物理流体力学

《物理流体力学》是写给物理系学生看的流体力学教材，书中既包含了必须的物理思想，数学又不太难。 

本书把流体力学看成牛顿第二定律对流体连续介质的应用，尽可能用熟悉的物理概念和现象作类比，启发式讲述流体力学的基本概念和基本思想，不追求过深的数学分析。对于理想流体，主要内容包括欧拉方程、伯努利方程、涡量方程、无旋流动的拉普拉斯方程、布拉休斯定理、二维机翼升力理论、表面张力重力波和声波等。对于黏性流体，主要内容包括纳维斯托克斯方程及其严格解、涡量方程、流体热传导方程、斯托克斯阻力公式、黏性流体的振荡运动和普朗特边界层理论等。本书内容丰富，讲解了大量流体力学的应用，配有较多的例题和习题，并且例题的解答很详细，比较难的习题给出了解答提示。
本书可以用作物理、数学和力学专业本科生的教材和教学参考书，也可以用作工科相关专业本科生的教学参考书，以及供相关专业的研究生参考用书。

第1章流体力学的基本概念

1.1概论

1.2流体的性质

1.2.1流体具有易流动性

1.2.2流体中的不可逆过程

1.2.3流体分类

1.2.4流体运动分类

1.2.5连续介质近似

习题

1.3局域平衡假设与局域热力学方程

习题

1.4拉格朗日描写和欧拉描写

1.4.1牛顿力学中的质点运动的描述

1.4.2拉格朗日描写

1.4.3欧拉描写

1.4.4两种方法的优缺点

1.4.5从拉格朗日描写转换到欧拉描写

1.4.6从欧拉描写转换到拉格朗日描写

1.4.7轨迹

1.4.8流线

1.4.9定常流动

习题

1.5涡量与速度环量

1.5.1流体的涡旋运动的描述

1.5.2磁感应线、磁感应面、磁感应管与磁通量

1.5.3涡线、涡面、涡管与涡通量

1.5.4速度环量

习题

1.6连续性方程与流函数

1.6.1拉格朗日描写下的连续性方程

1.6.2欧拉描写下的连续性方程

1.6.3不可压缩流体的二维流动与流函数

1.6.4不可压缩流体的轴对称流动与斯托克斯流函数

习题

1.7涡旋感生的速度与毕奥萨伐尔定律

1.7.1类比

1.7.2涡丝感生的速度

1.7.3兰金组合涡

1.7.4涡层感生的速度

习题

第2章理想流体运动方程

2.1欧拉方程

2.1.1为什么理想流体的研究是有用的？

2.1.2欧拉方程的推导

2.1.3边界条件

2.1.4绝热运动方程

2.1.5等熵运动

2.1.6作等熵运动的理想流体的欧拉方程

2.1.7流体的状态

习题

2.2静力学方程

2.2.1静力学方程的推导

2.2.2阿基米德定律

2.2.3星体静力学平衡方程

习题

2.3表面张力现象与拉普拉斯公式

2.3.1表面张力现象

2.3.2拉普拉斯公式

2.3.3曲率半径公式

习题

2.4伯努利方程

2.4.1伯努利方程的推导

2.4.2理想气体的绝热运动

2.4.3小孔出流

2.4.4虹吸现象

2.4.5皮托管

2.4.6文丘里管

2.4.7U形管中水的振荡

习题

2.5涡量方程、流函数方程与速度环量守恒定理

2.5.1涡量方程

2.5.2不可压缩理想流体的涡量方程

2.5.3二维流动的流函数方程

2.5.4轴对称流动的流函数方程

2.5.5希尔球涡

2.5.6速度环量守恒定理

习题

2.6动量平衡方程

2.6.1质点系的动量定理

2.6.2拉格朗日描写下的理想流体的动量平衡方程

2.6.3欧拉描写下的理想流体的动量平衡方程

2.6.4作用在弯管上的力

习题

2.7能量平衡方程

2.7.1 质点系的动能定理与功能原理

2.7.2拉格朗日描写下的理想流体的能量平衡方程

2.7.3不可压缩理想流体的任一部分的功能原理

2.7.4欧拉描写下的理想流体的能量平衡方程

第3章理想流体的无旋运动

3.1理想流体无旋运动的出现条件

3.1.1无旋运动的定义

3.1.2什么情况下理想流体的运动是无旋的

3.1.3为什么关于理想流体的无旋流动的研究是有用的?

