描述
开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787302519195
本书可以作为考研数学复习*轮的辅导书，也可作为学习“数学分析”“高等数学”和“微积分”的教学参考书，还可作为理工类和经管类的“高等数学续论”或“微积分续论”课的教材。
1.1数列极限的求法2
题型1计算数列极限（3）;题型2证明数列收敛、并求极限（9）
1.2函数极限的求法13
题型3计算函数极限（18）
1.3函数的连续性27
题型4讨论函数的连续性、求函数的间断点、判断间断点所属类型（28）
1.4关于函数、极限与连续的常见考研题型31
题型5未知常数的确定（31）;题型6计算含有变限积分函数的极限（35）;题型7计算抽象函数的极限（35）;题型8求无穷小的阶数和阶的比较（37）
1.5数列、函数、极限与连续考研真题40
1.6本章练习题答案与提示50
第2章导数与微分60
2.1导数的求法60
题型1求函数在一点的导数（62）;题型2求初等函数的导数（63）;题型3求非初等函数的导数（65）
2.2高阶导数的求法74
2.3导数与微分考研真题78
2.4本章练习题答案与提示82
第3章一元函数不定积分与定积分88
3.1不定积分89
题型1用凑微分、变量代换、分部积分法求不定积分（90）;题型2求有理函数的不定积分（95）;题型3求无理函数的不定积分（99）;题型4求三角函数的不定积分（102）;题型5求分段函数的不定积分（106）
3.2定积分107
题型6用变量代换、分部积分法计算定积分（109）;题型7计算对称区间的定积分（112）;题型8计算非初等函数的定积分（114）;题型9用换元变换计算定积分（115）;题型10计算反常积分（广义积分）（117）
3.3一元函数积分考研真题119
3.4本章练习题答案与提示124
第4章连续性定理与微积分中值定理133
4.1不等式与存在性的证明133
题型1方程根（函数零点）的讨论（135）;题型2证明不等式（138）;题型3存在一点满足等式的证明（143）;题型4存在两点满足等式的证明（151）
4.2定积分等式与不等式的证明155
题型5定积分等式的证明（156）;题型6定积分存在性的证明（157）;题型7定积分不等式的证明（158）
4.3连续性定理与微分中值定理考研真题163
4.4本章练习题答案与提示167
第5章一元函数微积分的应用174
5.1函数图像的几何性质175
题型1求函数的极值点和极值（176）;题型2求函数的单调区间（176）;题型3求函数的最大值和最小值（176）;题型4求函数的凹凸区间和拐点（176）;题型5求曲线的切线、法线和渐近线（177）
5.2微元法在计算面积、体积、弧长中的应用181
题型6计算平面图形的面积（182）;题型7计算空间体的体积（183）
5.3微元法在物理上的应用188
题型11计算液体压力（188）;题型12计算物体之间的引力（190）;题型13计算变力做功（191）;题型14计算物体的质量（192）
5.4微积分在经济中的应用194
题型15计算成本、收益、利润、弹性以及边际、平均成本、收益、利润（195）
5.5一元函数微积分的应用考研真题199
5.6本章练习题答案与提示207
目录目录第6章微分方程213
6.1一阶微分方程的解法214
题型1求可分离变量方程的解（214）;题型2求齐次方程的解（215）;题型3求一阶线性方程的解（215）;题型4求伯努利方程的解（216）;题型5求全微分方程的解（217）;题型6利用简单的变量替换求一阶方程的解（218）
6.2二阶微分方程的解法220
题型7求二阶常系数线性齐次方程的解（221）;题型8求二阶常系数线性非齐次方程的通解（221）;题型9求可降阶的二阶微分方程的解（224）;题型10求n阶常系数线性齐次方程的解（225）;题型11求函数的表达式（226）
