斐波那契的兔子：改变数学的50个发现

★精选数学史上50个变革性突破，快速了解它们的发现、探索和解答过程，发现数学与日常的紧密联系，原来生活中使用的数学这样出现：“阿拉伯数字”其实起源于古印度，简单的勾股定理历经了千年证明，天花板上的苍蝇启发坐标系的诞生……
★以时间为序，回溯数学的发展历程；用数学家串联，构建从古到今的数学发展脉络。代数、统计、几何……无论对哪一门类感兴趣，都能在这本书中找到回应；遇见斐波那契、牛顿、笛卡儿、图灵等人类历史上的杰出头脑，从这些拓荒者和创新者事迹中获得新知。
★用通俗语言描述伟大发现，快速轻松读懂数学的乐趣。再现与这些发现相关的时代背景、轶闻趣事，从此数学和数学史都不再艰深难读，适合科普爱好者、学生入门启蒙。
★后现代风格插画，活泼醒目、不拘一格，让人过目难忘。全彩四色印刷，创意拼贴风格，一本既潮又酷的趣味数学史！

1分钟为什么有60秒？两千多年前的人如何测量地球的周长？计算机与程序员的真正鼻祖分别是谁？猴子多了就能写出莎士比亚吗？一只蝴蝶如何引发龙卷风？……
本书从科学史的角度，依照时间顺序介绍了有史以来具有突破性的50个重大数学发现。这些发现不仅是数学这门学科的飞跃，也影响着人类生活和世界科技的发展：从远古人类在骨头上留下的计数刻痕，到只需按下按钮就能自行运算的机器，现代社会的几乎每一个进程和模式都以数学为核心。在这些问题的发现、探索和解决中，数学的纯粹和逻辑之美尽数体现。不论你感兴趣的是算术、几何、统计、逻辑学还是计算机科学，这本书都能让你找到许多有趣且深具启发性的解答。翻开这本书，你就能进入这个用头脑构建出的世界，感受数学家们的奇思妙想。

亚当·哈特-戴维斯，英国科学家、作家、摄影师、电视节目主持人，毕业于牛津大学莫尔顿学院化学系，在约克大学取得有机金属化学博士学位，之后曾在牛津大学出版社担任科学图书编辑。曾主持BBC的“地方英雄”“明日世界”等节目，成为知名的科普传播人士。他拥有14个荣誉博士学位，曾获得英国皇家工程院颁发的奖章。创作和参与编写的著作超过30本，包括《薛定谔的猫：改变物理学的50个实验》《巴甫洛夫的狗：改变心理学的50个实验》《DK伟大工程》《DK科学百科》等。

