电磁场与电磁波（M+Book）

本书由北京交通大学教学名师、电磁场系列课程负责人邵小桃教授组织编写。本书基于知识更新和课程体系改革的需要而编写，是教材与新媒体的一次有效融合，将大大提升教学效果，使大学教学更加精彩，可以作为本科通信工程专业、电子科学与技术专业的专业基础教材。 

本书是在普通高等教育“十一五”*规划教材《电磁场与电磁波基础教程》的基础上修订而成。全书共7章，包括矢量分析、静电场、恒定电场、恒定磁场、时变电磁场、平面电磁波、导行电磁波。内容讲述深入浅出，对电磁场与电磁波理论既有严格的数学推导，又注重其物理意义的阐述与分析。每章除小结、思考与练习、习题之外，还包括电磁场与电磁波的主要应用、MATLAB应用分析、部分插图的动态链接、研究型拓展题目。附录给出了矢量恒等式、三个坐标系下的微分运算及坐标变换、基本物理常数和SI单位前缀，书末还附有习题答案。
本书可作为通信、电子、自动化专业本科生“电磁场与电磁波”课程教材，也可作为相关教师、学生以及专业人员的重要参考书。

主编邵小桃副教授，北京交通大学校级优秀主讲教师，工学硕士，硕导，校级精品课程“电磁场与电磁波”负责人，电磁场系列课程负责人。

第1章算术

1.1实数及其运算

1.2比和比例

1.3值

1.4典型应用问题

第2章代数

2.1整式与分式

2.2集合与函数

2.3代数方程

2.4不等式

2.5数列

第3章几何

3.1平面图形

3.2空间几何体

3.3平面直线与圆

第4章数据分析

4.1排列与组合

4.2数据描述

4.3随机事件的概率

历年的考研真题完全反映了考研命题的指导思想、基本原则和出题趋势，是*考试中心一届又一届命题组专家们精挑细选出的极具典型性和代表性的题目.历年来，管理类专业学位联考数学部分的知识点没有太大的变化，而且各部分考查的重点、难点也比较稳定，在以往考试中会反复考查.因此，通过反复研究真题，考生可以从中发现规律，归纳出考查的重点、难点及知识点组合方式，准确把脉定位自己的薄弱环节，进一步明确复习方向.全国硕士研究生招生考试管理类专业学位联考数学部分的试卷结构自2009年以来没有变动，全卷共25道题，其中前15道题是问题求解，后10道题是条件充分性判断.书中的真题是自2009年以来的题目，每年25道题，共250道题.对于这些题目，按照知识点或者说考点分为算术、代数、几何、数据分析4章.各章安排若干节，在各节中，依次对“问题求解”和“条件充分性判断”这两类试题进行解析，对于每道题目，先指出其考查的知识点，然后给出具体的解析过程.对于纳入各节的“问题求解”题目和“条件充分性判断”题目，按照题目所考的年份的先后依次排列，并给出了在所考年份中的具体题号.数学能力测试的每道试题大多是多个知识点结合的题目，这就给题目的分类带来一定的困难：一道题目中涉及多个知识点，分到哪个知识点好些？在本书中是按照如下的两个原则来分类的：一是以知识结构中各知识点出现的先后次序为基准，按照题目中用到的后的知识点来分类；二是以知识点在试题中的重要程度或难易程度为基准，按照题目中用到的重要或难的知识点来分类.按前一种基准分类的试题占绝大部分.阅读本书时，应先自己动手做题，再将自己的结果与书中的解法相比较，从中发现自己的不足之处.我们建议考生把本书的全部试题做2~3遍，通过反复练习，把不明白的地方真正弄明白，达到看到类似的题目就能想到解题思路的地步，才可以在后的考试中做到胸有成竹.另外，还建议考生平时就要加强对解题速度的训练.作者2018年4月

第1章算术

1.1实数及其运算
一、 数的概念、性质(一) 问题求解问题求解是单项选择题，题目要求在所给的A，B，C，D，E五个选项中，选出正确的选项，并在答题卡上将所选项的字母涂黑．此处的说明适用于全书中出现的问题求解题型，在后文中将不再重复说明．
1. (2010,3)三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁)，他们的年龄都是质数(素数)，且依次相差6岁.他们的年龄之和为
(A) 21(B) 27
(C) 33(D) 39(E) 51答C.分析本题考查了质数的概念.