6.3差分方程的解法229
题型12求一阶差分方程的解（230）;题型13求二阶差分方程的解（231）
6.4常微分方程考研真题232
6.5本章练习题答案与提示239
第7章无穷级数244
7.1数项级数敛散性的判别方法245
题型1判别正项级数的敛散性（246）;题型2判别交错级数的敛散性（248）;题型3判别任意项级数的敛散性（250）
7.2幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域252
题型4求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（254）
7.3求和函数与数项级数的和257
题型5求幂级数的和函数（259）;题型6求数项级数的和（262）
7.4函数展成幂级数264
题型7函数展成麦克劳林级数（265）;题型8函数展成泰勒级数（268）
7.5傅里叶级数270
题型9傅里叶级数的收敛域与傅里叶级数在一点的和（272）;题型10函数展成傅里叶级数（273）;题型11函数展成正弦级数和余弦级数（273）;题型12函数展成一般周期的傅里叶级数（274）
7.6无穷级数考研真题276
7.7本章练习题答案与提示285
第8章多元函数连续、偏导数、全微分及其应用292
8.1多元函数连续、偏导数和全微分293
题型1求二元函数的极限（294）;题型2证明二元函数极限不存在（294）;题型3求多元函数的偏导数（295）;题型4求多元函数的全微分（296）;题型5讨论二元函数连续性、偏导存在性和可微性（297）;题型6求抽象复合函数的偏导数（299）;题型7求隐函数和隐函数组的偏导数（300）
8.2多元函数的极值与最值307
题型9求二元函数的极值点和极值（307）;题型10求多元函数的条件极值或最值（308）;题型11求二元函数在有界闭区域上的最值（309）
8.3偏导数在几何上的应用311
题型12求空间曲线的切线方程和法平面方程（311）;题型13求曲面的切平面方程和法线方程（313）
8.4多元函数连续、偏导数与全微分及其应用考研真题313
8.5本章练习题答案与提示321
第9章重积分327
9.1二重积分328
题型1交换累次积分的积分次序（333）;题型2直角坐标与极坐标的累次积分转化（334）;题型3计算对称区域上的二重积分 （335）;题型4计算非初等函数的二重积分（336）;题型5利用坐标变换计算二重积分（337）;题型6二重积分的解答与证明（338）
9.2三重积分341
题型7计算三重积分（343）;题型8利用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分（345）
9.3重积分的应用350
题型9计算物体的质量、质心、转动惯量和引力（351）
9.4重积分考研真题352
9.5本章练习题答案与提示359
第10章曲线积分与曲面积分365
10.1曲线积分366
题型1计算第一类曲线积分（368）;题型2计算第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)（370）;题型3计算与路径无关的平面曲线积分（374）;题型4曲线积分的等式与不等式的证明（376）
10.2曲面积分379
题型5计算第一类曲面积分(对面积的曲面积分)（380）;题型6计算第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)（383）
10.3向量场的通量与散度、环流量与旋度388
题型7计算通量、散度、环流量和旋度（389）
10.4曲线积分与曲面积分的简单应用390
题型8计算曲线和曲面的质量、质心、形心、转动惯量和引力（391）
10.5曲线积分和曲面积分考研真题393
10.6本章练习题答案与提示398
第11章向量代数与空间解析几何406
