描述
开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787302502036
本书是在编者原有资料基础上修订而成,在辅导实践中连续使用多年,曾帮助很多考生获得了较好的成绩,考生复习基础知识点后即可使用.
科目一高等数学(*号章数学二不要求)
章函数、极限与连续
第二章导数与微分中值定理
第三章导数的应用
第四章一元函数积分学
第五章一元函数积分学的应用
*第六章空间解析几何
第七章多元函数微分学
第八章重积分
*第九章曲线积分与曲面积分
*第十章无穷级数
第十一章常微分方程
第十二章物理问题
科目二线性代数
章行列式
第二章矩阵
第三章向量
第四章线性方程组
第五章特征值与特征向量
第六章二次型
科目三概率论与数理统计
章随机事件和概率
第二章随机变量及其分布
第三章数字特征
第四章大数定律与中心极限定理
第五章数理统计
科目一高等数学参考答案
章函数、极限与连续
第二章导数与微分中值定理
第三章导数的应用
第四章一元函数积分学
第五章一元函数积分学的应用
*第六章空间解析几何
第七章多元函数微分学
第八章重积分
*第九章曲线积分与曲面积分
*第十章无穷级数
第十一章常微分方程
第十二章物理问题
科目二线性代数参考答案
章行列式
第二章矩阵
第三章向量
第四章线性方程组
第五章特征值与特征向量
第六章二次型
科目三概率论与数理统计参考答案
章随机事件和概率
第二章随机变量及其分布
第三章数字特征
第四章大数定律与中心极限定理
第五章数理统计
2018年全国硕士研究生招生考试数学(一)试卷
2018年全国硕士研究生招生考试数学(一)参考答案
2018年全国硕士研究生招生考试数学(二)试卷
2018年全国硕士研究生招生考试数学(二)参考答案
科目一高 等 数 学
章函数、极限与连续一、 选择题
1. (1987年)f(x)=|xsinx|ecosx(-∞
(A) 有界函数(B) 单调函数(C) 周期函数(D) 偶函数
2. (1993年)当x→0时,变量1x2sin1x是().(A) 无穷小(B) 无穷大(C) 有界的,但不是无穷小量(D) 无界的,但不是无穷大3. (1994年)设limx→0atanx b(1-cosx)cln(1-2x) d(1-e-x2)=2,其中a2 c2≠0,则必有().
(A) b=4d(B) b=-4d(C) a=4c(D) a=-4c4. (1994年)设limx→0ln(1 x)-(ax bx2)x2=2,则().(A) a=1,b=-52(B) a=0,b=-2(C) a=0,b=-52(D) a=1,b=-25. (1995年)设f(x)和φ(x)在(-∞, ∞)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)≠0,φ(x)有间断点,则().
(A) φ[f(x)]必有间断点(B) [φ(x)]2必有间断点(C) f[φ(x)]必有间断点(D) φ(x)f(x)必有间断点6. (1996年)设当x→0时,ex-(ax2 bx 1)是比x2高阶的无穷小,则().(A) a=12,b=1(B) a=1,b=1
(C) a=-12,b=1(D) a=-1,b=1
7. (1997年)设g(x)=2-x,x≤0,
x 2,x>0,f(x)=x2,x<0,
-x,x≥0,则g[f(x)]=().
(A) 2 x2,x<0,
2-x,x≥0
(B)
2-x2,x<0,
2 x,x≥0
(C)
2-x2,x<0,
2-x,x≥0
(D)
2 x2,x<0,
2 x,x≥0
8. (1998年)设数列{xn}与{yn}满足limn→∞xnyn=0,则下列断言正确的是().
(A) 若{xn}发散,则{yn}必发散(B) 若{xn}无界,则{yn}必有界(C) 若{xn}有界,则{yn}必为无穷小(D) 若1xn为无穷小,则{yn}必为无穷小
9. (1999年)“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n≥N时,恒有|xn-a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的().
