Kuramoto-Sivashinsky 方程的混沌动力学

KS方程的混沌动力学着重介绍了利用动力系统理论和变分计算方法，仔细考察了经典的描述系统相位变化的KS方程，详细分析了其稳态解，使我们对系统的斑图动力学有了全面的认识，为类似复杂系统的研究提供了有力的新工具。 

混沌系统的奇怪吸引子是由无数条周期轨道稠密覆盖构成的，周期轨道是非线性动力系统中除不动点外*简单的不变集，它不仅能够体现混沌运动的所有特征，而且和系统振荡的产生与变化密切相关，因此分析复杂系统的动力学行为时获取周期轨道具有重要的意义。本书主要介绍了应用动力系统理论和变分法，探究了时空混沌系统KuramotoSivashinsky方程的混沌动力学性质，并详细分析了方程的稳态解，计算出混沌系统相空间起组织作用的重要轨道，如周期轨道和连接轨道。

第1章引言1
1.1动力系统概述1
1.2周期轨道概述3
第2章周期轨道理论简介7
2.1时间平均和空间平均7
2.1.1测度7
2.1.2演化算符11
2.2迹公式13
2.2.1离散和连续情况下的迹公式13
2.2.2迹公式的渐近形式16
2.3谱行列式和动力学ζ函数17
2.3.1离散和连续情况下的谱行列式17
2.3.2动力学ζ函数18
2.3.3谱行列式与ζ函数的关系19
2.4周期轨道展开20
2.4.1曲率修正20
2.4.2构建轨道展开22
2.4.3动力学平均值的表达式23
2.5周期轨道理论面临的问题24
第3章变分法计算周期轨道25
3.1几种数值寻找周期轨道的方法25
3.1.1逆迭代法25
3.1.2牛顿法26
3.1.3多点打靶法26
3.2变分法28
3.2.1圈演化的变分方程29
3.2.2牛顿下降法的拓展34
3.2.3变分法的数值计算过程35
3.2.4初始化和对称性37
3.3交叉电磁场条件下里德伯原子电离回归现象39
3.3.1背景介绍39
3.3.2里德伯原子的周期轨道42
3.3.3电子电离后的回归现象49
3.3.4总结53
3.4勒斯勒方程的周期轨道53
3.4.1背景介绍54
3.4.2勒斯勒方程的动力学性质55
3.4.3一维符号动力学的建立59
3.5小结与讨论66
第4章KuramotoSivashinsky方程的周期轨道68
4.1背景介绍68
4.2KuramotoSivashinsky方程简介69
4.3拓扑的方式分类KS方程的周期轨道71
4.3.1傅里叶模截断71
4.3.2庞加莱截面73
4.3.3KS方程周期轨道的数值计算77
4.4小结与讨论83
第5章静态KuramotoSivashinsky方程的周期轨道84
5.1背景介绍84
5.2寻找L＝43.5时KS方程的重要不动点87
5.3固定积分常值时静态KS方程的周期轨道100
5.3.1初始化100
5.3.2拓扑的方式建立符号动力学分类周期轨道100
5.3.3庞加莱截面上的动力学114
5.4基本轨道的分岔情况117
5.5小结与讨论126
第6章静态KuramotoSivashinsky方程的连接轨道128
6.1背景介绍128
6.2理论方法130
6.2.1方案一： 弧长参数化法130
6.2.2方案二： 移动网格技术132
6.2.3边界和规范条件132
6.2.4变分法的拓展134
6.3一些例子136
6.3.1洛伦兹方程136
6.3.2KS方程137
6.3.3静态KS方程138
6.4小结与讨论141
第7章总结和展望143
7.1总结143
7.2展望144
参考文献146全书彩图二维码158

近年来随着人类生产实践和科学研究的不断进步，涌现出了各种非线性、多尺度、复杂体系问题，例如原子分子电离问题、细胞周期调控问题等。此类问题的研究大大促进了非线性动力学的发展和它在各个学科中的应用。早期非线性动力学的研究对象，很多是从工程实践中抽象出来的具有代表性的非线性方程。对它们的深入研究，揭示了分形、分岔以及混沌运动等一系列非线性系统独有的现象，发展出了多种成功的方法及理论来刻画和分析这些系统。