11.1向量及其运算406
题型1向量与向量运算（408）
11.2平面与直线及其方程410
题型2求直线方程和平面方程（411）
11.3曲面及其方程414
题型3求旋转曲面方程与投影（415）
11.4向量代数与空间解析几何考研真题417
11.5本章练习题答案与提示418
学习高等数学，常见问题是: “概念不清，结论不明，方法不多”，如果这三方面不存在问题，那么高等数学不存在问题。然而高等数学没有学好的，这三方面或多或少都存在问题，特别是解题方法。或许，你对概念、结论能够倒背如流，但是没有系统的解题方法支撑，那么你对概念的理解是肤浅的，结论的运用是生涩的。
本书在深入研究基本概念、基本结论基础上，对各类考研题型的解题方法做出全面、系统的研究、归纳、总结和综述。不夸张地说，如果能够系统地掌握这些解题方法，比较熟练地运用基本概念和基本结论，就可以从容应对各类高等数学问题。
有很多同学认为考研试题很难，其实不然！客观地说，考研试题的绝大部分都可以利用基本概念、基本结论和基本方法来解决的，只有极少题需要一些技巧或特殊方法，而且随着考研试题日臻完善，这类试题在近些年的考研试题中越来越少。所以考研复习要脚踏实地，从基础做起，注重理解和掌握基本概念、基本结论和基本方法。
本书的每章首先列出必须牢记、理解的基本概念，需要掌握、运用的基本结论，以及本章涉及的各类题型（内有对应的解题方法）；其次解析概念、简述定理、性质和结论；接下来列举了的高等数学考研题型，给出常规的、完备的解题方法，并用适当例题解读方法、总结规律；最后结合例题，给出各类题型解题方法综述。各节配有全面的、系统的、与考研题型相似的、与考研难度一致的练习题。通过适当练习，使读者不仅熟悉题型，而且还掌握解决此类题型的基本方法。
从2003年开始，考研数学分数从100分提高到150分，命题的模式也趋于稳定。数一和数三的高等数学（微积分）部分所占比例固定在56%，所以本书在每章的最后一节，选择了从2003—2019年的17年的数一和数三的高等数学部分真题进行分类、归纳、对比、分析，以及应用本书研究的此类题型的解法，处理和解决这些考研真题，从而使读者加深对本书内容的理解，同时掌握了各章的考研题型、考点及深浅程度，做到知己知彼！
本书是编者近十几年来的“考研数学辅导”讲义与“高等数学续论”讲义逐步改进和完善而成，可以用于“微积分”“高等数学”“数学分析”课程的参考书，也可以用于“高等数学进阶”或“高等数学续论”公共基础课或选修课的教材（理工类: 16周×3课时，其中第5章和第11章可作为自学内容；经管类: 16周×3课时，去掉第10章和第11章及带 号部分），同时还是考研数学复习第一轮的辅导书，尤其适合提高高等数学基础的同学，作为教材到考研复习全书的过渡。通过对解题方法的学习和课后习题的认真练习，使读者在解决问题时，有系统的、清晰的解题思路和解题方法，从而提高解题能力和解题速度。
本书是按照考研数一大纲（高等数学部分）内容编写的，但对考数二和数三的学生也是适合的，只是范围的不同而已，相同内容使用解决问题的基本方法是相同的。书中带有的章、节以及题型等部分是数三应该掌握的内容，数一是不做要求的；同样带号的部分，是数一应该掌握的内容，数三是不做要求的。
感谢山东工商学院数学学院概率统计学科和教务处混合式教学改革项目对本书出版的支持，感谢我的同事对本书提出的建设性意见，感谢我的学生们为习题解答所做的工作，感谢清华大学出版社的刘颖老师对本书所做的大量细致、重要的工作。
由于时间仓促，书中疏漏之处在所难免，恳请读者和专家指正。
王学武2018年秋于烟台
一元函数不定积分与定积分
基本概念
1. 原函数、不定积分；
2. 定积分；
3. 积分上限函数、变限积分函数。
基本结论
1. 原函数存在定理、原函数性质；
2. 不定积分性质、公式；
3. 定积分基本公式: 牛顿莱布尼茨公式；
4. 定积分性质和公式（定积分的基本性质、对称区间的定积分、周期函数的定积分、三角函数的定积分）；
