概率论与数理统计学习指导（第2版）

本书总结了《概率论与数理统计》教材中的全部知识，对书中的基本概念、基本定理、基本方法加工整理，使之条理更加清晰，语言更加简洁，更加适合学生复习使用。对于书中的练习题给出了详尽的解答，是学生在复习中能够更好地检测自己的学习情况。 

本书是与清华大学出版社2017年出版的《概率论与数理统计（第2版）》（张艳、程士珍主编）教材相配套的学习辅导书.内容包括该书各章的知识点、典型例题、习题与综合练习题全解，另外，还配有大量的训练题及参考答案，以供考研学生提升解题技巧.本书注重体现概率统计的思想方法与基本内容，强调对学生解题方法与能力的培养，力求做到深入浅出，通俗易懂，便于教学与自学.
本书既可以作为高等院校概率论与数理统计的教学参考书，也可以作为数学爱好者学习概率统计的补充读物.

张艳，北京建筑大学教授，硕士生导师，主要从事教学、科研工作。承担本科生课程：高等数学、概率论与数理统计、线性代数，研究生课程：矩阵论，渐近分析方法。
主要科研方向为偏微分方程理论与应用。针对生物流体、高分子材料等非牛顿流体的流动传热现象，结合数学物理分析方法，用非线性偏微分方程描述流体的传递扩散本质，通过对方程解的分析，揭示医学、化工、能源等领域流体力学热点问题的本质。
主持国家自然科学基金1项，北京市教委科技面上项目1项，北京市中青年骨干人才培养资助项目1项等10余项课题，发表论文60余篇，主编出版教材6部。北京市高校第五届青年教师教学基本功比赛一等奖、最佳教案奖、最佳教学演示奖，获北京市教育教学成果一等奖1项，北京市教育创新标兵，北京高校优秀共产党员。“SCI”国际期刊“Discrete Dynamics in Nature and Society”、“International Journal of Heat and Mass Transfer”等审稿人。

第1章随机事件的概率1
知识点1
典型例题4
习题详解10
训练题21
答案22
第2章随机变量及其分布23
知识点23
典型例题27
习题详解37
训练题60
答案63
第3章多维随机变量及其分布65
知识点65
典型例题69
习题详解77
训练题105
答案107
第4章随机变量的数字特征109
知识点109
典型例题112
习题详解118
训练题129
答案131
第5章大数定律及中心极限定理132
知识点132
典型例题134
习题详解136
训练题144
答案145
第6章样本及抽样分布146
知识点146
典型例题149
习题详解151
训练题159
答案159
第7章参数估计160
知识点160
典型例题166
习题详解176
训练题192
答案193
第8章假设检验195
知识点195
典型例题199
习题详解203
训练题226
答案226
参考文献227

概率论与数理统计是工科高等院校各专业的一门重要基础课，具有独特的思维方法和计算技巧.在教学过程中，由于这门课程学时少、习题多、难度大，因此初学此课的同学往往感觉“难学”，不知如何去解题.为了帮助教师解决习题课少、答疑量过大的问题，并启发学生的解题思路，帮助学生正确地理解基本概念，掌握解题方法与解题技巧，作者对《概率论与数理统计（第2版）》(张艳、程士珍主编，清华大学出版社，2017年)中的全部习题编写了解答，并配有大量的训练题形成本书以满足考研学生的需求.在本书编写中，作者力求解题方法简明扼要，步骤清楚、完整、规范，以指导学生解题的基本技巧及书写方法.本辅导教材每章内容分为五部分：
知识点——便于读者在学习时提纲挈领地掌握课程内容.
典型例题——通过例题的示范，指导读者解题，帮助读者掌握解题的方法和技巧.
习题详解——对《概率论与数理统计（第2版）》教材中习题的解题过程进行较为详细的说明和分析.
训练题——通过配备一定数量的练习题，自我评价对课程内容的掌握程度.
答案——给出训练题参考答案，便于学生自查.
全书共分8章.编写人员分工如下: 张丽萍(第1章)，张艳(第2章)，张蒙(第3、5章)，刘志强(第4章)，徐志洁(第6章)、王晓静(第7章)、卢崇煜(第8章)，张艳、张蒙、崔景安负责全书统稿和定稿.
本书在编写过程中，得到了北京建筑大学多位老师的大力支持,在此对他们一并表示感谢.限于编者的水平，同时编写时间也比较仓促，错谬之处在所难免，恳请广大读者批评指正.

