研究生考试用书 中公2020考研数学考前冲刺5套卷（数学一）（新大纲）

《中公版·2020考研数学：考前冲刺5套卷（数学一）（新大纲）》一、依据2020新大纲，突出命题重点
本书的试卷严格按照2020年考研新大纲的要求研发，题型、题量及试题难度均与新大纲和真题保持一致。每套试卷的答案解析侧重剖析试题精髓，重点分析解题思路，尤其每个题目都包含【考点分析】，帮助考生熟悉题目考点，做到举一反三，针对薄弱知识进行提升
二、一套一册装订，方便考生自测。
本书每一套冲刺试卷和答案解析装订成一册，共5套题，方便考生携带练习，模拟考场进行自检自测，给考生身临其境的感觉。
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《中公版·2020考研数学：考前冲刺5套卷（数学一）（新大纲）》考研数学（一）试卷包含高等数学、线性代数、概率论与数理统计三个科目，试卷共150分，其中高等数学分值占总分的56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。试卷题型包含选择题8个，填空题6个，解答题（包括证明题）9个。
本书专为参加2020年考研数学（一）的考生量身定做，全书共包括5套考前冲刺试卷，每套试卷的题型、题量和难易程度均与大纲和真题保持一致。每道题目均包含【考点分析】和【解析】，考点分析指出本题的核心考点及解题突破口和基本步骤，题目解析详细严谨、思路清晰，有助于考生做一道题会一类题，个别题目为一题多解，帮助考生拓展解题思路。