引言
1. 摸索前行：公元前20000—公元前400年
    约公元前20000年　伊尚戈骨上刻的是什么？——远古人类 
    公元前20000—前3400年　为什么是数到“10”？——远古人类
    约公元前2700年　为什么1分钟有60秒？——苏美尔人
    约公元前1650年　可以化圆为方吗？——古埃及人、古希腊人
    约公元前1500年　埃及分数怎么表示？——古埃及人 
    约公元前530年　何为证明？——毕达哥拉斯
    约公元前400年　无限有多大？——古希腊人
2. 问题和解题：公元前399—公元628年
    约公元前300年　谁需要逻辑？——欧几里得
    约公元前300年　质数有多少？——欧几里得
    约公元前250年　何为π ？——阿基米德
    约公元前240年　地球有多大？——埃拉托色尼
    约公元250年　代数之父多少岁？——亚历山大城的丢番图
    约公元628年　何为无？——婆罗摩笈多
3. 兔子与现实：公元629—1665年
    约公元820年　不用数字能运算吗？——阿尔－花剌子模
    1202年　有多少只兔子？——斐波那契
    1572年　数字都是实数吗？——拉斐尔·邦贝利
    1614年　如何用骨头做加法？——约翰·奈皮尔
    1615年　酒桶有多大？——约翰内斯·开普勒
    1637年　何为笛卡儿坐标？——笛卡儿
    1653年　何为概率？——布莱士·帕斯卡
    1665年　如何计算寸步之速？——艾萨克·牛顿、戈特弗里德·莱布尼茨
4. 弥合数学中的鸿沟：1666—1796年
    1728年　何为欧拉数？——莱昂哈德·欧拉
    1736年　你能一次性走完7座桥吗？——莱昂哈德·欧拉
    1742年　偶数能被分成质数吗？——克里斯蒂安·哥德巴赫
    1752年　如何计算流量？——丹尼尔·伯努利
    1772年　浩瀚宇宙，何处停留？——约瑟夫－路易·拉格朗日
    1796年　蚂蚁知道自己在球上吗？——卡尔·弗里德里希·高斯
5. 救生、逻辑和实验：1797—1899年
    1807年　波如何导致温室效应？——让－巴普蒂斯·傅里叶
    1815年　振动如何产生图案？——玛丽－索菲·热尔曼
    1832年　何以为解？——埃瓦里斯特·伽罗瓦
    1837年　机器能制表吗？——查尔斯·巴贝奇、阿达·洛芙莱斯
    1847年　何为思维定律？——乔治·布尔
    1856年　统计数据如何救死扶伤？——弗洛伦斯·南丁格尔
    1858年　几个侧面和几条边？——奥古斯特·莫比乌斯、约翰·本尼迪克特·利斯廷
    1881年　归入哪个圆？——约翰·维恩
    1899年　为什么存在混沌系统？——亨利·庞加莱
6. 在思想和宇宙中：1900—1949年
    1913年　猴子多了就能写出莎士比亚吗？——埃米尔·博雷尔
    1918年　能量始终守恒吗？——艾米·诺特
    1918年　的士数趣味知多少？——斯里尼瓦瑟·拉马努金
    1928年　取胜的方法？——约翰·冯·诺依曼
    1931年　是否完备？——库尔特·哥德尔
    1948年　何为反馈回路？——诺伯特·维纳
    1948年　传输信息的方式？——克劳德·香农
    1949年　该不该改变策略？——约翰·纳什
7. 现代计算机时代：1950 年至今
    1950 年　机器能解决所有问题吗？——艾伦·图灵
    1963 年　蝴蝶如何引发龙卷风？——爱德华·洛伦兹
    1974 年　飞镖和风筝铺就了什么？——罗杰·彭罗斯、莫里茨·科内利斯·埃舍尔
    1994 年　费马真的证明了吗？——安德鲁·怀尔斯
    2014 年　物体如何沿曲面运动？——玛丽亚姆·米尔扎哈尼
    2018 年　何为盾状棱柱？——佩德罗·戈麦斯·加尔韦兹等
名词表

