英国皇家统计学会研究员、英国皇家天文学会研究员、《BBC聚焦》栏目科学顾问揭开被忽略的概率真相，给你

★大数据时代***的解读力

★后真相世界急需的思辨术

★助你预见黑天鹅，洞察灰犀牛

当信息超载，如何判断实用价值？

面对不确定性，如何做出正确决策？

人生在世，有三件事可以确定：一是纳税，二是死亡，三是我们永远摆脱不了不确定性和潜伏其中的风险。如何掌握不确定性，进而拥有预测能力，一直是人类不断探寻的答案。如今，面临这些难题，占星、卜卦已经不是*选择，更不是*好的选择。因为对于未知与风险，我们已经拥有了更先进的工具：概率学。

本书作者罗伯特·马修斯以生动活泼的笔触，为我们解释了不可思议的日常现象背后的概率学原理，以及几乎无所不包、令人大开眼界的精采应用。不管是教授、医生、病人、出版商、赌徒、零售商、银行家还是消费者，任何需要做决策的人都要知道概率有多狡猾，多么有欺骗性。

从大数据时代到后真相世界，矛盾诡谲层出不穷，决策的风险日益高涨。唯有对概率、风险和不确定性有更深入而正确的理解，才能培养足够的思辨能力，摆脱决策困境。

罗伯特•马修斯（Robert Matthews）

英国物理学家，毕业于牛津大学，对概率事件与不确定性有20多年研究经验。其研究成果屡次登上《自然》《柳叶刀》等*学术期刊，以及《经济学人》《金融时报》《泰晤士报》等权威报章杂志。他也是英国广受欢迎与肯定的资深科普作家，曾获英国科学作家协会“年度杰出作家奖”。

马修斯现被英国阿斯顿大学聘为客座教授，从事概率和统计学研究。同时，他还兼任英国皇家统计学会研究员、英国皇家天文学会研究员、《BBC聚焦》栏目科学顾问等职。

你敢与上帝掷骰子吗？

         2004年4月的一个周日下午，一名32岁的英国绅士带着他的全部身家步入拉斯韦加斯的一家赌场。所谓全部身家，也就是一套换洗的内衣裤和一张支票。这位绅士名叫阿什利·雷维尔，他变卖了自己所有的家产，换来一张面额135 300万美元的支票；除此之外，雷维尔几乎一无所有，就连身上这套燕尾服也是租来的。

雷维尔拿支票换了一堆筹码，径自前往轮盘赌桌，做了件非同寻常的事。他将所有筹码都押在了一场赌局：他赌白色小球静止时，会停在红色区域内。

根据各赌场的不同规则，轮盘赌局中，红、黑两色区域各占一半，各自胜率也分别接近50%。将全部身家押在红色区域，这在别人看来也许是一时冲动，但事实并非如此。雷维尔为此计划了好几个月，而且征求了亲朋的意见。虽然他的家人对此表示反对，但朋友们都认为这是个绝妙的主意。当然，大多数赌场并不提倡这种孤注一掷的行为。毕竟，一旦传出“某男子在赌场顷刻间输得一无所有”这种消息，赌场的声誉就会受到不良影响。

因此，当雷维尔把所有赌注放上赌桌时，赌场经理神情紧张地问他是否确定要这么做。但此时，似乎没有什么能阻止雷维尔了。在众人的注视下，他略显忐忑地等待庄家把球抛进转轮。接着，雷维尔箭步上前，把所有赌注都押进了红色区域。雷维尔目不转睛地盯着转轮，只见白球滚速减缓，在多个区域中弹来弹去，后终于停在了7号区——红色区域。

顷刻间，雷维尔的净资产翻了一番——27万美元。围观人群欢呼雀跃，朋友们与他激动相拥，父亲当众称呼他为“任性顽皮的孩子”。人们可能会以异样的眼光看待雷维尔的行为：纯属头脑发热，不仅欠考虑，甚至有些疯狂。13万美元对亿万富翁而言并非巨额，但即便是他们，也不会像雷维尔那般孤注一掷。任何头脑冷静、理智尚存的人都会把这笔赌资分开押注，至少先试试运气，以期降低风险。

