描述
开 本: 128开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787301349519丛书名: 科学元典丛书
莱布尼兹给他的祖国赢得的荣耀，是柏拉图、亚里士多德和阿基米德给希腊带来的荣耀的总和。
——狄德罗
在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。
——恩格斯
微积分是现代数学取得的最高成就，对它的重要性怎样估计也是不会过分的。
——冯·诺伊曼
莱布尼兹和牛顿关于微积分优先权的争论闻名整个学术界，甚至是学术界之外。现在，学术界公认，莱布尼兹和牛顿分别独立地创立了微积分，只是牛顿先发明，莱布尼兹先发表。但这场争论在牛顿、莱布尼兹所生活的时代，甚至在他们去世后的很多年都很激烈，中间也发生了很多趣事。《莱布尼兹微积分》既包含了莱布尼兹创建微积分的过程，也包含了莱布尼兹在微积分优先权争论期间为自己做出的申辩，从中可以了解他创建微积分的过程以及这场争论发生的部分缘由和过程。另外，中译版本中还增加了大量插图，具有很强的可读性。
弁言/ⅰ
导读/1
英译者序/1
第一部分/1
第一章 致詹姆斯·伯努利信的附言/3
第二章 微积分的历史和起源/15
第二部分/51
第三章/53
第四章/59
第五章/67
第六章/75
第七章/89
第八章/99
第九章/117
第十章/127
关于第十章至第十五章的说明/135
第十一章/137
第十二章/141
第十三章/149
第十四章/155
第十五章/161
第十六章/171
第十七章/185
英译本参考文献/201
莱布尼兹的手稿和书信,不仅有助于历史学者研究他作为微积分学科启蒙者和推动者的早期工作,还具有特别的研究意义——它们对于研究莱布尼兹在微积分的发明和发展中所起的作用是非常宝贵的。
本文所依据的内容是由格哈特(C.Gerhardt,1816—1899)博士从一大堆属于莱布尼兹的文稿中发掘和整理出来的,这些文稿保存在汉诺威的皇家图书馆里,里面包含有莱布尼兹以前从未发表过的手稿。
这些手稿中最重要的部分,也是本文主要的内容,已被格哈特博士编辑整理为三本书,并对书中一些内容附了详细的注释和注解,这三本书的书名分别为：
1.Historia et Origo Calculi Differentialis. Hannover, 1846.
《微积分的历史和起源》,汉诺威,1846.
2.Die Entdeckung der Differentialrechnung durch Leibniz. Halle, 1848.
《莱布尼兹发现微积分》,哈雷,1848.
3.Die Geschichte der h?heren Analysis; erste Abtheilung, Die Entdeckung der h?heren Analysis. Halle, 1855.
《高等分析的历史:第一部分,高等分析的发现》,哈雷,1855.
本文完成之时,正值莱布尼兹逝世200周年之际,这也恰是出版这些手稿英译版本的最佳时机。
就本文的写作目的而言,将手稿分为两部分比较合适,其中第一部分主要内容为莱布尼兹对自己研究工作的描述。第一章的内容是对莱布尼兹写给雅各布·伯努利[Jacob Bernoulli,1654—1705,亦称詹姆斯·伯努利(James Bernoulli),后均采用“詹姆斯·伯努利”]的信的附言的逐字翻译,“这些内容是1703年4月在柏林完成的,后被删掉,并被一个完全不同主题的附言替换。”这些内容在某种程度上可以看作是亲密朋友之间的交流。因此,它自然不像莱布尼兹在《微积分的历史和起源》里对他的工作所作的第二次叙述那样,是一篇经过深思熟虑的文章,第二次叙述的完整译文在第一部分的第二章给出。
在比较这两部分内容时,我们需要特别注意,任何可看到的细微差异,都是由莱布尼兹当时所处的不同写作情形造成的。《微积分的历史和起源》里面的叙述给人的印象是,这些内容经过了相当全面的修订并准备出版,且相关事实也被整理成一个令人印象深刻的,或者像有些人所说的那样,可信的整体,这些内容很可能是莱布尼兹在去世之前完成的,代表了他对《来往信札》(Commercium Epistolicum)那段令他厌恶记忆的回应。
