几何原本(上下册)(汉译名著本20)

《几何原本》是欧氏几何的奠基之作，它的出现对西方人的思维方式产生了深刻影响。本中译本根据著名数学史家希思（Sir Thomas L. Heath）的英译本为底本翻译。希思对数学概念和数学史有深入了解，因此译文准确精当，具有其他英译本无法相比的优势。

《几何原本》是世界上著名、完整且流传广的数学著作，也是欧几里得有价值的传世著作。欧几里得在《几何原本》中系统地总结了泰勒斯、毕达哥拉斯及智者派等前代学者在实践和思考中获得的几何知识。欧几里得建立了定义和公理并研究各种几何图形的性质，从而确立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而《几何原本》也就成了欧氏几何的奠基之作，它的出现，对西方人的思维方式产生了深刻影响。

欧几里得（约公元前330年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年—前283年）时期的亚历山大里亚，他著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛认为是历成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品，是几何学的奠基人。

译者简介：

张卜天，中国科技大学物理学学士，北京大学科技哲学博士，清华大学科学史系教授，研究方向为西方中世纪和近代科学思想史。精通科学史、科学普及与哲学翻译，译有著作近五十部。其译文优美流畅，广受读者好评。

上册

卷

第二卷

第三卷

第四卷

第五卷

第六卷

第七卷

第八卷

第九卷

下册

第十卷

定义I

定义II

定义III

第十一卷

第十二卷

第十三卷

附录一  刻《几何原本》序

附录二  译《 几何原本》引

附录三  《几何原本》杂议

附录四  《几何原本》续译序

附录五  《几何原本》续译序

附录六  《几何原本》序

译后记

柏拉图在《理想国》中借苏格拉底之口提到，几何学是能把人的灵魂引向真理从而认识永恒事物的学问。从古希腊到罗马以迄文艺复兴，几何学在西方以“七艺”为目标的人文教育中始终占据着核心位置。直到18世纪，欧洲人还把天文学、力学和一般物理科学的探索者称为“几何学家”，因为这些人都遵奉同一范式，以欧几里得编纂的《几何原本》为学问之宗。此书被称为科学的《圣经》，它也的确是印刷术在西方出现以来发行版本与印数仅次于《圣经》的一本书，且不说15世纪之前众多的希腊文、拉丁文、阿拉伯文和波斯文抄本了。
　　欧几里得的生平事迹已不可详考。按照后世希腊与罗马作家的说法，他在《几何原本》中汇集了许多前代数学家的工作，包括毕达哥拉斯、欧多克索斯、泰阿泰德、希俄斯岛的希波克拉底（Hippocrates of Chios）等。但早期的抄本都没有完整地保存下来，直到19世纪初，西方和伊斯兰世界各种文字的《几何原本》几乎都可以追溯到同一个源头，即公元4世纪亚历山大城的西翁（Theon of Alexandria）整理的希腊文修订本。1808年，有人在梵蒂冈图书馆发现了一个10世纪的希腊文抄本，经研究发现其母本要早于西翁。丹麦著名古希腊文献学家海贝格（J.L.Heiberg）从1883年开始，历经30余年完成《欧几里得全集》希腊文-拉丁文对照本，其中《几何原本》就以梵蒂冈本和西翁本为基础，这也成为各种现代版本的重要依据。1908年，英国数学史家希思（T.L.Heath）以海贝格希拉双语对照本为基础，并参考多种重要的西方文本，出版了权威的英文注释本。希思的书曾多次修订重版，是当代《几何原本》研究公认的善本。
　　明末来华的耶稣会士借助科学知识和与当地知识分子融通这两大策略传播天主教。1607年，利玛窦（M.Ricci）与徐光启合作出版了六卷本的《几何原本》，其底本是利玛窦在罗马的老师、耶稣会数学家克拉维乌斯（C.Clavius）的拉丁文评注本，此时距离世界上个印刷本在威尼斯问世已有125年，但与其他一些欧洲文字的初版相比还不算太迟。徐光启总结的“四不必”“四不可得”“三至”“三能”体现了他对公理化方法的初步认识与对演绎推理的尊崇，可惜明清两代达到这种认识高度的人凤毛麟角。在相当长一段时间里，中国学人对前六卷以外的内容毫不知晓，顶多有人根据其他文献披露的零散信息做过一点猜测。1857年，英国传教士伟烈亚力（A.Wylie）与李善兰合作，翻译出版了《几何原本》后九卷（其中卷14、卷15不是欧几里得原作），所用底本是英国人比林斯利（H.Billingsley）1570年的英文本，这也是世界上早的完整英文译本。从1607年到1857年，经过整整250年，《几何原本》在中国始成完璧。
　　这中间还出现了一个不容忽视的插曲：1690年在清官服务的法国传教士，出于迎合中国皇帝口味和扩大法国影响的双重目的，在康熙的许可下改用法国耶稣会士数学家巴蒂（I.G.Pardies）编写的教本进讲。这一整理后的讲稿实为巴蒂氏几何学的摘译本，后来被收入标榜“康熙御制”的《数理精蕴》，与“河图”“洛书”“周髀经解”等一道并为数学之“立纲明体”。由于康熙帝的介入，明末传人中国的欧几里得《几何原本》逐渐为巴蒂系统的《几何原本》所取代，后者与欧几里得《几何原本》的区别，就是忽略或极大简化了公理体系的作用，而增加了立体求积、绘图、测量等实用内容。
　　欧几里得《几何原本》的内容并不限于今日意义的“几何学”，它也包含了古希腊的算术、数论等。全书是一个由定义、假设、命题和推论组成的严格的、演绎化的数学证明集合。现代通行的版本结构大致相同，以希思本为例，共有13卷，包含5条公设、5条公理、131个定义、465个命题（定理）以及若干推论。欧几里得几何学系统涵盖的命题当然远不止此，以曾在中国流行一时的长泽龟之助《几何学词典》为例，全书就包括2428个命题，他的《续几何学词典》则有1638个命题。以今日观点来看，欧几里得的伟大并不在于系统整理并严格证明了数百个几何学命题，而是为推演自己的几何学体系制定的公理化基石。

