极简算术史：关于数学思维的迷人故事

除了很小的孩子，几乎每个人都会对数字、加减乘除规则了然于胸，但却未必真正理解其背后的数学逻辑。

保罗·洛克哈特这本书，以风趣幽默的故事讲述了数与计数的起源和发展。这些内容从不曾出现在课堂里，是我们数学基础中缺少的重要部分。真正理解数与算术，才是造就数学大厦的根基。

对于孩子来说，保罗在书中引导孩子保持好奇心和探索欲望，并通过游戏与故事让孩子一步步建立起自己的逻辑与数学思维，能够全面理解数是什么，加减乘除的规则是怎么来的，为什么它们有自己的不同特性。这对于小学生们学好数学，以及形成良好的数学思维、逻辑思维都非常有意义。

对于数学爱好者来说，以全新的眼光来看待数与算术这个老话题，则会产生完全不同的认识。保罗以他的方式重新讲述数在人类生活中的发展历史，讲解每一次改变背后的缘起，记数系统新旧交替时所产生的矛盾等，打破我们已经形成的思维定势，提供不一样的视角。

对于深陷数学噩梦的人来说，保罗风趣幽默的行文、简洁明了的讲解，可以安抚你曾经受到的数学伤痛，在阅读时候会有很多“WOW”时刻，让你重新理解所学过的知识，也重新看待数学。

懒，竟是数学思维形成的动因？

会讲故事的美国传奇数学家，

带你发现数学之美，领略数学思维的优雅迷人。

这本书邀请我们通过一个数学老师的眼睛体验数学之美。书中涉及记数系统的简略发展历史，从人们为什么要计数，数是什么，再到原始的石子计数，到不同进制与语言的记数法，从原始部落、埃及、罗马、中国和日本，到印度和欧洲，加减法是如何在不同的记数法中实现的。之后又延伸至十进制下的加减乘除运算原理，还涉及负数和分数系统，讲述为何人们终选择了十进制，它背后又怎样的人类历史故事，十进制和公制带来的优势是什么？

保罗通过一个个风趣幽默的小故事，为我们展现数字发展背后的数学思维与人们的考量。哪些方法太过于费时费力，我们便会因为“懒”舍弃它，以一种更简洁、便利的方法取而代之，人类的“懒”，竟然是推动数不断向前发展的动因！

保罗·洛克哈特（Paul Lockhart）

一位杰出的富有传奇色彩的数学家。大概14岁时，他对数学产生浓厚兴趣（他特别指出，不是由于学校的数学课程）。为专心研究数学，他从大学退学，靠编程和当小学老师为生。1990年在哥伦比亚大学获得博士学位后，洛克哈特先后在加州大学伯克利分校的数学科学研究中心（MSRI）和布朗大学任职。2000年加入纽约的独立学校圣安学校，教导从幼儿园到12年级的数学课至今。

其著作《一个数学家的叹息》《度量》都在国内畅销。《一个数学家的叹息》得到中国科学院严加安院士推荐，荣获荒野2019年度好书奖。

数存在着各种各样的表示方式，不管我们对这些表示方式的优缺点有什么样的看法，我可以告诉你有一点是肯定的，那就是数本身并不在乎这些。

——保罗·洛克哈特

推荐序 数学之美 思考之趣/ 杨孟飞

事物——我们为什么要计数？       

语言——数是基本的数学信息

重复——如何记数才能“一看即知”？

三个原始部落——三种分组与记数语言

埃及——标值系统与堆叠

罗马——亚组的引入与位值系统

中国和日本——繁多的符号与风靡的算盘

印度——标值与位值系统的结合

欧洲——公制系统与小数

乘法——倍数的计算与乘法的特性

除法——分享，倍数计算的逆过程

机械计数器——将记数变为纯粹机械活动

分数——保存精确的信息

负数——数那美丽的对称性

计数的艺术——发现通用的规律

后记

译后记

数学之美 思考之趣

杨孟飞 中国科学院院士

虽然我工作比较繁忙，但是，当知悉这是一本有关数学发展历史与数学教育的书时，我还是欣然接受了出版社的邀约，想看一看这本书。

作者开篇轻松的笔调，立刻让我放松了下来。的确，数学是一种快乐有趣的智力活动，也是一种用以消遣享受的娱乐活动。

正如我在很小的时候喜欢上数学，自此就一直没有觉得数学是枯燥繁琐的，相反，沉浸在数学世界中时，我总是感到乐趣无穷。所以，当你真正体会到数学的魅力之后，很可能时常在数字游乐场里流连忘返。

