大学生数学竞赛十八讲

本书是在国防科技大学数学竞赛培训的辅导讲义的基础上编写而成。根据全国大学生数学竞赛试题的题型特点和竞赛大纲要求，全书分十八讲，每一讲又分知识点和典型例题两个部分。每讲的知识点部分对每一单元涉及到的基本概念和基本理论进行了系统的梳理，讲清各知识点之间联系，既简明扼要，又提纲挈领，将一元函数微积分和多元函数微积分进行综合论述，打破条块分割，融会贯通，帮助读者透视脉络，总览全局。对超出教学大纲的部分内容进行适度扩展，以满足全国竞赛的要求，扩展的部分重要结论以典型例题的形式在随后给予证明，方便读者阅读。典型例题来源广泛，有历年国内外的数学竞赛试题，有历年硕士研究生的入学试题，有国内公开出版书籍上的典型例题，有作者在长期的数学竞赛培训中积累的问题。题型很多，题量很大，为了避免成为试题的堆积，讲解千篇一律，作者分析全国大学生数学竞赛考试的出题特点，首先根据不同的题型进行分类，然后根据每种题型的不同解题方法两次细分，每种方法下用几道典型的例题来说明其求解的思路，通过探讨和总结解题方法来引导学生对基本概念和数学理论的学习、掌握和深化，领悟问题实质，澄清模糊认识，巩固所学知识，使学生的思维能力不断提升。对同一个题目的不同思路进行分析引导，剖析解题思路，揭示解题规律，归纳解题步骤，使读者能举一反三、触类旁通，很多题目的解答都是集中了学生的思维综合而成的，让学生在使用本书的过程中能感受前辈们的思路历程。

本书是在国防科技大学数学竞赛培训的辅导讲义的基础上编写而成。根据全国大学生数学竞赛试题的题型特点和竞赛大纲要求，全书分十八讲，每一讲又分知识点和典型例题两个部分。每讲的知识点部分对每一单元涉及到的基本概念和基本理论进行了系统的梳理，讲清各知识点之间联系，既简明扼要，又提纲挈领，将一元函数微积分和多元函数微积分进行综合论述，打破条块分割，融会贯通，帮助读者透视脉络，总览全局。对超出教学大纲的部分内容进行适度扩展，以满足全国竞赛的要求，扩展的部分重要结论以典型例题的形式在随后给予证明，方便读者阅读。典型例题来源广泛，有历年国内外的数学竞赛试题，有历年硕士研究生的入学试题，有国内公开出版书籍上的典型例题，有作者在长期的数学竞赛培训中积累的问题。题型很多，题量很大，为了避免成为试题的堆积，讲解千篇一律，作者分析全国大学生数学竞赛考试的出题特点，首先根据不同的题型进行分类，然后根据每种题型的不同解题方法两次细分，每种方法下用几道典型的例题来说明其求解的思路，通过探讨和总结解题方法来引导学生对基本概念和数学理论的学习、掌握和深化，领悟问题实质，澄清模糊认识，巩固所学知识，使学生的思维能力不断提升。对同一个题目的不同思路进行分析引导，剖析解题思路，揭示解题规律，归纳解题步骤，使读者能举一反三、触类旁通，很多题目的解答都是集中了学生的思维综合而成的，让学生在使用本书的过程中能感受前辈们的思路历程。

陈挚，男，1965年出生，硕士，国防科技大学数学系副教授，曾获军队院校育才奖银奖，国防科技大学教学成果一等奖和二等奖，湖南省教学成果二等奖。主讲本科生课程“线性代数”、“高等数学”，“数学竞赛”等，指导学生参加全国大学数学竞赛，获非数学类决赛一等奖8个，二等奖14个，三等奖17个，在全国大学数学竞赛湖南省和军队赛区中取得优异成绩，获数学竞赛军队赛区赛优秀指导教师。参与出版教材或教辅七部，其中《应用数学基础》（2008年，国防工业出版社，排名第三），《大学数学竞赛指导》（2009年，清华大学出版社），《非线性化理论与方法》（2010年，高等教育出版社，排名第三），《前苏联大学数学竞赛试题集》（2012年，哈尔滨工业大学出版社，排名第三），《线性代数学习指导》（2012年，清华大学出版社，排名第二），《工程应用数学基础》（2015年，科学出版社，排名第二），《线性代数学习指导（第二版）》（2018年，清华大学出版社，排名第二）。