设三名小孩的年龄从小到大依次为a,a 6,a 12(a<6).因为a是质数，所以a的可能取值只能是2,3,5.又因为a 6,a 12都是质数，所以a的值只能是5，于是三名小孩的年龄之和为

a (a 6) (a 12)=3a 18=33.

故正确选项为C.2. (2014,10)若几个质数(素数)的乘积为770，则它们的和为(A) 85(B) 84(C) 28(D) 26(E) 25答E.分析本题考查了质数的概念及将整数分解成质因数乘积的方法.将770分解为质数的乘积得

770=2×5×7×11，

所以这几个质数的和为2 5 7 11=25.故正确选项为E.3. (2015,3)设m,n是小于20的质数，满足条件|m－n|=2的{m,n}共有(A) 2组(B) 3组(C) 4组(D) 5组(E) 6组答C分析本题考查了质数和值的概念.小于20的质数有： 2，3，5，7，11，13，17，19.在上述数字中，因为只有2是偶数，所以由|m－n|=2可知m,n都不能取2.易知m,n中较小的那个数可以取3，5，11，17，所以满足条件的{m,n}共有4组.故正确选项为C.4. (2017,7)在1~100之间，能被9整除的整数的平均值是(A) 27(B) 36(C) 45(D) 54(E) 63答D.分析本题考查了整除与平均值的概念、整数的运算.在1~100之间，能被9整除的数为9k(k∈Z,1≤k≤11)，共11个，它们的平均值为

9(1 2 3 … 11)11=9×11×1 11211=54.

故正确选项为D.5. (2017,10)某公司用1万元购买了价格分别是1750元和950元的甲、乙两种办公设备，则购买的甲、乙办公设备的件数分别为(A) 3，5(B) 5，3
(C) 4，4(D) 2，6(E) 6，2答A.分析本题是简单应用问题，考查了整数的性质.设购买的甲、乙办公设备的件数分别为x,y.由题设可知