本书从生活中简单的数学应用讲起，让读者对人类为什么要计数有了思考和探究。这是一个符合认知规律的提法，论述深入浅出，视角独特有趣。

世界各主要文明数字的起源和发展占了很大篇幅，在我阅读本书之前，完全没有想到有人能将这个问题描述的如此丰富有趣。书中的论述，看似轻松随意，却体现了作者对数 学起源发展研究的深厚功底，也让读者对现实生活中习以为常的数字有了全新的认识。

数字发展的历史，是人类发展进程中重要的组成部分，在讲述数字发展历史的同时，作者也为我们介绍了许多有趣的历史故事，很好地开阔了读者的眼界。重要的是向读者传递了从来就没有一成不变，只有不断发展、不断创造的这一基本规则，可以为年轻的读者种下挑战和创新的种子。

本书还有一个非常重要的特点，就是能将那些平时看起来非常理所应当的数学概念和运算原理，从数学本质的角度去分析、诠释这些规则是怎么来的。

现在社会的知识量呈爆炸式增长，要学的东西太多，往往会造成学而不思、不求甚解的状况。比如书中提到的 3×5 和 5×3，这两个算式的含义其实并不一样，只是结果恰好相同罢了。这样的解读在当下往往不被人重视，觉得纠结这种“显而易见”的问题是在浪费时间。

然而，几乎所有伟大的发明发现，都是对传统概念中“显而易见”正确，或是符合常理的事物提出质疑，并进行深入研究时，在过程中有所发现。

我从自身学习和工作的经历中深刻体会到，个体掌握的基础的深度与所能达到的创新高度是成正比的。我国航天事业的每一次创新，也无一不是建立在对航天技术内在发展规律的深刻理解和掌握之上。

知其然是一座房子，知其所以然是这个房子的根基，有了根基的房子才能对抗风雨和时间的考验。培养知其然，且知其所以然的学习习惯，一定会受益终身。

本书互动式的讲述方式，把讲数学当成了讲故事、做游戏，把数学源于生活这一概念体现得淋漓尽致。我想数学教育者和家长如果能用这种方式和孩子们探讨数学，大概率是会受到孩子们的喜爱的。

这既是一本数学书、一本历史书，也是一本讲述思考方法的书。个人认为特别适合中学生及以上的学生朋友认真阅读。这个学习阶段是养成学习思维方式的重要时期，也有了 一定的知识储备和理解能力，相信读者朋友们看过之后都会有所收获。

虽然不是每一个读过这本书的读者都能喜欢上数学，但是我相信，每一位读者都会由此而对数学有一些新的思考和认识。

数学是大自然的语言。希望更多的人能够喜欢数学。

事 物——我们为什么要计数？

我们生活在一个充满了各种事物的世界，这里有植物和动物，有岩石和树木，还有天上的繁星和海滩上的沙子。当然，我们周围还有很多人。有时我们不免要去数一数（count）。那么，我们到底为什么要费心去数这些事物呢？事实是，通常情况下我们并不会这样做。在大多数情况下我们也无须仔细地去数，只要能够区分“我们还很富余”或者“我们十分短缺”就足够了。比较（compare）是我们需要计数的主要原因。这些比较一般都很简单，比如“所有东西加起来大约需要16美元，而我有一张20美元，足够了”。事实上，如今大多数交易听起来不再是“收您16加71，一共是87美元，正好是3个29美元，祝您购物愉快”，而是“哔哔”的银行卡刷卡声。大多数时候，我们并不需要做太多的实际计数。尽管如此，还是会有些时候，我们想准确地知道某些东西自己到底拥有多少。那么，我们会记录哪些东西，又为什么会去记录呢？