(A) 充分条件但非必要条件(B) 必要条件但非充分条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分条件又非必要条件
10. (2000年)若limx→0sin6x xf(x)x3=0,则limx→06 f(x)x2为().(A) 0(B) 6(C) 36(D) ∞
11. (2000年)设函数f(x)=xa ebx在(-∞, ∞)内连续,且limx→-∞f(x)=0,则常数a,b满足().
(A) a<0,b<0(B) a>0,b>0(C) a≤0,b>0(D) a≥0,b<0
12. (2001年)设f(x)=1,|x|≤1,
0,|x|>1,则f{f[f(x)]}等于().(A) 0(B) 1(C)
1,|x|≤1,
0,|x|>1
(D)
0,|x|≤1,
1,|x|>1
13. (2001年)设当x→0时,(1-cosx)ln(1 x2)是比xsinxn高阶的无穷小,而xsinxn是比(ex2-1)高阶的无穷小,则正整数n等于().(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4
14. (2003年)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且limn→∞an=0,limn→∞bn=1,limn→∞cn=∞,则必有().(A) an15. (2005年)设函数f(x)=1exx-1-1,则().(A) x=0,x=1都是f(x)的类间断点(B) x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点(C) x=0是f(x)的类间断点;x=1是f(x)的第二类间断点(D) x=0是f(x)的第二类间断点;x=1是f(x)的类间断点
16. (2007年)当x→0 时,与x等价的无穷小量是().(A) 1-ex(B) ln1 x1-x(C) 1 x-1(D) 1-cosx17. (2007年)函数f(x)=(e1x e)tanxx(e1x-e)在[-π,π]上的类间断点是x=().(A) 0(B) 1(C) -π2(D) π2
18. (2008年)设函数f(x)=ln|x||x-1|sinx,则f(x)有().(A) 1个可去间断点,1个跳跃间断点(B) 1个可去间断点,1个无穷间断点(C) 2个跳跃间断点(D) 2个无穷间断点19. (2008年)设函数f(x)在(-∞, ∞)内单调有界,{xn}为数列,下列命题正确的是().(A) 若{xn}收敛,则{f(xn)}收敛(B) 若{xn}单调,则{f(xn)}收敛(C) 若{f(xn)}收敛,则{xn}收敛(D) 若{f(xn)}单调,则{xn}收敛20. (2009年)当x→0时,f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小,则().(A) a=1,b=-16(B) a=1,b=16(C) a=-1,b=-16(D) a=-1,b=16
21. (2009年)函数f(x)=x-x3sinπx的可去间断点的个数为().(A) 1(B) 2(C) 3(D) 无穷多个
22. (2010年)极限limx→∞x2(x-a)(x b)x=().(A) 1(B) e(C) ea-b(C) eb-a
23. (2010年)函数f(x)=x2-xx2-11 1×2的无穷间断点的个数为().(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3
24. (2011年)已知当x→0时,f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小,则().(A) k=1,c=4(B) k=1,c=-4(C) k=3,c=4(D) k=3,c=-4
25. (2012年)曲线y=x2 xx2-1渐近线的条数为().(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3
26. (2013年)已知极限limx→0x-arctanxxk=c,其中c,k为常数,则().(A) k=2,c=-12(B) k=2,c=12(C) k=3,c=-13(D) k=3,c=13
27. (2013年)设cosx-1=xsinα(x),其中|α(x)|28. (2014年)当x→0 时,若lnα(1 2x),(1-cosx)1α均是比x高阶的无穷小,则α的取值范围是().(A) (2, ∞)(B) (1,2)(C) 12,1(D) 0,1229. (2015年)函数f(x)=limt→01 sintxx2t在(-∞, ∞)内().(A) 连续(B) 有可去间断点(C) 有跳跃间断点(D) 有无穷间断点30. (2016年)设α1=x(cosx-1),α2=xln(1 3x),α3=3x 1-1.当x→0 时,以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是().(A) α1,α2,α3(B) α2,α3,α1(C) α2,α1,α3(D) α3,α2,α131. (2017年)若函数f(x)=1-cosxax,x>0,b,x≤0,在x=0处连续,则().(A) ab=12(B) ab=-12(C) ab=0(D) ab=232. (2017年)设数列{xn}收敛,则().(A) 当limn→∞sinxn=0时,limn→∞xn=0(B) 当limn→∞(xn |xn|)=0时,limn→∞xn=0(C) 当limn→∞(xn x2n)=0时,limn→∞xn=0(D) 当limn→∞(xn sinxn)=0时,limn→∞xn=0
二、填空题33. (1987年)limn→∞n-2n 1n=.
