描述
开 本: 32开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 是国际标准书号ISBN: 9000302001171
◆*版累计销售量超100万册
◆曾荣获首届全国优秀少年儿童科普图书一等奖，第二届全国优秀少年儿童读物三等奖
◆学习在课堂学不好的方法与数学思想
◆帮小学生的数学完成从0到1，助中学生的数学实现从1到∞
全套图书共有6册，分别是：
《否定中的肯定：逻辑的故事》
《偶然中的必然：概率的故事》
《抽象中的形象：图形的故事》
《无限中的有限：极限的故事》
《未知中的已知：方程的故事》
《变量中的常量：函数的故事》。
每分册24篇文章，每篇文章都是由精彩的故事开始，至少对一道经典数学题进行拆解，进而引出数学的基本思想、概念、方法，把数学问题中*本质的东西从生动、有趣的故事中演绎出来，让学生能够从中体会到深刻的数学思维过程，引导学生在富有“故事”性的数学问题中学到与课本知识不一样的东西。
整套书包括逻辑、概率、图形、极限、方程、函数等六大板块，非常整齐，是中小学生必学的内容。在经典的数学内核中，紧扣要求，内容充实，文字活泼流畅，趣味十足，帮助孩子快速形成自己的数学知识点图谱。
故事的引人入胜与数学原理的巧妙结合，会产生一种奇特的反应，让读者在故事的流连忘返中，不知不觉去思考故事背后的原理和奥秘，在数学故事的王国里遨游，有时你自己甚至都没有发现原来你已经深深喜欢上了数学，爱上了它带给你思考的无穷乐趣。更重要的是，书中很多故事和原理都和我们的生活息息相关，不仅可以让我们在思考中享受乐趣，更能体味生活的多姿多彩。学习和生活的结合，本身就是一件可以回味无穷的事。
如果你认为孩子还没真正入门数学，就选这套书吧，没错的。
如果你认为孩子数学成绩一般，提高困难，也选这套书，没错的。
《否定中的肯定：逻辑的故事》
一、 从“人机之战”谈起 //001
二、 演绎的科学 //007
三、 勒让德教授的失误 //015
四、 儿何王国的孪生三姐妹 //022
五、 否定中的肯定 //029
六、 异曲同工的证明方法 //036
七、 文恩氏的图形推理法 //043
八、 智力游戏的间接推理 //050
九、 巧解逻辑难题 //056
十、 尝试, 经验与信念的支柱 //069
十一、 步向真理的阶梯 //077
十二、 数学史上亘古未有的奇迹 //084
十三、 “外星人”的算术 //091
十四、 魔术“猜姓”的科学原理 //099
十五、 火柴游戏的决胜奥秘 //106
十六、 布尔先生的命题代数 //112
十七、 太极八卦与命题简化 //120
十八、 思维机器的“脑细胞” //128
十九、 开关电路与自动装置 //136
二十、 人脑与电脑, 思路与程序 //143
二十一、 神奇的射流技术 //151
二十二、 错觉的漩涡 //157
二十三、 识别伪科学 //164
二十四、 数学家和数学思维 //171
《偶然中的必然：概率的故事》
一、神奇的功勋 //001
二、从死亡线上生还的人 //005
三、偶然中的必然 //009
四、威廉•向克斯的憾事 //013
五、勒格让先生的破译术 //018
六、布丰的投针试验 //024
七、一场关于投掷的争论 //029
八、求π的“魔法”//034
九、“臭皮匠”与“诸葛亮”//038
十、机会均等与妙算概率 //043
十一、分取赌金的风波 //048
十二、五个生日相同的姐妹兄弟 //052
十三、一个关于抽签顺序的谜 //056
十四、贝特兰的概率悖论 //062
十五、以蒙特卡洛命名的方法 //066
十六、关于《血疑》的质疑 //071
十七、小概率•摸彩 //076
十八、布朗运动和醉鬼走路 //081
十九、从《歧路亡羊》谈起 //086
二十、选择题与评分和科学反扣 //092
二十一、不模糊的模糊数学 //097
二十二、从齐王赛马到俾斯麦海海战 //103
二十三、“矮高”和“高矮”谁高的启示 //108
二十四、可以作为前言的结束语 //113
《抽象中的形象：图形的故事》
一、 哥尼斯堡问题的来龙去脉 //001
二、 迷宫之“谜” //007
三、 橡皮膜上的几何学 //014
四、 笛卡儿的非凡思考 //020
五、 哈密尔顿周游世界的游戏 //027
六、 奇异的莫比乌斯带 //032
七、 环面上的染色定理 //038
八、 捏橡皮泥的科学 //045
九、 有趣的结绳戏法 //051
十、 拓扑魔术奇观 //057
十一、 巧解九连环 //063
十二、 抽象中的形象 //069
十三、 中国古代的魔方 //074
十四、 十五子棋的奥秘 //078
十五、 剪刀下的奇迹 //084