数学以其自身模式和精妙之处区别于其他学科。这门学科的发展并不依赖外在的物质世界，比如铅的重量、天空的蓝色、火药的可燃性……数学上取得的进步往往源于纯粹的洞察力和逻辑。直至今日，数学家们在谱写属于他们的数学奇迹时也不过是用纸和笔。
实验表明，乌鸦、大鼠、黑猩猩等许多动物的计数能力都令人惊叹。这么看来，要说早期人类也有不掰手指做心算的本事，倒在情理之中。
毕达哥拉斯是早的数学先驱之一。约公元前580年，他出生于古希腊的萨摩斯岛，后来在意大利南部的克罗托内创办了一所数学学校。在这所学校里，他的追随者们戒食豆子、不许碰白色羽毛，也不许在阳光下撒尿。虽然不是他创造了著名的毕达哥拉斯定理（a^2＋b^2＝c^2），但他证明了这一定理。事实上，他引入了“证明”的概念，这是数学的基本原则之一。在数学这门学科中，证明即一切；反之，科学无法证明任何东西。科学家能够推翻某一观点，但永远无法证明它。
证明是费马大定理的关键所在。在讨论毕达哥拉斯定理的那一章1页边空白处，法国律师皮埃尔·德·费马写道：当整数n大于2时，关于x、y、z 的方程x^n＋y^n＝z^n 没有正整数解。除此之外，他还写了一句话：“我发现了一个绝妙的证明方法，不过这面的页边实在太窄了，写不下。”不过，他的这一说法直到1665年他去世后，才为世人所知。之后长达330年的时间里，杰出的数学家们苦寻他的证法，却徒劳无功。直到1994年，安德鲁·怀尔斯终于解决了这个难题。但是，怀尔斯的证明足足列了150页，还使用了在费马那个时代还未知的数学方法。因此，我们可能永远都不会知道当时的费马是否说了真话。
数学常用于解谜。比萨的莱昂纳多（以“斐波那契”这个名字为人所知）在《计算之书》（Liber Abaci，1202）中以谜题的形式引入了一串新奇的数列。他让读者们想象有一对幼兔，它们长大要一个月的时间，然后再过一个月，就能生下一对小兔子。而它们生下的这对小兔子，长大又要一个月。那么问题来了：“每个月的月底会有几对兔子？”答案是1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。这个数列可以无限递推，其中每一项都等于前两项之和。大自然中，斐波那契数列随处可见。比方说，花通常有3、5或8片花瓣；松果上的鳞片通常在顺时针方向呈现8 条螺旋线，在逆时针方向呈现13条螺旋线。斐波那契才智过人，他还学会了阿拉伯数字系统，并将其引入西方世界。
如果没有这些前辈，紧随其后的数学拓荒者们就永远都无法获得更多发现。没有斐波那契，牛顿和莱布尼茨就不会发明微积分；没有微积分，欧拉、高斯、拉格朗日和帕斯卡的许多想法也无法为人所知；没有这些想法，伽罗瓦、庞加莱、图灵和米尔扎哈尼等人的研究也将举步维艰……这样的例子不胜枚举。当然，更别提费马大定理的证明了。
所有这些数学发现，包括斐波那契的兔子和他的数列，都是在前人的研究基础上不断向前发展、向外延伸的。正因如此，数学还有着更广阔的疆域，待人们探索发现。