非线性空间延展体系广泛存在于自然界和工程实践中，其动力学演化极其复杂难解，是科学家们长期关注的重要问题。本书将着重介绍利用动力系统理论和变分计算方法，仔细考察经典的描述系统相位变化的KuramotoSivashinsky（KS）方程，详细分析其稳态解。取得的研究结果使我们对系统的斑图动力学有了更全面的认识，这种分析方法为类似复杂系统的研究提供了有力的新工具。
本书主要包括4部分内容。第1部分包括第1～3章。第1章简要介绍了动力系统的发展史。第2章介绍了可以应用于时空延展动力系统的周期轨道理论，该理论用周期轨道的展开来计算物理量的平均值。第3章详细介绍了一种用来寻找高维流不稳定周期轨道的强有力方法——变分法。并将该方法应用到了交叉电磁场条件下的里德伯原子系统中，通过研究电磁场参数变化时周期轨道的演变，发现核外电子被电离后存在着小概率的电离回归现象。此外还以勒斯勒（Rssler）方程周期轨道的计算为例，说明如何有效建立符号动力学来实现轨道的系统搜寻。
第2部分是第4章。本章应用变分法研究KS方程，以两条简单的周期轨道作为组成单元，成功建立了一维符号动力学，系统地找到了该方程在弱湍流时一定拓扑长度内的所有短周期轨道。结果表明： 轨道拓扑的分类方式为今后研究如何剖分高维相空间或者流体系统时提供了一种可借鉴的重要方法。
第3部分是第5章。本章研究了静态KS方程的不稳定周期轨道，对所有找到的短周期轨道按照拓扑的方式进行归类。首先阐明了不动点在动力系统中起到的组织作用，然后通过选取静态KS方程中的四条基本周期轨道作为组成单元，建立了符号动力学来寻找更长的不稳定周期轨道。此外，研究了这些短周期轨道在选取的一个庞加莱截面上的动力学性质，利用多尺度平均微扰方法分析小积分常数值时，系统相空间不动点和各类轨道的分布情况。后还进一步研究了动力系统在何时发生各种分岔现象。
第4部分包括第6章和第7章。第6章介绍了一种寻找非线性动力系统中连接轨道的理论方法，基于该方法计算了静态KS方程对称的螺旋型异宿轨道。第7章作了总结以及对将来可能的研究方向进行展望。书中的绝大部分内容是作者近年来研究成果的总结，本书的目的是将这些的研究成果作一个初步的总结奉献给读者，希望能够推动对KS方程的更进一步深入研究。
作者感谢国家自然科学基金委和中北大学物理学科建设经费的资金支持。作者在从事研究和本书的撰写过程中得到了中北大学物理学科部同事的大力支持和帮助，在此表示衷心的感谢。同时，深深地感谢家人长期以来对我工作的关心、支持和帮助。
鉴于作者水平有限，且成书时间仓促，错误之处在所难免，衷心地欢迎读者批评指正。

第3章变分法计算周期轨道
第2章介绍了周期轨道理论，应用它计算动力学平均的关键是找齐一定长度内的短周期轨道。本章将首先介绍几种有效寻找低维混沌系统中不稳定周期轨道的数值方法，如牛顿法、多点打靶法。此外还将介绍一种计算周期轨道的新方法： 变分法［25］。这种方法既保留了多点打靶法鲁棒性的特点，当搜寻过程已经足够接近于真实的周期轨道时，同时又具有收敛速度快的特点。变分法的物理思想是： 首先我们要对想要寻找的不稳定周期轨道作出整体拓扑上的一个粗糙的圈猜想，然后应用变分法来驱使初始猜想的圈朝着真实的周期轨道逐渐演化。该方法为了保持鲁棒性，不是只猜某一条周期轨道上的若干个点，而是先猜出整条轨道；为了实现数值方法的稳定性，采用牛顿下降法代替牛顿拉弗森迭代法，该方法使得当圈逐渐朝着周期轨道演化时计算得到的成本函数单调递减。本章的后，我们还将把变分法应用到两个具体实例中，讨论如何计算交叉电磁场中的里德伯原子系统以及勒斯勒方程的周期轨道。
