描述
开 本: 32开纸 张: 胶版纸包 装: 平装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787544798655
热爱数学的人和惧怕数学的人也许是这个世界上☆泾渭分明的两群人了——但相比于此，彻底没有接触过数学的人可能在这个世界上还不存在，从古至今皆然。这本小书用流畅简明的语言梳理了地域、文化、性别等不同角度下的数学历史，出乎意料的好读，一定可以让每个因数学而留下过笑或泪的人感动于这门学科背后凝结了各民族智慧的时间珠链，它写满了无数先人探索这个世界所留下的思索与追寻。
数学是一种可以以多种方式实践和理解的基本人类活动；事实上，数学思想本身并不是固定的，而是在不同的时代和文化中有所适应和改变。在本书中，杰奎琳·斯特多尔从著名的数学家怀尔斯破解费马大定理这一案例出发，列举了不同主题下多个深入浅出的例子来梳理数学这门学科的历史，探讨了从遥远的过去到现在，人类的数学研究在历史和文化上的丰富多样性。作者将内容按主题进行排列，以展示人们学习、使用以及传递数学的不同背景，还选取包含古代中国、中世纪伊斯兰世界和19世纪英国在内不同时期的案例用于研究，将数千年来数学的发展浓缩成为一本意趣盎然的小书。
序 言
致 谢
导 言
第一章 数学：传奇与历史
第二章 数学是什么及数学家是什么人？
第三章 数学思想是如何传播的？
第四章 学习数学
第五章 靠数学谋生
第六章 进一步了解数学
第七章 不断发展的数学史
索 引
英文原文
序 言
田 淼
非常荣幸有机会向读者介绍杰奎琳· 斯特多尔的这本《数学简史》。以一百余页的篇幅完成对数学史的总体介绍，几乎是一个不可能完成的工作，然而，此书不仅做到了，还令人耳目一新，且展现了数学史研究的新视角，给人以新的启迪。
此书的结构与通常所见的按时序或按领域分支勾勒数学发展的通史性著作完全不同，而是选取了“什么是数学与数学家”“数学思想的传播”“数学的学习”“数学家如何谋生”等问题进行综合性的介绍与论述，并就其中一些至关重要的案例做了阐释。
本书的第一章以广受注目的费马大定理的研究历史为切入点，作者通过对相关数学家的分析，对三类数学史研究展现的图景提出质疑。“象牙塔”版本的数学论述方式忽略了数学家所处的社会与环境；只关注相关重要成果的“垫脚石”类的研究方式展现了不同阶段的研究高峰，但重要成果之间的工作和努力则无法体现；“精英”版本的历史图景则无视了这些伟大人物周边的人的工作。在此后的章节中，斯特多尔给出了与这些传统研究模式不同的视角。她将关注点更多地放在数学知识和数学家在不同地域和不同时间段的具体构成及其存在的方式，数学知识和思想如何实现传播以及数学史研究中如何理解、翻译及阐释历史文献等问题上。在此研究中，她对中国及其他非欧洲地区的数学内容和研究方式做了较为细致的探讨，以展现数学本身的多样性、地域性和时代性特征。
作为《英国数学史公报》的编辑及《牛津数学史指南》的主编之一，斯特多尔的研究视野宽广，并与众多数学史工作者有着密切的联系，这无疑是她能够完成这一著作的基础。《数学简史》自出版以来便得到了数学史界的广泛好评，杰奎琳· 斯特多尔因此书于2013年获得英国数学史学会的诺伊曼奖（以英国数学家彼得· 诺伊曼命名），其获奖评语评价该书“具有启发性，写作上乘，且非常适合大众读者，同时也包含很多新的及有洞见的评论”。
对数学专业学生来说，此书有助于理解数学的内容及其所从事的行业在不同地区和不同发展阶段的特征，以加深对自己领域的历史性认识。由于书中仅有很少的数学公式，它对于非数学专业的读者也具有很强的亲和性，此书并非数学发展的线性描述，而是就与数学相关的一些重要问题进行深入探讨，书中包含丰富的历史知识，并对以往数学史研究所忽视的公众对数学的理解与数学发展的关系等有着妙趣横生的描述，读来引人入胜。
