2022普通高等学校专升本高等数学 中公2022专升本考试应试指导高等数学

《中公版·2022专升本考试应试指导：高等数学》本书根据普通高等学校专升本招生考试高等数学考试大纲的要求，由中公教育专升本考试研究院精心编写而成。
本书具有以下特点：
特点一：精析考点，夯实基础——高等数学科目包含很多细小的考点，且专升本考试的题目重点考查基础知识。本书全面讲解考试大纲规定的基本知识点，在重要考点下面我们添加了“总结”，重点阐述考点的内涵和外延以及复习过程中可能存在的问题。
特点二：精讲题型，总结方法——高等数学的题目很灵活，我们很少遇到一模一样的题目，但是同一个考点的题目解题方法比较固定，很多时候我们只需要记住公式，记住解题步骤，直接套用即可。本书的经典例题采用分题型精讲的方式展开，对经典例题进行详细讲解，题目均选自历年真题或改编自历年真题。该部分内容重在帮助考生领悟精髓，对同类题目能够举一反三。
一本好书能够减轻您复习中的负担，让您少走弯路。希望您手里的这本高等数学图书能给您的复习带来帮助。后，真诚地预祝您考试成功！

《中公版·2022专升本考试应试指导：高等数学》本书根据普通高等学校专升本招生考试高等数学考试大纲的要求，由中公教育专升本考试研究院精心编写而成。
本书共包含九章内容：章为函数、极限与连续，第二章为导数与微分，第三章为一元函数不定积分，第四章为一元函数定积分，第五章为多元函数微积分学，第六章为常微分方程，第七章为无穷级数，第八章为向量代数与空间解析几何，第九章为线性代数。

章函数、极限与连续
节函数
第二节极限
第三节函数的连续
第二章导数与微分
节导数的概念
第二节一元函数的求导法则
第三节微分中值定理与导数的应用
第三章一元函数不定积分
节不定积分的概念与性质
第二节不定积分的计算
第四章一元函数定积分
节定积分的概念与性质
第二节微积分基本公式
第三节定积分的计算
第四节定积分的应用
第五章多元函数微积分学
节多元函数的概念
第二节偏导数与全微分
第三节复合函数求导
第四节二元微分的应用
第五节二重积分
第六章常微分方程
节常微分方程的基本概念
第二节一阶微分方程
第三节二阶常系数齐次线性微分方程第七章无穷级数
节常数项级数
第二节幂级数
第八章向量代数与空间解析几何
节向量及其坐标表示
第二节向量的计算
第三节平面及方程
第四节空间直线及方程
第九章线性代数
节行列式
第二节矩阵
第三节线性方程组

　　　　专升本考试应试指导·高等数学章函数、极限与连续章函数、极限与连续
　　　　节函数
　　　　一、函数的基本概念
　　　　1.函数的定义
　　　　设有两个变量x、y，x的变化范围为D，若对于D中每一个x值，按照一定法则都有一个确定的y值与之对应，则称变量y是关于x的函数，记作
　　　　y=f(x)，x∈D。
　　　　其中自变量x的取值范围，D称为函数的定义域。
　　　　2.函数的两个基本要素
　　　　（1）定义域：自变量x的取值范围，一般用区间或集合的方式表示。
　　　　【总结】常见函数的定义域：
　　　　①y=1x,x∈(－∞,0)∪(0, ∞)；②y=x,x∈［0, ∞)；
　　　　③y=logax,x∈(0, ∞)；④y=tanx,xx≠π2 kπ(k∈Z)；
　　　　⑤y=arcsinx,x∈［－1,1］；⑥y=arccosx,x∈［－1,1］。
　　　　例1求下列函数的定义域：
　　　　（1）y=1－x；（2）y=lnx；
　　　　（3）y=ln(2x－1)；（4）arcsin(x－1)。
　　　　【答案】（1）(－∞,1］；（2）(0, ∞)；（3）12, ∞；（4）［0,2］
　　　　【解析】（1）1－x≥0，则x∈(－∞,1］；（2）x≥0且x＞0，则x∈(0, ∞)；
　　　　（3）2x－1＞0，则x∈12, ∞；（4）－1≤x－1≤1，则x∈［0,2］。
　　　　例2求下列函数的定义域：
　　　　（1）y=11－x2；（2）y=1x－1－x2。