3.2不可压缩理想流体的无旋运动

3.2.1拉普拉斯方程

3.2.2伯努利方程

习题

3.3不可压缩理想流体的二维无旋运动

3.3.1复势和复速度

3.3.2驻点

习题

3.4达朗贝尔佯谬

3.4.1不可压缩理想流体的功能原理

3.4.2达朗贝尔佯谬

3.4.3在不可压缩理想流体中运动的一个固体球的动力学方程

3.4.4在不可压缩理想流体中运动的一个固体圆柱的动力学方程

习题

3.5布拉休斯定理

3.5.1布拉休斯定理的推导

3.5.2柯西定理

3.5.3留数定理

习题

3.6二维机翼升力理论

3.6.1牛顿阻力模型

3.6.2马格纳斯效应

3.6.3马格纳斯效应的解释

3.6.4茹可夫斯基变换

3.6.5环量的确定——茹可夫斯基假设

3.6.6库塔茹可夫斯基定理

3.6.7茹可夫斯基翼型

3.6.8“飞蛇”之谜

3.6.9速度环量的起源

习题

3.7表面张力重力波

3.7.1无旋流动的条件

3.7.2边界条件

3.7.3二维表面张力重力简谐行波

3.7.4二维表面张力重力简谐驻波

3.7.5三维表面张力重力简谐驻波

3.7.6水渠里的长重力波

3.7.7两个流体分界面上的二维表面张力重力简谐行波

习题

3.8声波

3.8.1波动方程

3.8.2一维波动方程

3.8.3一维柱形管中的驻波

3.8.4球面波

习题

第4章黏性流体的运动

4.1广义牛顿黏性定律

4.1.1黏性应力张量

4.1.2应力张量的对称性

4.1.3广义牛顿黏性定律

习题

4.2纳维斯托克斯方程

4.2.1纳维斯托克斯方程的推导

4.2.2纳维斯托克斯方程的其他形式

4.2.3球坐标系

4.2.4柱坐标系

4.2.5边界条件

4.2.6施于任意流体面元上力的公式的其他形式

习题

4.3涡量方程与流函数方程

4.3.1不可压缩流体的涡量方程

4.3.2二维流动的流函数方程

4.3.3轴对称流动的流函数方程

4.3.4速度环量方程

习题

4.4不可压缩流体的能量平衡方程与热传导方程

4.4.1能量耗散

4.4.2能量耗散的其他表达形式

4.4.3欧拉描写下的能量平衡方程

4.4.4热传导方程

习题

4.5平行于平面的流动和管流

4.5.1牛顿平板实验

4.5.2重力驱动的平行于平面的流动

4.5.3压强梯度驱动的平行于平面的流动

4.5.4管流问题

习题

4.6转动圆柱面间流体的二维圆周运动

4.6.1纳维斯托克斯方程的解

4.6.2如何在实验室制造点涡?