十六、 图上运筹论供需 //091
十七、 邮递员的苦恼 //097
十八、 起源于绘画的几何学 //102
十九、 传奇式的数学家彭色列 //109
二十、 别有风趣的圆规儿何学 //115
二十一、 直尺作图见智慧 //122
二十二、 分割图形的数学 //128
二十三、 游戏中的逆向推理 //135
二十四、 想象与现实之间的纽带 //140
《无限中的有限：极限的故事》
一、记数史上的繁花 //001
二、大数的奥林匹克 //007
三、“无限”的诞生 //014
四、关于分牛传说的析疑 //021
五、奇异的质数序列 //028
六、“有限”的禁锢 //035
七、康托教授的功绩 //042
八、神奇的无限大算术 //049
九、青出于蓝的阿列夫家族 //056
十、令人困惑的“连续统”之谜 //063
十一、从“蜻蜓咬尾”到“两头蛇数”//068
十二、斐波那契数列的奇妙性质 //076
十三、几何学的宝藏 //083
十四、科学的试验方法 //090
十五、中国数学史上的牛顿 //098
十六、实数的逼近 //106
十七、漫话历法和日月食 //115
十八、群星璀璨的英雄世纪 //123
十九、无聊的争论与严峻的挑战 //129
二十、快速鉴定质数的方法 //135
二十一、秘密的公开和公开的秘密 //141
二十二、数格点,求面积 //148
二十三、一个重要的极限 //155
二十四、人类认识的无限和有限 //164
《未知中的已知：方程的故事》
一、王冠疑案的始末 //001
二、《王冠疑案》之疑 //006
三、丢番图和勾股数 //012
四、悬赏十万马克的问题 //019
五、架设通向已知的金桥 //024
六、一场震动数学界的论战 //031
七、荣誉在他死后得到 //038
八、数学史上的灿烂双星 //045
九、发现解析法的初线索 //052
十、解开几何三大作图问题之谜 //059
十一、走出圆规直尺管辖的国度 //067
十二、揭开虚数的神秘面纱 //074
十三、神奇的不动点 //082
十四、库恩教授的盆栽艺术 //089
十五、从弹子游戏的奥秘谈起 //095
十六、容器倒来倒去的启示 //102
十七、点兵场上的神算术 //110
十八、数学王国的巾帼英雄 //116
十九、晶体•平面均匀镶嵌 //122
二十、数学世界的“海市蜃楼”//130
二十一、四十七年与十七秒 //139
二十二、稳操胜券的对策游戏 //147
二十三、奇特的正方分割 //154
二十四、献给学生也献给教师 //161
《变量中的常量：函数的故事》
一、一个永恒运动的世界 //001
二、“守株待兔”古今辩 //008
三、马尔克广场上的游戏 //014
四、奇异的“指北针”//021
五、揭开星期几的奥秘 //027
六、神奇的指数效应 //034
七、数学重要的方法 //041
八、永不磨灭的功绩 //049
九、并非危言耸听 //055
十、追溯过去和预测将来 //061
十一、变量中的常量 //068
十二、蜜蜂揭示的真理 //076
十三、折纸的科学 //083
十四、有趣的图算 //091
十五、科学的取值方法 //099
十六、神秘的钟型曲线 //106
十七、儒可夫斯基与展翅蓝天 //112
十八、波浪的数学 //118
十九、对称的启示 //125
二十、选优纵横谈 //132
二十一、关于捷径的迷惑 //140
二十二、从狄多女王的计策谈起 //146
二十三、约翰•贝努利的发现 //152
二十四、跨越思维局限的栏栅 //159
重要的科学发现、发明创造与深入的独立思考是*分不开的。对学生来说，在学习的过程或老师提出的问题中，如有疑难，就要认真加以思考，问个到底。
——华罗庚（著名数学大师）
本书通过故事讲数学的来龙去脉，把数学问题中*本质的东西从生动、有趣的故事中演绎出来，让学生能够从中体会到深刻的数学思维过程，引导学生在富有“故事”性的数学问题中学到与课本知识不一样的东西。
——张鹤（北京市数学特级教师，苏步青数学教育奖获得者，《唤醒思维的数学书》作者）
张远南老师的这套《给孩子的数学故事书》和中学课内内容贴合紧密，有益于提高学生数学核心素养，让学生从课内走向课外。这套书寓教于乐、寓学于趣，是不可多得的科普佳作。
——范兴亚（数学教育博士，北京四中教师，数学奥林匹克教练员）
虽然书里有的题看不懂，但是那些有趣的数学故事、智力游戏让我非常入迷。
——李思远（清华大学附属小学学生）
有趣的结绳戏法
有道是:“戏法人人会变,各有巧妙不同”。
人们平日见到的戏法,多是采用障眼的手段。通过精巧的道具,娴熟的手法,用艺术表演的方式,把真相掩盖起来,使观众看到一种扣人心弦而又百思不解的假象!