3.1几种数值寻找周期轨道的方法〖*4/5〗3.1.1逆迭代法逆迭代法是发现一维映射不稳定周期轨道的一种简单方法。一维映射的不稳定周期轨道的逆映射是稳定的，但问题是逆映射不是单值函数，因此在向后迭代时我们要选择往哪个分支走。符号动力学解决了这个问题，根据要找的周期轨道的符号动力学序列可以决定往哪个分支走，该方法将会自动收敛到要找的轨道上，收敛速度是指数状的。
逆迭代法对于一维映射以及部分二维系统很有效。但该方法的缺点是当我们不知道逆映射的解析形式时，收敛速度还不是很快。此外，对于高维系统来说该方法完全不适用。所以，寻找周期轨道好的办法还是直接找到方程fT(x)=x关于(x,T)的解。
3.1.2牛顿法
牛顿法基于在初始猜想x0附近作线性化找到函数F(x)的零点xF(x)=F(x0) F′(x0)(x－x0)（31）F(x)=0的一个近似解是x1=x0－F(x0)/F′(x0) （32）该近似解可以用作迭代过程中的一个新的初始猜想点。映射f的不动点是F(x)=x－f(x)=0的一个解。我们通过迭代式(33)来决定x：xm=g(xm－1)=xm－1－F(xm－1)/F′(xm－1)
=xm－1－11－f′(xm－1)(xm－1－f(xm－1)) （33）假设f′(x)≠1，对于足够好的初始猜想，牛顿法将以超指数速度收敛。为了避免牛顿法朝着远离解的方向迭代导致发散，初始化寻找时可以采用阻尼牛顿法：Δxm=xm 1－xm=－F(xm)F′(xm)Δτ,03.1.3多点打靶法
多点打靶法是寻找周期轨道时常用的一种数值方法，对于绝大多数非线性系统来讲都很有效，该方法用于寻找拓扑长度为n的周期轨道。对于长轨道来说，很难给出一个精确的初始点，如果我们借鉴态空间的剖分来猜初值，先猜沿着轨道上的一些点或许可以成功。长度为n的周期轨道是n维矢量函数F的零点：F(x)=Fx1
x2

xn=x1－f(xn)
x2－f(x1)

xn－f(xn－1)   （35）于是可以将牛顿法的迭代写成如下形式:ddxF(x)(x′－x)=－F(x)  （36）其中ddxF(x)是一个n×n的矩阵：ddxF(x)=1－f′(xn)
－f′(x1)1
…1
…1
－f′(xn－1)1  （37）该矩阵能够通过高斯消元法求逆。举个寻找拓扑长度为3的周期轨道的例子，多点打靶法的步是：10－f′(x3)
－f′(x1)10
0－f′(x2)1Δx1
Δx2
Δx3=－F1
F2
F3   （38）Δxi=x′i－xi是对初始猜想xi的修正，Fi=xi－f(xi－1)是第i个周期点的误差。左边矩阵的行乘以f′(x1)然后和第二行相加，第二行乘以f′(x2)然后和第三行相加，可以得到：10－f′(x3)
01－f′(x1)f′(x3)
001－f′(x2)f′(x1)f′(x3)Δx1
Δx2
Δx3=－F1
F2 f′(x1)F1
F3 f′(x2)F2 f′(x2)f′(x1)F1 （39）接下来需要使左边矩阵的对角线归一化，通过将第三行除以1－f′(x2)f′(x1)f′(x3)就可以实现。其中f′(x2)f′(x1)f′(x3)决定了轨道的稳定性。可以得到10－f′(x3)
01－f′(x1)f′(x3)
001Δx1
Δx2
Δx3=－F1
F2 f′(x1)F1
F3 f′(x2)F2 f′(x2)f′(x1)F11－f′(x2)f′(x1)f′(x3)  （310）然后通过回代Δx3的值即给出了点位置的修正。
该方法可以略做修改后用来寻找流的周期轨道。如果我们在截面上猜xk，经过了tk后再次回到截面上，假定δxk和δtk是小量，则根据周期性条件可以得到xk δxk=ftk δtk(xk δxk)≈ftk(xk) Jkδxk ?瘙經kδtk （311）其中，?瘙經k=ftkt(xk)，Jk=ftkx(xk) （312）写成矩阵的形式为1－Jk－?瘙經k
a0δxk
δtk=(ftk(xk)－xk) （313）左边矩阵后一行的a用来把坐标固定在截面上，解式（313)就能得到δxk和δtk。
3.2变分法