当一个人初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。

–爱因斯坦

能精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可学。

–徐光启

几何学是一个训练自由人性的基本学科，一个没经受过几何训练的人，不可能拥有一颗自由的心灵。

–柏拉图

译后记
　　张卜天

　　欧几里得（Ε?κλε?δη?，Euclid，活跃于公元前300年左右）是埃及托勒密王朝亚历山大城的古希腊数学家，其生活年代介于柏拉图（Plato，前427-前347）和阿波罗尼奥斯（ApolloniusofPerga，约前262-约前190）之间。他的主要著作《几何原本》（Στοιχε?α，Elements）[一译《原本》]是人类历伟大的著作之一，对数学、自然科学乃至一切人类文化领域都产生了极其深远的影响。从1482年首个印刷版本问世一直到19世纪末，《几何原本》一直是主要的数学（尤其是几何学）教科书，印刷了一千多个版本，数量仅次于《圣经》，”欧几里得”也几乎成为”几何学”的同义词。2400年来，它从希腊文先后被译成阿拉伯文、拉丁文和各种现代语言，无数人对它做过研究。
　　《几何原本》的原希腊标题中本无与”几何”对应的词，中文的”几何”二字是1607年利玛窦（MatteoRicci，1552-1610）和徐光启（1562-1633）合译出版《几何原本》前六卷时经过认真考量添加的。目前通行的《几何原本》包含十三卷（另外两卷被认为是后人续写的），由若干定义、公设、公理、命题和对命题的数学证明所组成，其数目编号是后来的拉丁文译本所引入的。《几何原本》所涉及的范围超出了我们所理解的几何学，还扩展到比例论、数论和对不可公度量的处理等领域。学者们认为，《几何原本》在很大程度上是根据一些早期希腊数学家的著作所作的命题汇编。
　　在两千多年的时间里，《几何原本》一直被视为纯粹数学的公理化演绎结构的典范，其逻辑公理化方法和严格的证明仍然是数学的基石。它从几个简单的定义以及几条看起来自明的公理、公设出发，竟然能够推导出大量根本无法直观且不可错的复杂结论。在很大程度上，这种数学演绎也因此成为西方思想中能体现理性的清晰性和确定性的思维方式。哥白尼、开普勒、伽利略和牛顿等许多科学家都曾受到《几何原本》的影响，并把他们对《几何原本》的理解运用到自己的研究中。霍布斯、斯宾诺莎、怀特海和罗素等哲学家也都尝试在自己的作品中采用《几何原本》所引入的公理化演绎结构。爱因斯坦回忆说，《几何原本》曾使儿时的他大为震撼，并把《几何原本》称为”那本神圣的几何学小书”。
　　《几何原本》在思想史上有双重意义。首先，它把新的严格性标准引入了数学推理，这种逻辑严格性直到19世纪才被超越；其次，它朝着数学的几何化迈出了决定性一步。欧几里得之前的毕达哥拉斯学派和阿基米德，以及欧几里得之后的丢番图都表明，希腊数学也可以沿着其他方向发展。正是《几何原本》确保了数学应当由几何形式的证明来主导。欧几里得的几何数学观的这种决定性影响反映在思想伟大的两部名著–牛顿的《自然哲学的数学原理》和康德的《纯粹理性批判》中：牛顿的作品是以欧几里得的几何证明的形式写成的，康德则因为相信欧几里得几何的普遍有效性而提出了一种支配其整个知识理论的先验感性论。直到19世纪，欧几里得几何的魔咒才开始被打破，不仅不同的”平行公理”引出了非欧几何理论，而且开始出现一种对”数学的算术化”的渴望。20世纪初，随着量子力学的发展，我们在物理学中看到了一种新毕达哥拉斯主义观点的回归，认为数才是万物的秘密。如今，虽然欧几里得可能不再是的权威，但他仍然是的权威之一。