有一个令人惊心动魄的戏法,差一点获得了世界魔术锦标赛的金奖。这就是法国魔术大师让·罗加尔表演的“人体三分柜”。表演时他让一位腰肢纤细的美貌女郎站在一个柜内,然后拦腰插进两块“钢刀板”,硬是将女演员横截三段。随即又把中间的一段推向一边,就像读者在左图中见到的那样。如果不是因为观众亲眼见到了位于三分柜外的,女郎的头手和脚依然还会活动的话,说不定会有人怀疑,在眼前的舞台上是否发生了一起凶杀案!其实看一看下边的图,读者的心也就完全释然了!
不过,本节所要讲的结绳戏法,却是一种科学! 这里并不存在假象,所有的都是必然的结果。只是复杂的拓扑变换,超出了观众想象所能达到的程度。
读者都有这样的经验:两头接起来的绳子,如果在连接之前没有打过结的话,那么连接起来之后便不会有结了!反过来,起初如果已经打过结,那么连接起来之后,这个结将会永远存在。
简单的绳结有两种。为了让读者看得更清楚,我们特意把这两种绳结打得非常松。正如读者在右图中见到的那样,这两种绳结是互为镜象的!
可能有人以为,把这两种方向相反的结打在一根绳子上,然后把它们移在一起,便会互相抵消。读者试一试就会知道,这是不可能的!数学家已经找到了这一经验事实的严格证明。
下图(Ⅰ)的三个绳环是互相套在一起的。如果你剪断其间的任何一个环,其余的两个环仍然互相套着。下图(Ⅱ)却不同,三个绳环虽然也互相套着,但只要剪断其中的一个环,三个环便 立即互相脱离。
建议读者照下图(Ⅱ)做三个绳圈套,然后把其中不涂色的两个绳圈用力往外拉,结果黑色的绳圈产生了变形,变成图(Ⅲ)的模样。图中黑色绳圈的套法,无疑可以如同下图那样,一个套着一个,连成一条长长的环状绳套链。我们只要随便剪断绳套链中的一只绳套,所有的绳套便全然分崩离析!
有一种很著名的打结法叫“契法格结”,这是一种假结,在结绳戏法中常常使用。契法格结的打法是:如图,先打一个正结,再打一个反结,然后像右边的图那样,串绕起来。这时如果抓住绳子的两头一拉,立即会恢复成原先的一条绳子。
下面让我们再欣赏一些有趣的结绳游戏。读者很快就会发现,我们前面学过的拓扑学知识,是怎样巧妙地融合在这些戏法里。
有一个非常简单的拓扑游戏,它对于锻炼人们思维无疑是有益的:有六个一样的铁圈用绳子串着,绳子的两端如下图那样开着。你能把当中的两个铁圈取出来,却又使两端的铁圈不脱离绳子吗?
我想聪明的读者一定都能想得出来,但我们还是和下面的题目一起,把答案附在本节的末尾。
另一种非常精巧的结绳戏法叫“巧解剪刀”:用一根细绳像右图那样拴结在剪刀上。剪刀的手柄是闭合的,绳子的另一头连着一个健身圈,其含意是不允许绳头从剪刀的手柄中穿回去。请问,在不允许把绳子剪断的前提下,你能把绳子从剪刀上脱下来吗?