但现实情况是，雷维尔决定把所有鸡蛋都放进一个篮子里，而且赚得盆满钵满。根据概率法则，想在赌桌上让筹码翻倍，可靠的办法就是像雷维尔一样，把所有赌注都押上，一把定输赢。是的，赌博有风险，你有50%的机会赢下这局轮盘，也有50%的机会变得一无所有。但奇怪的是，即便如此，策略仍是勇敢地押上重注。任何保守怯懦的做法，只会降低成功率。雷维尔这次以身试法取得了成功，但就几天前，他在赌场将几千美元的筹码分别下注，却输掉了1
000美元。因此，如果你想让本钱翻倍，成功率的办法就是遵循概率法则，不按常理出牌。

那么，我们都应该效仿雷维尔的做法，变卖所有家当去赌场豪赌一把吗？看看自己和赌场的运气哪个更胜一筹?当然不是，因为我们还有比赌博更好（虽然也更无聊）的办法。不过有一点是肯定的：这些办法或多或少对概率学有所涉及，包括机会、不确定性、风险或信念等。

我们都知道，除了死亡和缴税之外，生活中其他事都是不确定的。一旦某事存在概率因素，就很少有人能够淡定面对。概率让我们失去了对事件的掌控。我们似乎沦为了莎士比亚笔下“被幸运之神玩弄于股掌间的小傻瓜”。不确定性促使一部分人信仰变化无常的神，而另一些人则竭力否认神的无所不能——爱因斯坦就曾说过“上帝不会掷骰子”。

然而，我们对概率的理解似乎自相矛盾：根据定义，概率具有随机性，这意味着它无法被真正理解吗？也许正是因为这样的逻辑，使概率成为了人类长久以来的未解之谜。

概率学具有很强的实用性，可为什么该理论的形成却经历了漫长的时间？早在5
500多年前，概率游戏就已经在古埃及出现。亚里士多德的“概率是说不清道不明的”这一观点持续了很长时间。直到17世纪，一些有胆识的思想家才发出质疑的声音。

有时概率显得难以理解，因为它往往与人类的直觉相悖。举个有趣的例子，一场足球比赛中，双方首发球员中存在同月同日生的2名球员的概率是多少？一年365天，双方首发共22名球员，人们会本能地认为这个概率还不到10%。事实上，概率学表明，真正的答案是90%左右。不相信吗？你可以查一查各类足球比赛中，参赛球员的生日，然后亲自计算一下。

那么，究竟是什么诡异的因素导致了这一情况呢？毕竟，随机抽取22人，然后调查其生日，很少能从中找到2名同月同日生的人。即便是抛硬币和掷骰子这么简单的概率问题，结果也往往出乎我们的意料。人们都认为抛硬币很公平，那么是否意味着，接连几次正面朝上后，接下来背面朝上的概率会增加？你期盼出现某种情况，可事实往往背道而驰。倒也不必为此沮丧，即扁是启蒙运动时期伟大的数学家，也没能搞清楚个中缘由。

本书的目的之一，就是帮助读者更好地理解日常生活中的概率现象，揭示其内在规律，以便更好地应用它们。本书中也提供了一些方法，教授如何使用这些规律预测随机事件，帮助我们在工作和生活中做出更好的决策，并且更理性地看待医疗诊断或投资方面的建议。

需要阐明的是，本书并非只是友情提示和建议指南，而是向读者展示，概率法则不仅能让你理解随机事件，还拥有很多其他功能。它能在你人生的一些关键节点帮你判断形势，助你做出决策。无论是识别健康风险、评估新药疗效，还是获得新知识，或是更好地认识宇宙，概率法则都能帮我们有效区分其中的随机事件和必然进步。