习题

4.7相似法则

4.7.1雷诺数、弗劳德数和施特鲁哈尔数

4.7.2普朗特数

习题

4.8斯托克斯阻力公式

4.8.1叠加法

4.8.2矢量势法

4.8.3流函数法

4.8.4能量方法

习题

4.9黏性流体的振荡运动

4.9.1一个作缓慢的简谐振动的固体球引起的流体振荡运动

4.9.2一个固体球在不可压缩流体中以任意速度运动时所受的阻力

4.9.3黏性流体中的横波

习题

4.10普朗特边界层理论

4.10.1普朗特方程组

4.10.2应用

4.10.3卡门积分方程

4.10.4兰姆近似

习题

4.11表面张力重力波的衰减

4.11.1二维表面张力重力简谐行波的衰减

4.11.2二维表面张力重力简谐驻波的衰减

4.11.3三维表面张力重力驻波的衰减

4.11.4结论

习题

第5章流体的微观描述

5.1刘维方程及流体力学方程的推导

5.1.1刘维方程

5.1.2流体力学方程的推导

习题

5.2玻尔兹曼积分微分方程

5.3H定理

习题

5.4从玻尔兹曼方程推导流体力学方程

5.4.1统计平均值

5.4.2连续性方程

5.4.3动量平衡方程

5.4.4能量平衡方程

5.4.5达到局域麦克斯韦速度分布函数时的流体力学方程

习题

5.5弛豫时间近似

5.5.1弛豫时间近似

5.5.2气体的黏性系数

5.5.3气体的热传导系数

习题

附录A常用的矢量公式

参考文献

虽然市面上已有不少有关流体力学的教材和专著，但这些流体力学书要么是针对工科专业的，要么是针对力学和数学专业的，却很少有针对物理专业本科生的。针对物理专业的本科生学习使用的流体力学教材，一方面要求有物理思想，另一方面数学不能太难。例如著名的朗道栗弗席兹（LandauLifshitz）流体力学,虽然充满了物理见解，但很多是靠物理直觉写出的，推导细节没有给出，精深难懂，对于初学者很难理解。
我曾经为上海交通大学物理与天文系物理专业本科生上过几年“流体力学”课，编写过讲义，本书是在此讲义的基础上经过扩充而成的。
二十多年的本科教学经验告诉我，教材和教学参考书不同于学术专著。学术专著的读者对象主要是专业研究人员，他们的基础知识雄厚，研究经验丰富，所以学术专著的特点是严谨、准确、高度专业化。而教材和教学参考书的读者对象主要是本科生和研究生，他们的基础比较薄弱，因此教材和教学参考书一定要循序渐进、通俗易懂、启发式阐述，而且要求配有一定数量的例题和习题。在这方面，著名物理学家费恩曼的《费恩曼物理学讲义》用那么通俗的语言讲述物理给我留下了极其深刻的印象。尤其是上过几年工科大学物理课以后，我明白了要用尽可能通俗简单的语言给本科生讲述物理。本书就是沿着这一思路编著的，把流体力学看成牛顿第二定律对流体连续介质的应用，深入浅出地讲述流体力学的基本概念，尽可能用熟悉的物理概念和现象作类比，避免过于复杂的数学分析。
本书内容循序渐进、从易到难，并没有从一开始就建立黏性流体力学的基本方程。而是从回忆牛顿力学中质点的运动描述出发，通过把流体分解为无穷多个微元，引进拉格朗日描写和欧拉描写，根据牛顿力学中质点的速度和加速度的定义引进随体导数。然后考虑理想流体，分析流体微元受力并应用牛顿第二定律推导欧拉方程。把欧拉方程写成积分形式，得到伯努利方程。进一步讲述欧拉方程和伯努利方程的应用。待读者有了一定的流体力学知识之后，再建立黏性流体力学的基本方程。
本书利用涡量的散度恒为零与磁感应强度的散度恒为零(磁场高斯定理)这一类似性，得到涡量与磁感应强度之间的类比关系，从大学物理讲的磁感应线、磁感应面、磁感应管和磁通量，通过类比定义涡线、涡面、涡管和涡通量，从磁感应线管磁通量守恒定理通过类比证明涡管涡通量守恒定理。本书利用不可压缩流体的速度的散度恒为零(连续性方程)与磁感应强度的散度恒为零(磁场高斯定理)这一类似性，通过类比证明大学物理中的稳恒细电流感生磁感应强度的毕奥萨伐尔定律和涡丝感生速度公式等效，安培环路定理和速度环量公式(斯托克斯定理)等效，从而进一步证明兰金组合涡的速度分布等效于无限长均匀圆柱电流感生的磁感应强度分布，涡层感生的切向速度间断面等效于面电流感生的切向磁感应强度间断面。由于电势和速度势均遵守拉普拉斯方程，导体尖端放电时尖端附近的电场和翼型启动时尖尾缘附近的流体速度遵守相同的空间变化规律，从导体尖端放电现象通过类比理解翼型尖尾缘附近流体的运动。从牛顿平板实验结果出发作逻辑推理得到广义牛顿黏性定律。使用牛顿力学中的质点系的动量定理解释流体力学的动量平衡方程各项的物理意义。使用牛顿力学中的质点系的动能定理和功能原理解释流体力学的能量平衡方程各项的物理意义，特别是流体的能量耗散项的物理意义。
本书具有一定的大学物理味道，非物理专业的本科生只要学过大学物理后，就可以看懂大部分章节。为此，本书尽可能对公式给出详细的推导过程。配有较多插图，尽可能用图来表示物理思想和过程。配有较多的例题和习题，并且例题的解答很详细，比较难的习题都有解答提示。因此虽然本书是为物理专业的本科生写的，对数学专业、力学专业和工科等相关专业的本科生同样有参考价值。
在网络时代，网络资料是必不可少的参考资料。在撰写本书时，我参考了一些网络资料，但无法找到作者名字，在这里向这些无名作者表示感谢。