本书动人而富有趣味地探索了数学史上的关键时刻。——Popular Science书评 

体量完美，文字优美，插图精美，阅读本书是一种简单的乐趣。购买、理解、收藏这本书，然后把它传递给年轻人，谁知道还会激发出什么灵感呢？——Bookmunch书评

为什么1分钟有60秒？
苏美尔的六十进制
我们生活在一个十进制的世界中。这个世界到处都是数十、成百、上千、几百万的整数。那为什么那么多日常生活中的基本单位都能被6整除呢？比如，白天有12 个小时、1 小时有60分钟、圆周角度数是360°等。这仅仅是有些尴尬的历史遗留问题，还是说它们背后有更待深入探讨的原因？
楔形数字
六十进制， 或者说以60为基数的数字系统， 起源于四五千年前美索不达米亚的苏美尔古代文明。苏美尔的数学也许是当时复杂的数学。尽管其他文明的数学可能同样发展得不错，但是大家都知道，苏美尔人对数学有更专业的追求。他们将数学刻在石头上，更确切地说是泥板上。
苏美尔人发明了早的一种书写系统。为了记录语言和数学，他们在潮湿的泥板上用叫作“stylus”的杆子做好楔形的记号，然后在太阳底下将泥板晾干晒硬，上面承载的信息便得以永久保存。形状使然，人们将这些记号命名为楔形文字（cuneiform）。这个词来源于拉丁语中的“cuneus”（楔子）一词。
苏美尔的数字符号并不复杂，仅由竖划记号和箭头记号组合而成。单个竖划记号表示1，代表一个单位；两个标记表示2，三个标记表示3，依此类推。不过，单个竖划记号根据位置不同可以分别表示1、60或3 600。其中的数字，表达起来少不了60的倍数。比如，124这个数字就表示为两个60的记号加上4个单独的单位记号。
为什么是60？
也就是说，苏美尔的数字系统和罗马数字有点儿像，只不过这个系统基于六十进制而非十进制。但是为什么是60呢？长期以来，数学家一直想对这一问题做出理论解释，但并没有得到确切的答案。公元4世纪，亚历山大城的塞翁提出这是因为60是能同时被1、2、3、4和5整除的小数字，所以因数的数量化了。但是与60一样，还有其他数字也有很多因数。
出生于奥地利的美籍科学史学家奥托·纽格鲍尔则认为，六十进制是从苏美尔的度量衡中发展而来的。以60为基数的话，人们轻易就能将商品等分为两半、3份、4份和5份。然而，也有人觉得可能恰好相反，不是度量衡影响了数字系统，而是数字系统决定了度量系统。
还有些人认为，一切答案都在星空中。那时的夜空非常晴朗，而且人们晚上也无所事事。苏美尔人都是狂热的观星者，他们在星空中寻找图案，为个星座取名。他们的日历也因观星诞生——星图每晚都会产生细微的变化，一年后终回到同一位置。
苏美尔人以这种方式得出一年有365天。19世纪的德国数学家莫里茨·康托尔决定将其近似计为360，然后除以6（一个圆要分成6份很容易），以此与六十进制相符。这个猜想不无道理。一年如果是360天，就可以轻易分成12个月，每个月30天，同时还可以解释为什么我们的圆周角是360度。但这仅仅也是猜测。
也许以60为基数的数字系统仅仅来源于手指计数。但是有证据表明，美索不达米亚人用手指计数的方法完全不同。你先抬起一只手，用拇指计算4根手指的3节，从而得到12。每计算一次12，你需要弹动另一只手的拇指，然后是4根手指，从而得到5倍的12或60。一旦你掌握了这种计数方法，算起数来非常简便、快捷。
以60为基数的计算优势
无论这一数字系统是怎么来的，60都可以被许多因数整除，这为苏美尔人研究一些非常复杂的数学问题奠定了基础。2017年，以戴维·曼斯菲尔德为首的澳大利亚数学家们声称，终于破解了“巴比伦人泥板”（普林顿322号泥板）的代码。这块已有3 800年历史的泥板出土于一个世纪前，埃德加·J. 班克斯在伊拉克发现了它。班克斯堪称现实版的印第安纳·琼斯，他把泥板转卖给纽约出版商乔治·普林顿。后来，普林顿逝世，泥板被遗赠给了哥伦比亚大学。
这一泥板上有用巴比伦版的楔形文字刻下的复杂数字表。曼斯菲尔德和他的同事声称，这不仅是早期的三角函数表，而且比现代的十进制三角函数表更准确，因为以60为基数的数字具有能被整除的性质——60能被3整除，但10不能。以10为基数，我们很容易将1/2、1/4、1/5这样的分数表示成小数——0.5、0.25和0.2，这并不难；但要把1/3这样的分数写成小数，只能得到无限循环小数0.333 333…，永远得不到一个精确值。
曼斯菲尔德等人的观点是否正确还有待商榷。但毋庸置疑的是，他们强调的是以60为基数的计数优势。现在，我们已经完全习惯了以10为基数的十进制系统所带来的便利。十进制中，除以10或乘以10时，我们只需调整数位即可，而且十进制小数为无限的计算范围开辟了道路。但是，当面对时间单位的分割，60的整除性质则独具优势，以至于其他计数方式来去更迭，六十进制却一直存在。很少有人会在深思熟虑之后，提出改成10小时为1天、10分钟为1个小时这样的建议。毕竟，以60为基数来划分时间要简单得多。