5. 变限积分函数的导数。
基本方法
1. 用凑微分、变量代换、分部积分法求不定积分；
2. 求有理函数的不定积分；
3. 求无理函数的不定积分；
4. 求三角函数的不定积分；
5. 求分段函数的不定积分；
6. 用变量代换、分部积分计算定积分；
7. 计算对称区间上的定积分；
8. 计算非初等函数的定积分；
9. 用换元变换计算定积分；
10. 计算反常积分。第3章一元函数不定积分与定积分3.1不定积分3.1不定积分
一、 基本概念
定义1原函数如果F′(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，且称f(x)是F(x)的导函数。
定义2不定积分f(x)的所有原函数或带有任意常数项的原函数称为f(x)的不定积分。
二、 基本结论
定理1（原函数存在定理）连续函数一定存在原函数。
事实上，若f(x)连续，则积分上限函数∫x0f(t)dt就是f(x)的一个原函数，但要注意的是: 连续仅仅是存在原函数的充分条件，并非必要。
定理2（原函数性质）
（1）如果函数存在原函数，一定有无限多个原函数；
（2） 同一个函数的任意两个原函数最多相差一个常数。
定理3(不定积分公式)
幂函数的积分公式:
（1） ∫kdx=kx C；（2） ∫xαdx=1α 1xα 1 C；
（3） ∫1xdx=ln｜x｜ C。
二次分式的积分公式:
（4） ∫11 x2dx=arctanx C；（5） ∫1a2 x2dx=1aarctanxa C；
（6） ∫1×2-a2dx=12alnx-ax a C。
三角函数的积分公式:
（7） ∫sinxdx=-cosx C；（8） ∫cosxdx=sinx C；
（9） ∫tanxdx=-ln|cosx| C；（10） ∫cotxdx=ln|sinx| C；
（11） ∫secxdx=ln|secx tanx| C；（12） ∫cscxdx=ln|cscx-cotx| C；
（13） ∫1cos2xdx=tanx C；（14） ∫1sin2xdx=-cotx C；
（15） ∫secxtanxdx=secx C；（16） ∫cscxcotxdx=-cscx C。指数函数的积分公式:
（17） ∫exdx=ex C；（18） ∫axdx=axlna C。
根式下是二次多项式的积分公式:
（19） ∫11-x2dx=arcsinx C；（20） ∫1a2-x2dx=arcsinxa C；
（21） ∫1×2±a2dx=ln|x x2±a2| C；
（22） ∫x2±a2dx=x2x2±a2±a22ln|x x2±a2| C；
（23） ∫a2-x2dx=x2a2-x2 a22arcsinxa C。
我们能够求的不定积分，大都是运用上述积分公式，因此在计算不定积分时，都是朝着公式形式去变化，最终将被积函数变成: 幂函数、指数函数、三角函数、二次分式、根式下是二次多项式的和或差的形式，从而利用公式，计算其不定积分。
三、 基本方法〖*2〗题型1用凑微分、变量代换、分部积分法求不定积分求函数的不定积分，按积分方法分类，有三大方法: 凑微分、变量代换、分部积分。
方法1凑微分（凑微分，利用公式）
原理若∫f(u)du=F(u) C，则∫f［φ(x)］dφ(x)=F［φ(x)］ C。
凑微分是积分最基本的方法，也是求不定积分最简单的方法，因此在求不定积分时，我们首先考虑能否用凑微分法，将积分变成公式的形式。要熟练掌握和运用这个方法，需要熟悉函数的凑微分。
常见函数的凑微分
1. 凑成一次函数微分: dx=1ad(ax b)。
2. 凑成xn的微分: xn-1dx=1and(axn b)。
3. 凑成倒微分: 1x2dx=-d1x。
4. 凑成根微分: 1xdx=2d(x)。
5. 凑成指数函数微分: axdx=1lnad(ax)，exdx=d(ex)。
