描述
开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787302493303
本书精选高校自主招生典型问题和高考创新试题,梳理高中数学代数部分核心知识,是高水平中学生复习备考不二之选!
本书是为了满足高水平中学生的数学学习需求,提升高水平中学生数学能力而编写,立足高中数学教材同步拓展,梳理高中数学代数部分核心知识,共分为六章,22个专题,精心选择既与高考内容相关,又高于高考要求的代表性习题,特别针对高考创新试题和自主招生典型问题做了深入剖析和探究.本书力求帮助高水平中学生从数学的本质上认识高中数学,达到重点高校高水平测试选拔对数学学科内容和能力两方面的要求,同时兼顾高考复习,一举两得. 本书适合参加全国高中数学联赛和高校自主招生选拔的高中生使用,也可作为高考数学复习参考资料,同时也能够为教师及数学爱好者开展数学体验拓展课程提供一些帮助.
目录
章集合
讲集合性质与两大原理
第二讲集合中的新定义问题
第三讲集合创新题综合运用
第二章函数
讲方程的根
第二讲函数的性质与图象
第三讲指数函数与对数函数
第四讲函数的性质探究
第五讲函数的“双对称性”与周期性
第六讲函数综合问题拓展
第三章三角函数、向量与解三角形
讲三角函数
第二讲平面向量
第三讲解三角形
第四讲三角函数综合练习
第四章导数
讲导数: 分类讨论
第二讲导数综合应用(Ⅰ)
第三讲导数综合应用(Ⅱ)
第五章数列
讲数列基本性质与递推公式
第二讲数列综合问题
第三讲均值不等式与柯西不等式
第六章计数原理与数论初步
讲排列组合
第二讲二项式定理
第三讲数论初步
前言
自2003年启动高校自主选拔录取改革试点以来,高校招生制度改革已迈入快车道.“打破一考定终身”“大力推行自主、推荐、定向、破格等多元录取方式”“三位一体综合评价招生”已成为高校招生中积极探索和实践的模式.这些改革举措,对于完善高校考试招生制度、促进基础教育阶段实施素质教育、选拔培养拔尖创新人才发挥了积极作用.
参加全国高中数学联赛和自主招生是高水平中学生拓展自己数学知识、提升自己数学思维品质、培养自己数学核心素养的重要平台.但全国高中数学联赛难度较大,而自主招生没有考试大纲,面对各种学习资料有时难以抉择,在学习和备考过程中显得异常迷茫.一本好书,就是一个高效的课堂.为此我们编写了校本课程教材《高水平中学生数学能力挑战》,分成代数篇和几何篇两本,力求既能够反映数学学科自主招生全貌,为高水平中学生搭建自主研修平台,又能够为教师及数学爱好者开展数学体验拓展课程提供一些帮助.
本套书的特色之一是对学生在能力挑战过程中可能碰到的问题,从知识、思想、方法、能力诸方面进行剖析,重在为学生指路.
本套书的特色之二是能力挑战中每一讲的典型例题都是通过小专题(题组)的形式出现的,巩固练习题的编排突出层次性,重在为层次不同的学校或不同层面的学生提供选择.
本套书的特色之三是题型全而新,囊括了近十年全国著名高校学科营与自主招生考试数学真题、高考数学压轴题、全国高中数学联赛试题及各省预赛试题,重在为高水平中学生提供备考指南.
《高水平中学生数学能力挑战(代数篇)》以高中数学知识体系为线索,内容涉及集合、数列、函数与导数、三角函数与解三角形、概率统计、初等数论等高中代数部分的内容,系统总结了核心知识点和经典解题方法,力图起到举一反三的作用,达到事半功倍的效果.
《高水平中学生数学能力挑战》力求成为数学高手的进阶攻略,限于能力和水平,书中难免有不足之处,恳请广大读者和数学同行批评指正,可发送电子邮件至,以便不断修正和完善.
编者2018年9月
第三章三角函数、向量与解三角形
三角函数是六类基本初等函数之一,是以角度(常用弧度制)为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数.也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义.三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具.
从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家们所认识,直到19世纪末20世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系.
讲三 角 函 数
三角函数是中学数学主体内容,是高考重点,是各校自主招生热点问题之一.
考试内容: 逐步抛弃复杂三角变换及特殊技巧,重点转移到基础知识和基本技能.
常见类型: 三角函数求值、图象与性质、三角恒等变形、解简单的三角方程.