编者2019年4月

第3章多维随机变量及其分布知识点〖*1〗一、 二维随机变量及其分布函数1. 二维随机变量的定义定义1设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}.设X=X(e)，Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量.
常用的二维随机变量分为两大类： 离散型和连续型.
2. 二维随机变量的联合分布函数
定义2设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，称二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数.
3. 二维随机变量联合分布函数的性质
二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的性质如下：
（1） F(x,y)关于x（或y）单调不减；
（2） 0≤F(x,y)≤1，且F(－∞,－∞)=0，F(－∞,y)=0，F(x,－∞)=0，F( ∞, ∞)=1；（3） F(x,y)关于x（或y）右连续；
（4） 若(x1,y1),(x2,y2)∈R2，x12. 二维离散型随机变量的联合分布律
如果二维随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj)，i,j=1,2,…，则称P{X=xi,Y=yj}=pij，i,j=1,2,…
为二维离散型随机变量的分布律，或X与Y的联合分布律，也可以用表格表示为X

Yx1x2…xi…y1p11p21 …pi1…y2p12p22 …pi2… yjp1jp2j …pij…
3. 二维离散型随机变量联合分布律的性质
二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律的性质如下：
（1） pij≥0，i,j=1,2,…；
（2） ∑∞i=1∑∞j=1pij=1.
二维随机离散型变量(X,Y)分布函数与分布律的关系为F(x,y)=∑xi≤x∑yj≤ypij，其中，∑xi≤x∑yj≤ypij表示对不大于x的xi和不大于y的yj所对应的pij求和.
三、 二维连续型随机变量及其概率密度1. 二维连续型随机变量定义及其联合概率密度定义4设F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数，如果存在非负函数f(x,y)，使得对任意实数x,y都有F(x,y)=∫x－∞∫y－∞f(u,v)dudv,则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或X与Y的联合概率密度.
2. 联合概率密度的性质
二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)具有下列性质：
（1） f(x,y)≥0；
（2） ∫ ∞－∞∫ ∞－∞f(x,y)dxdy=F( ∞, ∞)=1；
（3） 若f(x,y)在点(x,y)处连续，则有2F(x,y)xy=f(x,y);（4） 设D为xOy平面上任一区域，点(X,Y)落在D中的概率为P{(X,Y)∈D}=Df(x,y)dxdy.四、 边缘分布1. 边缘分布函数设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数，则FX(x)=F(x, ∞)，FY(y)=F( ∞,y)为关于X和Y的边缘分布函数.
2. 边缘分布律
设二维离散型随机变量的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij，i,j=1,2,…，则P{X=xi}=∑∞j=1pij=pi·，P{Y=yj}=∑∞i=1pij=p·j，i,j=1,2,…为关于X和Y的边缘分布律，边缘分布律也可以写在分布律表格的下边和右边，如下表所示:X