34. (1988年)limx→0 1xtanx=.
35. (1995年)limn→∞1n2 n 1 2n2 n 2 … nn2 n n=.
36. (1996年)设limx→∞x 2ax-ax=8,则a=.
37. (1996年)limx→∞xsinln1 3x-sinln1 1x=.
38. (1997年)limx→03sinx x2cos1x(1 cosx)ln(1 x)=.
39. (1997年)已知f(x)=(cosx)1×2,x≠0,
a,x=0在x=0处连续,则a=.
40. (1999年)limx→01×2-1xtanx=.
41. (2001年)limx→13-x-1 xx2 x-2=.
42. (2002年)设函数f(x)=1-etanxarcsinx2,x>0,
ae2x,x≤0在x=0处连续,则a=.
43. (2003年)limx→0(cosx)1ln(1 x2)=.
44. (2004年)设f(x)=limn→∞(n-1)xnx2 1,则f(x)的间断点为x=.
45. (2007年)limx→0arctanx-sinxx3=.
46. (2008年)已知函数f(x)连续,且limx→01-cos[xf(x)](ex2-1)f(x)=1,则f(0)=.
47. (2011年)limx→01 2x21x=.
48. (2012年)limn→∞n11 n2 122 n2 … 1n2 n2=.
49. (2013年)limx→02-ln(1 x)x1x=.
50. (2015年)limx→0ln(cosx)x2=.
51. (2016年)极限limn→∞1n2sin1n 2sin2n … nsinnn=.
三、 解答题
52. (1993年)求limx→-∞x(x2 100 x).
53. (1994年)计算limn→∞tannπ4 2n.
54. (1995年)求limx→0 1-cosxx(1-cosx).
55. (1996年)设x1=10,xn 1=6 xn(n=1,2,…),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.
56. (1997年)求极限limx→-∞4×2 x-1 x 1×2 sinx.
57. (1998年)求limn→∞sinπnn 1 sin2πnn 12 … sinπn 1n.
58. (1998年)求函数f(x)=(1 x)xtanx-π4在区间(0,2π)内的间断点,并判断其类型.
59. (1999年)求limx→01 tanx-1 sinxxln(1 x)-x2.
60. (2000年)求limx→02 e1x1 e4x sinx|x|.
61. (2001年)求极限limt→xsintsinxxsint-sinx,记此极限为f(x),求函数f(x)的间断点并指出其类型.
62. (2002年)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0,f′(0)≠0,f″(0)≠0.证明: 存在的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当h→0时,λ1f(h) λ2f(2h) λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小.
63. (2002年)设064. (2003年)设函数f(x)=ln(1 ax3)x-arcsinx,x<0,6,x=0,
eax x2-ax-1xsinx4,x>0,
问:a为何值时,f(x)在x=0处连续;a为何值时, x=0是f(x)的可去间断点?
65. (2004年)求极限limx→01×3
2 cosx3x-1.
66. (2006年)设数列{xn}满足0
(1) 证明limn→∞xn存在,并求该极限;
(2) 计算limn→∞xn 1xn1x2n.
67. (2008年)求极限limx→0[sinx-sin(sinx)]sinxx4.68. (2009年)求极限limx→0(1-cosx)[x-ln(1 tanx)]sin4x.
69. (2011年)求极限limx→0ln(1 x)x1ex-1.
70. (2012年)已知函数f(x)=1 xsinx-1x,记a=limx→0f(x).(1) 求a的值;(2) 若当x→0时,f(x)-a与xk是同阶无穷小,求常数k的值.71. (2013年)当x→0时,1-cosx·cos2x·cos3x与axn为等价无穷小,求n与a的值.