值得强调的是，对于数学史及科技史研究者，此书提供了新的视角，其中对于数学多样性的描述及如何在社会、文化与环境数学简史中认识和理解数学的发展和数学家的身份特征等问题的论述，具有方法论上的启发性。此外，《数学简史》中，作者并没有为她提出的问题给出标准性答案，可以说，书中的很多问题都是开放性的，读者可以进行自己的思考并给出各自的答案。与数学一样，数学史研究也具有很强的多样性，正是由于其多样性，数学史及科学史才能够长盛不衰且异彩纷呈。为此，我恳请我的同行们在阅读过程中，暂时忽略诸如《九章算术》的成书年代和过程等学术界仍有争议的问题，而将注意力更多地集中于其中蕴含的深入思考与研究方法。
鲜活且易懂。
—— 《数学公报》期刊，剑桥大学出版社
以一百余页的篇幅完成对数学史的总体介绍，几乎是一个不可能完成的工作，然而，此书不仅做到了，还令人耳目一新，且展现了数学史研究的新视角，给人以新的启迪。
——田淼，中国科学院自然科学史研究所研究员、世界科技史研究室主任
第一章
数学：传奇与历史
古老而又难以解决的数学问题成为新闻并不常见。不过在1993年，英国、法国及美国的报纸都报道说，一位四十岁的数学家安德鲁·怀尔斯在剑桥艾萨克·牛顿研究所的一次演讲中展示了对三百五十年间悬而未决的费马大定理的证明。事实证明，这一声明为时尚早：怀尔斯两百页的证明中有一个错误，得花些时间来修正，而两年之后这一证明便严密了。怀尔斯用了九年时间来研究该定理。当时，这个故事成了一本书与一部电视电影的主题，怀尔斯在其中谈到自己最后的突破时热泪盈眶。
数学的这段历史之所以如此吸引公众的想象力，一个原因无疑是怀尔斯本人的形象。他在剑桥这次演讲之前，几乎与世隔绝地工作了七年，一心一意地致力于定理背后深层与复杂的数学原理。然后便是这样一个故事：一位孤独的英雄克服万难，为的是实现一个难以捉摸的目标。而那些在西方文化的神话故事中成长起来的人对此情节已经很熟悉。故事的背后甚至还有一位公主：只有怀尔斯的妻子知道丈夫的终极目标，并且成为第一个收到完整证明的人。怀尔斯把它当作生日礼物送给了妻子。
第二个原因是定理本身很容易陈述，尽管全球范围内也许不超过二十个人能完全理解费马大定理的最终证明。怀尔斯十岁时就已经对它产生了兴趣，甚至那些早把大部分学过的数学内容忘掉的人，也能理解定理在说些什么；我们稍后会来探讨这条定理。
不过在此之前，请注意在本章第一句中已经提及的三个人：怀尔斯、牛顿，还有费马。这在数学领域是很典型的：数学家通常会用他们中的一位来命名定理、猜想或体系。这是因为大多数数学家敏锐地意识到，他们总是以前辈或同事们所做的工作作为前行的基础。换句话说，数学生来便是一门与历史有关联的学科，其中前人的心血很少被忽视。为了开始思考数学史学家所提出的问题，不妨让我们将费马大定理从1993年的剑桥演讲厅回溯到其更遥远的起点。
费马与他的定理
皮埃尔·德·费马生于1601年，在法国南部度过了他的一生。他是一位受过训练的律师，曾担任图卢兹议会的顾问，那是一个所辖范围很大的司法机构。费马利用所剩无几的业余时间从事数学研究，并且远离巴黎的知识分子活动圈，几乎完全是独自一人在做那些工作。17世纪30年代，他通过巴黎最小兄弟会的修士马兰·梅森与更远地方的数学家们进行交流。但在17世纪40年代，随着身上政治压力的增加，他抽身而出，再次独自进行数学研究。费马取得了17世纪早期数学领域内的一些最深刻的成果，不过对于其中的大部分，他只乐意用吊人胃口的方式提及一点点。他一次又一次地向他的专题通讯员保证，如果有足够的闲暇时间，他会补充细节；可这种闲暇从来也没出现过。他有时会简单地陈述自己的发现，或者会发出挑战，直白地给出他正思考着的那些想法，却不透露他那些好不容易得来的结果。
