数学竞赛研究教程（上、下）

那个说“我想试试”的小孩，他将登上山顶，

那个说“我不成”的小孩，在山下停步不前。

“我想试试”每天办成很多事，

“我不成”就真一事无成。

因此，

你务必说“我想试试”，

将“我不成”弃于尘埃。

学习就如同登山，想成为“解题高手”，试试从“单墫解题研究丛书”开始！

我国著名数学传播、普及和数学竞赛的专家。1964年毕业于扬州师范学院数学系，在中学、大学任教四十多年。

1983年获理科博士学位（我国首批18名博士之一），1991年当选全国“优秀教师”，1991年7月起享受政府特殊津贴，1992年评为国家有突出贡献的中青年专家。1995年评为省“优秀学科带头人”。

单墫教授曾任南京师范大学数学系主任，中国数学奥林匹克委员会委员、教练组组长，国家*理科试验班专家组组长，南京数学学会理事长。

单墫教授主要从事数论与组合方面的研究，很多成果达到国际先进水平。

1989年作为中国数学奥林匹克代表队副领队、主教练，1990年作为领队，率队参赛IMO均获总分,为我国数学竞赛事业作为很大贡献。

目录ＣＯＮＴＥＮＴ

第1讲  探索法一

第2讲  探索法二

第3讲 枚举法

第4讲 反证法

第5讲 构造

第6讲 化归

这一版，本书由上海教育出版社出版，作为解题研究丛书的第四本.

学数学，好的方法就是做数学.这一点，是绝大多数人的共识.不过，也有人说：“学数学不一定要做题，阿蒂亚（M·Atiyah，1929—,1966年获菲尔兹奖）就不做题.”

阿蒂亚做不做题，我们不是很清楚.即使有一些人学数学不做题，还当了数学家，恐怕也只是很少很少的一部分人.绝大多数人学数学还是要做题的，因为你不是那少数例外的人，更不是阿蒂亚.

解题，可以巩固我们所学的知识.解题，更是一个发现、证实真理的过程.我们一步一步地前进，解决一个又一个困难，后获得成功.每个有这种经验的人，无不享受到这种精神的乐趣.

解题，可以培养逻辑推理的能力，书面与口头表达能力，想象能力，创造能力.

解题就像骑自行车等技能，需要多实践，也就是多做题，才能提高解题能力.

题目的质量，更比题目的数量重要.

参加数学奥林匹克的同学，未来当然不是非选数学专业不可（也有人选择当了和尚）.但大多数还是选择与数学有较多关联的方向，其中更有一些人将来会成为数学家.发现未来的数学家正是数学奥林匹克的一个重要目的.

当然，要成为数学家，还需要进一步的专业学习，还有很长的路要走.但在参加高中竞赛时，就可以聆听一些较专业的讲座，阅读一些较专业的书籍（苏联辛钦写的《数论三珠》就是一本很好的书）.竞赛的书中也可以多介绍一些有背景的问题.我们这本教程中也有这方面的例子（特别是第49讲例4的范德瓦尔登定理），帮助有志于数学的选手，缩短与数学家之间的距离.

非常希望有更多的数学家参加数学竞赛工作（老辈的如华罗庚先生、王元先生、曾肯成先生、常庚哲先生等都做了大量的工作），作讲座或报告，参加命题（张筑生教授曾经命过不少好题）.也希望有一本竞赛书，能包含更多与研究工作有关的问题，不仅有一些以往的研究，好能融入一些与当前研究有联系的问题.我们这本书当然不可能完成更多的任务，只能静待来者了.

本版订正了一些错误，没有太大的修改.

2018年2月