1750x 950y=10000，

化简得35x 19y=200，于是19y=200－35x.因为200－35x是5的倍数，而19是质数，所以y是5的倍数.故正确选项为A.注本题也可以用代入验证法求解.6. （2018,3）某单位采取分段收费的方式收取网络流量（单位： GB）费用： 每月流量20GB（含）以内免费，流量20~30GB（含）的每GB收费1元，流量30~40GB（含）的每GB收费3元，流量40GB以上的每GB收费5元.小王这个月用了45GB的流量，则他应该交费
(A)  45元(B) 65元(C) 75元(D) 85元(E) 135元
答B.
分析本题考查了数的四则运算，考查了分类讨论的思想.由题设，小王应有25GB的流量需要交费，交的流量费为10GB×1元/GB 10GB×3元/GB 5GB×5元/GB=65元.故正确选项为B.(二) 条件充分性判断条件充分性判断由题干中的结论和所给的条件（1）与（2）构成，题目要求在A，B，C，D，E五个选项中，选出正确的选项，并在答题卡上将所选项的字母涂黑．A，B，C，D，E五个选项如下：
A．条件（1）充分，但条件（2）不充分；B．条件（2）充分，但条件（1）不充分；C．条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分；D．条件（1）充分，条件（2）也充分；E．条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分．注意如果条件P成立就能推出结论Q成立，则称条件P是结论Q的充分条件．例如：选项A的意思是如果条件（1）成立，则题干中的结论也成立，但如果条件（2）成立，则不能保证题干中的结论成立；选项C的意思是如果条件（1）成立，不能保证题干中的结论成立，如果条件（2）成立，也不能保证题干中的结论成立，但如果条件（1）与（2）同时成立，则能保证题干中的结论成立．此处的说明适用于全书中出现的条件充分性判断题型，在后文中将不再重复说明．
1. (2010,17)有偶数位来宾.(1) 聚会时所有来宾都被安排坐在一张圆桌周围，且每位来宾与其邻座性别不同.(2) 聚会时男宾人数是女宾人数的两倍.答A.分析本题考查了偶数的概念.如果(1)成立，则围绕圆桌正好男宾、女宾相隔而坐，男宾与女宾人数相同，所以来宾人数是2的倍数.故(1)是充分的.如果(2)成立，设有男宾6人，女宾3人，可见(2)不充分. 综上可知，正确选项为A.2. (2012,19)已知m, n是正整数.则m是偶数.(1) 3m 2n是偶数.(2) 3m2 2n2是偶数.答D.分析本题考查了偶数的概念和运算性质.如果(1)成立，则(3m 2n)－2n=3m是偶数，所以m是偶数.(1)是充分的.如果(2)成立，则(3m2 2n2)－2n2=3m2是偶数，从而m2是偶数，所以m是偶数.故(2)也是充分的. 综上可知，正确选项为D.3. (2013,16)p=mq 1为质数.(1) m为正整数，q为质数.(2) m，q均为质数.答E.分析本题考查了质数的概念和运算性质.如果(1)成立，取m=4,q=2，则p=9不是质数.故(1)不充分.如果(2)成立，取m=q=3，则p=10不是质数.故(2)也不充分.如果(1)与(2)都成立，相当于(2)成立，仍然不充分.综上可知，正确选项为E.4. (2016,18)利用长度为a和b的两种管材能连接成长度为37的管道.(单位： 米)(1) a=3，b=5.(2) a=4，b=6.答A分析本题考查了整数的运算.设连接管道分别用长度为a和b的两种管材x,y根.如果(1)成立，考虑方程3x 5y=37的非负整数解，易见1≤y≤7，经验证，x=9,y=2是一组解，也就是说，可用9根长度为3的管材和2根长度为5的管材连接成长度为37的管道.故(1)是充分的.如果(2)成立，考虑方程4x 6y=37的非负整数解，易见4x 6y是偶数，所以方程4x 6y=37必无整数解，也就是说，无法用长度为4的管材和长度为6的管材连接成长度为37的管道.故(2)是不充分的.综上可知，正确选项为A.5. (2017,24)某机构向12位教师征题，共征集到5种题型的试题52道.则能确定供题教师的人数.(1) 每位供题教师提供的试题数相同.(2) 每位供题教师提供的题型不超过2种.答C.分析本题考查了整数的质因数分解. 易见(1)与(2)单独都不充分.如果(1)与(2)同时成立，据(1)，因为52=2×2×13，而教师总数为12<13，所以每位教师供题数为13或26，供题教师有4人或2人； 再由(2)可知供题教师人数大于2，否则将至少有一位教师提供的题型数超过2种.所以供题教师人数为4人.故(1)与(2)联合起来是充分的. 综上可知，正确选项为C.6. （2018,17）设m,n是正整数.则能确定m n的值.（1） 1m 3n=1.（2） 1m 2n=1.
答D.
分析本题考查了整数的性质. 如果（1）成立，则n 3m=mn，(m－1)(n－3)=3，m－1=1,n－3=3，或 m－1=3,n－3=1，求得 m=2,n=6，或m=n=4，m n=8.所以（1）是充分的； 如果（2）成立，则n 2m=mn，(m－1)(n－2)=2，m－1=1,n－2=2，或m－1=2,n－2=1，求得 m=2,n=4，或m=n=3，m n=6.所以（2）也是充分的. 综上可知，正确选项为D.
二、 实数的运算(一) 问题求解1. (2009,1)一家商店为回收资金，把甲、乙两件商品以480元一件卖出，已知甲商品赚了20%，乙商品亏了20%，则商品盈亏结果为

