工程数学基础 [美]托马斯·J. 彭斯 [美] 因德瑞克·S.威奇曼

人工智能时代的到来，利用计算建模和仿真技术计算和解决工程与科学问题已成为主流，为了更好地设计算法和利用计算软件，需要研究人员和软件使用者对数学的了解比过去更多。在机器计算占据主导地位的时代，本书为研究生和研究生水平的工程师和科学工作者提供了所需的“必不可少的、根本的”数学基础。以教科书形式系统地、循序渐进地介绍数学知识，而不是只给研究生列出参考文献，这在研究生教学中值得推广。 

本书适用于拥有工程学或物理科学专业的本科学位或广泛课程并希望加深对应用数学基本主题的理解的学生。书中介绍的方法构成了工程和物理科学分析的核心。读者将学习研究中需要的解决方案、技术和方法。例如，他们将能够了解用于解决技术问题的各种科学软件包背后的基础知识（例如，描述复杂结构的固体力学的方程式或短期天气预报和长期天气预报的流体力学方程式气候变化），这对于成功使用此类法规至关重要。详细而众多的工作问题有助于确保对应用数学进行清晰而有节奏的介绍。每章末尾的计算挑战性问题为学生提供了动手学习的机会，并有助于确保对概念的掌握。

托马斯·J. 彭斯（Thomas J. Pence），密歇根州立大学机械工程系教授，拥有密歇根州立大学工程力学学士学位和加州理工学院应用力学硕士和博士学位。他的研究兴趣包括解析建模和计算建模、高形变固体等。他是美国国家理论和应用力学委员会成员，Journal of Elasticity、 International Journal of Solids and Structures和Journal of Mechanics of Materials and Structures期刊的编委会成员。

因德瑞克·S.威奇曼（Indrek S. Wichman），密歇根州立大学机械工程系教授，拥有纽约州立大学石溪分校工程力学学士学位、弗吉尼亚理工大学工程力学硕士学位，以及普林斯顿大学机械与航空航天工程硕士和博士学位。他在密歇根州立大学任教三十多年，获得了两项教学奖，并开发或合作开发了五门课程，包括本书对应的课程——工程分析。