他对大定理的第一次暗示便出现在这样的一次挑战中。1657年，他把信件寄给了英国数学家约翰·沃利斯和威廉·布龙克尔。他们没看出他在说些什么，并且认为若做出回应便失了身份而对此不予理会。费马过世后，其子塞缪尔在编辑他的一些笔记和论文时，该定理的完整陈述才为人所知。费马将它记在了他手上丢番图所著的《算术》一书的空白处。我们在适时回顾书中哪些内容启发了费马之前，需要简要地介绍一下费马大定理本身。
回想起上学时所学的数学，几乎每个人都会提到的便是毕达哥拉斯定理。该定理指出，直角三角形最长一边（即斜边）的平方，等于两条短边（即两腰）的平方和。大多数人可能还记得，如果两条短边分别为3 及4 个单位长度，那么长边将为5 个单位长度，因为32 42 = 52。这种三角形被称作“3 — 4 — 5 三角形”。有了它，人们借助一根绳子就可方便地在地上画出直角； 而教科书编著者也会用到这种三角形，他们想设置无须借助计算器便可解答的问题。
由三个整数构成而满足相同关系的集合还有许多，例如很容易验算52 122 = 132，再如82 152 = 172。这样的集合有时记作（3, 4, 5）、（5, 12, 13），等等。它们被称为“毕达哥拉斯三元组”，而且有无数个这样的三元组。就像数学家喜欢做的那样， 现在假定我们稍微改变一下条件，看看会发生什么。如果不是取每个数的平方，而是取它们的立方，又会怎么样？我们能否找到使a3 b3 = c3成立的三元组（a, b, c）呢？或者我们能否更进一步来找寻一个三元组，使得a7 b7 = c7甚至a101 b101 = c101成立？费马得出的结论是尝试毫无意义：对于任何超过平方的幂运算，我们找不到使等式成立的三元组。不过，和往常一样，他把处理细节的工作留给了其他人。这一次，他的借口不是时间问题，而是空间不够：他说找到了一个绝妙的证明，只是页边的空白处太小，写不下了。
丢番图的《算术》一书有个1621 年的版本，是克洛德·加斯帕尔·巴谢所译。费马就在这样一个译本第八十五页的空白处记下了上述问题。自从1462 年在威尼斯重新发现了一份希腊文手稿以来，《算术》一书就一直吸引着欧洲数学家。对于丢番图本人，人们过去一无所知，而现在所了解的就更少了。这份手稿称他为“亚历山大的丢番图”，因此我们可以假设他在埃及北部那个讲希腊语的城市生活、工作，度过了人生中一段重要的时光。我们并不知道，他是埃及本地人还是地中海世界其他地区的移民。任何对他生活年代的估计不过是猜测。丢番图引用过许普西科勒斯（约公元前150 年）的一条定义，而赛翁（约公元350 年）则引用过丢番图的一条结论。这就将他的生平限制在五百年的跨度之内，但更小的范围我们就没法知道了。
与其他希腊数学领域的作者留下的几何文本相比，这本《算术》极不寻常。它的主题不是几何，也不是日常计账的算术。它其实是一组复杂的问题，要求整数或分数必须满足特定条件。例如，第二册的第八个问题要求读者“将一个正方形分为两个正 方形”。出于眼下的目的，我们可以将上述问题转变为更现代的表述方式，从而能看出它与毕达哥拉斯三元组有关，即一个给定 的正方形（如前所示，记c2）可以分成或分解为两个较小的正方形（a2 b2）。当最大的那个正方形等于16的时候（这种情况下答案涉及分数），丢番图展示了一种聪明的方式来求解；之后 他就转而去研究其他问题了。