与此同时，一场以概率法则为核心的革命也在稳步进行。显然，概率法则的力量远比我们想象的更强。理解这种力量，需要对概率本身进行更深入的重新解读，这种解读曾引发了一场持续数十年的激烈争论。直到贝叶斯定理的出现终强有力地改变了科学、技术和医学等领域，才为这场争论画上了句号。

然而，到目前为止，贝叶斯定理的研究结果仍然鲜为人知。本书将告诉读者，这些惊人的分析方法如何兴起以及引发过什么争议，我们又该如何运用它们评估天气预报、科研主张等事件的可靠性。

运用概率学的人也要保持警觉，因为它们很容易被滥用。人们发现，只通过书本知识得出结论和数据，存在本质上的缺陷。“纸上谈兵”往往会带来灾难性的后果，这在学术界早已成为不争的事实。即便如此，概率学的这些痼疾也鲜为人知，本书将努力弥补这方面的空白。

理解概率、风险和不确定性等方面的知识，已经迫在眉睫。当我们面对政治骚乱、市场动荡、方方面面永无止境的风险、威胁和灾难时，总是奢求确定性。事实上，百分百确定的事从不存在，但我们也不应相信宿命论，或是拒绝接受现实。

本书的核心思想是：尽管我们永远无法避开概率、风险和不确定性，但至少可以运用概率法则在某个重要时刻扭转乾坤。

《泰晤士报》

在这个比以往更需要有魅力的“数学大使”的时代，马修斯撰写了一本非常有意义的书。

亚瑟·本杰明　《生活中的魔法数学》作者

《极简概率学》里面充满了令人意想不到的洞见，包含随机性的本质、大自然的随机性，以及当涉及不确定性时，人类容易被误导的天性。这本书叙事明了、风趣幽默，专为外行人所写。针对大数据和统计数据的滥用，这本书将为你提供实用的建议，你将会在这里找到有价值的信息。这个大好机会着实不容错过！

大卫·J. 汉德　《概率原理》作者

本书展示了现代社会中我们需要理解的关于概率与数据的一些基本知识。他通过一些我们睁大眼睛就能看到的事实，从概率的反直觉特性角度讲到如何创造财富。他的叙述简洁明了，浅显易懂。

迈克尔·谢尔默　《科学美国人》专栏作家　《为什么人们相信怪异事件》作者

读完马修斯关于概率法则及其在现实世界中的运用这本书，我想我以后再也不会参赌体育赛事、到拉斯维加斯玩21 点、分析统计数据，或思考生活如何以同样的方式重现了。书中每一章节都对一个重要的观念进行了直观解释，教授了我们如何将这些观念应用到生活中。每一页内容都有理有据。

查尔斯·惠伦　《赤裸裸的统计学》作者

《极简概率学》带领读者进入了一场有趣的概率之旅，向我们提供了关于赌场、保险业和群体智慧的新见解。马修斯结合趣闻进行分析，让读者对数字能告诉我们什么（以及不能告诉我们什么）有了直观的了解。

约瑟夫·马祖尔　《巧合：神话及数学原理》作者

在达莱尔·哈夫1954 年出版畅销书《统计陷阱》（How
to Lie with Statistics）的影响下，马修斯同样带着满腔热情以诙谐幽默的文笔，为所有的人写了一本关于概率学的书。在这个充满虚假事实与谬误的年代，《极简概率学》启发了我们要用怀疑的态度，去解读不确定性。

第1章　纳粹集中营里的抛硬币实验

1940年春，约翰·克里奇计划拜访自己的姻亲。对于家住南非的克里奇来说，这是一次名副其实的长途跋涉——他的姻亲远在丹麦，距南非约12 000公里。抵达哥本哈根（丹麦首都）时，克里奇不禁懊悔出了这趟远门，希望自己当初安分地待在家里。

原来，就在几天前，集结于德丹边境的纳粹军队伺机发动了“闪电战”。毫无防备的丹麦迅速被德军占领。在随后的几个星期里，德军加强警戒，四处抓捕敌国公民，将其关押到集中营。刚到丹麦的克里奇也难逃被捕的厄运。