基本思路: 一是利用公式定理、图象与性质及相关结论; 二是合理变形转化.
能力拓展1三角知识的基础性
1. (2008年上海交通大学)若cosx-sinx=12
,则cos3x-sin3x=.
【答案】1116
【解析】cos3x-sin3x=(cosx-sinx)(cos2x cosx·sinx sin2x).
又cosx-sinx=12,cos2x sin2x=1,cosxsinx=1-(cosx-sinx)22=38,
故cos3x-sin3x=12×1 38=1116.
2. (2004年同济大学)函数f(x)=log12(sinx cosx)的单调递增区间是.
【答案】π4
2kπ,3π4
2kπ,k∈Z
【解析】sinx cosx=2sinx π4>0x π4∈(2kπ,π 2kπ),k∈Z.
若f(x)=log12(sinx cosx)单调递增,则需g(x)=sinx cosx单调递减,
所以x π4∈π2 2kπ,π 2kπ,即x∈π4 2kπ,3π4 2kπ,k∈Z.
3. (2012年北京高考)已知函数f(x)=(sinx-cosx)sin2xsinx.
(1) 求f(x)的定义域及小正周期;
(2) 求f(x)的单调递增区间.
【解析】(1) 由sinx≠0x≠kπ(k∈Z),得函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
f(x)=(sinx-cosx)sin2xsinx=(sinx-cosx)×2cosx
=sin2x-(1 cos2x)=2sin2x-π4-1,
得f(x)的小正周期为T=2π2=π.
(2) 函数y=sinx的单调递增区间为2kπ-π
2,2kπ π2
(k∈Z),
则2kπ-π2
≤2x-π4
≤2kπ π2
kπ-π8
≤x≤kπ 3π8
,
得f(x)的单调递增区间为kπ-π8
,kπ,kπ,kπ 3π
8(k∈Z).
4. (2007年中国矿业大学)已知函数f(x)=14sin2x-cos2x-32 32sin2x-π4.
(1) 求满足f(x)=38的所有x值的集合;
(2) 若x∈-π6,π4,求f(x)的值和小值.
【解析】f(x)=14sin2x-cos2x-32 32sin2x-π4
=14-cos2x-32 321-cos2x-π22
=-14cos2x-34cos2x-π2 38
=-14cos2x-34sin2x 38=12sin2x-5π6 38.
(1) 令f(x)=38,得sin2x-5π6=0,故2x-5π6=kπ,
因此x∈xx=5π12 kπ2,k∈Z.
(2) 若x∈-π6,π4,则2x-5π6∈-7π6,-π3,
f(x)的值为12×12 38=14 38,小值为12×-1 38=-12 38.
5. (2014年卓越联盟)设α∈R,函数f(x)=2sin2xcosα 2cos2xsinα-2cos2x α cosα(x∈R).
(1) 若α∈π4,π2,求f(x)在区间0,π4上的值;
(2) 若f(x)=3,求α与x的值.
【解析】f(x)=2sin2x α-2cos2x α cosα=2sin2x α-π4 cosα.
(1) 由x∈0,π4,得2x α-π4∈α-π4,α π4.
由α∈π4,π2,得π2∈α-π4,α π4,所以所求值是2 cosα.
(2) 若f(x)=3,可得sin2x α-π4=1且cosα=1,
即2x α-π4=π2 2kπ且α=2lπ,
所以α=2lπ,x=3π8 kπ,其中l,k∈Z.
6. (2014年清华大学)已知函数f(x)=22(cosx-sinx)sinπ4 x-2asinx b(a>0)的值为1,小值为-4,求a,b.
【解析】f(x)=22(cosx-sinx)sinπ4 x-2asinx b
=22(cosx-sinx)·22(sinx cosx)-2asinx b
=12cos2x-sin2x-2asinx b
=-sin2x-2asinx b 12
=-(sinx a)2 a2 b 12.
令t=sinα,则t∈[-1,1],g(t)=-(t a)2 a2 b 12.
(1) 当0(2) 当a≥1时,函数的对称轴t=-a∈(-∞,-1],此时g(-1)=-1 2a b 12=1,g(1)=-1-2a b 12=-4,解得a=54,b=-1.
综上所述,a=54,b=-1.
【评注】本题是有三角函数背景的含参一元二次函数“动轴定区间”值问题,注意分类讨论.
能力拓展2恒等变形化简求值
7. (2013年清华大学)已知实数x,y满足sinx siny=13
cosx-cosy=15,求sin(x-y),cos(x y).