然而，费马对此犹豫了，而且肯定问过自己这样显而易见的问题：这个方法可以扩展吗？人们能不能“将一个立方体分成两个”呢？这正是他在1657 年向沃利斯和布龙克尔提出的问题（费马后来向他们通报说那是不可能的，随后沃利斯愤怒地反驳说这样的“负面”问题是荒谬的）。费马在页边空白处的提议实际上不仅适用于立方运算，也适用于任何更高次幂，这远远超出了丢番图所要求解的范围。
以上叙述中已经反复出现了另一个名字，所以让我们现在沿着历史的脚步从丢番图回溯到毕达哥拉斯，后者据信于公元前500年前后居住在希腊的萨摩斯岛上。尽管这一年代很早，但许多读者可能会觉得对毕达哥拉斯比对丢番图更加熟悉：作为数学史学家，我最常被问到的问题确实是“你会一路回溯到毕达哥拉斯吗？”毕达哥拉斯定理为人所知的确已有很长时间，令人失望的却是没有证据将其和毕达哥拉斯联系在一起。实际上，几乎没有证据将任何东西同毕达哥拉斯联系起来。若说丢番图是个身世神秘的人物，那么毕达哥拉斯便被神话与传说所笼罩。我们没有出自毕达哥拉斯或其直接追随者之手的文本。关于他的生平，有幸保留下来的最早记载出自公3世纪，也就是在他生活年代的大约八百年后，由作者们出于各自的哲学企图发掘而出。据说毕达哥拉斯在巴比伦或埃及学过几何；而这段出自推测的旅程，或许不过是那些作者虚构的，用来巩固他的地位与权威。至于他的追随者应该做过什么或者据信做了什么，这类故事可能有一定事实上的基础，但人们不可能确定其中的任何一个。总之，毕达哥拉斯简直成了一个传奇人物。很多事都归在他的名下，可事实上人们对他并不了解。
毕达哥拉斯、丢番图、费马与怀尔斯，这四人的生活年代跨越了两千年的数学史。我们无疑可以追溯贯穿于每个故事中相 似的数学思想，即使它们之间相隔了几个世纪。然后，我们就 “完成”费马大定理由始至终的历史了吗？回答是“并没有”，而且原因还不少。第一个原因在于历史学家的一项任务便是将虚构从事实中剥离出来，并且让神话与历史脱钩。这并不是要 低估小说或神话的价值：二者都体现了社会用来定义自身并理 解自身的故事，而这些故事可能具有深刻而持久的价值。但是， 历史学家一定不能让这些故事掩盖可能指向其他叙述的证据。在毕达哥拉斯这个例子中，比较容易看出貌似强有力的叙述是 如何以及为什么会从最脆弱的话题中被编造出来；而就安德鲁·怀尔斯的例子来说，我们相信我们掌握了眼前的事实，也就 更不易看出其中的问题。几乎所有故事的真相总是比我们最初 想象的或是比作者有时想让我们相信的更为复杂，关于数学与 数学家的故事也不例外。本章余下的部分便来探讨数学史上一些常见的神话和陷阱。为了方便起见，我将它们称作“‘象牙塔’版本的历史”、“‘垫脚石’版本的历史”以及“‘精英’版本的历 史”。本书其余章节会接着给出另一些案例。
“象牙塔”版本的历史
怀尔斯的故事最显著的特征之一就是这样一个事实，即他自己故意与世隔绝长达七年之久，这样他就可以在不受打扰或干涉的情况下研究如何证明费马大定理。费马显然也是个孤 独的人。如果没有别的原因，那就是地理上的距离将他和那些或许已经能够理解并欣赏他工作的人隔开。我们已经谈到了丢番图与毕达哥拉斯，却也没有提及他们同时代的人。难道这四位真是开拓新途径的孤独天才吗？这对数学研究来说是恰当的或最优的方式吗？让我们回到“毕达哥拉斯”这个主题接着谈下去。
与毕达哥拉斯相关的故事一直声称他在身边建立或吸引了一个团体或兄弟会。他们分享了某些宗教与哲学观念，也许还分享了一些数学上的探索。不幸的是，那些故事还声称兄弟会必须严格保密，这自然给人们对其活动进行无休止的猜测留下了空间。但即便这样的故事中只有一小部分是事实，毕达哥拉斯似乎也有足够的魅力吸引追随者。他的名字流传至今。这一事实的确表明他一生都受到尊重与敬仰，而且也表明他不是个隐士。
