重做问题3.10的(b)~(d)部分。3.12连续不均匀非理想电介质。图3.32给出一个圆形极板半径为a，连续不均匀非理想电介质的平行板电容器。电介质的介电常数和电导率分别是如下的z坐标函数： ε(z)=21 3zdε0和σ(z)=σ01 3zd（0≤z≤d），式中σ0是常数，d是极板间的距离。电容器连接到非时变电压V上。求(a)电介质内的电流分布，(b)电容器的电导，(c)电容器的焦耳损耗功率，(d)电容器内自由电荷的分布，(e)电容器内束缚电荷的分布。
图3.32连续不均匀有损电介质的平行板电容器（问题3.12）
3.13具有两种有损电介质的平行板电容器。考虑如图3.33所示的分段均匀电介质的平行板电容器。电介质的介电常数是ε1和ε2。两部分电导率分别为σ1和σ2，都是有损耗的。极板间的距离是d，电介质的横截面面积是S1和S2。极板间电压为V。通过应用场理论法（基于确定电介质内电流及场分布），计算(a)通过电容器端子的电流，(b)电容器的电导，(c)每部分电介质的焦耳损耗功率，(d)电容中自由电荷的分布。
图3.33两种非理想电介质的平行板电容器（问题3.13）
3.14理想电容器和电阻器组成的等效电路。利用电路理论法，即建立并求解理想电容器和电阻器组成的等效电路，重做问题3.13。3.15通过圆盘的电流分布。求问题3.12通过非理想电介质平行板电容器的上下极板的电流的分布。假设极板足够薄，使得通过极板的电流可以用面电流密度矢量描述。3.16通过薄球形电极的电流分布。考虑例题3.3中非理想电介质的球形电容器，假设内电极是空心的，球壁非常薄。在这个假设下，确定通过内电极的电流的分布。用面电流密度矢量再来确定这个电流。3.17具有两个有损电介质层的同轴电缆。两个同轴非理想电介质层的同轴电缆，其轴向横截面如图3.34所示。导体是理想导体，半径是a=3mm， c=10mm和d=12mm。电介质层间边界面的半径为b=7mm，电缆长度是l=100m。两层电介质的相对介电常数是εr1=4和εr2=8，电导率是σ1=10－12S/m和σ2=5×10－12S/m。电缆一端与一个电动势为E=30V的理想非时变电压源连接，电缆的另一端接电阻性负载RL=12Ω。计算(a)电介质中的电流密度，(b)电缆单位长度的电导，(c)沿导体的电流强度，(d)每部分导体的电流密度，(e)电缆和负载中的焦耳损耗功率，(f)电源的功率,(g)电介质层之间边界上的自由面电荷密度。
图3.34直流状态下具有两个同轴非理想电介质层的同轴电缆（问题3.17）
3.18具有不均匀非理想电介质的同轴电缆。一根非理想导体的同轴电缆，填充不均匀非理想电介质，其参数为ε=ε01 r2a2和σd=σ01 r2a2（a
图3.35在直流电状态下，部分填充导电电介质的同轴电缆（问题3.19）
3.20具有不良导电间隔区的同轴电缆。图3.36是一个导体间存在间隔区的填充空气的同轴电缆的横截面。这段间隔区由电导率为σ的非理想电介质构成，其横截面的圆心角为α。导体半径是a和b。该电缆单位长度的电导是多少？
图3.36导体间具有不良导电间隔区的同轴电缆的横截面（问题3.20）
3.21非理想导体的平面传输线。如图3.24所示的平面传输线的金属带不是理想导电体，而是有一个有限的电导率σc，求传输线单位长度的电阻。假设每个金属带的厚度是t。3.22具有不均匀有损电介质的平面传输线。考虑如图3.37所示的平面（两条）传输线。金属带是理想导体，非常薄，宽度为w，长度为l，彼此间距为d。金属带间的电介质是非理想的，连续但不均匀，其参数为ε(x)=4 3xdε0和σ(x)=σ01 9xd，0≤x≤d，式中ε0和σ0是常数。传输线一端与电动势为E的理想直流电压源连接，另一端开路。计算(a)电介质中体电流的分布，(b)金属带表面面电流的分布,(c)电介质中自由体电荷的分布。
图3.37直流状态下，连续不均匀非理想电介质的平面传输线（问题3.22）
3.23不均匀大地中的接地电极。如图3.38所示，半球形接地电极周围大地的电导率可以用下面关于半径坐标r的函数描述： σ(r)=σ0ar(a
图3.38连续不均匀大地中的半球形接地电极（问题3.23）
3.24被两种土地环绕的接地电极。如图3.39所示，在半径为a=1m的接地电极周围的大地可以用电导率为σ1=2×10－3S/m和σ2=8×10－3S/m的两种土地表示。电极的电流强度为I=50A。计算(a)电极的接地电阻和(b)每种土地的焦耳损耗功率。
图3.39两种土地中的半球形接地电极（问题3.24）
3.25两个短路的接地电极。如图3.40所示，两个完全一致的半径为a的半球形接地电极，用一根忽略电阻的导线彼此连接起来。大地的电导率是σ，两个电极球心间的距离为d（da）。确定这样一个电极系统的电阻。
图3.40两个短路的半球形接地电极（问题3.25）
3.26分层土地中的两个接地电极。如图3.41所示电路由电流强度为I=100A的理想电流源、一根忽略电阻的导线和两个完全一致的半径为a=2m的半球形接地电极组成。电极附近半径为b=4m的范围内，大地电导率为σ1=10-2S/m。其他地方的电导率为σ1=10-3S/m。球心间的距离为d=80m。电极间的电压是多少？
图3.41分层土地中的两个半球形接地电极（问题3.26）
3.27两个深接地的球形接地电极。考虑在电导率为σ的均匀大地中，两个半径为a的完全相同的球形接地金属电极。两个电极球心间的距离以及相对地表的深度均为d，其中da。两个电极间的电阻是多少？3.28深接地柱状接地电极。一个半径为a=20cm、长度为l=5m的柱状接地电极埋在电导率为σ=10-2S/m的均匀大地中，其轴线在地表下方深度为d=4m，如图3.42所示。如果通过电极的恒定电流强度为I=200A，求地表上的跨步电压。取人的平均步长为b=0.75m。忽略由于圆柱的有限长度带来的端部效应。
图3.42深接地的柱状接地电极（问题3.28）
3.29两个深接地的平行柱状电极。两个完全相同的接地电极，如图3.42所示彼此平行放置（相对地表位于相同的深度），其轴线间距离为D=6m。如果两个电极在电路中一起与一个理想电流源连接，如图3.41所示（I=200A），计算（具体数据在问题3.28中给出）电极间的电压。
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