6. 凑成对数函数微分: 1xdx=d(lnx)。
7. 凑成三角函数微分: cosxdx=dsinx；sinxdx=-dcosx；
sec2xdx=1cos2xdx=dtanx；csc2xdx=1sin2xdx=-dcotx。
8. 凑成反三角函数微分: 11-x2dx=darcsinx；11 x2dx=darctanx。
9. 凑成整体或局部的微分: f′(x)dx=df(x)。
例3.1用凑微分法求下列不定积分:
（1） ∫11-2xdx；（2） ∫1×2 2x 2dx；
（3） ∫arctanx1 x2dx；（4） ∫x4(x5 1)4dx；
（5） ∫dxsin2x 4cos2x；（6） ∫ex1 exdx；
（7） ∫1x(1 x)dx；（8） ∫sinxcos3xdx；
（9） ∫1x(ln2x-1)dx；（10） ∫sinx-cosx(cosx sinx)2dx。
解（1） dx可以凑成一次函数的微分，当然可以凑成分母1-2x的微分，从而有∫11-2xdx=∫11-2xd(1-2x)·-12=-12ln|1-2x| C；（2） 二次分式，将分母配方，凑微分，利用公式∫1×2 2x 2dx=∫1(x 1)2 1d(x 1)=arctan(x 1) C；（3） 11 x2dx可以凑成d(arctanx)，利用公式∫arctanx1 x2dx=∫arctanxdarctanx=12(arctanx)2 C；（4） x4和dx可以凑成x5的微分，当然可以凑成d(x5 1)，于是∫x4(x5 1)4dx=15∫1(x5 1)4d(x5 1)=-1151(x5 1)3 C；（5） 被积函数是三角函数，凑微分只能是1cos2x或1sin2x和dx凑成dtanx或dcotx，于是为了凑微分，分母提取cos2x，凑微分∫dxsin2x 4cos2x=∫dx(tan2x 4)cos2x=∫dtanx(tan2x 4)=12arctantanx2 C；（6） 显然，只能ex和dx可以凑成dex，当然可以凑成d(ex 1)，于是∫ex1 exdx=∫11 exd(1 ex)=ln(1 ex) C；（7） 1x和dx可以凑成dx，于是∫1x(1 x)dx=2∫11 (x)2dx=2arctanx C；（8） 被积函数是三角函数，用sinx和dx凑成dcosx，从而有∫sinxcos3xdx=-∫cos3xdcosx=-14cos4x C；(9) 1x和dx可以凑成dlnx，于是∫1x(ln2x-1)dx=∫1ln2x-1dlnx=12lnlnx-1lnx 1 C；（10） 用分子sinx-cosx和dx凑成d(cosx sinx)，于是有∫sinx-cosx(cosx sinx)2dx=-∫1(cosx sinx)2d(cosx sinx)=1cosx sinx C。用凑微分法求不定积分综述
凑微分法是计算不定积分最基本、最简单方法，是经过适当的凑微分和被积函数的适当变形，将积分变成公式的形式，再利用公式，所以这一方法又称为凑微分利用公式。
熟练掌握这一积分方法，就要熟悉不定积分公式和凑微分公式，不然无法熟练的利用这一积分方法。
在具体应用这一积分方法时，首先观察哪部分和dx凑微分，然后考虑剩余部分和哪个积分公式更相近，最后经过适当变化，变成积分公式的形式，再利用积分公式。
方法2变量代换法
在变量代换中，通常有五种代换: 根式代换，指数代换、对数代换、三角代换和反三角代换，其代换的目的是将被积函数化为有理函数、三角函数，或者两类不同函数积的形式。
在变量代换过程中，不仅被积函数改变，而且微元也在改变，这是不容忽视的问题。
1. 三角代换基本形式和方法
一般地，如果被积函数含有二次根式，而且根式下是二次多项式，如ax2 bx c。常常利用配方，将其化为u2±p2或p2-u2的形式，然后作三角代换。
（1） a2-x2，作变量代换x=asint，-π2a时，作变量代换x=asect，0a，再利用x>a时的积分结果，得到x例3.2求下列无理函数的不定积分:
（1） ∫dxx1-x2；（2） ∫x2-a2x4dx(a>0)。
解（1） 令x=sint，则dx=costdt，于是∫dxx1-x2=∫costsintcostdt=∫1sintdt=ln|csct-cott| C=ln1-1-x2x C。（2） 当x>a时，令x=asect，0=13a2sin3t C=13a2x2-a2x3 C。当xa，dx=-du，于是∫x2-a2x4dx=-∫u2-a2u4du=-13a2u2-a2u3 C=13a2x2-a2x3 C。所以∫x2-a2x4dx=13a2x2-a2x3 C。
2. 指数代换
如果被积函数含有指数函数，若不能用凑微分，又不适用分部积分，一般是做指数代换，将被积函数化为有理函数。
例3.3求下列不定积分:
（1） ∫e2xdx1 ex；（2） ∫dx1 ex。
解（1） 令ex=t，则x=lnt，dx=1tdt，于是∫e2xdx1 ex=∫t2dtt(1 t)=∫tt 1dt=∫dt-∫11 tdt
=t-ln|1 t| C=ex-ln(1 ex) C。（2） 令ex 1=t，则ex=t2-1，exdx=2tdt，dx=2tt2-1dt，于是∫dx1 ex=∫2dtt2-1=∫1t-1-1t 1dt=lnt-1t 1 C=ln1 ex-11 ex 1 C。注变量代换的代换方法并非唯一的。例3.3的第（2）题令ex 1=t，当然也可以令ex=t。变量代换的目标是把不容易求的积分经过变量代换，化为我们熟悉的有理函数积分或三角函数积分。
3. 对数代换
如果被积函数含有对数函数，若不能凑微分，又不适用分部积分，一般是做对数代换，使被积函数化为有理函数或两类不同函数积的形式，然后应用分部积分。
例3.4求下列不定积分:
（1） ∫lnxx2dx；（2） ∫cos(lnx)dx。
解令t=lnx，则x=et，dx=etdt，于是
（1） ∫lnxx2dx=∫t2e-tdt=-t2e-t ∫2te-tdt=-t2e-t-2te-t-2e-t C
=-1x(ln2x 2lnx 2) C。
（2） ∫cos(lnx)dx=∫costetdt=costet ∫sintetdt=costet sintet-∫costetdt，
于是∫cos(lnx)dx=12(costet sintet) C=12x(coslnx sinlnx) C。
注对于被积函数是不同两类函数的积或复合函数的不定积分，即使通过变量代换一般也不会把被积函数化为单一类的函数，往往还是两类不同函数的积，但这样的被积函数有利于分部积分。
4. 反三角代换
如果被积函数含有反三角函数，若不能凑微分，又不适用分部积分，一般是做反三角函数代换，使被积函数化为有理函数、无理函数和三角函数等形式。
例3.5求下列不定积分:
（1） ∫sin(arctanx)dx；（2） ∫arccosxx21-x2dx。
解（1） 令arctanx=t，则x=tant，dx=sec2tdt，于是∫sin(arctanx)dx=∫sintcos2tdt=-∫1cos2tdcost=1cost C=1 x2 C。（2） 令arccosx=t，则x=cost(0=-ttant-ln|cost| C=-arccosx·tan(arccosx)-ln｜x｜ C。在变量代换中，我们给出了四种变量代换方法。事实上，还有一种常用的方法: 根式代换，为了避免重复论述，我们把这个方法放到无理函数积分一节去研究，因此说变量代换共有五种代换方法，即: 根式代换，指数代换,对数代换,三角代换，反三角代换。
用变量代换法求不定积分综述
（1） 若不能用凑微分法，也不具备分部积分特征（两类不同函数的积），就要考虑变量代换。
（2） 五种代换就是我们熟悉的五种基本初等函数的代换。在某种意义上说，哪部分影响（阻碍）了积分运算，就代换那部分。