(A) 不亏不赚(B) 亏了50元
(C) 赚了50元(D) 赚了40元(E) 亏了40元答E.分析本题考查了百分比的概念与运算.设甲、乙商品的成本分别为a元和b元.由题意可知

480－aa=20%，b－480b=20%，

解得a=400，b=600.可知甲商品赚了80元，乙商品亏了120元，所以共亏40元.故正确选项为E.2. (2010,2)某商品的成本为240元.若按该商品标价的八折出售，利润率是15%，则该商品的标价为(A) 276元(B) 331元(C) 345元(D) 360元(E) 400元答C.分析本题考查了百分比的问题.设标价为a元，则按0.8a元出售时，利润率为0.8a－240240，由题意可知

0.8a－240240=15%.

解得a=345.故正确选项为C.3. (2011,5)2007年，某市的全年研究与试验发展(R&D)经费支出300亿元，比2006年增长20%，该市的GDP为10000亿元，比2006年增长10%.2006年，该市的R&D经费支出占当年GDP的(A) 1.75%(B) 2%
(C) 2.5%(D) 2.75%(E) 3%答D.分析本题考查了比例与百分数.分别设2006年该市的R&D经费支出与GDP为a,c亿元，则2007年该市的R&D经费支出与GDP分别为1.2a,1.1c亿元.已知1.2a=300，1.1c=10000，所以

ac=300×1.11.2×10000=331200=11400=2.75%.

故正确选项为D.4. (2012,1)某商品的定价为200元，受金融危机的影响，连续两次降价20％后的售价为(A) 114元(B) 120元
(C) 128元(D) 144元(E) 160元答C.分析本题考查了比与百分数.次降价20%后，售价为200×80%=160元； 第二次再降价20%后，售价为160×80%=128元.故正确选项为C.5. (2015,13)某新兴产业在2005年末至2009年末产值的年平均增长率为q，在2009年末至2013年末产值的年平均增长率比前四年下降了40%，2013年的产值约为2005年产值的14.46(≈1.954)倍，则q的值约为(A) 30%(B) 35%(C) 40%(D) 45%(E) 50%答E.分析本题考查了百分比的运算.已知在2005年末至2009年末产值的年平均增长率为q，所以2009年的产值为2005年产值的(1 q)4倍.由题设可知，在2009年末至2013年末产值的年平均增长率为0.6q，所以2013年的产值为2009年产值(1 0.6q)4倍，是2005年产值的(1 0.6q)4(1 q)4倍.由题设可知(1 0.6q)4(1 q)4≈1.954，即(1 q)(1 0.6q)≈1.95，解得q=0.5.故正确选项为E.注本题后也可利用代入选项验证的方法得到q=0.5.6. (2017,1)某品牌的电冰箱连续两次降价10%后的售价是降价前的(A) 80%(B) 81%
(C) 82%(D) 83%(E) 85%答B.分析本题考查了百分比的概念和运算.设冰箱原售价为a，次降价10%后，冰箱售价为0.9a； 第二次再降价10%后，冰箱售价为0.9×0.9a=0.81a，为降价前的81%.故正确选项为B.7. (2017,2)张老师到一所中学进行招生咨询，上午接受了45名同学的咨询，其中的9位同学下午又咨询了张老师，占张老师下午咨询学生的10%.一天中向张老师咨询的学生人数为(A) 81(B) 90
(C) 115(D) 126(E) 135答D.分析本题考查了百分比的概念和运算.由题设可知，张老师下午接待咨询学生的人数为9÷10%=90，所以这一天中向张老师咨询的学生人数为45 90－9=126.故正确选项为D.(二) 条件充分性判断1. (2009,17)A企业的职工人数今年比前年增加了30%.(1) A企业的职工人数去年比前年减少了20%.(2) A企业的职工人数今年比去年增加了50%.答E.分析本题考查了增加与减少的百分比.易见(1)与(2)单独都不是充分的.设A企业前年、去年、今年的职工人数分别为a,b,c.如果(1)与(2)同时成立，则

