数学分析新讲(1)

本书的前身是北京大学数学系教学改革实验讲义，改革的基调是：强调启发性，强调数学内在的统一性，重视学生能力的培养。书中不仅讲解数学分析的基本原理，而且还介绍一些重要的应用。从概念的引入到定理的证明，书中作了煞费苦心的安排处理，使传统的材料以新的面貌了现，书中还收入了一些有重要理论意义与实际意义的新材料。 全书共三册，**册的内容是：一元微积分，初等微分方程及其应用；第二册的内容是：一元微积分的进一步讨论，多元微积分；第三册的内容是：曲线、曲面与微积分，级数与含参变元的积分等。 本书可作为大专院校数学系基础课教材或补充读物，又可作为大、中学教师，科学工作者和工程技术人员案头常备的数学参考书。 

本书的前身是北京大学数学系教学改革实验讲义。改革的基调是：强调启发性，强调数学内在的统一性，重视学生能力的培养。书中不仅讲解数学分析的基本原理，而且还介绍一些重要的应用（包括从开普勒行星运动定律推导万有引力定律等）。从概念的引入到定理的证明，书中作了煞费苦心的安排处理，使传统的材料以新的面貌出现。书中还收人了一些有重要理论意义与实际意义的新材料（例如利用微分形式的积分证明布劳沃尔不动点定理等）。
　　全书共三册。第一册的内容是：一元微积分，初等微分方程及其应用；第二册的内容是：一元微积分的进一步讨论，多元微积分；第三册的内容是：曲线、曲面与微积分，级数与含参变元的积分等。
　　本书可作为大专院校数学系基础课教材或补充读物，又可作为大、中学教师，科学工作者和工程技术人员案头常备的数学参考书。
　　本书是一部优秀的“数学分析”课程的教材，书中丰富的例题为读者提供了基础训练的平台。本书配套的练习题及解题指导请读者参考《数学分析解题指南》（林源渠、方企勤编，北京大学出版社，2003）。

 

预篇  准备知识
　§1  集合与逻辑记号
　§2  函数与映射
　§3  连加符号∑与连乘符号Ⅱ
　§4  面积、路程与功的计算
　§5  切线、速度与变化率
第一篇  分析基础
　第一章  实数
    §1  实数的无尽小数表示与顺序
    §2  实数系的连续性
    §3  实数的四则运算
    §4  实数系的基本性质综述
    §5  不等式
　第二章  极限
    §1  有界序列与无穷小序列
    §2  收敛序列
    §3  收敛原理
    §4  无穷大
    附录  斯笃兹（Stolz）定理
    §5  函数的极限
    §6  单侧极限
　第三章  连续函数
    §1  连续与间断
    §2  闭区间上连续函数的重要性质
   附录一  致连续性的序列式描述
    §3  单调函数，反函数
    §4  指数函数与对数函数，初等函数连续性问题小结
    §5  无穷小量（无穷大量）的比较，几个重要的极限
第二篇  微积分的基本概念及其应用
　第四章  导数
    §1  导数与微分的概念
    §2  求导法则，高阶导数
    §3  无穷小增量公式与有限增量公式
　第五章  原函数与不定积分
    §1  原函数与不定积分的概念
    §2  换元积分法
    §3  分部积分法
    §4  有理函数的积分
    §5  某些可有理化的被积表示式
　第六章  定积分
    §1  定义与初等性质
    §2  牛顿-莱布尼兹公式
    §3  定积分的几何与物理应用，微元法
　第七章  微分方程初步
    §1  概说
    §2  一阶线性微分方程
    §3  变量分离型微分方程
    §4  实变复值函数
    §5  高阶常系数线性微分方程
    §6  开普勒行星运动定律与牛顿万有引力定律