我们对确定丢番图的活动范围更有把握，他大概能在亚历山大享受与其他学者在一起的时光。几乎也可以肯定，他会有机会在庙宇或私人藏书中接触从地中海世界其他地区收集而来的图书。《算术》中的问题有可能是他自己的发现；但也有可能是他从比如书面文本或口述等其他各种来源汇编而成的一个单本合集。这本书重复出现的主旨之一，是数学经口口相传由一个人传给另一人，并如此反复。像任何具有数学创造力的人一样，几乎可以肯定丢番图同某位老师或自己的学生讨论过他提出的问题和相应解答。因此，我们不应把他想成一个私下著书并沉默寡言的人，而应将他看作一位重视学习与知识交流的城市公民。
费马即便受限于图卢兹的区域范围以及全职政务的苛刻要求，也并不像书中第一次出现时那样孤独。他早年在波尔多学习时有些朋友，其中一位叫艾蒂安·德·埃斯帕涅，此人的父亲是法国律师、数学家弗朗索瓦·韦达的朋友。韦达的作品原本并不多见，但由于这层关系，费马就有机会读到了。这注定会对他数学生涯的发展产生深远的影响。费马的另一位朋友是担任图卢兹顾问的同僚，叫皮埃尔·德·卡卡维。1636年，他移居巴黎时就随身带着关于费马及其发现的消息。费马经由卡卡维与马兰·梅森相熟；通过后者，他又与当时或许是巴黎顶尖数学家的罗贝瓦尔以及旅居荷兰的笛卡尔有了通信联系。后来，他同鲁昂的布莱士·帕斯卡及牛津的约翰·沃利斯交流了自己研究丢番图时的一些发现。因此，即便是远离重要研究中心的费马， 也被连进了遍及欧洲的书信网络，这是一个虚拟的学者社区，后来被称为“文字共和国”。
说到怀尔斯，就更容易看到“孤独天才”故事中的裂痕：怀尔斯在牛津大学与剑桥大学接受教育，后来在哈佛、波恩、普林斯顿及巴黎等地从事数学研究，在所有这些地方，他都是蓬勃兴盛的数学社区中的一员。最终使他对费马大定理产生兴趣的数学线索源自他与同在普林斯顿共事的一位数学家偶然的谈话； 五年后，他需要新突破时便参加了一次国际会议，来寻求该主题相关的最新思想；在证明的一个重要方面需要技术支持时他把秘密透露给了同事尼克·卡茨，并且把尚未解决的问题拿到了研究生讲座课中进行讨论，尽管最后除了卡茨外所有听众都走了；他在英国剑桥举行了三场讲座来公布整个证明，而在此之前的两周，他请同事巴里·梅热检查证明；最终的证明由另外六人 检查；一个漏洞被发现后，怀尔斯邀请他以前的一位学生理查 德·泰勒帮他一起进行修正。此外，在寻求证明定理的年月中， 8 怀尔斯从未停止教学活动或缺席院系研讨会。简而言之，尽管他一人独处了那么长时间，但也融入了一个允许他如此行事的 社区，并在他需要时提供帮助。
怀尔斯独处的岁月吸引了人们的想象力，不是因为这对一位在职的数学家来说是正常的，而正因为这不寻常。数学从根本上来说必然是各个层次的社交活动。世界上每个数学院系都设有公共空间，无论是凹室还是公共休息室，而且总配有某类书写板，以便数学家们在喝完茶或咖啡之后聚在一起讨论问题。语言或历史学专业的学生很少合作撰写论文，也不会被鼓励这样做；但数学专业的学生经常富有成效地合作，而且还互教互学。尽管有现代技术的各种进步，但数学主要并不是从书本上学习，而仍然是通过讲座、研讨会及课堂来跟别人学习。
“垫脚石”版本的历史
在以上所勾勒出的费马大定理的故事梗概中，毕达哥拉斯、丢番图、费马及怀尔斯不仅在他们自己的生活中以孤独的形象出现，而且相互之间没有关联，就像一块块垫脚石立在一条原本就不起眼的河流上一样。如果说历史的象牙塔版本将数学家同他们的社团及社区分隔开来，那么垫脚石版本便将这些人与他们的过去分隔开来。由于“过去”被认为是历史的主题，因此以这种方式忽略其中很大一部分似乎很奇怪，但数量惊人的普通数学史却又是以垫脚石的形式呈现出来。