2020年全国硕士研究生招生考试数学（一）
考前冲刺试卷1

2020年全国硕士研究生招生考试数学（一）
考前冲刺试卷2

2020年全国硕士研究生招生考试数学（一）
考前冲刺试卷3

2020年全国硕士研究生招生考试数学（一）
考前冲刺试卷4

2020年全国硕士研究生招生考试数学（一）
考前冲刺试卷5

数学（一）
（科目代码：301）
考前冲刺试卷5
题型选择题填空题解答题总计
分值（分）322494150
自测（分）
2020年全国硕士研究生招生考试
数学（一）考前冲刺试卷5
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
（1）曲线y=1x（x-1）+ln（1+ex）的渐近线条数为（）
（A）1条。（B）2条。（C）3条。（D）4条。
（2）设函数f（x）在（-∞，+∞）上连续，则（）
（A）函数∫x0t2［f（t）+f（-t）］dt必是奇函数。
（B）函数∫x0t2［f（t）-f（-t）］dt必是奇函数。
（C）函数∫x0［f（t）］3dt必是奇函数。
（D）函数∫x0f（t3）dt必是奇函数。
（3）若y=xex+x是微分方程y″-2y′+ay=bx+c的解，则（）
（A）a=1，b=1，c=1。（B）a=1，b=1，c=-2。
（C）a=-3，b=-3，c=0。（D）a=-3，b=1，c=1。
（4）设有命题：
①若正项级数∑∞n=1un满足un+1un<1，则级数∑∞n=1un收敛。
②若正项级数∑∞n=1un收敛，则limn→∞nun≤1。
③若limn→∞anbn=1，则级数∑∞n=1an和∑∞n=1bn同敛散。
④若数列{an}收敛，则级数∑∞n=1（an+1-an）收敛。
以上四个命题中正确的个数为（）
（A）1个。（B）2个。
（C）3个。（D）4个。
（5）设A为4阶矩阵，A=（α1,α2,α3,α4），若Ax=0的基础解系为（1,2,-3,0）T，则下列说法中错误的是（）
（A）α1,α2,α3线性相关。
（B）α4可由α1,α2,α3线性表出。
（C）α1,α2,α4线性无关。
（D）α1可由α2,α3,α4线性表出。
（6）已知α=（1,-3,2）T,β=（0,1,2）T，设矩阵A=αβT-E，则矩阵A最大特征值的特征向量是（）
（A）α。（B）β。
（C）α+β。（D）α-β。
（7）已知X的分布函数为F（x），概率密度为f（x），a为常数，则下列各函数中不一定能作为随机变量概率密度的是（）
（A）f（x+a）。（B）f（-x）。
（C）af（ax）。（D）2f（x）F（x）。
（8）已知随机变量X,Y均服从正态分布N（μ,σ2），且P{max{X,Y}≥μ}=a（0 （A）a2。（B）1-a2。
（C）a。（D）1-a。
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。
（9）曲面z=x2+y2与平面2x-y+z=1垂直的法线方程为。
（10）设f（x）=xsin2x，则f（2017）（0）=。
（11）设有向量场Α=2x3yzi-x2y2zj-x2yz2k，则其散度divA在点M（1,1,2）处沿方向n=（2,2,-1）的方向导数（divA）n=。
（12）设Ω是空间区域{（x,y,z）x2+y2+z2≤1}，则Ωx2a2+y2b2+z2c2dv=。
（13）设A为三阶非零矩阵，已知A的各行元素和为0，且AB=O，其中B=10-120-230-3，则Ax=0的通解为。
（14）设随机变量X1,X2相互独立，X1服从正态分布N（μ,σ2），X2的分布律为P{X2=1}=P{X2=-1}=12，则X1X2的分布函数间断点个数为。
三、解答题：15～23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）
求I=limx→0+（tanx）ln（1-x）。
（16）（本题满分10分）
设对x>0的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面Σ都有
Σxf（x）dydz-xyf（x）dzdx-ze2xdxdy=0,
其中函数f（x）在（0,+∞）内具有连续一阶导数，且limx→0+f（x）=1，求f（x）。
（17）（本题满分10分）
计算曲线积分I=∫Γ［φ（y）cosx-πy］dx+［φ′（y）sinx-π］dy。其中φ（y）具有连续的导数，曲线Γ为从A（π,2）到B（3π,4）且在直线AB下方的任意路径，该曲线与直线AB所围成的区域面积为2。
（18）（本题满分10分）
将函数f（x）＝2＋x（-1≤x≤1）展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数∑∞n=11n2。
（19）（本题满分10分）
设函数f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导且f（a）≠f（b）。证明存在η,ξ∈（a,b），使得f′（ξ）2ξ=f′（η）b+a。
（20）（本题满分11分）
已知线性方程组x1+x2+x3+x4=-1，4×1+3×2+5×3-x4=-1，3×1+x2+4×3+2×4=0，ax1+x2+3×3+bx4=1有无穷多解，求a,b的值并求其通解。
（21）（本题满分11分）
设二次型xTAx=ax21+2×22-x23+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，实对称矩阵A满足AB=O，其中B=101000101。
（Ⅰ）用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换；
（Ⅱ）判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。
（22）（本题满分11分）
设随机变量X和Y相互独立，X服从正态分布N（μ,σ2），Y在区间［-π，π］上服从均匀分布，求随机变量Z＝X＋Y的概率分布。（计算结果用标准正态分布Φ表示，其中Φ（x）=12π∫x-∞e-t22dt）