【解析】将两式平方相加后,得cos(x y)=208225.
两式和差化积,得2sinx y2cosx-y2=13,2sinx y2sinx-y2=-15.
两式相除得tanx-y2=-35,因此sin(x-y)=2sinx-y2cosx-y2=-1517.
【评注】也可以将两原式相乘,得
115=(sinx siny)(cosx-cosy)
=(sinxcosx-sinycosy)-(sinxcosy-cosxsiny)
=12(sin2x-sin2y)-sin(x-y)
=[cos(x y)-1]sin(x-y)
=208225-1sin(x-y),
所以sin(x-y)=-1517.
8. (2005年复旦大学)在△ABC中,已知tanAtanBtanC=123,求ACAB.
【解析】设tanA=t,由tanAtanBtanC=123tanB=2t,tanC=3t.
由A0.
又在△ABC中,tanA tanB tanC=tanAtanBtanC6t=6t3t=1
tanB=2,tanC=3sinB=255,sinC=31010ACAB=sinBsinC=223.
9. (2007年全国高中数学联赛)设函数f(x)=3sinx 2cosx 1,若实数a,b,c使得af(x) bf(x-c)=1,对任意实数x恒成立,则bcosca的值等于().
A. -12
B. 12
C. -1
D. 1
【答案】C
【解析】令c=π,则对任意的x∈R,都有f(x) f(x-c)=2.
于是取a=b=12,c=π,则对任意的x∈R,af(x) bf(x-c)=1,由此得bcosca
=-1.
一般地,由题设可得f(x)=13sin(x φ) 1,f(x-c)=13sin(x φ-c) 1,其中0且tanφ=23
,
于是af(x) bf(x-c)=1可化为13asin(x φ) 13bsin(x φ-c) a b=1,
即13asin(x φ) 13bsin(x φ)cosc-13bsinccos(x φ) (a b-1)=0,
所以13(a bcosc)sin(x φ)-13bsinccos(x φ) (a b-1)=0.
由已知条件,上式对任意x∈R恒成立,故必有a bcosc=0①
bsinc=0②
a b-1=0③.
若b=0,则由①知a=0,显然不满足③式,故b≠0.
所以,由②知sinc=0,故c=2kπ π或c=2kπ(k∈Z).
当c=2kπ时,cosc=1,则①③两式矛盾,故c=2kπ π(k∈Z),cosc=-1.
由①③知,a=b=12
,所以bcosca
=-1.
能力拓展3解三角方程及证明
10. (2012年北京大学)求使得sin4xsin2x-sinxsin3x=a在[0,π)有解的a.
【解析】设f(x)=sin4xsin2x-sinxsin3x,则
f(x)=-12(cos6x-cos2x) 12(cos4x-cos2x)=-12(cos6x-cos4x)=sin5xsinx.
因为f(π-x)=sin(5π-5x)sin(π-x)=sin5xsinx=f(x),
所以f(x)关于直线x=π2对称.
故要使f(x)=a在[0,π)上有解,只能x=0或x=π2.
当x=0时,a=0,此时sinxsin5x=0在[0,π)上的解不;
当x=π2时,a=1,此时sinxsin5x=1.
因为x∈[0,π)时,sinx≥0,所以sinx=1且sin5x=1,有解x=π2.
综上所述,满足条件的a是1.
【评注】首先,此题要求学生掌握积化和差、和差化积公式的应用; 其次,在画函数图象时,要研究函数的对称性.
11. (2010年清华大学)求sin410° sin450° sin470°的值.
【解析】(解法1) sin410° sin450° sin470°
=1-cos20°22 1-cos100°22 1-cos140°22
=14×[3-2(cos20° cos100° cos140°) (cos220° cos2100° cos2140°)].
由cos20° cos100° cos140°=2cos60°cos40° cos140°=cos40° cos140°=0,
cos220° cos2100° cos2140°=12×[3 (cos40° cos200° cos280°)]
=12×3-cos140° cos20° cos100°=32,
故sin410° sin450° sin470°=14×3 32=98.
(解法2) sin410° sin450° sin470°
=sin410° sin460°-10° sin4(60° 10°)
=sin410° 32cos10°-12sin10°4 32cos10° 12sin10°4
=sin410° 2×916cos410° 6×34cos210°×14sin210° 116sin410°
=98sin410° 94sin210°cos210° 98cos410°
=98×(sin210° cos210°)2=98.
【评注】遇到高次一般先降次.