目录

译者序

前言

致谢

第一部分线性代数

第1章线性代数与有限维向量空间2

11矩阵回顾2

12线性无关与线性相关3

13张成和基9

14分解向量空间为直和13

15数量积16

16正交性与格拉姆施密特正交化17

17正交补24

18基变换和正交矩阵29

习题33

第2章线性变换41

21线性变换概念41

22线性变换的基变换46

23投影张量52

24正交投影56

25不变子空间61

251零空间61

252值域62

253一维不变子空间66

习题67

第3章线性变换在方程组中的应用71

31值域的正交补和零空间71

32弗雷德霍姆选择定理——
第一次审视74

33当A的行列式为0时的

“最佳解”79

331满足可解性条件79

332不满足可解性条件80

34正规方程82

35广义逆——第一次审视85

351与最小二乘数据拟合的

关系88

352应用：拟合橡胶的应力拉
伸数据89

习题94

第4章特征值的谱99

41特征值和特征向量99

42特征空间104

421对角化105

422应用：弹簧与质量网络的
振动108

43长方形矩阵和奇异值113

44弗雷德霍姆选择定理——
第二次审视118

441弗雷德霍姆选择定理对
Rn→Rm的推广118

442弗雷德霍姆选择定理与
奇异值的关系120

45奇异值分解125

46广义逆——第二次审视131

461与长方形矩阵的奇异值分解
的关系133

462应用：滤除线性系统中
的噪声136

关于线性代数的进一步阅读140

习题141

第二部分复变量

第5章复变量的基本概念148

51复数概述及其简要历史148

52复数及其运算153

53平面几何解释：z平面156

54在复平面上的积分162

55非平面几何解释：黎曼球面166

56复分析中的点对代数172

习题177

第6章单复变量的解析函数181

61一些标准复函数181

62复函数映射——第一次审视186

63解析函数192

631导数193

632柯西黎曼方程195

64调和函数198

65在流体力学中的应用：势流200

651二维稳定流204

652流场中的物体206

66复函数映射——第二次审视：
施瓦茨克里斯托费尔变换208

661作为坐标变换的映射208

662开映射211

663闭映射215

664变换218

习题225

第7章柯西积分定理233

71解析函数与非解析函数的
积分233

711柯西古萨定理234

712柯西古萨定理对于路径
积分计算的结果235

72不定积分——原函数240

73柯西积分公式245

74解析函数导数的路径积分249

75单位圆中的调和函数251

76应用:拉普拉斯逆变换253

77势流再论：流动流体所施加
的力259

习题270

第8章级数展开和路径积分278

81泰勒级数278

82洛朗级数282

83留数和留数定理288

84包围各种极点的路径积分293

85可以计算实积分的复路径
积分299

86分支和分支切割304

861分支映射304

862带分支的积分：椭圆积分311

863带分支的积分：多项式、
对数和分数幂313

864带分支的积分：拉普拉斯
逆变换317

87路径积分的高级主题319

871复傅里叶变换320

872积分路径上的奇点：普莱
梅利公式322

873解析延拓327

关于复变量的进一步阅读333

习题334

第三部分偏微分方程

第9章线性偏微分方程342

91平衡和稳态343

911变量分离、特征值和特征
函数348

912带参数的边界值问题和
非平凡解349

92时间相关过程的偏微分方程及
特征值的作用350

93亥姆霍兹方程的特征函

前言
本书的英文书名表明，书中涵盖的数学题材是“必不可少的、根本的”或“基础的”。这个说法本身需要澄清。本书讨论的数学，对于什么来说必不可少？为什么必不可少?对谁必不可少（显然是工程师和科学家，但这也必须给出解释）?
要开始回答这些复杂的问题，有必要讨论它们最初是如何出现的，以及为什么会出现。
事实是，在大约1980年到2020年的40年间，利用计算建模和仿真技术解决工程和科学问题的计算机的使用出现了爆炸式增长。计算机还用于其他方面，从娱乐（视频、手机等）到逮捕逃犯和从事侦探活动（面部识别），到医疗和社会统计方面的大规模数据处理，再到日益金融化和经济化的日常生活。一句话，现在计算机无处不在。
日益增加的复杂性带来的一个负面影响是与基础失去了联系。在日常生活中，不会修理自己的汽车或不会更换家里的供暖、通风和空调系统被视为无能。一旦计算机能够解决长期存在的工程难题，留给那些可替代的工程师的还有什么呢?计算机使得一切都变得很容易。它从不要求休假、奖金或加薪，最重要的是，与现实生活中的工程师不同，它从不犯任何错误。此外，如果不需要工程师和科学家，为什么还要教授工程学和科学？
面对这种情况，我们会问一个更直接相关的问题:在一个机器计算占据主导地位的时代，我们的工程师和科学家（假设他们仍然是不可少的）需要什么样的数学头脑?这个问题的一个略微不同的版本是:我们的学生在数学基本原理方面应该打下多少基础？我们不得不注意到，随着预先设计好的商业软件程序变得普遍可用，编写自己的代码的需求似乎已经消失了。因此，我们有理由提出更多问题:如果某种解总是可计算的，那么是否还有必要担心数学算法和建模假设的一致性?是否值得人们花时间去问这个数学问题的适定性？