（23）（本题满分11分）
设总体X~U（1,θ），参数θ>1未知，X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本。
（Ⅰ）求θ的矩估计量和极大似然估计量；
（Ⅱ）求上述两个估计量的数学期望。
2020年全国硕士研究生招生考试
数学（一）考前冲刺试卷5参考答案及解析
一、选择题
（1）【答案】D
本题主要考查曲线渐近线的求法。
【解析】首先，x＝0和x＝1是两个明显的间断点，且limx→0y=∞,limx→1y=∞，所以x＝0和x＝1是两条垂直渐近线；
其次，limx→+∞y=+∞,limx→-∞y=0，所以沿x→+∞方向没有水平渐近线，沿x→-∞方向有一条水平渐近线y＝0。
最后，
limx→+∞yx=limx→+∞1×2（x-1）+1xln（1+ex）
=0+limx→+∞1xlnex（e-x+1）
=limx→+∞1+1xln（e-x+1）=1,
limx→+∞（y-x）=limx→+∞1x（x-1）+ln（1+ex）-x
=0+limx→+∞ln1+exex=0。
所以沿x→+∞方向有一条斜渐近线y＝x，沿x→-∞方向，由于有一条水平渐近线，因此没有斜渐近线。
综上所述，曲线共有4条渐近线。故选（D）。
（2）【答案】A
本题考查函数的奇偶性。本题可直接证明，也可通过举反例排除错误选项。
【解析】方法一：令F（x）=x2［f（x）+f（-x）］，由题设知F（x）是（-∞，+∞）上的连续函数，且
F（-x）=（-x）2［f（-x）+f（x）］=x2［f（x）+f（-x）］=F（x），
即F（x）是偶函数，于是对任意的x∈（-∞，+∞），
G（x）=∫x0t2［f（t）+f（-t）］dt=∫x0F（t）dt，
满足
G（-x）=∫-x0F（t）dt=t=-u∫x0F（-u）（-du）
=-∫x0F（-u）du=-∫x0F（u）du=-G（x），
即G（x）是奇函数。故选（A）。
方法二：可举例说明选项（B）、（C）、（D）都不正确。为此设f（x）=x，于是
x2［f（x）-f（-x）］=x2［x-（-x）］=2×3，
故∫x0t2［f（t）-f（-t）］dt=2∫x0t3dt=12×4，
∫x0［f（t）］3dt=∫x0t3dt=14×4，
∫x0f（t3）dt=∫x0t3dt=14×4，
它们都是（-∞，+∞）上的偶函数，这表明选项（B）、（C）、（D）都不正确。故选（A）。
（3）【答案】B
根据微分方程的解的形式求未知系数。
【解析】由于y=xex+x是微分方程y″-2y′+ay=bx+c的解，则xex是对应齐次方程的解，其特征方程r2-2r+a=0有二重根r1=r2=1，则a=1；x是非齐次方程的解，将y=x代入方程
y″-2y′+ay=bx+c
知b=1，c=-2。故选（B）。
（4）【答案】A
本题考查级数敛散性的判断。包括比较判别法，比值判别法，根值判别法。
【解析】④是正确的，因为级数∑∞n=1（an+1-an）的部分和数列为
Sn=（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an+1-an）=an+1-a1，
因数列{an}收敛，故limn→∞an=0，则limn→∞Sn存在，级数∑∞n=1（an+1-an）收敛。
①不正确。例如∑∞n=1un=∑∞n=11n，满足un+1un<1，但是∑∞n=11n并不收敛。
②不正确。正项级数∑∞n=1un收敛，但极限limn→∞nun不一定存在，如∑∞n=1un=∑∞n=1［2+（-1）n］n4n根据比较判别法，
0 所以∑∞n=1un收敛，但是limn→∞nun=limn→∞2+（-1）n4不存在。
③不正确。例如∑∞n=1an=∑∞n=1（-1）n1n+（-1）nn,∑∞n=1bn=∑∞n=1（-1）nn，容易验证limn→∞anbn=1，但级数∑∞n=1bn收敛，而∑∞n=1（-1）n1n+（-1）nn=∑∞n=1（-1）nn+∑∞n=11n是发散的。故选（A）。
（5）【答案】B
本题考查齐次线性方程组基础解系与系数矩阵列向量的关系以及通过比较向量组的秩确定向量之间的关系。
【解析】Ax=0的基础解系为（1,2,-3,0）T，可知r（A）=3且α1+2α2-3α3=0，则α1,α2,α3线性相关，所以（A）项正确。
因为r（A）=3且α1,α2,α3线性相关，若α4可由α1,α2,α3线性表出，则
r（α1,α2,α3,α4）=r（α1,α2,α3）<3，
所以该选项错误，故选（B）。
由于α3=13α1+23α2，可知α3能由α1,α2,α4线性表出，故
r（α1,α2,α4）=r（α1,α2,α3,α4）=3，
因此α1,α2,α4线性无关，所以（C）项正确。
由于α1=-2α2+3α3，可知α1可由α2,α3,α4线性表出，所以（D）项正确。
（6）【答案】A
如果矩阵A的秩为1，即各行各列对应成比例，则A的特征值为0（n-1重）和tr（A）。
【解析】由题设可知r（αβT）=1，所以αβT的特征值为0,0,βTα，即0,0,1，所以A的特征值为-1,-1,0。
A属于0的特征向量等于αβT属于1的特征向量，即αβTα=α（βTα）=α，故选（A）。
（7）【答案】C
本题考查概率密度的基本性质，如果f（x）为概率密度函数，则f（x）≥0，∫+∞-∞f（x）dx=1。
【解析】由题设可知f（x）为概率密度，故f（x）≥0，∫+∞-∞f（x）dx=1。F（x）为分布函数，故F（x）≥0，从而f（x+a），f（-x），2f（x）F（x）大于等于0，并且容易验证它们的积分等于1，而af（ax）在a<0时小于0，故不一定为概率密度。故选（C）。
（8）【答案】C
本题考查正态分布的性质以及最大最小值函数的分布。
【解析】由题设可知
P{max{X,Y}≥μ}=1-P{max{X,Y} 而P{min{X,Y} =P{X =1-P{X 从而P{min{X,Y} 故选（C）。