接着，让我们更仔细地重新审视我们的故事以及其中的历史空白。正如毕达哥拉斯和丢番图的人生轨迹鲜为人知一样，人们对他们之间是否有所交往也不大清楚。丢番图可能从未听说过毕达哥拉斯。然而，几乎可以肯定他会接触到“毕达哥拉斯定理”，不过并非通过毕达哥拉斯的任何文本，而是从生活在公元前250 年前后的欧几里得的著作中了解得知。除了这个非常粗略的年份以外，我们对欧几里得的了解并不比对几个世纪后的丢番图更多；但欧氏的主要著作《几何原本》流传了下来，成为有史以来使用时间最长的教科书，并且进入20 世纪之后仍在学校的几何教学中使用。《几何原本》是欧几里得时代关于几何的一份综合汇编，其中的定理按照合理的逻辑顺序排列；而第一卷倒数第二个定理便是“毕达哥拉斯定理”，并借助几何构图被很好地证明。人们可以合理地假设亚历山大的丢番图有机会看到《几何原本》，并且有可能是“毕达哥拉斯定理”促使他对勾股三元组进行思考。不过，他的灵感同样有可能是来自我们已经无法了解清楚的其他来源。
即便是凭想象，丢番图与费马之间的最初几个世纪的情况也比丢番图之前的年代更难搞清楚。我们知道丢番图的《算术》最初成书时有十三卷，但只有前六卷以希腊语的形式保存了下来。至于方式及原因我们却不得而知。（1968年，在伊朗发现了一份阿拉伯语手稿，自名为第四卷至第七卷的译本。不过就该译本对原文呈现的准确性，学者们还有争议。）幸运的是，拜占庭（后来的君士坦丁堡、现今的伊斯坦布尔）为希腊语世界保存了那六卷，而其抄本最后也被带到了西欧。正如第六章将进一步讨论的那样，1462 年，一位名叫雷格蒙塔努斯的德意志学者在 威尼斯见过其中一卷，而且他认为书中包含了欧洲人称之为“代 数”的古怪主题的起源。一个世纪后，意大利工程师、代数学家 拉斐尔·邦贝利在梵蒂冈研究了《算术》的手稿，接着他把写作自己的代数书的工作停了下来，转而去整理丢番图的问题。第一个印刷本1575年在巴塞尔出版。这是一个拉丁文译本，由威廉·霍尔茨曼翻译、编辑。霍尔茨曼是一位人文主义学者， 他对作品的描述是“无与伦比，并包含着算术真正的完美”。丢番图的问题持续引发那些与之接触的人的兴趣。1621年，克洛德·加斯帕尔·巴谢·德·梅齐里亚在巴黎完成了新版的拉丁文《算术》。费马所拥有并在上面做记录的，正是这个版本。
填补费马与怀尔斯之间的历史空白倒不是太困难。塞缪尔·费马于1670 年公开的费马大定理，在17 世纪似乎并没有吸引什么人来认真地尝试证明。但在18 世纪，它引起了莱昂哈德·欧拉的关注，欧拉是那一时期最有才能且最多产的数学家， 他介入了其中一些比较简单的例子。1816 年，巴黎科学院为征求该定理的证明设立了一个奖项，这激发了索菲·热尔曼的努力尝试，她在其中某些方面取得了一些进展，而她的工作又由另一些人接手并拓展了下去。此外，这个问题慢慢也广为人知，许多年间吸引了就算没有成千上万也有成百上千人投稿。他们中既有专业人士也有业余爱好者，都声称已经完成了对该定理的证明。其中的大多数尝试都是错误而无用的，但有些尝试本身则推动了重要的数学发现，怀尔斯对此应该有所了解。当他终于着手自己证明的时候，他运用了一些20 世纪最深奥的数学原理，也就是至那时为止已知的与费马大定理有关的成果：由两位日本数学家在20 世纪50年代提出的谷山—志村猜想，以及由俄国的维克托·科里瓦金与德国的马提亚斯·弗拉赫在20世纪80年代提出的科里瓦金—弗拉赫方法。我们再次注意到，数学家的习惯是将他们前辈的姓名写进历史。我们同时还注意到，单个定理的背后是历史相互影响所构成的复杂网络。