72. (2015年)设函数f(x)=x aln(1 x) bxsinx,g(x)=kx3.若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小,求a,b,k的值.73. (2016年)求极限limx→0(cos2x 2xsinx)1×4.
第二章导数与微分中值定理
一、 选择题
1. (1988年)若函数y=f(x)有f′(x0)=12,则当Δx→0时,该函数在x=x0处的微分dy是().
(A) 与Δx等价的无穷小(B) 与Δx同阶的无穷小(C) 比Δx低阶的无穷小(D) 比Δx高阶的无穷小
2. (1989年)设f(x)在x=a的某个邻域内有定义,则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是().
(A) limh→ ∞hfa 1h-f(a)存在(B) limh→0f(a 2h)-f(a h)h存在
(C) limh→0f(a h)-f(a-h)2h存在(D) limh→0f(a)-f(a-h)h存在
3. (1990年)设F(x)=f(x)x,x≠0,f(0),x=0,其中f(x)在x=0处可导,且f′(0)≠0,f(0)=0,则x=0是F(x)的().(A) 连续点(B) 类间断点(C) 第二类间断点(D) 连续点或间断点不能由此确定
4. (1990年)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f′(x)=[f(x)]2.则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是().
(A) n![f(x)]n 1(B) n[f(x)]n 1(C) [f(x)]2n(D) n![f(x)]2n
5. (1992年)设f(x)=3×3 x2|x|,则使f(n)(0)存在的阶数n为().
(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3
6. (1993年)设f(x)=|x2-1|x-1,x≠1,
2,x=1,则在点x=1处f(x)().
(A) 不连续(B) 连续但不可导(C) 可导且导数不连续(D) 可导且导数连续
7. (1993年)若f(x)=-f(-x),在(0, ∞)内f′(x)>0,f″(x)>0,则f(x)在(-∞,0)内().(A) f′(x)<0,f″(x)<0(B) f′(x)<0,f″(x)>0(C) f′(x)>0,f″(x)<0(D) f′(x)>0,f″(x)>0
8. (1994年)设f(x)=23×3,x≤1,
x2,x>1,则f(x)在x=1处的().
(A) 左、右导数都存在(B) 左导数存在,但右导数不存在(C) 左导数不存在,但右导数存在(D) 左、右导数都不存在
9. (1995年)设f(x)可导,F(x)=f(x)(1 |sinx|),则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的().
(A) 充分必要条件(B) 充分条件但非必要条件(C) 必要条件但非充分条件(D) 既非充分条件又非必要条件
10. (1996年)设f(x)处处可导,则().
(A) 当limx→-∞f(x)=-∞时,必有limx→-∞f′(x)=-∞(B) 当limx→-∞f′(x)=-∞时,必有limx→-∞f(x)=-∞(C) 当limx→ ∞f(x)= ∞时,必有limx→ ∞f′(x)= ∞(D) 当limx→ ∞f′(x)= ∞时,必有limx→ ∞f(x)= ∞
11. (1996年)设函数f(x)在区间(-δ,δ)内有定义,若当x∈(-δ,δ)时,恒有|f(x)|≤x2,则x=0必是f(x)的().
(A) 间断点(B) 连续而不可导点(C) 可导点,且f′(0)=0(D) 可导点,且f′(0)≠0
12. (1998年)函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可导点的个数是().
(A) 3(B) 2(C) 1(D) 0
13. (1999年)设f(x)=1-cosxx,x>0,
x2g(x),x≤0,其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处().
(A) 极限不存在(B) 极限存在,但不连续(C) 连续,但不可导(D) 可导
14. (2001年)设f(0)=0,则f(x)在点x=0可导的充分条件为().
(A) limh→01h2f(1-cosh)存在(B) limh→01hf(1-eh)存在(C) limh→01h2f(h-sinh)存在(D) limh→01h[f(2h)-f(h)]存在
15. (2002年)设函数f(u)可导,y=f(x2)当自变量x在x=-1处取得增量Δx=-0.1时,相应的函数增量Δy的线性主部为0.1,则f′(1)=().
(A) -1(B) 0.1(C) 1(D) 0.5
16. (2002年)设函数y=f(x)在(0, ∞)内有界且可导,则().