（3） 在变量代换时，究竟采用哪种代换，是由被积函数决定的。一般情况下，含有根式，根式下一次多项式或一次分式，就用根式代换；如果根式下是二次多项式，就用三角代换；如果含有对数函数、指数函数、反三角函数，就分别用对数代换、指数代换和反三角代换。这个过程需要考虑两个因素: 被积函数的变化和微元的变化，确保新的积分的被积函数是我们熟悉的形式，有利于积分。
（4） 变量代换的代换方式并非唯一的，同时变量代换方法也并非是必须的，有时可以不作变量代换，用凑微分或分部积分来解决。这也无所谓，只要能够求出不定积分，至于用何种方法，何种代换并不是最重要的，求出就好，何必纠结在哪个方法更好！
方法3分部积分
分部积分原理∫f(x)dx=∫u(x)v′(x)dx=∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)-∫u′(x)v(x)dx。基本方法将被积函数f(x)分成两部分，一部分为u(x)，另一部分为v′(x)，v′(x)和dx凑成dv(x)。u(x)更多的是选取: xk，lnx，arcsinx等，这样等式右端的积分中的u′(x)一般是常数、幂函数、无理函数等，是有利于积分的形式，同时还要保证剩余部分v′(x)很容易求其原函数v(x)，凑成dv(x)。
例3.6用分部积分法求下列不定积分:
（1） ∫xcosxsin2xdx；（2） ∫lnx(x 3)2dx。
解（1） 被积函数xcosxsin2x是两类不同函数的积，于是考虑分部积分。选择x作为u(x)，剩余部分cosxsin2x和dx凑成-d1sinx，于是有∫xcosxsin2xdx=-∫x·d1sinx=-xsinx ∫1sinxdx=-xsinx ln|cscx-cotx| C。（2） 被积函数lnx(x 3)2是两类不同函数的积，于是考虑分部积分。选择lnx作为u(x)，剩余部分1(x 3)2和dx凑成-d1x 3，于是有∫lnx(x 3)2dx=-∫lnxd1x 3=-lnxx 3 ∫1x(x 3)dx
=-lnxx 3 13∫1x-1x 3dx=-lnxx 3 13lnxx 3 C。用分部积分法求不定积分综述
分部积分的基本思想是将被积函数转化为单一类函数: 有理函数、无理函数或三角函数。因此，一般地，如果被积函数是两类不同函数的积，要考虑分部积分。特别是被积函数是如下形式:
xksinx；xkarcsinx；xkex；xklnx；exsinx，
只能用分部积分。
分部积分的关键是将被积函数f(x)分成两部分，u(x)和v′(x)，哪部分作为u(x)要考虑三个因素:
（1） u′(x)更简单，有利于积分；
（2） 容易求出v′(x)的原函数v(x)；
（3） 容易计算不定积分∫u′(x)v(x)dx。
求不定积分，有三大方法，分别是: 凑微分、变量代换和分部积分。如果按照被积函数分类，还可分为: 有理函数积分、无理函数积分、三角函数积分。这是因为即使有其他函数的不定积分，大都可以通过变量代换转化为这三类函数的积分，因此如果熟练掌握这三类函数的积分，就可以从容应对各类不定积分问题。
题型2求有理函数的不定积分
设Pn(x)是关于x的n次多项式，Qm(x)是关于x的m次多项式，则称Pn(x)Qm(x)是有理函数，且当n将有理函数积分表示为（转化成）可以利用公式的积分。具体来说，就是将有理函数积分表示为整式（多项式）、一次分式以及二次分式的积分的和。
根据代数理论:
（1） 假分式 = 整式（多项式） 真分式；
（2） 真分式 = 若干一次分式 若干二次分式。
一次分式与二次分式共有六种形式，分别是:
一次分式: 1x-a，1(x-a)n；
二次分式: 1×2 px q，x bx2 px q，1(x2 px q)n，x b(x2 px q)n。
注这里的二次分式中的x2 px q是不能再分解，即p2-4q<0。
六类一次分式和二次分式积分的基本方法:
（1） ∫1x-adx=ln|x-a| C； （凑微分，利用公式）
（2） ∫1(x-a)ndx=-1n-11(x-a)n-1 C； （凑微分，利用公式）
（3） ∫1×2 px qdx→∫1u2 a2du=1aarctanua C； （配方，凑微分，利用公式）
（4） ∫x bx2 px qdx→∫d(x2 px q)x2 px q ∫1×2 px qdx；
（用一次项 常数，凑成分母的微分，剩余部分与（3）的形式相同）
（5） ∫1(x2 px q)ndx→∫1(u2 a2)ndu； （配方，利用递推公式）
(6) ∫x b(x2 px q)ndx→∫d(x2 px q)(x2 px q)n ∫1(x2 px q)ndx。
（用一次项 常数，凑成分母的微分，剩余部分与（5）的形式相同）
公式中的“→”表示原积分可以转化为这种形式的积分，各项最多相差一个常数倍。
递推公式In=∫1(x2 a2)ndx=12a2(n-1)x(x2 a2)n-1 (2n-3)In-1。
特别地，当n=2时递推公式化为∫dx(x2 a2)2=12a2xx2 a2 ∫1×2 a2dx。
当然，对上面公式，可以从递推公式获得，也可以用变量代换方法得到。
事实上，令x=tant，则有∫dx(x2 a2)2=∫asec2tdt(a2tan2t a2)2=1a3∫cos2tdt
=12a3∫(1 cos2t)dt=12a3t 12sin2t C。2. 有理函数的分解
（1） 把假分式化为真分式: 假分式=多项式（整式） 真分式。例如x3 x 1×2 1=x 1×2 1，（2） 把真分式表示为若干一次分式与二次分式和的形式的具体方法:
方法1待定系数法: 将分母分解成若干一次因式与二次因式的积的形式（二次因式不能再分解），依据分母的一次因式和二次因式，将真分式表示为几个一次分式和二次分式和的形式。例如1(x a)3(x2 px q)2
=Ax a B(x a)2 C(x a)3 Dx Ex2 px q Fx G(x2 px q)2，其中A,B,C,D,E,F,G是待定常数，p2-4q<0。
为方便起见，B(x a)2，C(x a)3也称为一次分式，Fx G(x2 px q)2也称为二次分式。
在确定待定系数时，可以对上述等式去分母，变成两个多项式恒等，利用多项式恒等，对应项系数相等，建立含有待定系数的方程组，解方程组，从而确定待定系数值。
方法2“凑”的方法:
将真分式用“凑的方法”分解:1×3(1 x2)=1 x2-x2x3(1 x2)=1×3-1x(1 x2)=1×3-1 x2-x2x(1 x2)=1×3-1x x1 x2。若用待定系数法分解，一般形式为1×3(1 x2)=Ax Bx2 Cx3 Dx E1 x2，这样需要求五个待定系数。首先去分母，等式两边同乘以x3(1 x2)得到1=Ax2(1 x2) Bx(1 x2) C(1 x2) (Dx E)x3，根据多项式恒等，对应项系数相等得到1=C，(常数项相等)
0=B，(一次项系数相等)
0=C A，(二次项系数相等)
0=B E，(三次项系数相等)
0=A D，(四次项系数相等)解得C=1，B=0，A=-1，E=0，D=1。
通过上面例子可知: 用待定系数法将真分式分解成若干一次分式与二次分式的和，计算量很大，在某种意义上说实在是无奈之举，所以通常情况下，大都是用“凑”的方法。
例3.7求下列有理函数的不定积分:
（1） ∫x2 x 1xdx；（2） ∫x 2(x 1)xdx；
（3） ∫x3x 1dx；（4） ∫1x(x2 1)dx；
（5） ∫1×3 3×2 2xdx；（6） ∫xx2 2x 2dx；
（7） ∫x2(x-1)5dx；（8） ∫1(x2 2x 2)2dx；
（9） ∫x11x8 3×4 2dx；（10） ∫1×3 1dx。
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