一个数学问题是适定的，是指问题有解，而且解唯一；更重要的是解稳定。——译者注

工程师或科学家是否仍然需要在解决问题的过程中利用严格的算法思维，或者他们的角色应该以问题陈述结束?
通过许多夸大言辞、错误的陈述和事故，我们意识到，缺乏技术能力和专业知识的后果可能是可笑的，甚至是有害的。桥梁倒塌，飞机坠毁，这说明风洞和其他大型实验设施仍然需要，实验分析变得更加精细和准确。因此，出现了一种明显的监督需求，即职业工程师和科学家能够对困难的技术问题的“解”提供合格的技术审查。我们有必要问一些古老问题的现代变体:什么是问题和解决它意味着什么?我们不得不承认,尽管我们生活在一个技术发展远远优于我们的数学发展的时代，但是我们还没有摆脱数学强加给我们的限制:日常生活对数学的要求和过去一样多，甚至比过去更多。
随着现代工程实践中范围和重点的变化。我们对机器计算的依赖几乎无处不在，我们需要新的和不同的方法向工程和自然科学专业的学生介绍基本数学知识。即便如此，前进的道路还是要从长远地回顾过去那些已解决了的问题开始。这些问题是如何产生的？它们试图回答什么问题？解决方案是如何产生的？这些问题为现代数学模型的构建和求解提供了有价值的线索。尽管计算机改变了我们从事数学研究的方式，改变了我们构造解的方式，改变了我们将给定问题的部分与整体相联系的方式，但这只是形式上的改变，而不是内容上的改变。作为一个简单的例子，读者可能会反思这样一个事实:尽管我们不打算丢弃软件代码，但是我们会更加小心地用已经建立的数学解决方案来测试它们。当我们扩展这些最初设计来解决更简单问题的代码和程序时，这一点就不只是重要，而是至关重要。人的潜力远超他的能力范围，我们在任何时候，只要有可能，就应寻求缩小这一差距的方法。
当然，前面的讨论集中在前两个问题上，“对于什么来说必不可少，为什么必不可少”。
关于“对谁必不可少”，这本研究生入门水平的书的目的是用改善的工具以及经过先例和经验磨砺的观点，来叙述最重要的基本数学问题。有抱负的研究生水平的工程师或科技人员应该知道这些问题。因为这种知识是基础性的，所以它是向上和向外建立的。然而，每一个新的研究对象都有它自己本身的基础，所以整个组合体可以类比为一个罗马渡槽：一个由独立但紧密相连的部分或基础组成的上层建筑。工程科学的数学首先建立在不受近似、估计和渐近影响（偶有例外）的精确数学知识之上。我们相信，虽然有各种各样的近似和渐近解法来解决工程和应用科学中的不同类别的问题，但在研究生学习的第一年扩展它们的覆盖面将会本末倒置。
主要特点