万幸的是，情况没有想象中那么糟糕，克里奇只是被关在日德兰半岛上一个由丹麦政府管理的集中营里。不过，克里奇还是清楚地知道，在接下来的几个月甚至几年里，自己都无法接触任何可供智力刺激的精神食粮。这对身为南非名校金山大学（University of the Witwatersrand）数学系讲师的克里奇来说，不得不说是一种煎熬。尽管如此，事后他回忆起该集中营时，仍认为其管理方式“真心值得称道”。

在集中营时，克里奇苦思冥想，期待能找到方法打发这段艰难的囹圄时光。忽然，他想出了一个极好的点子，不妨做个数学研究——无需太多实验设备，但研究结果可能对大家都有启发。克里奇决定采用基本的试验方法——抛硬币，根据它落地时的结果，对概率学展开综合性研究。

克里奇早已通晓先贤们提出的概率学相关知识。现在，他拥有检验这些理论的宝贵机会，即通过大量简单的抛硬币试验，记录真实数据。那么，等到战争结束（当然，前提是他能熬过这段战乱纷飞的岁月），再回到自己的工作岗位，克里奇不仅拥有概率学的理论知识，还有检验其可靠性的现实证据。这将是一笔非常宝贵的财富！到那时，他再向学生们教授这一违背人类直觉的概率推算法时，解释起来就会更有底气。

克里奇希望自己的研究尽量全面可靠，这就意味着他要不厌其烦地抛硬币，记录相应结果。幸运的是，他说服了狱友艾瑞克·克里斯坦森，加入这项枯燥乏味的实验。两人很快支起桌子，盖上桌布，用大拇指把硬币弹向空中，硬币的处距离大拇指30厘米左右。他们开始记录实验结果，次硬币着陆时，反面朝上……

许多人可能已经预想到接下来事情会如何发展。统计学中著名的平均律（Law of Averages）告诉我们，随着抛硬币次数的增加，正面朝上和反面朝上的次数会逐渐趋于平均。的确，克里奇也发现，到第100次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的次数非常接近，分别为44次和56次。

但是，接下来发生的事情有些蹊跷。随着抛硬币次数的增加，正面朝上的次数慢慢赶超反面朝上的次数。等到第2 000次时，正面朝上超过反面朝上的次数达26次。第4
000次时，这个差距翻了一倍多，达到了58次，而且差距还在进一步拉大。

当抛硬币到第10 000次时，克里奇终于宣布暂停。此时，硬币正面朝上5 067次，超过反面朝上次数134次。正面朝上和反面朝上次数之间的差距不但没有消失，反而继续拉大。是这个实验出了什么问题吗？还是克里奇发现了平均律的错误？

克里奇和克里斯坦森已经尽量做到抛出硬币时不偏不倚，汇总数据时，他们也没发现违背平均律的现象。其实，真正的问题不在于硬币，也不在于平均律本身，而在于人们对该定律的固有看法。因此，这个实验虽然简单，却具有一个重要意义——消除了人们对平均律的认知误区。

当问到什么是平均律时，很多人会这样回答：“从长远来看，各种结果出现的次数差不多一样。”这种观念使平均律变成了一种精神安慰：当运气不好时，我们会说否极泰来；当对手占上风时，我们会说三十年河东，三十年河西，下次就该轮到我们反败为胜了。不管是因为运气不好还是裁判不当而输掉比赛，体育迷们经常会用平均律自我安慰——胜败乃兵家常事，后比赛输赢的次数总会差不多。

以上这些说法，对错难以判定。但茫茫宇宙中，的确有平均律在起作用。它的存在没有通过实验演示出来，却经由数学方法得到了论证。因此，它不仅适用于我们所处的宇宙，还适用于遵循同样数学定理的其他宇宙。物理定理也是如此。

然而，平均律并不意味着“各种结果出现的次数终趋于平均”。在后面的章节中，读者将看到，为了精确表达平均律的含义，一千多年来，无数伟大的数学家为之呕心沥血。至今，仍有不少学者对该定律持有不同观点。

