代数学教程：第2卷，抽象代数基础

本书共4章，介绍了群论基础、环论基础、域论基础、伽罗瓦理论的相关知识.本书适合高等学校数学相关专业师生及数学爱好者阅读参考.

第一章  群论基础//1
§1  带有运算的集合  //1
1.1  代数运算的基本概念  //1
1.2  代数系统的特殊元素——单位元·零元//4
1.3  二元运算的一般性质——结合律·交换律·分配律  //6
1.4  逆运算·逆元  //10
1.5  代数系统的同构  //12
1.6  代数系统的同态  //14

§2  群的基本概念  //17
2.1  群的概念·群的例子  //17
2.2  群的性质·群的第二定义  //20
2.3  有限群的另一定义  //22
2.4  群元素的阶  //25

§3  变换群·循环群  //27
3.1  变换群  //27
3.2  置换·对称群  //33
3.3  循环群·整数加群与剩余类群  //37

§4  子群  //44
4.1  群的子集  //44
4.2  子群//45
4.3  交集与生成元  //47
4.4  生成系  //52
4.5  陪集  //55
4.6  循环群的子群//60
4.7  直积  //62
4.8  1阶到8阶群的概论  //68
4.9  乘积定理·双陪集  //74
§5  正规子群  //77
5.1  正规子群·单纯群  //77
5.2  商群//81
5.3  共轭类·中心化子·正规化子  //83
5.4  群的同态·同态基本定理  //87
5.5  商群的子群  //91
5.6  两个同构定理  //94
5.7  群的自同构  //97
5.8  交换群的鉴定·换位子群  //100
§6  子群列  //102
6.1  正规群列与合成群列//102
6.2  合成群列  //105
6.3  可解群及其判定  //107
6.4  可解群的性质·有限群的情形  //109
§7  置换群理论  //112
7.1  S,的共轭类  //112
7.2  对换  //115
7.3  交代群  //118
7.4稳定子群  //123
7.5  可迁群  //126
7.6  非可迁群  //130
7.7  置换表示  //132
§8  有限群的素数幂子群  //136
8.1  柯西定理  //136
8.2  西罗定理  //138
8.3  推广  //141
第二章  环论基础//146
§1  环的基本概念  //146
1.1  环的概念  //146
1.2  环的性质  //148
1.3  交换律·单位元·零因子·整环  //154
1.4  除环·域  //157
1.5  无零因子环的特征  //164
1.6  子环·环的同态  //166
1.7  商域  //169
§2  理想与环的同态  //172
2.1  理想  //172
2.2  理想的交与和·主理想  //174
2.3  理想的乘法  //178
2.4  理想的除法  //179
2.5  商环  //182
2.6  环的同态定理  //184
2.7  素理想和极大素理想  //186
2.8  环的直和  //190

§3  整环内的因子分解  //193
3.1  单位·不可分解元·素元  //193
3.2  元素的相伴  //197
3.3  唯一分解环的概念//199
3.4  唯一分解环的特征与性质  //201
3.5  理想与整除性  //204
3.6  主理想环  //206
3.7  欧氏环  //208

§4  多项式环  //211
4.1  交换环上的多项式环  //211

4.2  整环上的一元多项式环  //215
4.3  高斯整环的多项式扩张  //219
4.4  诺特环  //223
4.5  理想的既约分解  //227

§5  有序环和有序域  //229
5.1  环和域的有序化  //229
5.2  分离性和稠密性  //235
§6  布尔代数与格  //237
6.1  基本定义  //237
6.2  定律：同算术定律类比  //238
6.3  布尔代数  //240
6.4  其他基本定律的推导  //242
6.5  布尔多项式的标准型  //244
6.6  半序//247
6.7  格  //248
6.8  集合表示  //250
第三章  域论基础   //254
§1  域的扩张  //254
1.1  子域·扩域·素域  //254
1.2  添加  //257
1.3  单纯扩张·代数扩张与超越扩张  //259

§2  域的代数扩张  //261
2.1  域上的代数元素  //261
2.2  单纯扩张的存在性与唯一性  //263
2.3  次数与有限扩张  //266
2.4  有限扩张的基本定理  //268
2.5  多重代数扩张  //270
2.6  迹与范数  //272§3  分裂域·正规性  //276
3.1  分裂域  //276
3.2  正规扩域·分裂域的正规性  //279

3.3  代数闭包  //281
§4  素域上的单位根域·有限域  //286
4.1  单位根//286
4.2  分圆多项式  //288
4.3  有限域  //291
§5  可分与不可分扩张  //295
5.1  可分多项式与不可分多项式  //295
5.2  可分与(纯)不可分元素  //299
5.3  可分与不可分扩张·完全域及不完全域  //300
5.4  施坦尼茨定理·本原元素定理  //304
第四章  伽罗瓦理论   //310
§1  伽罗瓦群  //310
1.1  伽罗瓦群的概念  //310
1.2  群特征标·子群与子域  //312
1.3  伽罗瓦扩域·伽罗瓦群  //318

§2  多项式的伽罗瓦群  //320
2.1  多项式的伽罗瓦群的定义及可迁性  //320
2.2  多项式的伽罗瓦群的计算  //323

§3  伽罗瓦理论的基本定理  //327
3.1  伽罗瓦群的性质  //327
3.2  伽罗瓦理论的基本定理  //329
3.3  共轭的域·正规扩域的第二种定义  //332
3.4  共轭映射的个数  //334
3.5  应用：对称多项式基本定理和代数基本定理的证明  //337

§4  具有特殊群的正规扩域  //339
4.1  分圆扩域  //339
4.2  循环扩域  //343
4.3  可解扩域与根式扩张  //349

§5  代数方程的根号解问题  //352
5.1  代数方程的根号解  //352
5.2  n次一般方程  //354

5.3  二次、三次与四次方程  //357
5.4  有理数域上的素数次分圆方程  //362
5.5  素数次的多项式  //365
5.6  圆规与直尺作图//370
参考文献//374