 本书假定学生有相当于工程或物理学学士的背景知识。这意味学生具有从微积分到偏微分方程的基础，并熟悉矩阵理论，包括对特征值和特征向量的基本理解。本书还假定读者已经掌握了常微分方程、偏微分方程，以及特征值的基本知识。这些主题隐含着学生熟悉基本的傅里叶级数、拉普拉斯变换、矢量分析和符号。所有这些主题在“高级”本科教材以及一些入门水平的研究生教材中都会涉及。例如，在一个典型的本科机械工程技术专业中，初级或高级水平的学生将接触到热传导（偏微分方程）、振动（常微分方程和特征值）和控制理论（线性系统、拉普拉斯变换）的论述。在其他不同技术领域，如物理或化学的本科生阶段，学生将会遇到初级或高级课程的经典力学、统计热力学、电磁理论和物理化学。这样的课程不可避免地涵盖了许多数学方法，我们期望读者有运用这些方法的基本能力。
 本书分为三个主要部分，每个部分至少有四章。这三部分着重讲解了线性代数、复变量和偏微分方程。这些主题的基础是不同的，但将它们联系在一起的纽带和相互关系众多且深刻。为了用数值方法求解问题，必须有扎实的线性代数基础。数值解的对象是什么?通常是常微分方程和偏微分方程。复变量可能被认为与这两个领域不相关，但它在解释微分方程、积分、导数的意义、黎曼球面的基本概念、柯西黎曼方程，以及在计算积分和评估奇点（并注意它们的性态）过程中学习到的所有技巧方面极具价值。复变量中引入的基本概念可以应用到诸如偏微分方程的几何研究之类的具体问题上，也可以应用到诸如无穷或-1之类的抽象概念的意义上。
 重点讨论弗雷德霍姆选择定理（Fredholm Alternative Theorem，FAT）及其在求解线性方程组（第一部分）和常微分方程（第三部分）中的意义。
线性方程组与常微分方程是密切相关的，因为常微分方程可以用有限差分作为线性代数方程组来重新计算。然而，FAT提供了一个优秀的研究生水平的机会来发现这些主题之间的更深层次联系。此外，FAT对解存在性的限制导致了新的和更广泛的见解，例如第三部分中描述的修正格林函数的概念。在这里，学生将会学到先验的一个明显的限制，也许是更直接的方法，是对更基本原理（如修正格林函数）的需要的不那么微妙的表现。最初看似障碍的东西往往标志着通往更基础理论的入口。
 主题的顺序不是“随机的”（用现在的行话来说）或随意的。首先研究线性代数，然后研究复变量，最后研究常微分方程和偏微分方程。随着这些主题的逐步展开，直到第13章结束时，有一个不变的“构想”，前十二章的大部分知识点呈现在136节的最后一个例子中。事实上，详细的示例可以作为引入和推进理论的工具。虽然其中某些内容由它们的特定公式来看似乎是学科特有的，但实际上，考虑到它们是对基本关键数学概念的描述，它们具有普遍性。这一点已经在叙述性讨论中说清楚了。除了演示过程和处理以前提出的问题，这些例子还提出了新的问题。这方面的一个例子是在35节中引入广义逆，它满足了一个特定的需求，乍一看，它似乎是松散的，但随后可以看出它是一个重要的基本概念。对先前例子提出的问题后续继续研究探讨是本书的一个重要特点。
 随着本书的进展，我们试图以一种新的视角或更大程度的一般性返回去重新研究重要的主题和方法，以此强化基本概念。这也是我们在写作中所使用的“构想”的一部分。例如，我们首先在线性代数的方程组中方程与未知量数目相等（第3章）的情况下研究弗雷德霍姆选择定理，然后在方程和未知量数目不等的背景下（第4章）重新研究，再在常微分方程理论（第11章）中重新考虑。教育研究表明，在这样的安排下，学生更能理解内容的逻辑性和必要性。这种学习方式被称为“主动检索”，参见文献［1］。对先前概念、例子和知识的主动检索也是这些作者所称的“交错多样实践”的核心组成部分。这种方法能促进读者对所学原理的理解、吸收和应用。
 本书可以是一本理想的研究生入门水平的一年课程教材。然而，它也可以作为一个学期的教材——从三个部分的每个部分各抽取一些材料。我们将它作为一个学期课程的教材，包括每个部分的前两章，或在某些情况下，包括前三章；剩下的材料可以用作个人学习或高级教程。学习完本书，读者将在工程和应用科学的精确分析方法方面获得坚实的基础。之后，如果他们愿意，就可以研究全面的渐近方法（级数、积分、WKB理论、最速下降等）以及在Bender和Orszag的优秀且绝不过时的书（文献［58］）中所呈现的经典近似工程分析技术。诸如相空间的结构、非线性常微分方程和偏微分方程的解、非常大或非常小的参数的影响等课题留给学习更高级别课程的读者，就像研究数值方法的细节一样。
 学习的一个重要组成部分是学生在安静的、没有手机和电子设备干扰的环境下，沉浸在自己的学习资料中。这种专注有一部分来自阅读，我们可以称之为理性的专注。一种更积极的专注形式是把例子都做完。最积极和最有成效的专注形式，也就是真正需要学习的地方，来自做习题。每一章的每一节都有习题。有些习题可用来巩固课堂所学，而另一些则需要付出相当大的努力。这样的回报是对所呈现内容的理解有巨大飞跃。每一章的结尾都有“计算挑战问题”，这通常不仅需要全面掌握学习内容，而且需要有以算法的方式处理先前问题的拓展形式的能力。由此产生的计算挑战提供了一种实践理论的方式，它把这里提出的基本数学与我们生活的计算密集型时代联系起来。
 最后，有几个关于精确工程分析的专题没有讨论。这首先是因为它们在其他更初级的教材中已经被很好地涵盖了，其次是因为涵盖这些专题的层次和深度以及大量的例子会使我们的书难以处理。因此，比方说我们不详细探讨变分法，尽管它们出现在我们讨论偏微分方程的第三部分中。变分法经常导致非线性常微分方程，这是另一个在这里没有陈述的专题。为了强调所涵盖主题的本质所做的选择和对所研究专题的精选，本书几乎普遍侧重于应用数学线性问题的精确解。一旦这些主题被理解，学生和研究人员可以学习如何处理非线性方程——通常通过把它们线性化（!），而且几乎经常是寻找一个参数，以它为中心来构造渐近解。在这个计算时代，主要方法诉诸数值模拟，这就不可避免地涉及线性化。