讲函数

第二讲数列的极限

第三讲函数的极限与连续

第四讲导数与微分

第五讲微分中值定理

第六讲不等式

第七讲导数的综合应用

第八讲不定积分与定积分的计算

第九讲重积分

第十讲曲线积分与曲面积分

第十一讲积分中值定理

第十二讲积分不等式

第十三讲含参积分和积分的极限

第十四讲反常积分

第十五讲常数项级数

第十六讲幂级数与傅里叶级数

第十七讲空间解析几何

第十八讲常微分方程

参考文献

大学生数学竞赛是检验学生对数学知识的理解和数学方法的掌握、加强学生数学思维和创新能力的一条有益的途径。在大学本科期间，非数学专业的学生对参加数学竞赛抱有极大的热情。数学竞赛的训练和比赛，可以提高学生学习数学的兴趣。研究更深、更广、更难的数学问题，可以帮助学生深化理解数学概念、掌握数学理论和提高运算技能，达到提升数学素养、提高学习数学和应用数学能力的目的。同时，学生以参加数学竞赛为牵引，坚持大学四年持续学习数学，可为今后的学习、工作和生活打下坚实的基础。
本书依据全国大学生数学竞赛大纲编写而成，有别于以往高等数学教材循序渐进的编排方式，将高等数学的一元和多元的相关内容综合集成，再根据数学竞赛命题的特点和培训的需要分成十八讲。每讲由知识点、典型例题和综合训练三个部分组成。知识点部分对每一单元涉及的基本概念和基本理论进行了系统的梳理，阐明各知识点之间的联系，既简明扼要，又提纲挈领，特别是将一元函数微积分和多元函数微积分打破条块分割，进行综合论述。知识点部分还对本讲中的主要问题的解题思想和解题方法进行了系统的归纳和总结，帮助学生透视脉络，总览全局，部分内容稍微超出教学大纲要求，进行了适度扩展，以满足全国数学竞赛的需要。扩展的部分重要结论以典型例题的形式在随后给予证明，方便学生阅读。典型例题来源广泛，有历年国内外的数学竞赛试题，有历年硕士研究生的入学试题，有国内公开出版书籍上的典型例题，有作者在长期的数学竞赛培训中积累的问题，题目取材范围较竞赛大纲要求稍有放宽，整体难度有所提高。作者通过探讨和总结解题方法来引导学生学习、掌握和深化基本概念和数学理论，领悟问题实质，澄清模糊认识，巩固所学知识，以不断提升学生的思维能力。很多题目配备了一题多解，针对不同思路进行分析引导，剖析解题思路，揭示解题规律，归纳解题步骤，使读者能举一反三、触类旁通。一些题目的解答源自学生在培训过程中的精彩发挥，让竞赛新人在使用本书的过程中能感受前辈们的思路历程。每讲的后配置了具有较高难度和技巧性的综合训练题，方便学生在训练中自我检测。
本书在国防科技大学数学竞赛培训中已试用了4轮，并不断修改完善，取得了非常好的使用效果。在本书的编写和出版过程中，得到数学系王晓主任及高等数学课程组诸位教师的支持和帮助，同时参加培训的学生为部分问题的求解提供了大量有益的想法，在此表示衷心感谢，并对所参考书籍的作者和所选题目的原创作者表示感谢。
由于编者时间和水平限制，对问题的理解存在偏差或在取材编排和解题上存在不妥或错误之处在所难免，真诚希望同行和读者给予本书宝贵的意见和建议。
编者

2021年4月于国防科技大学