可能有些读者对这类问题还不太适应,那就先做一做下面稍微简单但却颇相类似的题目吧! 可能后者的解决,将增加你对前者解决的信心和把握!
将一把圆珠笔用细绳拴一个套,然后如图将它穿过上衣的纽扣孔,拉紧后变成很像“巧解剪刀”中的那种死扣。现在你试着把它解开,这是容易办到的,因为还原回去就行了! 然而这样的还原,对于“巧解剪刀”问题却是极有启发的。
还有一个可以使人眼界大开的结绳把戏:取一条约一米长的圆绳,如下图把它结成三四个绳结(一定要照图样打结!)然后在下方标有“×”的地方用剪刀剪断,现在把绳子向两端拉直,于是奇迹出现了:在纷纷扬扬落下一些绳头之后,眼前又出现了一条完整的绳子!
这一节介绍的许多有趣的戏法,都可以搬到你们班级的晚会上去。我深信:你的精彩表演,一定会引起不小的轰动呢!
【几种游戏的答案】
1°当中取圈。把绳的两头扣起来,将其一端上的两只铁圈通过绳结移到另一端去,然后再将绳子解开,现在取走中间的两只铁圈便很容易了!
2°巧解剪刀。解法如下图:
否定中的肯定
这是一个有趣的智力游戏。
老师为了测试甲乙丙丁四名学生的分析推理能力,拿了五顶式样相同的帽子给他们看,并强调说:“这里有两顶白帽,一顶红帽,一顶黄帽,一顶蓝帽”。接着他让四人依序坐在四级台阶上,然后叫他们闭上眼睛,又替每人戴上一顶帽子。后,他让学生们张开眼睛,并判断自己头上戴的帽子是什么颜色。
结果是出人意外的。虽说坐在后面的人看得见前面的人所戴帽子的颜色,但甲、乙、丙三人看了看并想了想,都摇头说猜不出来。某丁坐在前面,他看不到别人的帽色,但此时却 发话了,说他业已猜到自己所戴的帽子颜色。
丁是如何断定自己的帽色呢? 可能聪明的读者已经猜出了游戏的谜底。其实某丁的判断并不难,他是这样思考的:
“某甲得天独厚坐得,能看到其余三人的帽子,他为什么说猜不出来呢? 肯定他看到了前面有人戴着白帽。因为假如前面的人都戴杂色帽的话,那么他就能猜出自己所戴的是非白帽而莫属了。再说某乙,她可是个聪明人,某甲的想法,她自然了如指掌。那么她为什么也说猜不到呢? 一定是她也看到了前面有人戴着白帽。不然的话,她就会从某甲的态度和其他人的帽色,判断自己戴着白帽。后说某丙,她的智商绝不比某乙低,可她为什么也说猜不到呢! 理由只能是一个,就是她看到了我头上戴着白帽。”
就这样,某丁从众人的否定中对自己的帽色作了肯定!
上面的游戏可以推广到多个人,但杂色帽要比人数少一,而白幅则至少两顶。推理的方法是一样的。只是无论结论是肯定的还是否定的,思维都必须符合一定的规律。
逻辑思维的基本规律是什么呢? 总的说有以下三条:
(1)同一律:即思维应自始至终保持统一;
(2)矛盾律:即思维中两个相反或不相容的判断不能都真。
(3)排中律:在思维过程中,对一个逻辑上的判断,要么肯定,要么否定,非假即真。
以上三条规律,从不同角度对人类正确思维的一贯性、确定性和无矛盾性提出要求。
要指出的是:有不少人以为,由“是”与“不是”构成的句子一定是相反的判断。假如其中有一句是正确的,那么另一句就一定不正确。实际上这种看法未必都对。以下的“阿契贝难题”,可能会使你感到惊讶不已!