在高维连续流中寻找不稳定周期轨道时，因为系统的拓扑结构很难察觉，即便是猜到了周期轨道上的一个点，牛顿法也很可能会失败。只有像多点打靶法那样，同时猜多个点才有可能成功。为了解决此问题，我们可以再换个思路： 采取多点打靶法的逻辑极限，即先来猜出一整条轨道，然后把这条猜想的轨道逐渐演变成真实的周期轨道，这就是本节要详细介绍的变分法。它是一种定位混沌系统周期轨道的强有力的工具，特别是在高维空间中，一些系统的不稳定周期轨道用多点打靶法无法找到，但是变分法却很有效。后面我们讨论KS方程及其稳态解的不稳定周期轨道就是采用变分法寻找到的。
在3.2.1节我们首先推导一个偏微分方程，它主导了初始猜想圈朝着周期轨道的演化，继而得到相应的成本函数。3.2.2节我们将介绍该方法在哈密顿动力系统以及对时间进行高次求导系统中的拓展。3.2.3节介绍变分法在数值上实现的具体步骤。3.2.4节讨论如何进行圈初始化，以及由于系统对称性带来的简化。
3.2.1圈演化的变分方程
多点打靶法消除了寻找不稳定周期轨道时所面临的积分一段时间后指数不稳定的困难，它把一条轨道拆分成许多个短的片段，而每一个短的片段都具有可控的展开率。结合牛顿拉弗森寻根法，多点打靶法是一种寻找映射不稳定周期轨道非常有效的工具。通过在相空间中放置多个相互之间没有交叠的庞加莱截面，寻找连续时间流的不稳定周期轨道原则上可以转化为用多点打靶法寻找一系列映射的不稳定周期轨道。但是在湍流或者高维流系统中，要想合适地选取这样的一系列庞加莱截面是很困难的，要想找到一条周期轨道就需要通过选取多个庞加莱截面来实现。
这里我们换个思路，放弃选取庞加莱截面。我们把时间离散成多个小的时间步长进行迭代，对于足够小的时间步长，这样的迭代变化很小，几乎是不变的。我们在一个光滑的圈L上分布许多个点，寻找一条周期轨道时初猜想该轨道的位置以及它的整体拓扑形状。如果时间步长和圈的变形都取无穷小，那么利用牛顿下降法可以推导出一个偏微分方程，该方程将会把猜测的圈L逐渐演变成真正的周期轨道p，并且是指数收敛的。我们进而能够通过利用已有的解偏微分方程的方法来求解出该周期轨道。
在数学上周期轨道定义为方程(314)关于(x,T)的解，这里x∈Rd,T∈R。对于给定的连续流或者离散映射xft(x)，周期轨道的条件是fT(x)=x,T>0 （314）所有的周期解构成了不变集合。流的周期轨道通过下面d维空间的一阶常微分方程来定义
dxdt=?瘙經(x),x∈Rd,(x,?瘙經)∈T  （315）
这里的是演化发生的相空间或者称为态空间, T是切丛。我们假定矢量场?瘙經(x)几乎处处可微。
现在用一个圈L来初始猜想周期轨道p的形状及位置，它是一段光滑可微的闭合曲线x~(s)∈L，s是圈的参量。因为圈是周期的，为了方便起见我们把s限定在［0,2π］，也就是说周期条件为x~(s)=x~(s 2π)。假设猜想圈L离真实的周期轨道p很近，我们沿着圈和周期轨道分别选取N个彼此靠得很近的点：x~n=x~(sn),0≤s1xn=x(tn),0≤t1圈上的速度矢量?瘙經~的方向是和圈L相切的：?瘙經~(x~)=dx~ds （318）它是描述圈特征的量，大小由圈上的参量s决定。
对于圈上的每一个点x~n∈L，由此可以看出它包含两个速度矢量： 一个是圈的切向速度?瘙經~n=?瘙經~(x~n),另一个是动力系统流的真实速度?瘙經n=?瘙經(x~n)。我们接下来要做的事情是： 逐步调整圈L,直到?瘙經~n的方向和?瘙經n的方向变得一致。即对于所有的n=1,2,…,N,N→∞这个关系都成立，这也就意味着L=p。
为了使它们的大小相匹配，引入一个局域的时间标度因子λ(sn)≡Δtn/Δsn  （319）其中，Δsn=sn 1－sn,n=1,…,N－1，ΔsN=2π－(sN－s1)，Δtn也有类似的表达式。当猜想圈接近真实的周期轨道p的时候，标度因子λ(sn)用来确保圈的增量Δsn和周期轨道上它的对应部分Δtn δtn成比例。也就是说当L→p时，δtn→0。