王先智

第3章理想流体的无旋运动
3.1理想流体无旋运动的出现条件
3.1.1无旋运动的定义

我们在1.5节已经指出，判断流体的流动是有旋还是无旋，只有通过观察流体微元本身是否绕自身轴旋转来决定。如果流体中有若干流体微元绕自身轴旋转，则称为有旋流动; 如果流体中所有流体微元均不绕自身轴旋转，则称为无旋流动。判断流体微元是否绕自身轴旋转的量就是速度的旋度，称为涡量。
换句话说，如果涡量在整个流体区域内为零，那么流体的运动称为无旋运动。如果整个流体区域内存在涡量不等于零的区域，流体的运动称为涡旋运动。一般情况下，整个流体区域可以划分为涡旋区域和无旋区域。一般实际流体的流动都是涡旋流动，只有理想流体的运动才有可能是无旋流动，这是因为理想流体没有黏性，不存在切应力，通常情况下也不存在能够改变流体微元的旋转状态的其他力，因此理想流体通常不能传递旋转运动。
综上所述，流体的无旋运动由下式定义:
Ω=×?瘙經=0(3.11)
根据矢量公式×f=0，可以引进速度势Φ
?瘙經=Φ(3.12)
3.1.2什么情况下理想流体的运动是无旋的
在2.5节我们证明了速度环量守恒定理(汤姆孙定理)： 对位于保守外力场中且作等熵运动的理想流体，在其内沿流体封闭周线的速度环量不随时间而改变。利用速度环量守恒定理，可以得出以下两个定理。

定理1： 对于作定常等熵运动的理想流体，只要在其一条流线上的任何一点的涡量为零，那么在该流线上的所有的点的涡量均为零。
证明： 根据斯托克斯定理，任一矢量沿任一封闭周线的环量等于该矢量的旋度沿任一以该周线为边的曲面的积分，即
∮Cf·dl=S×f·dS(3.13)
应用斯托克斯定理，得沿任一无限小的流体封闭周线的速度环量
∮C?瘙經·dl=×?瘙經·dS=Ω·dS(3.14)
式中，dS为以该周线为边的曲面面元，Ω为该面元处的涡量。
如果一条流线上的一点的涡量为零，环绕着该点作一无限小的流体封闭周线包围该流线，由式(3.14)可知，沿该无限小周线的速度环量为零。随着时间的推移，该无限小流体封闭周线随流体移动，但仍然包围该流线。由于速度环量不变，在该流线上的所有的点的涡量为零。证毕。
使用上述定理，我们得到以下结论。
(1) 对于作定常等熵运动的理想流体，如果在无穷远处均匀流动，那么理想流体的运动是无旋的。
这是因为在无穷远处，由于理想流体是均匀流动的，即速度?瘙經为常矢量，所以那里所有流线上的涡量为零。根据定理1，在所有流线的所有点上的涡量为零，即理想流体的运动是无旋的。
(2) 对于作定常等熵运动的理想流体，如果无穷远处的理想流体静止不动，那么理想流体的运动是无旋的。
这是因为在无穷远处，由于理想流体是静止的，所以那里所有流线上的涡量为零。根据定理1，在所有流线的所有点上的涡量为零，即理想流体的运动是无旋的。
定理2： 如果理想流体的等熵运动在某一时刻是无旋的，那么在以后任意时刻流体的运动都是无旋的。
证明： 如果理想流体的等熵运动在某一时刻是无旋的，则在该时刻沿流体内任一流体封闭周线的速度环量为零。根据环量守恒定理，在以后任意时刻，沿理想流体内任一流体封闭周线的速度环量为零，即在以后任意时刻理想流体的运动都是无旋的。证毕。
使用上述定理，我们得到以下结论： 如果理想流体在初始时刻静止，那么在以后任意时刻理想流体的运动都是无旋的。
例如，从静止开始的波浪运动，由于流体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波浪运动也是无旋运动。
3.1.3为什么关于理想流体的无旋流动的研究是有用的？
实际流体不是理想流体，存在内摩擦力，内摩擦力正比于速度梯度。既然实际的流体的流动都是涡旋流动，那我们为什么还要研究理想流体的无旋流动呢？
原因是，根据普朗特的边界层理论(4.10节)，在固体表面附近的很薄的流体边界层之内，那里的速度梯度较大，因而涡量较大，内摩擦力较大，不能看成理想流体，流体的流动是涡旋流动。而在边界层之外，那里的速度梯度很小，因而涡量很小，内摩擦力很小，流体可看成理想流体，流体的运动可看成无旋流动，如图3.1.1所示。因此普朗特的边界层理论断言理想流体的无旋流动的研究是有用的。