一般说来，越往前回顾，追溯各个“垫脚石”之间的历史情况就越困难，这还不单单是因为许多证据早就被冲走了。但若不尝试，就没有历史，而只有一系列逸事，许多流行的数学史仍然常常以此为基础。
“精英”版本的历史
尽管我们对欧几里得或丢番图的生活几乎一无所知，但还是有几件我们可以肯定的事情：二者都受过良好的教育，并且能自如地用希腊语写作，这是当时地中海东部知识阶层的语言；他们都有机会接触早期的数学著作；两人都能理解、整理并扩展当时的一些前沿数学；他们所涉及的数学没有实用价值，而只是纯粹的智力游戏。即使在像亚历山大这样的城市，从事此类数学工作的人士的数量也从来不可能有多高。实际上，据估计，在通行希腊语的地方任何时候都只有少数几位这样的人士。换句话说，欧几里得与丢番图都属于极少数的数学精英。
只需片刻的回顾便足以说明，与他们涉足的领域相比，数学肯定有更广泛的用处。希腊社会与其他社会一样，有店主、管家、农民及建筑商，还有其他许多人士要从事日常测量与计算。我们对他们的方法几乎一无所知，因为这些人大多会通过示范样板及口口相传的方式来进行学习与教学。他们也没有被组织成学校或行会，尽管我们确实知道一个有名的团体，即“harpēdonaptai”，或者不妨称之为“拉绳定界师”。他们所用的数学自然很少留下痕迹。成堆的标记，或者在木头、石头或沙地上刮刻的记号，一旦没用就会立即被丢弃，而且肯定不会存放在图书馆里。不管怎么说，都是社会地位相对较低的人从事这些行当，而身处学术圈的知识分子对此却少有甚至没有兴趣。
当数学史学家说起“希腊数学”时，就像他们经常做的那样，几乎总是在谈欧几里得、阿基米德、丢番图等人留给我们的复杂的书面文本，而不提及普通民众用于日常或园林的数学。但最近，这种情况已经有所改变。历史学家开始承认，精英式的希腊数学起源于地中海东部日常的实用数学，虽然后来的数学家通过发展一种更为正式而“无用”的数学来同那些起源保持距离。
对于“希腊数学”这一笼统的表述还有些要注意的地方。当时，丢番图住在埃及的亚历山大；阿基米德住在西西里岛的叙拉古；而另一位伟大的“希腊”数学家阿波罗尼乌斯则居住在佩尔加（所在区域现属土耳其）；换句话说，尽管他们都用希腊语写作，但都不是来自我们如今称之为希腊的地方。的确，就我们所知，丢番图可能是非洲人生养的。不过，文艺复兴时期欧洲人高度推崇的“希腊数学”已经被认为本质上是“欧洲的”了。当我们想到大陆另一端的西班牙被排除在欧洲之外时，将亚历山大纳入欧洲的荒谬性就变得更加明显。公元8 世纪初，西班牙处在伊斯兰统治之下，因此享有伊斯兰世界丰富的文化与知识。然而，人们经常读到，阿拉伯数字是由13 世纪初在意大利比萨进行写作的斐波那契引入欧洲的，好像在此之前阿拉伯数字在西班牙使用了两个世纪之久算不上什么，而且好像西班牙在某种程度上不是欧洲的组成部分。那些促进精英数学事业发展的人，自然倾向于将任何会赋予他们的学科以权威及受人尊敬之地位的内容吸收进其历史之中，而不考虑其他会招致麻烦的事实。
无论数学应用在哪里，我们都有可能找到一些高等级且备受尊敬的从业者，但更多的人名将永远不会被载入任何史册。假如我们重新审视费马时代的情况，那么会发现几乎没什么不同。在他的一生之中，法国的精英式数学活动异常丰富：人们可以想到在巴黎有那么三四位与费马保持联系的人士。粗略地估计，在荷兰和意大利或许也有那么几位，甚至在英国还有一两位，但也就仅此而已。然而，社会等级较低的数学研究活动要比人们所预期的更为普遍。近期检索数字化资料的结果显示，在16世纪与17世纪英国出版的书籍中，有多达四分之一的书籍以这样或那样的方式提到了数学，即使只是顺便提到。此外，面向想获得基本数学技能的商人或手工业者的书籍在稳步增多。