　　公元4世纪，亚历山大里亚的西翁（TheonofAlexandria，约335-约405）制作了一个《几何原本》的版本，它被广泛使用，在19世纪以前一直是幸存的原始版本。公元800年左右，《几何原本》在阿拔斯王朝的第五任哈里发哈伦·拉希德（Harunal-Rashid，766-809）治下被译成阿拉伯文。1120年左右，英格兰自然哲学家巴斯的阿德拉德（AdelardofBath，约1080-约1152）将《几何原本》从阿拉伯文译成拉丁文。首个印刷版于1482年问世，它所依据的是意大利数学家、天文学家诺瓦拉的坎帕努斯（CampanusofNovara，约1220-1296）1260年从阿拉伯文译成的拉丁文本。西翁的希腊文版于1533年被重新发现。早的英译本TheelementsofgeometrieofthemostancientphilosopherEuclideofMegara于1570年出版，它是英格兰商人亨利·比林斯利（HenryBillingsley，？-1606）从希腊文原文直接翻译的，而不是从广为人知的坎帕努斯拉丁文本转译。早的汉译本是1607年利玛窦和徐光启合译出版的，他们所参照的底本是耶稣会数学家克拉维乌斯（ChristopherClavius，1538-1612）的拉丁文评注本《原本十五卷》（ElementorumLibriXV），但只译出了《几何原本》的前六卷。直到1857年，伟烈亚力（AlexanderWylie，1815-1887）和李善兰（1811-1882）才共同译出了《几何原本》的后九卷。1808年，法国数学家、教育学家弗朗索瓦·佩拉尔（Fran?oisPeyrard，1760-1822）在梵蒂冈图书馆发现了一个并非源于西翁的抄本，它所给出的文本要更早。正是根据这个抄本，丹麦语文学家、历史学家海贝格（JohanLudvigHeiberg，1854-1928）编辑了带有拉丁文评注的权威希腊文版《几何原本》。1908年，英国古典学家、数学史家托马斯·希思爵士（SirThomasL.Heath，1861-1940）基于海贝格的希腊文版，在剑桥大学出版社出版了权威的英译本ThirteenBooksofEuclid’sElements，并且附上了大量英文评注，1926年又出版了第二版。目前市面上流行的Dover版三卷本（1956年）正是这个剑桥第二版的影印。
　　希思的英译本虽然距今已逾一个世纪，但仍然是权威的标准译本。希思深厚的古典学修养和对古希腊数学的精当理解在他那个时代就已经世所公认，至今也是如此。重要的是，今天尚没有一位研究古希腊数学特别是欧几里得的学者能够更好地重新翻译《几何原本》。一些人觉得希思的语言过时了或者难以理解，便试图将《几何原本》的文本重新改写成更符合现代读者习惯的语言，特别是，没有古代数学史基础的人往往会有意无意地用今天的概念，而不是欧几里得所理解和使用的概念来重新表述《几何原本》中的定义、公设或命题，这是不可取的。如果只是想学习一些几何学知识，问题倒还不大，但如果想知道欧几里得究竟是如何思考和呈现其体系的，那么这样做只会加深误解，使我们更加远离希腊人对几何学的看法和做法。