图3.1.1涡旋流动区域与无旋流动区域

3.2不可压缩理想流体的无旋运动
3.2.1拉普拉斯方程
1. 拉普拉斯方程的推导
不可压缩理想流体的无旋运动同时满足
·?瘙經=0，?瘙經=Φ(3.21)
因此速度势满足拉普拉斯方程
2Φ=0(3.22)
如果流体与静止固体表面S接触，流体速度的法向分量vn|S必须为零，即
vn|S=Φn|S=0(3.23)
在运动的固体表面S上的流体速度的法向分量vn|S必须等于固体表面的速度的法向分量vsolid,n|S,即
vn|S=Φn|S=vsolid,n|S(3.24)
我们需要指出，不可压缩理想流体的无旋运动具有如下重要性质： 假设一个固体在流体中运动，固体周围的流体作无旋运动，那么任意时刻流体的速度分布由2Φ=0及边界条件式(3.24)确定，而且只依赖于该时刻固体的运动速度，而不依赖于其加速度。
2. 单连通区域与双连通区域
如果区域内任意两点都可用区域内一条连续曲线连接，这样的区域称为连通区域。如果在连通区域中的任意一条封闭曲线，能连续地收缩成一点而且不出区域边界，这样的连通区域就称为单连通区域，否则就是多连通区域。常见的单连通区域有球表面内外区域，或两个同心球之间的区域等。现在考虑单连通区域中的不可压缩理想流体的无旋运动。使用斯托克斯定理得
∮C?瘙經·dl=∮CΦ·dl=∮CdΦ=SΩ·dS=0(3.25)
我们看到，对于单连通区域中的不可压缩理想流体的无旋运动，速度环量永远为零，速度势是单值函数。

图3.2.1双连通区域的分隔面

对于多连通区域，需要引进分隔面概念。所谓分隔面指的是这样的曲面： 整个曲面位于区域内部，并且曲面和区域边界的相交线是一条封闭曲线。能作n－1个分隔面并且不破坏区域连通性的多连通区域，称为n连通区域。在流体力学中经常碰到的是双连通区域。例如，圆环内部区域就是一个双连通区域，可以作一个分隔面并且不破坏区域连通性，如图3.2.1所示。在一个双连通区域引进一个分隔面后，如果把分隔面的两边看成是区域的新边界，产生的区域就是单连通区域。