(A) 当limx→ ∞f(x)=0时,必有limx→ ∞f′(x)=0(B) 当limx→ ∞f′(x)存在时,必有limx→ ∞f′(x)=0(C) 当limx→0 f(x)=0时,必有limx→0 f′(x)=0(D) 当limx→0 f′(x)存在时,必有limx→0 f′(x)=0
17. (2005年)设函数f(x)=limn→∞n1 |x|3n,则f(x)在(-∞, ∞)内().
(A) 处处可导(B) 恰有一个不可导点(C) 恰有两个不可导点(D) 至少有三个不可导点
18. (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数,且f′(x)>0,f″(x)>0,Δx为自变量x在点x0处的增量,Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若Δx>0,则().
(A) 019. (2007年)设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是().
(A) 若limx→0f(x)x存在,则f(0)=0(B) 若limx→0f(x) f(-x)x存在,则f(0)=0(C) 若limx→0f(x)x存在,则f′(0)存在(D) 若limx→0f(x)-f(-x)x存在,则f′(0)存在
20. (2008年)设函数f(x)=x2(x-1)(x-2),则f′(x)的零点个数为().
(A) 0(B) 1(C) 2(D) 321. (2011年)已知f(x)在x=0处可导,且f(0)=0,则limx→0x2f(x)-2f(x3)x3=().
(A) -2f′(0)(B) -f′(0)(C) f′(0)(D) 0
22. (2012年)设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2)…(enx-n),其中n为正整数,则f′(0)=().
(A) (-1)n-1(n-1)!(B) (-1)n(n-1)!(C) (-1)n-1n!(D) (-1)nn!
23. (2013年)设函数y=f(x)由方程cos(xy) lny-x=1确定,则limn→∞nf2n-1=().(A) 2(B) 1(C) -1(D) -224. (2014年)设函数f(x)=arctanx,若f(x)=xf′(ξ),则limx→0ξ2×2=().(A) 1(B) 23(C) 12(D) 13
25. (2016年)已知函数f(x)=x,x≤0,
1n,1n 1<x≤1n,n=1,2,…,则().
(A) x=0是f(x)的类间断点(B) x=0是f(x)的第二类间断点(C) f(x)在x=0处连续但不可导(D) f(x)在x=0处可导
二、 填空题
26. (1997年)设y=ln1-x1 x2,则y″x=0=.27. (1999年)设函数y=y(x)由方程ln(x2 y)=x3y sinx确定,则dydxx=0=.28. (2000年)设函数y=y(x)由方程2xy=x y所确定,则dyx=0=.29. (2002年)已知函数y=y(x)由方程ey 6xy x2-1=0确定,则y″(0)=.30. (2003年)y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是.31. (2005年)设y=(1 sinx)x,则dyx=π=.32. (2006年)设函数y=y(x)由方程y=1-xey确定,则dydxx=0=.33. (2007年)设函数y=12x 3,则y(n)(0)=.34. (2009年)设y=y(x)是由方程xy ey=x 1确定的隐函数,则d2ydx2x=0=.
35. (2010年)函数y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=.36. (2012年)设y=y(x)是由方程x2-y 1=ey所确定的隐函数,则d2ydx2x=0=.37. (2013年)设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)确定,则limn→∞nf1n-1=.38. (2013年)设x=sint,y=tsint cost(t为参数),则d2ydx2t=π4=.
39. (2015年)函数f(x)=x22x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=.40. (2015年)设x=arctant,y=3t t3,则d2ydx2t=1=.41. (2016年)设函数f(x)=arctanx-x1 ax2,且f(0)=1,则a=.42. (2017年)已知函数f(x)=11 x2,则f(0)=.43. (2017年)设函数y=y(x)由参数方程x=t et,y=sint确定,则d2ydx2t=0=.
三、 解答题
44. (1994年)设y=f(x y),其中f具有二阶导数,且f′≠1,求d2ydx2.45. (1995年)设函数y=y(x)由方程xef(y)=ey确定,其中f具有二阶导数,且f′≠1,求d2ydx2.
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