对式(315)进行积分可以得到x(t)=ft(x)，它表示系统在t时刻所处的状态，对式(320)进行积分可以得到相应的雅可比矩阵J(x,t)=dx(t)/dx(0)dJdt=AJ,Aij=?瘙經ixj,J(x,0)=单位矩阵1（320）点xn=x~n δx~n处于周期轨道上，fΔtn δtn(x~n δx~n)=x~n 1 δx~n 1 （321）式(321)里有两个量： 圈上的点x~n和到周期轨道上下一个点的时间间隔Δtn。运用多元函数微积分公式：ft Δt(x Δx)≈ft(x) ftΔt fxΔx
=x(t) vΔt JΔx对这两个量进行线性化fδt(x)≈x v(x)δt
ft(x δx)≈x(t) J(x,t)δx对于任意步长Δtn来说，因为fΔtn δtn(x~n δx~n)=fΔtn(x~n) ftδtn fxδx~n
=fΔtn(x~n) v(x~n,Δtn)δtn J(x~n,Δtn)δx~n
=fΔtn(x~n) vn 1δtn J(x~n,Δtn)δx~n
=x~n 1 δx~n 1可以推导出多点打靶法方程δx~n 1－J(x~n,Δtn)δx~n－?瘙經n 1δtn=fΔtn(x~n)－x~n 1 （322）如果初始猜想足够好的话，解方程式(322)会得出一系列的圈L以及减小的成本函数F2(x~)≡N(2π)2∑Ni=1(fΔtn(x~n)－x~n 1)2,x~N 1=x~1 （323）前面的系数N(2π)2是为了使在N→∞的极限下，F2的定义和后面式(328)的成本函数一致。如果流的局部具有很强的不稳定性，全步长的牛顿法很可能会失败，F2会越来越大而不是变得越来越小，这种情况下应该采用减小步长的阻尼牛顿法。这时如果采用合适的步长，F2就会单调减小［32］，选择无穷小的步长能够保证F2单调递减。接下来引入一个虚拟的时间变量τ来表示圈的连续形变。
固定Δsn，用δτ推进每一步迭代，这意味着把式(322)的右边乘上δτ。根据式(319)，有δtn=(λ/τ)(sn,τ)δτΔsn因为δx~n=(/τ)x~(sn,τ)δτ方程(322)的两边同除以δτ, 同时把δtn的表达式代入就会得到
δx~n 1dτ－J(x~n,Δtn)dx~ndτ－?瘙經n 1λτ(sn,τ)Δsn=fΔtn(x~n)－x~n 1 （324）
在N→∞的极限下，步长Δsn,Δtn=O(1/N)→0，所以有vn 1≈vn
x~n 1≈x~n v~nΔsn
J(x~n,Δtn)≈1 A(x~n)Δtn
fΔtn(x~n)≈x~n vnΔtn把这些近似表达式代入式(324)，同时利用标度关系式(319)改写式(324)，终可以推导出2x~sτ－λAx~τ－?瘙經λτ=λ?瘙經－?瘙經~（325）这个偏微分方程描述了圈L(τ)朝着真实的周期轨道p的演变过程，是变分法重要的公式之一。由此算出一系列的圈是由参数x~=x~(s,τ)∈L(τ)标定的，s代表圈上点的位置，虚拟时间τ标定圈的形变，λ用来控制周期。我们把这种无穷小步长的阻尼牛顿拉弗森方法称为牛顿下降法。变分法的示意图如图3.1所示。
图3.1变分法示意图
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(a) 牛顿下降法得到一个环L(τ)，它使得初始的圈猜想L(0)逐渐演变成周期轨道p=L(∞)；
(b) 通常猜想圈L(τ)的速度场?瘙經~(x~)和系统速度场的方向?瘙經(x~)是不一样的，但是对于周期轨道p
来说，两者在每一点都是一样的，牛顿下降法通过把圈演变成周期轨道这一过程让两者逐渐吻合