　　　　【答案】（1）(-∞,－1)∪(－1,1)∪(1, ∞)；（2）［－1,0)∪(0,1］
　　　　【解析】（1）1－x2≠0，解得x≠±1，故定义域为(－∞,－1)∪(－1,1)∪(1, ∞)；
　　　　（2）x≠0，1－x2≥0，解得－1≤x≤1且x≠0，故定义域为［－1,0)∪(0,1］。
　　　　（2）对应法则：给定x值，求y值的方法，即函数的依赖关系。
　　　　【总结】常见求表达式方法：
　　　　①直接代入法；
　　　　②换元法。
　　　　例1已知f(x)=2x，g(x)=x2，则f［g(x)］=。
　　　　【答案】2×2
　　　　【解析】f［g(x)］=2g(x)=2×2。
　　　　例2已知f(x)=2－x，则f［f(x)］=。
　　　　【答案】x
　　　　【解析】f［f(x)］=2－f(x)=2－(2－x)=x。
　　　　例3已知f(2x)=x 2，则f(x)=。
　　　　【答案】x2 2
　　　　【解析】令2x=t，则x=t2，代入得f(t)=t2 2，即f(x)=x2 2。
　　　　例4已知f(lnx)=x－3，则f(x)=。
　　　　【答案】ex－3
　　　　【解析】令lnx=t，则x=et，代入得f(t)=et－3，即f(x)=ex－3。
　　　　3.函数的表示方法
　　　　（1）解析法，如y=f(x)；
　　　　（2）图像法。
　　　　4.同一函数
　　　　判断两个函数是否是同一函数，只需要看定义域与对应法则是否相同即可。
　　　　例1判断正误：y=x2与y=x是同一函数。（）
　　　　【答案】错误
　　　　【解析】错误。对应法则不同，y=x2=x。
　　　　例2判断正误：y=x2与y=e2lnx是同一函数。（）
　　　　【答案】错误
　　　　【解析】错误。定义域不同，y=x2的定义域为x∈R，y=e2lnx的定义域为（0, ∞）。
　　　　例3下列函数是同一函数的是（）
　　　　A.y=2x 1与y=2t 1B.y=elnx与y=x
　　　　C.y=lnx ln(x 1)与y=lnx(x 1)D.y=x－1与y=(x－1)2
　　　　【答案】A
　　　　【解析】B选项定义域不同，y=elnx的定义域为（0, ∞），y=x的定义域为x∈R；C选项定义域不同，y=lnx ln(x 1)定义域为（0, ∞），y=lnx(x 1)定义域为（-∞,-1）∪（0， ∞）；D选项对应法则不同，y=(x－1)2=x－1。由排除法可知，本题选A。
　　　　5.分段函数
　　　　在定义域不同区间用不同的解析式表示的函数，称为分段函数。例如：
　　　　f(x)=x=x,x≥0,－x,x＜0。
　　　　例1函数f(x)=x－1写成分段函数形式为。
　　　　【答案】f(x)=x－1,x≥1,1－x,x＜1
　　　　【解析】x≥1时，x－1≥0，即x－1=x－1；x＜1时，x－1=1－x，则f(x)=x－1,x≥1,1－x,x＜1。
　　　　例2函数f(x)=lnx写成分段函数形式为。
　　　　【答案】f(x)=lnx,x≥1,－lnx,0＜x＜1
　　　　【解析】x≥1时，lnx≥0，即lnx=lnx；0＜x＜1时，lnx=－lnx，则f(x)=lnx,x≥1，－lnx,0＜x＜1。
　　　　例3设函数f(x)=x2,x≤0,x2 x,x＞0，则f(－x)=。
　　　　【答案】x2－x，x＜0，x2，x≥0
　　　　【解析】已知函数f(x)=x2,x≤0,x2 x,x＞0,所以
　　　　f(－x)=(－x)2，－x≤0,(－x)2－x，－x＞0=x2－x，x＜0,x2，x≥0。
　　　　二、初等函数
　　　　1.基本初等函数函数解析式图像性质常数函数y=c（c为常数）平行于x轴的直线幂函数y=xa（a∈R）恒过点(1,1)；
　　　　a＞0时,单调递增，
　　　　a＜0时,单调递减指数函数y=ax
　　　　(a＞0,a≠1)
　　　　x∈R图像在x轴上方；
　　　　恒过点(0,1)；
　　　　a＞1时,单调递增，
　　　　0＜a＜1时,单调递减对数函数y=logax