1716年11月莱布尼兹的去世可能是这些内容未能出版的原因,或者至少是主要原因。
鉴于当今数学史学家所掌握的真实资料,我④觉得没有必要对《来往信札》中相关内容再进行讨论和探讨。此外,如果微积分的发现确实不能完全独立地归功于莱布尼兹,那么我对他灵感的来源持有与其他人完全不同的看法。因此,除了支持莱布尼兹所提出的对完全不公平的耻辱的辩解外,我将尽量避免提及《来往信札》。而且,我在上面已经说过,莱布尼兹打算用《微积分的历史和起源》来陈述和表明他对这件事的看法,并回应对他的攻击。这篇关于他研究工作的记述,虽然作者是用第三人称撰写的,并自称是“一位对这件事了如指掌的朋友”,但是,根据格哈特博士的权威论证,这位“朋友”无疑是莱布尼兹本人。我丝毫不怀疑这个结论的权威性,但又不禁想到,如果我能在这里附上这份手稿的部分照片,那整个内容就会更有说服力了,但这个想法在撰写本文时是无法完成的。
《微积分的历史和起源》编写延迟的原因已在其文中说明,后面我还将有机会讨论这些问题。为了使大家能完全理解本文中所出现的评论,有必要对1712年《来往信札》出版之前的争论历史做一个非常简短的描述。
这件事最早是在1699年由瑞士数学家丢勒发起的,他从1691年起就住在伦敦,并与惠更斯有通信往来,从丢勒寄给惠更斯的一些信中可以看出,这次发明权争论已经悄悄准备了一段时间。丢勒是否得到了牛顿的许可和授权还不能确定,但从信件中似乎可以肯定的是,牛顿给了丢勒关于其著作的一些内容。依据这些内容,丢勒宣称:牛顿首先发明了微积分,而莱布尼兹借鉴了牛顿的理论,是第二个发明人。
这些指控对莱布尼兹的伤害很大,因为他曾将他与牛顿的书信副本存放在沃利斯那边准备出版。由于丢勒是英国皇家学会的成员,莱布尼兹理所当然地认为,丢勒的指控是经过英国皇家学会同意的。因此,他要求将沃利斯手中的信件内容公布出来,为自己讨回公道。随后,莱布尼兹收到英国皇家学会一位秘书斯隆(Sloane)的答复。斯隆告知他,他关于学会参与攻击他的任何假设都是没有根据的。由此,他没有再关注此事,整件事情也就这样被遗忘了。
1708年,凯尔再次对莱布尼兹进行了攻击,并直接指控莱布尼兹抄袭牛顿。由于沃利斯于1703逝世,在英国,没有人能证实莱布尼兹的说法,所以他直接向英国皇家学会求助。该学会随后任命了一个由皇家学会成员组成的委员会来审议与此事有关的文章。他们的报告发表于1712年,题目是《学者柯林斯与他人有关分析学进展的来往信札》(Commercium Epistolicum D.Johannis Collins et Aliorum de Analysi promota)。
直到两年后,莱布尼兹才从进行家谱研究工作的意大利城镇返回汉诺威。所以,《微积分的历史和起源》肯定是莱布尼兹在1714年到他的逝世日期1716年之间撰写的。这些日期使我们能够解释他在附言和《微积分的历史和起源》中关于其研究工作的两份报告之间的相似性,以及它们之间的所有细微差异。
不过,我们首先要试着找一找莱布尼兹写这篇信后附言,以及写后又将其删掉的原因。1691年1月,在莱比锡的《教师学报》中,詹姆斯·伯努利说莱布尼兹的基本思想来源于巴罗的研究工作,但在随后的1691年6月,他承认:尽管莱布尼兹和巴罗的研究在某些方面有相似之处,但是莱布尼兹的研究要远远领先于巴罗的研究成果。人们不禁要问,詹姆斯·伯努利的这种承认是由莱布尼兹享有盛名的人格魅力所造成的吗?但是,那个时候,莱布尼兹似乎生活在沃尔芬比特尔,而詹姆斯·伯努利则住在巴塞尔,显然,这么远的距离,两人之间进行面谈是不可能的,更合理的解释是莱布尼兹通过信件提出了自己有理有据的反驳意见。需要注意的是,詹姆斯·伯努利并没有完全收回他关于莱布尼兹的基本思想来源于巴罗的说法,他只是说,尽管有相似之处,但也有不同之处,这些不同之处是可以体现出莱布尼兹的研究工作远远领先于巴罗的相关研究的。而我个人倾向于认为詹姆斯·伯努利只是把莱布尼兹的方法和巴罗的微分三角形方法进行比较,他并没有注意到巴罗有一些命题是关于因变量的积、商和幂的微分的几何等价量的。