方程(325)还有一个重要的特点： 存在一个减小的成本函数。利用?瘙經τ=Ax~τ改写方程(325)， ?瘙經~τ－λ?瘙經τ=－(?瘙經~－λ?瘙經) （326）得到(?瘙經~－λ?瘙經)=e－τ(?瘙經~－λ?瘙經)|τ=0  （327）所以当圈朝着周期轨道演化时，下面的成本函数在单调递减F2［x~］=12π∮L(τ)dx~［?瘙經~(x~)－λ?瘙經(x~)］2 （328）每进行一步迭代，圈的切向速度方向和动力系统流的速度方向的差别就会减小。当τ→∞时，圈的切向速度?瘙經~=λ?瘙經就和动力系统的流矢量一致，此时圈x~(s,τ)∈L(τ)就收敛到了动力系统流x·=?瘙經(x)定义的真实的周期轨道p=L(∞)上来。一旦算出了周期轨道p，由式(319)和λ(s,∞)=(dt/ds)(x~(s,∞))，轨道的周期可以通过下式算出:Tp=∫2π0λ(x~(s,∞))ds （329)当然，既然此时已经找出了这条周期轨道，便可以取周期轨道p上的一个点作为初始点，直接对动力系统式(315)进行积分来计算轨道的周期。
数值计算时，直接使用牛顿下降法的式(325)会面临两个潜在的困难。首先面临的问题是，当我们已经计算出了一条周期轨道，这些点经过一个周期的变化之后仍然是周期轨道。因此下面的算符=s－λA在轨道上存在一个本征值为零的边缘本征矢?瘙經(x~(s))。如果固定了λ，当圈朝着周期轨道演变时，方程式(325)取得极限值xτ=0所以在周期轨道上，算符的逆就会变得奇异，这会带来数值问题。
我们通过在方程式(325)中加入限制条件来解决该困难。在寻找一些非线性系统的不稳定周期轨道时，可以通过引入一个庞加莱截面来解决这个困难。例如，固定圈上某个点的其中一个坐标分量，令x~1(s2,τ)=常数，这就打破了周期轨道的平移不变性。其他限制条件的选择要根据所面临的具体问题而定，例如，我们可以要求圈上各点的平均移动为零，这样就避免了在计算轨道的过程中产生的缓慢减小。
第二个潜在的困难在于自由选择圈的参数。圈上L可能出现点的不均匀分布，某些地方离散化的点x~n会稠密聚集，而另外一些地方则留下了大片的空缺，从而降低了圈的数值平滑度。
我们通过选择不依赖于s的常数标度λ(s,τ)=λ(τ)来解决这一困难。在均匀网格大小Δsn=Δs以及固定λ的条件下，圈的参数s=t/λ是和时间t成比例的，式(325)使圈上这些离散点随时间均匀分布。当圈演变成周期轨道后，可以通过式(325)计算出x~/τ，轨道的周期通过Tp=2πλ计算出来。
尽管这里只是研究如何找出周期轨道，但是牛顿下降法是一种普适的方法。我们将在本书第6章里介绍，通过适当的修改点的分布以及边界条件，可以用式(325)来计算连接轨道。在处理两点边值问题时，牛顿下降法类似于拟线性化方法，它的优势在于解决问题时可以调节自由参量λ(s,τ)的大小，而且只需在相空间里关心的子流形范围内进行寻找。对子流形约束的一个简单例子是寻找给定能量大小的周期轨道，即限制在哈密顿系统的相空间H(q,p)=E这样的一个能壳。此外，我们也需要考虑到哈密顿方程的对称性结构会大大减少子流形的维数。
3.2.2牛顿下降法的拓展
经典力学中变分原理的解即粒子的运动轨迹，这一原理称为哈密顿变分原理。奥布里马瑟（AubryMather）理论关于准周期解存在性的证明是可以变分的，人们由此意识到变分法能够非常可靠地并且高精度地计算二维甚至更高维的扭结映射模型的长周期轨道［33］。这里我们不在圈动力学上应用小作用变分原理，而是用牛顿下降法。流再次使得成本函数小化，这次我们匹配加速度的误差，逐步调整圈上的加速度使之演变为周期轨道。
可以降低变分计算的维数。哈密顿变分原理告诉我们经典粒子的运动轨迹是哈密顿主函数的极值（或者说，对于固定的能量E，作用量S=R Et）R(q1,t1;q0,t0)=∫t1t0dt(q(t),q·(t),t) （330）其中(q,q·,t)是拉格朗日量。给定一个圈L(τ)，我们不仅能够计算出切向速度矢量?瘙經~，也可以计算出加速度矢量a～=2x~s2  （331）上式需要对s进行多次求导计算。这里，我们匹配动力系统的加速度a(x~)和圈的加速度a～(x~)会求出一个新的成本函数(假定动力系统的加速度是x~和