时间可以说是我们早记录的事物之一。我们可以想象，史前部落之间的聚集会被安排在狩猎之后的若干天，这若干天则是通过刻在树上的月亮数或痕迹数来计算的。如果你问我， 我会说我们太会记录时间了。当然，还有一个事物是金钱，人们肯定会十分仔细地记录它（不过不要和我提这个）。此外，还有财产，例如小孩可能会说“我所有的玻璃弹珠都在弹珠袋里了吗？”大人则会说“我希望我们有足够多的银器”。土地、谷物、牲畜，所有这些财产都会被记录。七年的饥荒紧跟在七年的丰收之后。由此看来，我们的确喜欢计数。

此外还有好奇性计数，纯粹因为好奇而去计数。比如，人们会问“银河中有多少个星星？”“我能够屏住呼吸多少秒？”也有更数 学一些的问题，比如“可以有多少种不同的方法摆放书架上的书？”

无论目的或理由是什么，偶尔我们会发现自己想要知道某个事物的数量。这就是算术的开始，人们有了求知的欲望（desire）。对你不在乎的事物进行计数是没有任何意义的，永远不要那样做。这样做很无趣，也会让你对计数心生讨厌。 事实上有很多人都讨厌算术（多得简直数不清！），说到这里我感到很难过，这通常是因为他们被迫做了一些自己不感兴趣的事情，我不希望我的读者也成为他们中的一员。

这里的关键是，有些事物我们有时候想去数一数。实际上，有些数量，我们与其说是数，不如说是量。当我们需要量某些东西时，这些东西可能是一定量的牛奶，某个人的身高，或者一块土地， 我们则需要根据事先约定的被称为单位的数量（例如一杯、一英寸或 一英亩）来对它们进行计数。这样做的效果是，我们将平滑连续的东西变成了离散块状的。为简单起见，我们只考虑对明显的独立个体进行计数。

前面我说过，计数其实就是在比较。即使你是出于好奇而去数某个东西，比如说你恰好有32便士，你“知道”你有多少便士的意义，也是通过与其他某个特定数量（比如 30）进行比较而得到的， 这一数量在你的语言中会有特殊的名字并作为人们熟悉的大小基准 而存在。说出32这个词，就意味着你在不知不觉中已经进行了一次比较：它要比三双手手指的数量多一些。

比较始终是关键所在。“我们拥有的足够多吗？”“这一切都合适吗？”“以前有的更多，它们都去哪儿了？”我们计数是为了进行比较。如果只需要看一眼，我们就能够知道两堆东西哪个多哪个少，就好像我们拥有与嗅觉或者味觉类似的“数字感”，那就太好了。也许会有这样的生物存在，偶尔有些人（通常是一些神经严重损伤的人）也基本上能够做到这一点， 但是我们中的大多数人却不能。我认为几乎每个人都有“数字感3”——无须逐个去数就知道有3个东西，但是如果超过6或7，再依靠数字感结果就有些不确定了。

……

我并不能说我可以直接感知数字6。看左边的图时我需要去数，但是看右边的图我却可以马上就知道总量。我们无数次见过这样的摆放，这正像骰子玩家是不需要去数点数的。我们对这些形状的熟悉程度不亚于熟悉自己的手背，事实上是有过之而无不及。

所以，如果我们要数的东西多少有些条理，那就会简单很多。没有人想去数一堆散落在房间里随处可见的物品，其原因是计数的行为十分依赖人的记忆和时间感，“哪些是我已经数过的呢？”每个曾经生活过的人都知道那种数不清的无力感，我们忘了数到哪里而不得不重新开始。事实上，这可能是人类常见的共同经历。我们本质上都只不过是曾经数不清数的芸芸众生， 特别是在所有东西看起来都一样而且摆放得杂乱无章到处都是的情况下，记不清哪些是已经数过的再正常不过了。

不过这并不是说，当东西摆放整齐时，我们就不会数不清楚。事实上，我们只是不太擅长无趣、重复的活动而已。这样的事情根本就无法引起我们的注意，因此大脑容易走神。我猜想，这样的我们实在是太聪明、太有趣了。

面对一堆石子，你要如何安排才能很容易就判断出其数量是偶数还是奇数？