由于格哈特没有发现莱布尼兹在1703年之前的其他信件或手稿里提及此事,所以在我看来,当时的莱布尼兹,虽然没有忘记自己遭受的含沙射影,却又不得不放下所有与之抗衡的念头。然而,从信中附言的第一段来看,在某个时间之后,他似乎又提起了这件事情,并要求伯努利家族对《教师学报》中的陈述给一个合理的理由或解释,同时表达了他对伯努利家族发表这些言辞的失望之情。原因可能是莱布尼兹已经获悉,持有这种观点的并不局限于詹姆斯·伯努利本人,因为莱布尼兹说:“……你,你的兄弟们,或者其他任何人。”
至此,我们可以猜测出促使莱布尼兹写这篇信中附言的时机和背景了。现在,让我们试着寻找莱布尼兹删除附言的原因。莱布尼兹曾将丢勒排除在能够解决约翰·伯努利的最速降线问题的数学家名单之外,这令丢勒很愤怒,而丢勒对莱布尼兹的攻击似乎就是由此引发的。“他出版了一本关于这个问题的回忆录,并宣称,根据不可否认的事实,他必须承认牛顿不仅是微积分的第一发明人,而且多年来一直都是。不管第二发明人莱布尼兹是否在牛顿那里借鉴了什么内容或者想法,他宁愿让那些看过牛顿的信件和其他手稿的人来评判,而不是他自己。”丢勒的这种只是含沙射影而不敢直接断言的做法体现出了他的攻击的胆怯,但这种含沙射影可能更有杀伤力,它暗示:那些看过牛顿论文的人不可能对上面的观点有丝毫的怀疑。
1700年5月,莱布尼兹在《教师学报》中发表了一篇文章予以回应,在文中他引用了牛顿的信件,也引用了牛顿在《自然哲学之数学原理》中向他提供的证言,并将它们作为他声称自己拥有该方法的独立作者身份的证据。丢勒给出了对这篇文章的答复:《教师学报》的编辑拒绝发表该文章。这可能是在1701年发生的事情,我认为莱布尼兹那时大概已经得出结论:暂且放下巴罗的事,优先处理与牛顿相关的事情,会更明智一些。但他不明智地再次从关于牛顿的《曲线求积术》的一篇评论(包含了暗讽牛顿的一些内容)开始争辩。牛顿的这篇文章是在1708年和他的《光学》(Opticks)一起发表的。这招来了凯尔对他的攻击。虽然这些攻击言论让有关巴罗的事情逐渐淡出人们的视线,并被更多人遗忘,但我认为对莱布尼兹抄袭牛顿的指控缺乏真实性。
莱布尼兹也明白,如果要做一个回应的话,就必须准备一个周密的答复,再三考虑之后,他觉得在公开回复之前,最好把附言中的内容也写出来,以便作进一步的考虑,必要时加以修订和扩充。需要指出的是,虽然上述评论是以第三人称匿名写成的,但已经确定其作者就是莱布尼兹本人。
一般性评论不再赘述,具体的评论意见将在下面的翻译中提及。
蔡尔德(J.M.Child,1871—1960)
弄清楚那些值得纪念的发现的真正起源是一件非常有用的事情，特别是那些并非偶然，而是通过深思找到的发现。这并不是为了让历史可以将发现的成果归功于对应的人，并鼓励和激励其他人努力获得类似的赞誉，而是为了通过考虑值得注意的例子来推广发现的方法。
微积分——一种新的数学分析，作为这个时代数学分析领域最著名的发现之一，尽管目前其本质要点已经阐述清楚，但这一发现的起源和方法还不为世人所知。其作者在大约四十年前发明了它，九年后（大约三十年前）又以简明扼要的形式出版了相关内容；从那时起，它不仅因经常受到高度赞扬而被人们所了解，而且也成为一种普遍使用的方法；并且，许多辉煌的发现都得益于它的帮助，例如已经被收录在由莱比锡出版的《教师学报》中的成果，以及发表在皇家科学院的论文中的成果；因此，可以说，微积分的发现已经给数学带来了一个新的面貌。
真正的发明家的名字从未存在任何不确定性，直到最近，在1712年，某些新人，或者是对过去时代文献一无所知，或者是出于嫉妒，或者是略微希望通过争论获得名声，又或者是出于谄媚的奉承，给他（莱布尼兹）树立了一个竞争对手；并且由于他们对这个对手的赞美，该作者在这个问题上受到了不小的贬低，因为人们认为前者所知道的东西远多于能在正讨论主题中发现的东西。此外，在这一点上，他们的行动相当精明，因为他们把争论推迟到那些了解情况的人，如惠更斯、沃利斯、奇恩豪斯等去世后才开始，而这些人本来是可以反驳他们的说辞的。
