更高更妙的高中数学思想与方法（第十版）

十年来，笔者养成了一个习惯，那就是用一一年的时间收集*、*好的备考资料，用一年的时间写出自己认为对备考*有帮助的专题，2018年笔者在给杭州高级中学高三学生上专题课的基础上，归纳整理了一此好的资料,现补充到第十版，主要补充内容有:

1.
增加了“3. 10阿波罗尼斯圆的应用”，”3.11泰勒展开式的应用”两节内容。

2.增加了“5.3高妙图表”，补充了一些解题中常用的图象。

3.第三章*部分增加了“运用权方和不等式巧解高考题”。

4.
将“3.7利用恒等式解向量题”细比为六个小节，全面归纳了解向量题的一些“秘密武

5.修订补充了“3.9节”，将原来的“3.9*值函数的妙用”调整为“3.9解*值函数问题的重要定理”，并将其细化为两小节，更加明确、清晰。

6.进一步修订了书中的一此印刷问题，删除了个别陈题。

7.补充了几道笔者自己编的题与2018年高考试卷中精选的好题。

 

追求无止境，本书连续修订了10年,每年都有新想法，新补充，令人感动的是，有读者从*版到第九版每版必买，真是“知音”与“真爱”呀! 为了不辜负大家的厚爱，“高妙”是笔者永远“追求更高，争取更妙”的作品!

本书的出版得到许多好朋友的支持与帮助，他们大多是高考命题专家及奋战在中学一线的名师、学科带头人，也得到浙江大学数学系多位教授的指导。

一本解密高考压轴题解法的专著

一本用竞赛方法优化解题的题典

一本让数学学霸争相追捧的读本

一本名师学霸录制配套微课的教程

 

 

图书特点：

本书的创意过程中，笔者力求形成的“亮点”有：

1.高屋建瓴——重视数学思想的渗透

在数学学习中，单纯靠题海战术盲目操练是很难获得理想成绩的，我们必须将自己置身于解题的更高境界。高中数学学习的更高境界主要是指运用数学思想武装自已，并有效地指导解题。数学《考试大纲》中指出：“数学思想和方法是数学知识在更高层次的抽象和概括。它蕴涵在数学知识的发生、发展和应用的过程中。”如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想则是数学意识，只能领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。

2.独辟蹊径——将数学竞赛知识与高考数学有机结合起来

高考数学命题遵循考试大纲和教学大纲，体现“基础知识全面考，主干内容重点考，热点知识反复考，冷点知识有时考”的命题原则。从解答策略上来说，高考一般淡化解题中的特殊技巧，比较注重在解题的通性通法上精心设计。但是认真分析近几年的高考试题，尤其是压轴题，我们不难发现，有很多问题又很难用“通性通法”顺利解决。因此，在平时学习中，对于学有余力的同学来说，有必要适当掌握一些“竞赛”的方法或技巧，只有这样，才能真正在高考中做到处变不惊，游刃有余。

3.一网打尽——收集整理参考了近五年所有的高考原题

对近五年来高考试卷及全国各重点中学*后一次模拟考试中出现的压轴题进行了系统整理，精选其中*典型的问题，从背景、方法与拓展等方面进行认真分析。另外，书中也收集了笔者参加浙江省会考命题，浙江省数学竞赛夏令营命题，杭州市统测命题时编写的习题资料。

4.来源实践——所有材料均经过优秀学生认真检验

本书大多数内容是在原浙江省理科创新实验班课堂实践的基础上发展与完善的。值得一提的是，笔者曾将书中内容给杭州二中2006届重点班学生作为高考复习专题资料，取得较好成效，当年该班高考数学平均分为143分，全班有50%的同学考取清华、北大，其中卢毅同学为浙江省高考理科第1名。因此，对于高三以及高一、高二的优秀学生，这本书可以直接作为复习的教材使用。

 

 

 

 

蔡小雄，中学数学特级教师，中国数学奥林匹克高级教练，杭州市优秀教师，享受市政府津贴，理学学士，教育学与教育管理研究生。他长期在教学一线，曾先后在三所重点中学担任十届高三毕业班教学。1999年获得浙江省首届高中数学优质课评比第1，2000年获全国首届高中数学优质课评比一等奖，说课录像入选人民教育出版社音像教材出版发行。2001年开始担任杭二中数学竞赛主教练、省数学会竞赛教练，全国数学决赛浙江省领队。在尖子生培养，学科竞赛辅导等方面有较高的业界认可度。近年来，他任教过的学生中，被清华、北大、香港大学录取的有上百位。尤其是2006届，所带班级50％的学生保送或考取北大、清华，其中卢毅同学为浙江省高考理科状元。他所带三届数学竞赛团队均获得省团体总分前三名，其中有7位学生入选全国数学冬令营决赛，24位学生获得全国联赛一等奖，数百名学生获得省数学竞赛一等奖。