阿契贝喜欢研究形式逻辑,有一次他遇到下面的两句话:
“××是○○○”
“××不是○○○○”
这两句中,每句前面的“××”表示相同的词,后面的“○○○”也表示相同的词。它们的区别仅在于中间的“是”与“不是”。然而,两句却都是正确的! 可能有些读者会感到不可思议,其实这是由于脑中过分萦绕着“A不等于非A”这类形式逻辑观点的缘故。但是,如果两句话主语用词虽则相同而所代表的内容却不一样的话,那么即使表语一样,也未必会出现逻 辑上的矛盾。例如:
“本句是六字句。”“本句不是六字句。”
这是阿契贝难题的一种解答。两句中,前一句与后一句的主语“本句”,其包含的内容是不相同的。
下面的故事将帮助你进一步熟悉逻辑思维的规律。
老虎占山为王,号令百兽。
一天,老虎肚子饿了,想变换花样搞点动物吃吃。于是召来小鹿、狐狸、兔子和猴子,要大家说说他嘴里的气味,以考察他们的忠诚。
梅花鹿首先被指定回答,他据实禀报,说老虎王口臭很重,结果以“诽谤”罪名被杀。狐狸见势不妙,立即拍了一个溜须马屁,说是虎大王金口不仅不臭,而且飘香万里。不料老虎却不买这个帐,公然承认自己爱吃肉,嘴里不可能是香的。狐狸终于也被杀。兔子胆颤心惊,两眼出血。他吸取前车之鉴,诚惶诚恐地禀报:“陛下之口很难说是臭还是不臭。”老虎听了,勃然大怒,说是决不允许骑墙折衷者留存世间! 后轮到猴子,猴子挠了挠后脑,毕恭毕敬地走到老虎面前说:“大王,我近有点感冒,鼻子不通,如能让我回去休养几天,等鼻子通了,我就能准确说出大王嘴里的味道。”老虎词穷,只好放走猴子。猴子自然乘机逃之夭夭。
故事到此为止,请读者用逻辑观点分析一下,为什么梅花鹿、狐狸和兔子都没能逃脱厄运,而唯独猴子却能转危为安? 猴子的话有没有违背排中律? 我相信,这些问题将会伴随你度过一个愉快的夜晚!
有时人们从一些貌似正确可以接受的约定出发,经过简明而正确的推理,竟然会得出自相矛盾的结论。这样的议论称为悖论。“悖”就是混乱、冲突的意思。例如给定一个命题A,同时会有:
A→B
A→B?
这里 B与 B? 同时为真,这是违背逻辑规律的。
悖论在日常生活中并不少见。某图书馆为了方便读者,将本馆藏书每册一号,编成一本“目录”。现在问:这本“目录”本身是否编入目录中? 回答可能会很使你为难。
古希腊是一个充满神话的国家。有这么一个传说:一条鳄鱼从一位母亲手里抢走了一个小孩。鳄鱼想吃掉这个小孩,又希望名正言顺,于是自作聪明地对这位母亲说:
“我会不会吃掉你的孩子? 如果你答对了这个问题,我将把孩子不加伤害地还给你。”
这位母亲思虑片刻回答道:
“呵! 呵! 你要吃掉我的孩子的。”
这一来,贪婪的鳄鱼遇到了难题:“说孩子母亲回答的不对吧,那么我就可以吃 掉 她 的 孩 子,但 她 明 明 说 我 要 吃 掉 她 的 孩子,这岂不又成对了吗? 如果说她回答是对的,这就是说我要吃掉她的孩子,但我又必须把孩子不加伤害地还她! 天哪! 这该怎么办?!”
笨拙的鳄鱼给弄懵了,为了假惺惺表示尊重诺言,只好把孩子还给了这位机智的母亲。
悖论渊源于相当久远的年代。著名的“说谎者”悖论出现于公元前六世纪。大意是:克利特岛上的E先生说:“克利特岛上的人是说谎者 ”。不难发现,无论怎样回答都将出现矛盾。
在近代数学中有影响的是所谓“罗素悖论”。公元1902年,英国数学家罗素(Russell,1872~1970)针对集合论初创时期基础理论不够完善,提出以下著名的议论:
“把所有集合分为两类,类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以其自身为元素。假令类集合所组成的集合为P,第二类集合所组成的集合为Q,于是有
P={A|A∈A}
Q={A|A∉A}
问:集合Q是属于类集P呢? 还是属于第二类集Q?”
从逻辑上讲,这个问题的回答只能是“Q∈P”或“Q∈Q”两种,二者必居其一。然而无论哪种回答都会引申相反的结论。
悖论的产生,在逻辑上,违背了人类正确思维所应遵循的基本规律。对素以严谨著称的数学,悖论自然不能永久允许。但它却可以促使数学家们去进行严肃的思考,并寻找那导致悖论的原因,从而创造出一个至少在逻辑上完美协调、无懈可击的科学理论。
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