　　　　(a＞0,a≠1)
　　　　x∈(0, ∞)图像在y轴右侧；
　　　　恒过点(1,0)；
　　　　a＞1时,单调递增，
　　　　0＜a＜1时,单调递减三
　　　　角
　　　　函
　　　　数正弦函数y=sinx
　　　　x∈R奇函数，图像关于原点对称；
　　　　以2π为周期；
　　　　值域为［－1,1］余弦函数y=cosx
　　　　x∈R偶函数，图像关于y轴对称；
　　　　以2π为周期；
　　　　值域为［－1,1］三
　　　　角
　　　　函
　　　　数正切函数y=tanx
　　　　x≠π2 kπ奇函数，图像关于原点对称；
　　　　以π为周期反
　　　　三
　　　　角
　　　　函
　　　　数反正弦函数y=arcsinx
　　　　x∈［－1,1］奇函数，图像关于原点对称；
　　　　单调递增；
　　　　值域为－π2,π2反余弦函数y=arccosx
　　　　x∈［－1,1］单调递减；
　　　　值域为［0,π］反正切函数y=arctanx
　　　　x∈R奇函数，图像关于原点对称；
　　　　单调递增；
　　　　值域为－π2,π22.初等函数
　　　　由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成，并能用一个解析式表达的函数称为初等函数。例如，y=x2 cosx，y=ex2x等都是初等函数。
　　　　3.反函数
　　　　设函数的定义域为D，其值域为f(D)。如果对于每一个y∈f(D)，都有确定的x∈D，使得x∈f(y)（将该对应法则记作f－1），则定义在f(D)上的函数y=f－1(x)就称为函数y=f(x)的反函数，或称它们互为反函数。
　　　　反函数性质：
　　　　（1）函数y=f(x)与其反函数y=f－1(x)的图像关于直线y=x对称；
　　　　（2）单调函数一定有反函数。
　　　　例1设函数f(x)=2x－1的反函数为g(x)，则g(x)=。
　　　　【答案】12(x 1)
　　　　【解析】y=2x－1y 1=2xx=y 12g(x)=12(x 1)。
　　　　例2函数y=sin(x 1)的反函数为。
　　　　【答案】y=arcsinx－1
　　　　【解析】y=sin(x 1)x 1=arcsinyx=arcsiny－1，则其反函数为y=arcsinx－1。
　　　　例3函数y=e2x的反函数为。
　　　　【答案】y=12lnx
　　　　【解析】y=e2x2x=lnyx=12lny，则其反函数为y=12lnx。
　　　　例4计算下列式子的值：
　　　　（1）arctan3=；（2）arctan1=；
　　　　（3）arccos12=；（4）eln3=。
　　　　【答案】（1）π3；（2）π4；（3）π3；（4）3
　　　　【解析】（1）由tanπ3=3可得arctan3=π3；（2）由tanπ4=1可得arctan1=π4；（3）由cosπ3=12可得arccos12=π3；（4）一对逆运算等于本身3。
　　　　4.复合函数以及函数的复合运算
　　　　若y=f(u)，u=g(x)，当内层函数g(x)的值域与外层函数f(u)的定义域的交集非空时，则y=f(u)与u=g(x)可构成复合函数y=f［g(x)］。
　　　　例1将下列函数分解成几个简单函数的复合：
　　　　（1）y=sin2x；（2）y=e1－x2；
　　　　（3）y=arctansinx；（4）y=f(ex)。
　　　　【答案】（1）y=u2，u=sinx；（2）y=eu，u=1－x2；（3）y=arctanu，u=v，v=sinx；（4）y=f(u)，u=ex。
　　　　例2已知f(x)=11－x，则f［f(2)］的值为（）
　　　　A.1B.12
　　　　C.x－1xD.－12
　　　　【答案】B
　　　　【解析】f(2)=－1， f［f(2)］=f(－1)=12，故选B。
　　　　5.隐函数
　　　　函数y与自变量x的对应法则是由方程F(x,y)=0确定的函数，则称这种方式表示的函数为隐函数。