a－ba=20%，c－bb=50%，

解得b=0.8a，c=1.5b，从而c=1.2a，即A企业的职工人数今年比前年增加了20%.所以，(1)与(2)联合起来也不充分.综上可知，正确选项为E.2. (2010,18)售出一件甲商品比售出一件乙商品利润要高.(1) 售出5件甲商品、4件乙商品共获利50元.(2) 售出4件甲商品、5件乙商品共获利47元.答C.分析本题考查了实数的简单运算.易见(1)与(2)单独都不是充分的.如果(1)与(2)同时成立，设甲、乙商品每件利润分别为a,b(元)，则得

5a 4b=50，4a 5b=47.

两式相减，得a－b=3，即售出一件甲商品比售出一件乙商品利润要高.所以(1)与(2)联合起来是充分的.综上可知，正确选项为C.3. (2010,20)甲企业今年人均成本是去年的60%.(1) 甲企业今年总成本比去年减少25%，员工人数增加25%.(2) 甲企业今年总成本比去年减少28%，员工人数增加20%.答D.分析本题考查了增加与减少的百分比.设甲企业去年总成本为a，员工人数为b； 今年总成本为a1，员工人数为b1.如果(1)成立，则

a－a1a=25%，b1－bb=25%，

解得a1=0.75a，b1=1.25b.所以今年的人均成本为a1b1=0.75a1.25b=ab×60%，是去年人均成本ab的60%.故(1)是充分的.如果(2)成立，则

a－a1a=28%，b1－bb=20%，

解得a1=0.72a，b1=1.2b.所以今年的人均成本为a1b1=0.72a1.2b=ab×60%，是去年人均成本ab的60%.故(2)也是充分的. 综上可知，正确选项为D.4. (2010,21)该股票涨了.(1) 某股票连续三天涨10%后，又连续三天跌10%.(2) 某股票连续三天跌10%后，又连续三天涨10%.答E.分析本题考查了增加与减少的百分比.设原股值为a.如果(1)成立，则涨一天后股值为a1=1.1a； 涨两天后股值为a2=1.1a1=(1.1)2a； 涨三天后股值为a3=1.1a2=(1.1)3a.接着跌一天后股值为a4=0.9a3=0.9×(1.1)3a； 跌两天后股值为a5=0.9a4=(0.9)2×(1.1)3a； 跌三天后股值为a6=0.9a5=(0.9)3×(1.1)3a.因为(0.9)3×(1.1)3=(0.99)3<1，所以该股票跌了.故(1)不充分.如果(2)成立，则跌一天后股值为a1=0.9a； 跌两天后股值为a2=0.9a1=(0.9)2a； 跌三天后股值为a3=0.9a2=(0.9)3a.接着涨一天后股值为a4=1.1a3=1.1×(0.9)3a； 涨两天后股值为a5=1.1a4=(1.1)2×(0.9)3a； 涨三天后股值为a6=1.1a5=(1.1)3×(0.9)3a.因为(1.1)3×(0.9)3=(0.99)3<1，所以该股票跌了.故(2)也不充分.易见(1)与(2)不可能同时成立.综上可知，正确选项为E.5. (2010,22)某班有50名学生，其中女生26名.已知在某次选拔测试中，有27名学生未通过，则有9名男生通过.(1) 在通过的学生中，女生比男生多5人.(2) 在男生中，未通过的人数比通过的人数多6人.答D.分析本题考查了正整数的简单运算.已知该班有26名女生、24名男生，这次测验有23人通过，27人未通过.如果(1)成立，假设男生通过的人数为x，则x (x 5)=23，即x=9.故(1)是充分的.如果(2)成立，假设男生通过的人数为x，则x 6=24－x，即x=9.故(2)也是充分的. 综上可知，正确选项为D.6. (2011,17)在一次英语考试中，某班的及格率为80%.(1) 男生及格率为70%，女生及格率为90%.(2) 男生的平均分与女生的平均分相等.答E.分析本题考查了百分数与平均数.易见(1)与(2)单独都不是充分的.如果(1)与(2)同时成立，设男生人数为20，其中14人及格，都为70分，6人不及格，都为50分； 女生人数为10，其中9人及格，都为65分，1人不及格，为55分.则男女生平均分都为64分，该班的及格率为2330≠80%.所以(1)与(2)联合起来也不充分.综上可知，正确选项为E.7. (2012,22)已知三种水果的平均价格为10元/kg.则每种水果的价格均不超过18元/kg.(1) 三种水果中价格的为6元/kg.(2) 购买重量分别是1kg、1kg和2kg的三种水果共用了46元.答D.分析本题考查了平均数与实数的简单运算.如果(1)成立，则三种水果中价格的为6元/kg，另两种水果的价格之和为24元/kg，如果其中有价格超过18元/kg的水果，则三种水果中价格不可能是6元/kg，所以(1)是充分的.如果(2)成立，因为购买三种水果各1kg要花30元，所以重量为2kg的水果的价格为16元/kg，另两种水果的价格之和为14元/kg，两种水果的价格都不可能超过18元/kg.故(2)也是充分的. 综上可知，正确选项为D.