12. (2011年北京大学)在单位圆x2 y2=1上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),且满足x1 x2 x3=0,y1 y2 y3=0,求证: x21 x22 x23=y21 y22 y23=32.
【解析】令x1=cosα,y1=sinα,x2=cosβ,y2=sinβ,x3=cosγ,y3=sinγ,其中0≤α由题意得,-cosγ=cosα cosβ,-sinγ=sinα sinβ.
两式平方相加得cos(β-α)=-12,同理cos(γ-β)=-12.
又0≤α故x21 x22 x23=cos2α cos2α 2π3 cos2α 4π3
=123 cos2α cos2α 4π3 cos2α 8π3=32.
又因为(x21 x22 x23) (y21 y22 y23)=3,所以y21 y22 y23=32.
【评注】进一步推广如下.
(1) sinα sinα 2π3 sinα 4π3=0;
(2) sin2α sin2α 2π3 sin2α 4π3=32;
(3) sin4α sin4α 2π3 sin4α 4π3=98.
13. (2014年北京大学)证明: tan3°Q.
【解析】反证法,假设tan3°∈Q,则tan6°∈Q,进而tan12°∈Q,tan24°∈Q,
故tan30°=tan(6° 24°)∈Q,矛盾,因此假设不成立,即tan3°Q.
【评注】对n用数学归纳法可证得结论: 若tanα,tannα(n∈N*)均有意义,则tannα可以表示成tanα的分式(该分式的分子、分母均是tanα的整系数多项式).
由此结论可知: 若tanα∈Q,n∈N*,则tannα∈Q.
14. (2009年北京大学)是否存在实数x,使得tanx 3与cotx 3均为有理数?
【解析】若tanx 3与cotx 3均为有理数,则存在整数p,q,s,t(其中(p,q)=1,(s,t)=1),使得tanx 3=pq,cotx 3=st,即tanx=pq-3,cotx=st-3.
上面两式相乘得pq-3st-3=1,整理得3qs pt=2qt ps.
由于上式右边为整数,故qs pt=0(否则,上式左边为无理数,矛盾).
于是ps 2qt=0,从而pqs=-2q2t=-p2t.
由t≠0得p2=2q2pq=±2,矛盾.
故不存在符合条件的x,使得tanx 3与cotx 3均为有理数.
【评注】解题的关键是利用有理数的表示及等式tanxcotx=1.
能 力 提 升
(2015年四川预赛)已知函数f(x)=sin4x.
(1) 记g(x)=f(x) fπ2-x,求g(x)在π6,3π8的值与小值;
(2) 求fπ180 f2π180 f3π180 … f88π180 f89π180的值.
【解析】(1) g(x)=sin4x cos4x=(sin2x cos2x)2-2sin2xcos2x=1-12
sin22x.
因为x∈π6
,3π8
,则2x∈π3
,3π4
,故sin2x∈22
,1,
从而12
≤1-12
sin22x≤34
,即g(x)∈12
,34
.
所以g(x)在π6
,3π8
上的值为g3π8
=34
,小值为gπ4
=12
.
(2) fπ180
f2π180
f3π180
… f88π180
f89π180
=gπ180
g2π180
… g44π180
sin445π180
=44-12×sin22π180
sin24π180
sin26π180
… sin288π180
22
4
=44-12
×22 14
=1334
.
能 力 挑 战
1. (2017年海淀期中)已知函数f(x)=cos4x sin2x,下列结论中错误的是().
A. f(x)是偶函数
B. 函数f(x)的小值为34
C. π2是函数f(x)的一个周期
D. 函数f(x)在0,π2内是减函数
【答案】D
【解析】对于A,函数f(x)=cos4x sin2x,其定义域为R,对任意的x∈R,有f(-x)=cos4(-x) sin2(-x)=cos4x sin2x=f(x),所以f(x)是偶函数,故A正确;
对于B,f(x)=cos4x-cos2x 1=cos2x-12
2 34,当cosx=22
时,f(x)取得小值34
,故B正确;
对于C,f(x)=cos2x-12
2 34
=1 cos2x2
-12
2 34
=cos22x4
34
=1 cos4x8
34
=cos4x8
78
,它的小正周期为T=2π4
=π2
,故C正确;
对于D,f(x)=18
cos4x 78
,当x∈0,π2
时,4x∈(0,2π),f(x)先单调递减,后单调递增,故D错误.