　　　　6.参数方程表示的函数
　　　　参数方程x=φ(t),y=ψ(t)确定了x与y之间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数是由参数方程所确定的函数。如 x=cosθ，y=sinθ 等。
　　　　三、函数的基本性质
　　　　1.周期性
　　　　设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x±l)∈D，且
　　　　f(x l)=f(x)
　　　　恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指小正周期。
　　　　例判断正误：y=sin(x 2)是周期函数。（）
　　　　【答案】正确
　　　　【解析】正确。y=sin(x 2)以2π为周期。
　　　　2.单调性
　　　　设函数f(x)的定义域为D，区间ID。如果对于区间I上任意两点x1和x2，当x1＜x2时，恒有
　　　　f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），
　　　　则称函数f(x)在区间I上是单调增加（或单调减少）的。
　　　　3.奇偶性
　　　　设函数f(x)的定义域D关于原点对称：
　　　　（1）如果对于任一x∈D，都有f(－x)=f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数；
　　　　（2）如果对于任一x∈D，都有f(－x)=－f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数。
　　　　【总结】常见奇偶性的性质：
　　　　①奇函数±奇函数=奇函数；
　　　　②偶函数±偶函数=偶函数；
　　　　③奇函数±偶函数=非奇非偶函数；
　　　　④奇函数×奇函数=偶函数；
　　　　⑤奇函数×偶函数=奇函数；
　　　　⑥偶函数×偶函数=偶函数。
　　　　例1函数f(x)=x－2×3是（）
　　　　A.奇函数B.偶函数
　　　　C.非奇非偶函数D.无法判断
　　　　【答案】A
　　　　【解析】f(－x)=－x－2(－x)3=－x 2×3=－f(x)，所以f(x)是奇函数。
　　　　例2下列函数中为奇函数的是（）
　　　　A.f(x)=ex e－x2B.f(x)=xtanx
　　　　C.f(x)=xsin2xD.f(x)=x1－x
　　　　【答案】C
　　　　【解析】x为奇函数，(sinx)2为偶函数，乘法同偶异奇则为奇函数，故选C。
　　　　例3下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些是非奇非偶函数？
　　　　（1）y=1－x21 x2；（2）y=3×2－x3；
　　　　（3）y=x31－x2；（4）y=x2 2x。
　　　　【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）奇函数；（4）非奇非偶函数
　　　　【解析】（1）变量均为x2即为偶函数；（2）偶函数和奇函数加减为非奇非偶函数；（3）奇函数乘偶函数为奇函数；（4）偶函数和奇函数加减为非奇非偶函数。
　　　　4.有界性
　　　　设函数f(x)的定义域为D，数集XD。如果存在正数M，使得对于任一x∈X，都有f(x)≤M成立，则称f(x)在X上有界。如果这样的M不存在，则称f(x)在X上无界。
　　　　例1下列是有界函数的是（）
　　　　A.y=exB.y=1 sinx
　　　　C.y=lnxD.y=tanx
　　　　【答案】B
　　　　【解析】sinx为有界函数，1为常数函数也是有界函数，即相加为有界函数。
　　　　例2设f(x)=sin(ex)，则此函数是（）
　　　　A.有界函数B.奇函数
　　　　C.偶函数D.周期函数
　　　　【答案】A
　　　　【解析】由于－1≤sin(ex)≤1，故f(x)为有界函数，故选A。