诚然，数学家通常追求精确，这种执着在其他人眼中甚至有些迂腐可笑。但在平均律问题上，他们精益求精的精神却毋庸置疑。精确表述平均律的含义，是理解概率学运作方式的关键；而只有理解其运作方式，才能令它更好地为我们服务。

理解平均律的关键在于，明确“终趋于平均”的究竟是什么？这听起来像是哲学上的坐而论道，不过克里奇的实验有助于指引我们得出正确答案。许多人认为，平均的是硬币正面朝上和反面朝上的次数。

那么，为什么硬币实验的结果显示，正面朝上的次数要比反面朝上的次数多得多呢？简单回答就是：每次抛硬币行为中存在盲目和随机性，这使得精准预测某次行为中正面或反面朝上的可能性降低。那么平均律出了什么问题？它没什么问题，只不过无法用于预测硬币正面和反面朝上的精准次数。　　　　　

很显然，我们不可能完全确定单个概率事件将如何发生，但我们可以降低要求，探寻一下，从平均角度分析这些概率事件会趋向什么结果。具体到抛硬币案例中，我们也许无法确定接下来是“正面朝上”还是“反面朝上”，也无法确切说出后正反面朝上的结果各出现多少次。但既然只会出现两种结果，而且它们出现的概率相等（均为50%），那么从长远来看，我们就能知道“终趋于平均”的究竟是什么了。可以肯定地说，它不是指正面朝上或反面朝上的原始数据（即次数），而是不同结果的相对频率，即正反面次数分别于实验总次数中的占比。

这才是真正的平均律，也是克里奇和克里斯坦森在他们的实验中所发现的正在起作用的规律。随着抛掷次数的增加，正反面的出现频率更接近了。实验结束时，这个频率的误差接近1%（50.67%正面朝上，49.33%反面朝上）。与之形成鲜明对比的是，反映实验结果的正反面次数差距实际上比之前更大了（如下表1.1所示）。

表1.1  不同次数抛币后的结果

而平均律真正要告诉我们的是：想理解某事件的发生概率，就不应只关注每个单独案例，而应关注该事件在整体中的相对出现频率。理解这一点非常重要，因为它们通常被用于衡量随机性事件的基本特征——概率。

抛硬币真的公平吗？

抛硬币的结果通常被认为是随机的，但硬币如何着陆其实可以预测——至少理论上如此。2008年，来自波兰罗兹技术大学（Technical University of Lodz）的一个团队分析了硬币在空气阻力下的坠落过程。该团队的分析结果表明，虽然硬币在空中的运动过程包含着非常复杂的力学原理，但硬币在落地前的行为都是可预测的。但在这之后，就会产生“混乱”，因为任何细微的差异都可能导致截然不同的结果。分析还表明，半空中接住硬币所产生的结果有失偏颇。

由斯坦福大学的数学家佩尔西·戴康尼斯带领的一支团队对上述可能性做了调查。他们发现，中途接住硬币得到的结果的确更有可能与硬币的初始状态一致。不过，这种倾向性非常小。因此，抛硬币的结果可以被认为是随机事件，无论是在半空中接住硬币，还是等它掉落地面后自然静止。

因此，如果我们掷骰子1
000次，终得到的结果（点数1～6出现的次数）肯定不会完全相同。我们无法确定对具体事件的描述，但是可以根据平均律预测，每种结果的相对频率应该在总次数的1/6左右，而且随着投掷次数的增加，会越来越接近1/6。

对于某类事情，如抛硬币、掷骰子或玩纸牌，我们通过决定不同结果的基本属性，判断事件的概率（比如花牌出现的次数）。从长远看，各种结果的相对频率会越来越接近理论值。如果不是，那么我们就该考虑另一层面的问题——为什么我们深信不疑的东西却毫无根据？

本章要点

       平均律告诉我们，当我们知道或者怀疑某事件存在随机性时，应该关注的并非事件本身，而是其相对频率——也就是说，每种情况出现的次数占总次数的比例。