在结束本章之前，就让我们更详细一点地来看看其中的一本：毕竟，没有比考察原始资料更好的方法来探索数学史了。罗伯特·雷科德的《通往知识之路》于1551 年在英国出版；费马就在大约五十年后出生。雷科德一生中的大部分时间都是医生。1549 年，他被任命为布里斯托尔造币厂的总监，两年后又被任命为爱尔兰银矿的检验官。不幸的是，在此期间他招惹了政敌，最终身陷伦敦的国王监狱，并于1558 年在那里去世，享年四十八岁。不过，雷科德大多数的数学著作也正是在这段时间 里出版的；如今他因这些著作而被世人所铭记。雷科德在牛津大学和剑桥大学接受教育，能说流利的拉丁语和希腊语，但他做出了大胆的选择，用英语来写数学方面的文章。特别是，他旨在让普通民众也能够使用作为最精英的数学家之一的欧几里得的数学。这并不是件容易的事：一方面，尽管大多数英国工人或许 已能熟练地掌握铅垂线和直尺，但他们却从未听说过一个被称作“几何”的正式科目；另一方面，当时英语里根本也没有词汇来表达诸如“平行四边形”或“扇形”之类的专业术语。雷科德凭借想象力和技巧解决了这两个问题。
在冗长的序言中，他从最低下的社会地位开始一路往上，描述了几何对哪些阶层的人来说是“非常必要”的。处于最底层的是在土地上耕作的“无知者”。雷科德解释道，即使是这些人，对几何也有出于本能的掌握。否则他们的沟渠就会坍塌，他们的干草堆也会倾倒。再向上到了生意人阶层，雷科德反倒提供了一份长长的清单，列出了几何对哪些人是不可或缺的，如商人、海员、木匠、雕刻师、细木工、泥瓦匠、画工、裁缝、鞋匠、织布工等，更进一步得出了如下的结论，
即手工技艺从来都没有像出彩的几何那样富有机智，且对世人来说又是如此必需。
雷科德尤其认为几何在医学、神学及法律专业中也是必不可少的，尽管他的论点随着其社会地位的攀升变得更加做作且缺乏说服力。
雷科德很能理解普通人的难处，这在他谈到几何本身时表现得最为明显：他的论述是一种良好的教学法模型，用通俗易懂的语言来表达，并配有许多示例和有用的图表。他很早就教授过如何用欧几里得定义的直尺与圆规构造直角。不过，万一发现这种方法过于困难，那么他还有另一项可供选择的建议：画一条直线，再分别画出3 个、4 个和5 个单位长度，然后用这些长度来构造一个三角形。其短边之间的夹角就是直角。这并非经典的欧几里得式构图方式，对于实际操作者及“拉绳定界师”来说，却是一种实用的方法。
对于21 世纪，我们可以做一份比雷科德的更长的清单，来罗列那些日常生活里比如在学校、居家或工作场所中使用数学的人士。我想起了我的母亲艾琳，她在八十九岁时既不相信银行也不相信计算机，而是在精心划分好区隔的笔记本上算着她用于家庭开支的每一个便士。我也想起了我的好友塔季扬娜， 她反复跟我说她在学校时数学并不好，但她却创作了设计复杂的拼图。她当然可以处理直角三角形。甚至，她对镶嵌式布局及比例的直觉或许让她有资格成为“拉绳定界师”这个群体的现代代表。
“精英”版本的历史中并没有艾琳或塔季扬娜的一席之地：尤其是女性，在被认真对待之前，至少得先将自己提高到索菲·热尔曼的水平。但如果没有在各个层次上从事及教授数学的人，精英人士就无法蓬勃发展。在怀尔斯、费马或丢番图所占据的先驱领域背后，延展着数学活动的广阔腹地，这在一般的数学史中还只有很少的讨论。本书的部分目的就是要恢复这种平衡，为包括孩童在内的所有人找回数学，并从一些新的角度重新审视数学的历史。
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