　　目前市面上可见的《几何原本》中译本有近十种，但真正付出过严肃认真的学术努力的版本只有兰纪正和朱恩宽翻译的当代汉语版本（1990年在陕西科学技术出版社出版，2003年修订再版，后于译林出版社重新出版），其他译本则大都粗制滥造、无甚价值。兰纪正和朱恩宽译本的底本正是希思的英译本，但并未把其中的大量评注译出。在这些评注中，希思对《几何原本》的源流和版本，每个定义、公理、公设、命题的来龙去脉，以及其中涉及的难以理解的关键术语都做了极为详细的解说，如能将这些内容全部译出，其重大的学术意义自不待言。但不译评注也并非没有好处：首先，希思的版本有三卷、1400多页，《几何原本》的不同卷次分散于三卷之中，非常不方便携带和查阅；其次，要想在希思版中从一条命题移到下一条命题，往往需要翻过若干页的评注，这使人很难找到欧几里得的原文在哪里继续，从而就欧几里得的原有体系形成清晰图像；此外，虽然希思的英译很好，但并非他的所有评注都恰当和正确。这些评注毕竟是在一百多年前做出的，随着学术的发展，其中不少内容已经过时，而且希思在很多地方也不可避免用现代的数学概念来解释欧几里得，从而产生误导。
　　兰纪正、朱恩宽版的中译本虽几经打磨，但仍然包含着不少错误。其中一些是难以避免的小错，比如字母的误抄和关键术语未统一，但也有一些错误是因为没有正确理解原文，这既包括对有些原文句子结构的错误理解，也包括我们前面所说的对几何原本做了过于现代的处理。仅以《几何原本》卷的定义1和定义3为例。定义1的原文是：”Apointisthatwhichhasnopart.”兰、朱版译为”点是没有部分的”，但其实应当译为”点是没有部分的东西”。”东西”二字的加与不加，反映了对”点”的本质定义和属性定义之别。欧几里得说的是，一个东西只要没有部分，那就是点。而根据兰、朱版译文，就好像”点”除了”没有部分”这个属性还有别的什么属性似的。定义3的原文是：”Theextremitiesofalinearepoints.”兰、朱版译为”一线的两端是点”，但其实应当译为”线之端是点”，原文中并没有”两”。欧几里得说的是，”线”只要有”端”，那就是”点”，但并没有说”线”有”两”端，比如圆就是线，但圆并没有端。之所以有这样的误译，是因为天然把”线”理解成了现在的”直线段”。类似地，我也没有按照现代数学的理解把欧几里得所说的”直线”（straightline）译成”线段”，把”圆周”（circumference）译成”弧”，甚至没有把”二倍比”（duplicateratio）、”三倍比”（triplicateratio）译成”二次比”、”三次比”，因为在古希腊和中世纪，我们所说的”比的相乘或相除”被称为”比的相加或相减”，如果把”倍”译成”次”，虽然符合现代的理解，但我们阅读有些古代数学文献时就会一头雾水，事实上，这种误解在科学史上的确导致过严重后果。
　　基于以上考虑，我以希思的英译文为底本，不揣冒昧地重新翻译了《几何原本》的正文，并且尽可能地忠实于原文，不做过分现代的解读。我还把《几何原本》各卷的定义、公设、公理、命题题干的希思英译文附上，以方便读者对照。虽然兰、朱译本仍有不小改进的余地，但如果没有这个译本先前付出的巨大努力，我是不敢接手这项艰巨任务的。我深知，改进一个译本永远比从无到有的翻译容易得多，因此我要向兰纪正、朱恩宽两位先生的开拓性努力致以深深的敬意。我并非研究古希腊数学和欧几里得的专家，对希腊语也只知皮毛，译这部经典名著可谓诚惶诚恐，也倍感荣幸。真诚地期待广大专家和读者不吝指正！