对于双连通区域中的不可压缩理想流体的无旋运动，如果流体封闭周线能连续地收缩成一点而且不出区域的边界，那么沿该流体封闭周线的速度环量为零，即
∮C?瘙經·dl=0(3.26)
对于双连通区域中的不可压缩理想流体的无旋运动，如果流体封闭周线能连续地收缩成一点但不得不跨出区域的边界，那么沿该流体封闭周线的速度环量不为零，即
∮C?瘙經·dl≠0(3.27)
此时速度势是多值函数。
3.2.2伯努利方程
1. 伯努利方程
作等熵流动的理想流体满足欧拉方程(2.116)，即
?瘙經t－?瘙經××?瘙經=－v22 h Ξ
如果流体作无旋运动，有?瘙經=Φ。利用速度势，上式化为
v22 h Ξ Φt=0
其解为
v22 h Ξ Φt=f(t)(3.28)
式中f(t)为时间的任意函数。f(t)可以附加到Φt上去，从而得理想流体的无旋运动满足的伯努利方程
v22 h Ξ Φt=const(3.29)
对于定常流动，有Φt=0，式(3.29)化为
v22 h Ξ=const(3.210)
2. 与一般流动的伯努利方程(2.31)的区别
我们需要指出的是，理想流体的定常无旋运动的伯努利方程(3.210)与任意流动的伯努利方程(2.41)是有差别的。任意流动的伯努利方程中的常数只是沿特定流线的，不同的流线有不同的常数。而无旋流动的伯努利方程中的常数对流体的所有部分来讲，都是相同的。
3. 不可压缩理想流体的伯努利方程
对于不可压缩理想流体的无旋运动，式(3.29)化为
p=p0－12ρv2－ρΦt－ρΞ(3.211)

式中p0为常数。
对于不可压缩理想流体的定常无旋运动，式(3.211)化为
p=p0－12ρv2－ρΞ(3.212)
4. 无旋流动的伯努利方程的适用范围
根据普朗特的边界层理论，流体流过固体表面时，除表面附近黏性影响严重的薄层外，其余区域的流动可视为理想流体的无旋运动，无旋运动的伯努利方程成立。
5. 驻点
一个有用的概念是驻点，在驻点处速度为零。
【例1】一个半径为a的固体球在不可压缩理想流体中以速度U运动，球周围的流体作无旋流动，无穷远处的流体静止不动。确定流体速度分布、驻点位置和压强分布。

图3.2.2在流体中运动的固体球

解： 为方便起见，把直角坐标系(x,y,z)的原点取在球心的瞬时位置上，球的速度方向沿z轴,球的速度为U=erUcosθ-eθUsinθ，如图3.2.2所示。在相应的球坐标系(r,θ,φ)中拉普拉斯方程2Φ=0的解为
Φ(r,θ)=∑∞l=0Alrl Blr－l－1Pl(cosθ)
式中Al和Bl为常数，Pl(cosθ)为勒让德函数。
边界条件为
vr(r=a)=Ucosθ，limr→∞vr=0
因为vr=Φr=∑∞l=0lAlrl－1－l 1Blr－l－2Plcosθ，Plcosθ=cosθ，所以由边界条件vrr=a=Ucosθ=UPlcosθ可知，vr只与Plcosθ=cosθ有关，即
vr=A1－2B1r－3Plcosθ，A1－2B1a－3=U
由另一边界条件limr→∞vr=0,得
A1=0，B1=－a32U,Φ=－a3U2r2cosθ=－a32r3U·r
所以
?瘙經=Φ=erΦr eθ1rΦθ=erUa3r3cosθ eθa32r3Usinθ=a32r33r2rU·r－U
驻点位置： ?瘙經=0要求r→∞，即驻点位置在无穷远处。

压强为
p=p0－12ρv2－ρΦt
式中p0为无穷远处的压强。
计算Φt需要使用欧拉描述(空间固定参考系)，即在固定的空间位置上观察流体质点的运动情况。各个场点W都是固定不动的，让r=OW为相对于球心O的场点W的位置矢量，如图3.2.2所示。既然球心O以速度U运动着，有U=tWO=－rt，因此在欧拉描述里r=OW=－∫Udt，与时间有关，所以有
Φt=ΦU,rt=ΦU·Ut Φr·rt=ΦU·Ut－U·Φ=ΦU·Ut－U·?瘙經

式中f≡exfx eyfy ezfz。
把上式代入伯努利方程得
p=p0－12ρv2－ρΦU·Ut－U·?瘙經

=p0－18ρa3r32U21 3cos2θ 12ρa3r3U23cos2θ－1 12ρa3r3r·dUdt
球面上的压强为
p(r=a)=p0 18ρU29cos2θ－5 12ρaer·dUdt