1.2比和比例
(一) 问题求解1. (2009,2)某国参加北京奥运会的男女运动员的比例原为19∶12，由于先增加若干名女运动员，使男女运动员的比例变为20∶13，后又增加了若干名男运动员，于是男女运动员比例终变为30∶19.如果后增加的男运动员比先增加的女运动员多3人，则后运动员的总人数为(A) 686(B) 637
(C) 700(D) 661(E) 600答B.分析本题是关于比例的简单应用题.设初男、女运动员人数分别为19a和12a； 增加女运动员后，男、女运动员人数分别为20b和13b； 再增加男运动员后，男、女运动员人数分别为30c和19c.先增加女运动员后，男运动员人数不变，即19a=20b，所以a=2019b，增加的女运动员人数为13b－12a.再增加男运动员后，女运动员人数不变，即13b=19c，所以c=1319b，再增加的男运动员人数为30c－20b. 由题意可知

(30c－20b)－(13b－12a)=3，

整理得30c－33b 12a=3.将a=2019b，c=1319b代入上式，并求解得b=19，a=20，c=13.后运动员的总人数为49c=49×13=637.故正确选项为B.2. (2010,1)电影开演时观众中女士与男士人数之比为5∶4，开演后无观众入场.放映一小时后，女士的20%、男士的15%离场，则此时在场的女士与男士人数之比为(A) 4∶5(B) 1∶1
(C) 5∶4(D) 20∶17(E) 85∶64答D.分析本题考查了百分比及比与比例的问题.设开演时女士、男士人数分别为5a，4a，则一小时后在场的男士、女士人数分别为

5a×80%=4a，4a×85%=3.4a，

所以此时在场的女士与男士人数之比为4a3.4a=2017.故正确选项为D.3. (2014,4)某公司投资一个项目.已知上半年完成了预算的13，下半年完成了剩余部分的23，此时还有8000万元投资未完成，则该项目的预算为(A) 3亿元(B) 3.6亿元
(C) 3.9亿元(D) 4.5亿元(E) 5.1亿元答B.分析本题考查了比例运算.由题设可知，上半年完成了预算的13，下半年完成了预算的23×23=49，余下的8000万