数理哲学导论(汉译名著本)

本书是罗素继1903年问世的《数学原则》和1910—1913年出版的三大卷《数学原理》之后所写的数理哲学通俗著作。在这本书中罗素以他明白晓畅的文笔陈述了数学原理研究中确定的科学结果，特别包括数理逻辑方面的结果。罗素认为，数理逻辑作为一种方法，有助于传统哲学问题，特别是数理哲学问题的解决。在这本书中他将数理逻辑的主要结果以一种既不需要数学知识，也不需要运用数学符号能力的形式陈述出来。本书清楚明确地陈述了罗素的数理哲学观点，即人们通常所称的逻辑主义。

在本书中罗素以他的明白晓畅的笔法陈述了数学原理研究中确定的科学结果，所谓的数学原理研究中确定的科学结果特别包括数理逻辑方面的结果。

伯特兰·罗素（1872—1970），英国数学家、逻辑学家。二十世纪英国著名哲学家，分析哲学创始人和主要代表。

晏成书（1923年9月—1995年4月），北京大学哲学系教授、著名逻辑学家。

序言

编者注

章 自然数串

第二章 数的定义

第三章 有穷与数学归纳法

第四章 序的定义

第五章 关系的种类

第六章 关系的相似

第七章 有理数、实数和复数

第八章 无穷基数

第九章 无穷序列与序数

第十章 极限与连续数

第十一章 函数的极限与连续性

第十二章 选择与乘法公理

第十三章 无穷公理与逻辑类型

第十四章 不相容性与演绎法理论

第十五章 命题函项

第十六章 摹状词

第十七章 类

第十八章 数学与逻辑

索引

这本书原本是想作为一个“导论”，而不是想对它所处理的问V题作一个详尽的讨论。有些结果直到现在为止只是对于精通逻辑符号的人才可以应用，但是将它们用一种给初学者少困难的方式陈述出来，这一点似乎还是可望做到的。关于那些仍然受到严重怀疑的问题，我们已经作了的努力以避免武断，在某种程度上这种努力支配了我们所要讨论的题目的选择。数理逻辑的初始部分比起它稍后的部分来没有那样明确地为人知道，但是这些部分至少和后面的部分具有同样的哲学兴趣。在以下诸章中所陈述的许多东西称之为“哲学”是不适当的，尽管它们所涉及的问题包含在哲学中如此之久，以致关于它们还不曾有令人满意的科学存在。例如，无穷与连续的性质就是这样，在早日它们属于哲学，现在却归在数学中。在这个领域中所获得的许多确定的科学结果在严格的意义上或许不能认为是包含在数理哲学中。在知识的边境上有一些问题，关于这些问题至今还不曾得到比较确定的结论，人们很自然地期望数理哲学来处理这些问题。可是，除非我们认识了数学原理中比较科学的部分，对于这些问题的探讨很可能难获结果。所以一本讨论这些部分的书可以自称是一本数理哲学导论，虽则，除非它越出了它的范围，它很难声称它所处理的是哲学的一部分。就某些接触到本书的人看来，它所处理的一部分知识似乎取消了许多传统哲学，甚至于很大一部分流行于今日的哲学。然而也就是这种情形以及它与尚未解决的问题的关联，数理逻辑与哲学有关。因为这个原因和题目固有的重要性，将数理逻辑的主要结果在一种既不需要数学知识，也不需要运用数学符号的能力的形式中简单地叙述出来，或许有用。虽然在这里和别处一样，从进一步研究的观点看，方法比结果更重要，但是这种方法在下面这么一本书的框架中不能很好地加以说明。希望一些读者能感到足够的兴趣，继续方法的研究，正是由于方法，数理逻辑可以有助于传统哲学问题的探讨，但是这个题目我们在下面不打算讨论。

　《数理哲学导论/汉译世界学术名著丛书》：
　　仅仅在文明的高级阶段上，我们方能以这一串数作为我们的起点。发现一对鸡、两昼夜都是数2的实例，一定需要很多年代，其中所包含的抽象程度确实不易达到。至于1是一个数的发现，也必定很困难。说到0，这更是晚近加入的，希腊人和罗马人没有这个数字。假使我们曾经从事于早期的数理哲学的研究，我们必得从比自然数串不那么抽象的东西人手，而以自然数串作为在我们追溯的探讨中所达到的一个阶段。反之，当我们对数学的逻辑基础逐渐熟悉时，我们可以追溯到比现在所达到的更远的地方，那时我们的出发点将是在分析中比自然数还较后的一个阶段。但是在目前，自然数似乎代表数学中易知、熟悉的东西。
　　我们对于自然数虽是熟悉，却并没有了解。什么是“数”，什么是“0”，什么是“1”，很少人严格解释过，更不用说下定义。不难看出，任何O以外的自然数能够从0开始，由重复地加1得到，但是阿谓“加1”，何谓“重复地”，它们的意义是什么，我们必须加以定义。这些问题可并不容易解决。直到近，人们都相信算术的基本概念中至少有一些由于过于简单和基本而不能定义。因为所有被定义的概念是借助于其他概念来定义的，显然，为了有一个作定义的起点，人类知识必须接受一些易明的，没有定义的概念，以此为满足。至于是否必须有不能定义的概念，这一点还不清楚：可能在作定义时，我们由一个定义追溯到在前的一个定义，一直下去，无论我们后退多远，我们总还可以走得更远。另一方面也可能当分析进行得够远时，我们能够达到一些概念，它们实在是简单，因此在逻辑上不容下一种分析的定义。这个问题我们不必解决；为了我们的目的，只需注意，由于人类能力有限，我们所知道的定义必须从某些概念开始，这些概念虽则或许不是永远不能定义，但在当前还不曾定义。
　　所有传统的纯粹数学，包括解析几何在内，全可以看作是有关自然数的命题所组成。这也就是说，其中的概念可以用自然数来定义，其中的命题可以从自然数的性质推演得出。——当然，在每种情形下，还得加上一些纯逻辑的概念和命题。
　　很早以前就有人猜测，所有传统的纯粹数学或许都能从自然数推导出来，但是这一点的真正发现，却是非常近的事。从前，毕达哥拉斯相信，不仅数学，就是其他各种事理都能从数演绎出来，在把数学“算术化”时，他发现一个极严重的困难，那就是不可通约量，特别是正方形的边与对角线不可通约性的存在。如果正方形边长一寸，那么对角线的寸数是2的平方根，可是这似乎根本不是一个数。这样引起来的问题只是在我们的时代才被解决，并且只是借助于把算术归约到逻辑才得以完全解决，这一点我们将在以下诸章中阐明。至于现在，我们姑且承认数学的算术化。虽然这是一个非常重要的功绩，但是我们不拟详论。
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