章  更高更妙的高中数学解题策略
  1.1  夯实基础知识，争取“拾级而上
  1.2  防止思维定式，实现“移花接木
  1.3  灵活运用策略，尝试“借石攻玉
    1.3.1  归纳猜想
    1.3.2  类比迁移
    1.3.3  进退互化
    1.3.4  整体处理
    1.3.5  正难则反
  1.4  关注临界问题，掌握“秘密武器
    1.4.1  临界法则
    1.4.2  临界问题
    1.4.3  临界方法
  1.5  完善思维过程，达到“水到渠成
    1.5.1  关注解题过程
    1.5.2  了解特殊策略
  1.6  加强问题研究，做到“把根留住
    1.6.1  研究问题的变式，留住知识之“根
    1.6.2  优化问题的解法，留住方法之“根
    1.6.3  拓展问题的应用，留住价值之“根
    1.6.4  揭示问题的背景，留住本质之“根
第二章  高：善于用四大数学思想武装自己
  2.1  函数与方程思想
    2.1.1  显化函数关系
    2.1.2  转换函数关系
    2.1.3  构造函数关系
    2.1.4  转换方程形式
    2.1.5  构造方程形式
    2.1.6  联用函数与方程思想
  2.2  分类讨论思想
    2.2.1  分类讨论的原则与方法
    2.2.2  简化或避免分类讨论的途径
  2.3  数形结合思想
    2.3.1  数形结合的主要应用
    2.3.2  数形结合是把“双刃剑
  2.4  化归与转化思想
    2.4.1  变量与变量的转化
    2.4.2  高维与低维的转化
    2.4.3  特殊与一般的转化
    2.4.4  局部与整体的转化
    2.4.5  化归与转化的综合运用
  2.5  综合运用数学思想解题
    好题新题精选（一）
第三章  妙：妙用竞赛方法优化高考题解法
  3.1  熟悉递推方法
    3.1.1  累加累乘法
    3.1.2  待定系数法
    3.1.3  不动点法
    3.1.4  阶差法
    3.1.5  直接代换法
    3.1.6  变形转化法
    3.1.7  数学归纳法
    3.1.8  裂项分解法
  3.2  了解放缩技巧
    3.2.1  直接放缩
    3.2.2  裂项放缩
    3.2.3  并项放缩
    3.2.4  加强放缩
    3.2.5  借助导数放缩
  3.3  掌握重要不等式
    3.3.1  均值不等式
    3.3.2  柯西不等式
  3.4  引入参数或参数方程
    3.4.1  引参换元
    3.4.2  分离参数
    3.4.3  参数方程
    好题新题精选（二）
  3.5  借助平面几何知识妙解解析几何题
    3.5.1  利用三角形性质
    3.5.2  利用角平分线性质
    3.5.3  利用平行线段成比例的性质
    3.5.4  利用圆的性质
  3.6  运用曲线系方程
    3.6.1  一次曲线系方程
    3.6.2  二次曲线系方程
    3.6.3  一般型过交点（定点）曲线系方程
  3.7  利用恒等式解向量题
    3.7.1  极化恒等式
    3.7.2  分点恒等式
    3.7.3  向量中值定理
    3.7.4  向量数乘余弦定理
    3.7.5  对角线向量定理
    3.7.6  对棱角公式
    好题新题精选（三）
  3.8  构造函数巧解题
  3.9  解值函数问题的重要定理
    3.9.1  值函数基本定理
    3.9.2  切比雪夫逼近定理
    好题新题精选（四）
  3.10  阿波罗尼斯圆的应用
    好题新题精选（五）
  3.11  泰勒展开式的应用
第四章  更高更妙的高考压轴题突破技巧
  4.1  函数综合问题
    4.1.1  二次函数综合
    4.1.2  高次函数综合
    4.1.3  分式函数综合
    4.1.4  抽象函数综合
    好题新题精选（六）
  4.2  导数综合问题
    4.2.1  三次或四次型
    4.2.2  指数与一次或二次联袂型
    4.2.3  对数与一次或二次联袂型
    4.2.4  导数综合
    好题新题精选（七）
  4.3  数列综合问题
    4.3.1  数列性质综合
    4.3.2  函数与数列
    4.3.3  数列不等式
      4.3.3.1  递推等式型
      4.3.3.2  递推不等式型
    4.3.4  点列问题
    好题新题精选（八）
  4.4  解析几何综合问题
    4.4.1  弦长问题
    4.4.2  范围（值）问题
    4.4.3  定值（点）问题
    4.4.4  轨迹问题
    4.4.5  探究性问题
    好题新题精选（九）
  4.5  新颖性问题
    好题新题精选（十）
第五章  更高更妙的高中数学知识与公式大全
  5.1  必修部分
  5.2  选修部分
  5.3  高妙图表
参考文献