2. (2016年中国科学技术大学)若a∈π4,π2,b∈(0,1),x=(sina)logbsina,y=(cosa)logbcosa,则xy(填>、【答案】>
【解析】分别对x,y取对数,logbx=(logbsina)2,logby=(logbcosa)2.
因为a∈π4
,π2
,所以1>sina>cosa>0.
又因为b∈(0,1),所以0故(logbsina)2y.
3. (2016年中国科学技术大学)设函数f(x)=sin(ωx φ)(ω≠0)的图象关于直线x=-1和x=2均对称,则f(0)的所有可能取值是.
【答案】±1,±12
【解析】(解法1)
根据题意,3是半周期的整数倍,于是ω=kπ3(k∈Z,k≠0),因此
f(0)=sinφ=sin(-ω φ ω)=sin(-ω φ)cosω cos(-ω φ)sinω=±cosω,
于是f(0)所有可能的取值是±1,±12.
(解法2) 由题意知,sin(-ω φ)=±1
sin(2ω φ)=±1,得-ω φ=mπ π2
2ω φ=nπ π2,其中m,n∈Z.
消去ω,得φ=2m n3π π2=kπ3 π2(k=2m n∈Z),
故f(0)=sinφ=sinkπ3 π2=coskπ3,有四种可能值±1,±12.
4. (2016年清华大学)若tan4x=33,则sin4xcos8xcos4x sin2xcos4xcos2x sinxcos2xcosx sinxcosx=.
【答案】3
【解析】根据题意,有sin4xcos8xcos4x sin2xcos4xcos2x sinxcos2xcosx sinxcosx=(tan8x-tan4x) (tan4x-tan2x) (tan2x-tanx) tanx=tan8x=3.
5. (2016年北京大学)设角α=π7,则sin2α sin22α sin23α的值为().
A. 74
B. 1
C. 78
D. 以上均不对
【答案】A
【解析】由半角公式得,sin2α sin22α sin23α=32-12(cos2α cos4α cos6α).
记A=cos2α cos4α cos6α,则有2sin2α·A=sin4α (sin6α-sin2α) (sin8α-sin4α).
而sin6α sin8α=0,所以2sin2α·A=-sin2αA=-12,从而得所求代数式的值为74.
6. (2016年江苏预赛)已知1sinθ 1cosθ=3512,θ∈0,π2,求tanθ.
【解析】(解法1) 由题设知,12(sinθ cosθ)=35sinθcosθ.
令sinθ cosθ=t,则t∈(1,2],且sinθcosθ=t2-12,则12t=35×t2-12,
即35t2-24t-35=0,解得t=75或t=-57(舍),
即有sinθ cosθ=75,sinθcosθ=1225.
所以sinθ=45,cosθ=35或sinθ=35,cosθ=45,从而tanθ=43或34.
(解法2) 由题设可得,
352122=1sinθ 1cosθ2=1sin2θ 1cos2θ 2sinθcosθ
=sin2θ cos2θsin2θ sin2θ cos2θcos2θ 2(sin2θ cos2θ)sinθcosθ
=1tan2θ tan2θ 2 2(tan2θ 1)tanθ=tanθ 1tanθ2 2tanθ 1tanθ.
注意到tanθ>0,解得tanθ 1tanθ=2512(舍负),进一步解得tanθ=43或34.
7. (2016年北京大学)cosπ11cos2π11…cos10π11的值为().
A. -116B. -132C. -164D. 前三个答案都不对
【答案】D
【解析】(解法1) cosπ11cos2π11…cos10π11
=cosπ11cos2π11…cos5π11cosπ-5π11…cosπ-2π11cosπ-π11
=-cosπ11cos2π11…cos5π112.
因为cosπ11cos2π11cos3π11cos4π11cos5π11
=12sinπ11·2sinπ11cosπ11cos2π11cos3π11cos4π11cos5π11
=122sinπ11·2sin2π11cos2π11cos3π11cos4π11cos5π11
=123sinπ11·2sin4π11cos4π11cos3π11cos5π11
=124sinπ11·2sin8π11cos3π11cos5π11=124sinπ11·2sin3π11cos3π11cos5π11
=125sinπ11·2sin6π11cos5π11=125sinπ11·2sin5π11cos5π11
=125sinπ11·sin10π11=125sinπ11·sinπ11
=125=132,
所以cosπ11cos2π11…cos10π11=-1322=-11024.
(解法2) cosπ11cos2π11…cos10π11
=cosπ11cos2π11…cos5π11cosπ-5π11…cosπ-2π11cosπ-π11
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