图3.2.3绕固体球的无旋流动

【例2】一个不可压缩理想流体绕一个静止不动的半径为a的固体球作无旋运动，无穷远处的流体以均匀速度U流动。确定流体速度分布、驻点位置和压强分布。

解： 如图3.2.3所示，取直角坐标系(x,y,z)的原点为球心，无穷远处的流速沿z轴方向,有U=erUcosθ－eθUsinθ。那么在相应的球坐标系(r,θ,φ)中拉普拉斯方程2Φ=0的解为
Φ(r,θ)=∑∞l=0Alrl Blr－l－1Plcosθ
边界条件为
vrr=a=0，limr→∞vr=Ucosθ
因为vr=Φr=∑∞l=0lAlrl－1－l 1Blr－l－2Plcosθ，Plcosθ=cosθ，所以由边界条件limr→∞vr=Ucosθ=UPlcosθ可知，vr只与Plcosθ=cosθ有关，即
vr=Φr=U－2B1r－3cosθ
由边界条件vrr=a=0给出
Φ=Ur1 a32r3cosθ
所以
?瘙經=Φ=erΦr eθ1rΦθ=erU1－a3r3cosθ－eθU1 a32r3sinθ
驻点位置：  ?瘙經=0要求r=a，sinθ=0。驻点位置为r=a，θ=0,π。
压强为
p=p0－12ρv2－ρΦt=p0－12ρU21－a3r32cos2θ 1 a32r32sin2θ
式中p0为常数。球面上的压强为
p(r=a)=p0－98ρU2sin2θ
习题
321在习题213，我们已经证明，地球参考系里大气的欧拉方程为
ρd?瘙經dt=ρ?瘙經t ρ?瘙經·?瘙經=－p－ρΞ ρω2r－2ρω×?瘙經
式中，ω为地球旋转角速度， r为大气质点相对于地球自转轴的垂直位移矢量，Ξ为地球引力势。如果流体作无旋等熵流动，证明满足如下伯努利方程：
v22 h Ξ-12ω2r2 Φt=const
322接例1,计算流体的总动能。
323已知不可压缩流体速度分布为vx=x2 4x－y2 ，vy=－2xy－4y，vz=0。证明流动为无旋流动，速度为零的驻点位置为0,0和－4,0，速度势为Φ=13×3 2×2－y2x－2y2 ，流函数为ψ=x2y 4xy－13y3。
3.3不可压缩理想流体的二维无旋运动
3.3.1复势和复速度
流体二维流动定义为vx=vx(x,y)，vy=vy(x,y)，vz=0。 理想流体的二维无旋流动满足：
vx=Φx ，vy=Φy(3.31)
从1.6节我们知道，不可压缩流体的二维流动满足：
vx=ψy，vy=－ψx(3.32)
所以不可压缩理想流体的二维无旋运动必须同时满足式(3.31)和式(3.32)，即
vx=Φx=ψy，vy=Φy=－ψx(3.33)
由式(3.33)，可以引入复势
w=Φ iψ(3.34)
我们看到，w是复变量z=x iy=reiθ的解析函数,满足柯西黎曼（CauchyRiemann）条件。定义复速度为
u=dwdz=Φx iψx=vx－ivy(3.35)
【例1】密度为ρ的不可压缩理想流体二维无旋流动的速度势为
Φ=ax(x2－3y2)
式中常数a<0。求其流速及流函数，并求通过连接(0，0)及(1，1)两点的直线段的流体质量流量。
解： 速度分量为
vx=Φx=3a(x2－y2)，vy=Φy=－6axy
流速为
v=v2x v2y=(3a)2(x2－y2)2 (－6axy)2=3a(x2 y2)
将速度分量代入流函数的微分式，得
dψ=－vydx vxdy=6axydx 3a(x2－y2)dy
积分得
ψ=3ax2y－ay3 C
式中C为积分常数。
通过连接(0，0)及(1，1)两点的直线段的流体质量流量为
Q=ρ［ψ(1，1)－ψ(0，0)］=2aρ
3.3.2驻点
驻点： 在驻点处速度为零。所以对于不可压缩理想流体的二维无旋运动，在驻点处复速度为零，即
dwdz=0
【例2】一个平面点涡的复势。
解： 一个平面点涡(无限长直线涡丝)感生的速度为?瘙經r=Γ2πeθr，有
vr=Φr=0，vθ=1rΦθ=Γ2π1r
积分得
Φ=Γ2πθ
因此
Φ=Γ2πθ=－Γ2πReilnreiθa=－Γ2πReilnza=Rew=ReΦ iψ
即
w=－iΓ2πlnza，Φ=Γ2πθ，ψ=－Γ2πlnra
式中a>0为常数。
【例3】考虑一排位于实轴上的无穷多个点涡，其位置为z=na， n=0,±1,±2,…，a为常数，点涡强度均为Γ，求复势。
解： 从例2可知，一个位于z0、点涡强度为Γ的点涡的复势为w=－iΓ2πlnz－z0，所以总的复势为
w=－iΓ2π∑n=0,±1,±2,…lnz－na=－iΓ2πlnz ∑n=1,2,…lnz－naz na