事实上，这也是为什么要把同时代的规定作为法律问题引入的一个很好的理由；因为在责任方没有任何过错或欺骗的情况下，抨击就可以推迟到他可以用来保护自己免受对手伤害的证据不复存在的时候。此外，他们还改变了整个问题的要点，因为他们在《来往信札》中提出了自己的观点，以表示对莱布尼兹的怀疑，他们对微积分只字不提；取而代之的是，其他所有页面都是由他们所谓的无穷级数组成的。此类东西最初是由墨卡托通过除法得到的，牛顿则通过求根法获得了更一般的形式。这当然是一个有用的发现，因为通过它，算术逼近被简化为了分析计算；但它与微分计算完全没有关系。此外，即使在这一点上，他们也利用了错误的推理；因为每当这个对手通过把一个图形逐渐增加的各部分相加求出面积③时，他们立即称赞这是微积分的使用(例如在《来往信札》的第15页)。按照这样的说法，开普勒、卡瓦列里、费马、惠更斯和沃利斯也都使用了微积分；事实上，在那些研究“不可分割”或“无限小”的人当中，谁没有使用过它呢?但事实上，就人们所知道和使用的流数法而言，作为对它有一些了解的惠更斯公平地承认，这种计算给几何学带来了新的曙光，并且科学领域之外的认知也会因其使用而取得惊人的进步。
在莱布尼兹之前，没有任何人想到要建立新计算所特有的符号，以使人的想象和创造能力摆脱对图表的长久依赖，就像韦达和笛卡儿在普通几何学或阿波罗尼奥斯几何学中所做的那样；此外，与阿基米德几何学以及被笛卡儿称为“机械”的线条有关的更高级的部分，被后者排除在他的计算之外。但现在，借助莱布尼兹的微积分，整个几何学都可以进行解析计算，那些被笛卡儿称为机械的超越线也可以通过将差分dx，ddx等以及这些差分的倒数的和视为x的函数，而简化为适用的方程式；这一点，仅仅是引入微积分就可实现的，而在此之前，除x，xx，x3等(即幂和根)外，没有其他函数可以实现这样的计算。因此，很容易看出，那些以0表示这些差分的人，例如费马和笛卡儿，甚至是那个竞争对手在一六几几年出版的《自然哲学之数学原理》中，与微分学相距甚远。因为以这种方式，不可能确定出差分的等级或多个变量的微分函数。
在莱布尼兹之前，没有出处显示过有使用过这些方法的丝毫痕迹。与他的反对者在把这种发现归功于牛顿时所表现出的公正性完全一样，任何人都可以同样地把笛卡儿的几何学归功给阿波罗尼奥斯，他虽然拥有微积分的基本思想，但却不拥有微积分。
也因为这个原因，在微积分辅助下产生的新发现也被牛顿方法的追随者所掩盖，而且在他们学会莱布尼兹的微积分之前，这些发现既无法产生任何实际价值，也无法避免错误，正如由大卫·格雷戈里所作的关于悬链线的研究发现一样。但是这些有争议的人竟敢滥用英国皇家学会的名称，英国皇家学会则竭尽全力使人们知道，他们并没有做出真正明确的决定；学会没有听取任何一方的意见，以此彰显他们公平公正的名声，事实上我的朋友自己也不知道英国皇家学会对此事进行了调查。不然的话，学会就会把那些委托报告的人的名字告诉他，以便准备提供反驳和证明的相关资料。他的确不是被他们的论点所震惊的，而是被他们对他的善意攻击所充斥的谎言所震惊的，他认为这种事情不值得回答，因为他知道在那些不熟悉这个问题的人(即绝大多数读者)面前辩护是没有用的；他觉得，那些对所讨论的问题很熟悉的人将很容易地察觉到指控的不公正性。除此之外，还有一个原因，那就是当这些报告被他的对手传阅时，他不在家，时隔两年后回到家中，又忙于其他事务，这时再去寻找和查阅他以前的信件已经太晚了，这些信件可能会使他想起四十年前那么久以前发生的事情。因为他曾经写过的非常多的信件的抄本并没有保存下来；除了沃利斯在英国找到并经他同意发表在他的著作第三卷中的那些信件外，莱布尼兹自己也没有多少。
然而，他并不缺少朋友来维护他的名誉；事实上，某位数学家，他是我们时代最优秀的人物之一，精通这个研究领域，而且完全不偏不倚，攻击莱布尼兹的一方曾试图获得他的支持，却徒劳无功，这位数学家直接给出了他自己发现的理由，尽管不完全公正，但他认为莱布尼兹的对手不仅没有发明微积分，而且对微积分的理解程度也不高。发明者的另一位朋友也把这些和其他内容写成一本小册子发表了，以便查看他们的基本论点。然而，更重要的是让人们知道发现者得出这种新计算的方式和推理；因为到目前为止，即使是那些想要分享这一发现的人，也确实不知道这一点。事实上，他本人已经决定解释它，通过分析他自己记忆里的内容、现存的著作以及留存的旧手稿，讲述他的研究过程，并以这种方式在一本小书中正式讲述这种高等学问的历史和发现它的方法。但当时由于其他事务的需要，他不可能这样做，所以莱布尼兹允许一位对此事了如指掌的朋友在此期间发表这份简短的声明，以便在某种程度上满足公众的好奇心。
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