Yx1x2…xi…P{Y=yj}y1p11p21 …pi1…p1y2p12p22 …pi2…p2yjp1jp2j …pij…pjP{X=xi}p1p2…pi…1
3. 边缘概率密度
设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则fX(x)=∫ ∞－∞f(x,y)dy和fY(y)=∫ ∞－∞f(x,y)dx分别为关于X和关于Y的边缘概率密度.
五、 条件分布
当二维随机变量中的一个随机变量具有附加条件时，需要探讨另一个随机变量的条件分布.
离散型二维随机变量的条件分布律为pij=P{X=xiY=yj}=pijp·j，其中P{Y=yj}=p·j>0，和pji=P{Y=yjX=xi}=pijpi·，其中P{X=xi}=pi·>0.条件分布函数为F(xyj)=P{X≤xY=yj}=∑xi≤xpij，其中P{Y=yj}=p·j>0，和F(yxi)=P{Y≤yX=xi}=∑yj≤ypji，其中P{X=xi}=pi·>0.二维连续型随机变量的条件分布函数为F(xy)=P{X≤xY=y}=∫x－∞f(u,y)fY(y)du，其中fY(y)>0，和F(yx)=P{Y≤yX=x}=∫y－∞f(x,v)fX(x)dv，其中fX(x)>0.二维连续型随机变量的条件概率密度为f(xy)=f(x,y)fY(y)，其中fY(y)>0，和f(yx)=f(x,y)fX(x)，其中fX(x)>0.六、 随机变量的独立性
定义5设(X,Y)为二维随机变量，如果对于任意的实数x，y都有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}·P{Y≤y}，即F(x,y)=FX(x)·FY(y)成立，则称随机变量X与Y是相互独立的.
定理若(X,Y)为二维离散型随机变量，则X与Y相互独立pij=pi·pji,j=1,2,…若(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y相互独立x∈R和y∈R，有f(x,y)=fX(x)·fY(y).七、 二维随机变量函数的分布
已知(X,Y)为二维随机变量，Z=g(X,Y)是X,Y的连续函数，求Z的分布.
若(X,Y)为二维离散型随机变量，一般可用列举法求出Z的分布.
若(X,Y)为二维连续型随机变量，考虑下列两种情况：
（1） Z=X Y，则Z的概率密度为fZ(z)=∫ ∞－∞f(z－y,y)dy，或fZ(z)=∫ ∞－∞f(x,z－x)dx.若X与Y相互独立，则上述两式可写为fZ(z)=∫ ∞－∞fX(z－y)·fY(y)dy，或fZ(z)=∫ ∞－∞fX(x)·fY(z－x)dx.上述两式称为卷积公式.
（2） M=max{X,Y}与N=min{X,Y}的分布.若X与Y相互独立，且边缘分布函数为FX(x)和FY(y)，则FM(z)=FX(z)·FY(z)，
FN(z)=1－［1－FX(z)］·［1－FY(z)］.典 型 例 题〖*1〗一、 二维离散型随机变量相关问题例31一只袋中装有4只球，分别标有数字1，2，2，3，现从袋中任取一球后，再从袋中任取一球，用X与Y分别表示第一次和第二次取到的球上标有的数字.分别在有放回和无放回条件下求：
（1） (X,Y)的分布律；
（2） X与Y的边缘分布律；
（3） X与Y是否相互独立.
解（1） 无放回条件下
由题可知在无放回条件下，Y的取值受到X取值的影响.X可能的取值为1，2，3，Y可能的取值为1，2，3.(X,Y)的分布律为P{X=i,Y=j}=P{Y=jX=i}·P{X=i}=pij，i,j=1,2,3.
P{X=1,Y=1}=P{Y=1X=1}·P{X=1}=0，
P{X=1,Y=2}=P{Y=2X=1}·P{X=1}=23×14=16，
P{X=1,Y=3}=P{Y=3X=1}·P{X=1}=13×14=112，
P{X=2,Y=1}=P{Y=1X=2}·P{X=2}=13×12=16，
P{X=2,Y=2}=P{Y=2X=2}·P{X=2}=13×12=16，
P{X=2,Y=3}=P{Y=3X=2}·P{X=2}=13×12=16，
P{X=3,Y=1}=P{Y=1X=3}·P{X=3}=13×14=112，
P{X=3,Y=2}=P{Y=2X=3}·P{X=3}=23×14=16，
P{X=3,Y=3}=P{Y=3X=3}·P{X=3}=0.X与Y的边缘分布律为P{X=i}=pi·=∑3j=1pij，P{Y=j}=p·j=∑3i=1pij，i,j=1,2,3.
P{X=1}=0 16 112=14，P{X=2}=16 16 16=12，
P{X=3}=112 16 0=14，P{Y=1}=0 16 112=14，
P{Y=2}=16 16 16=12，P{Y=3}=112 16 0=14.故分布律与边缘分布律表格为X