=－iΓ2πlnz ∑n=1,2,…lnz2n2a2－1 lnn2a2=－iΓ2πlnz∏∞n=11－z2n2a2
式中常数项已忽略。
利用连乘积展开
sinz=z∏∞n=11－z2n2π2
得
w=－iΓ2πlnsinπza
【例4】一个半径为a的固体圆柱在不可压缩理想流体中以速度U运动，无穷远处的流体静止不动。圆柱周围的流体作二维无旋流动，确定流体速度分布、驻点位置和压强分布。

图3.3.1在流体中运动的圆柱

解： 为方便求解，把平面直角坐标系(x,y)的原点取在圆柱对称轴的瞬时位置上，圆柱的速度取为沿x轴方向,圆柱的速度为U=erUcosθ－eθUsinθ，如图3.3.1所示。拉普拉斯方程2Φ=0在平面极坐标系成为
2Φ2r 1rΦr 1r2Φθ=0
令Φ(r,θ)=R(r)Θ(θ)得
d2Θdθ2=－m2Θ,Θ=Cmcosmθ Dmsinmθ,m=0,±1,±2,…

d2Rdr2 1rdRdr－m2r2R=0,R~rα,α=±m
解为
Φ(r,θ)=∑mAmrm Bmr－mCmcosmθ Dmsinmθ
得
vr=Φr=∑mAmmrm－1－Bmmr－m－1Cmcosmθ Dmsinmθ

vθ=1rΦθ=∑mAmrm－1 Bmr－m－1－Cmmsinmθ Dmmcosmθ
利用边界条件：  vr(r=a)=Ucosθ，limr→∞vr=0, limr→∞vθ=0,得

Φr,θ=－Ua2rcosθ=－a2r2U·r
所以
?瘙經=Φ=erΦr eθ1rΦθ=Ua2r2ercosθ eθsinθ
驻点位置： ?瘙經=0要求r→∞，即驻点位置在无穷远处。
压强为
p=p0－12ρv2－ρΦt
式中p0为无穷远处的压强。
在3.2节例1我们已经获得
Φt=ΦU,rt=ΦU·Ut Φr·rt=ΦU·Ut－U·Φ=ΦU·Ut－U·?瘙經
把上式代入伯努利方程得压强
p=p0－12ρv2－ρΦU·Ut－U·?瘙經

=p0－12ρa4r4U2 ρa2r2U2cos2θ ρa2r2r·dUdt
圆柱面上的压强为
p(r=a)=p0－12ρU21－2cos2θ ρaer·dUdt
因为Φ(r,θ)=－Ua2rcosθ=Re－Ua21z，所以有
w=－Ua21z，ψ=Im－Ua21z=Ua2sinθr
流线如图3.3.2所示。

【例5】一个不可压缩理想流体绕一个静止不动的半径为a的固体圆柱作二维无旋流动，无穷远处的流体以匀速度U流动。确定流体速度分布、驻点位置和压强分布。

解： 如图3.3.3所示,取平面极坐标系(r,θ)的原点为圆柱中心，无穷远处的流速沿x轴方向,即limr→∞?瘙經=U=erUcosθ－eθUsinθ。拉普拉斯方程2Φ=0解为
Φ(r,θ)=∑mAmrm Bmr－mCmcosmθ Dmsinmθ
得
vr=Φr=∑mAmmrm－1－Bmmr－m－1Cmcosmθ Dmsinmθ

vθ=1rΦθ=∑mAmrm－1 Bmr－m－1－Cmmsinmθ Dmmcosmθ

图3.3.2流线图

图3.3.3圆柱绕流