描述
开 本: 32开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787302488002
本书全面总结了高考数学的重难点知识,比如很多同学比较关心的导数压轴题和洛必达法则的联系,这一点在本书中的第6章第2节洛必达法则与高考中有详细地分析;对于高考数学热点问题本书中做了重点讲解,比如高考数学非常流行的函数:分段函数,本书在第7章用了大量的篇幅了结合图示对其详尽做了说明与分析;此外,每一章的例题是按照知识点分类讲解的,比如第2章例题分析部分就分了四块,分别是指数与对数函数、单调性、奇偶性、周期性;然后,本书每一章后面都有大量的习题,并且习题的类型非常丰富。*后,本书的前言也是一大特色,对如何学好数学用具体的实例做了详细的说明,让读者从大方向上把握好数学学习的方法。
第1章集合1
1.1集合的概念和运算1
1.2例题分析3
习题精练19
习题精练1答案详解10
第2章基本初等函数与函数的基本性质13
2.1基本初等函数13
2.1.1指数函数13
2.1.2对数函数14
2.1.3幂函数15
2.1.4对号函数16
2.1.5无勾函数17
2.2函数的基本性质19
2.2.1单调性19
2.2.2奇偶性21
2.2.3周期性23
2.3例题分析24
2.3.1指数、对数、幂函数与对号函数24
2.3.2函数的单调性30
2.3.3函数的奇偶性33
2.3.4函数的周期性36
习题精练237
习题精练2答案详解42
第3章三角函数48
3.1三角函数的图象和性质48
3.2三角恒等变换50
3.2.1基本变换公式50
3.2.2二倍角公式51
3.2.3积化和差公式51
3.2.4和差化积公式51
3.2.5代换公式52
3.2.6辅助角公式53
3.3例题分析54
3.3.1三角函数的图象54
3.3.2三角恒等变换63
3.3.3三角函数的周期性问题71
习题精练373
习题精练3答案详解80
第4章解三角形94
4.1正弦定理94
4.2三角形面积计算公式95
4.3余弦定理99
4.4方向角、仰角和俯角100
4.5三角形中常见的结论101
4.6例题分析102
习题精练4110
习题精练4答案详解114
第5章数列问题的解题方法124
5.1等差数列和等比数列的常用性质124
5.1.1等差数列的常用性质124
5.1.2等比数列的常用性质125
5.2用待定系数法求数列的通项公式126
5.3求数列的前n项和的常用方法127
5.3.1裂项求和127
5.3.2错位相减法129
5.4例题分析129
5.4.1等差数列与等比数列129
5.4.2列举法在数列解题中的应用138
5.4.3放缩法在数列解题中的应用142
习题精练5143
习题精练5答案详解149
第6章导数161
6.1导数的基本知识161
6.1.1导数的几何意义161
6.1.2导数的四则运算法则161
6.1.3常见函数的求导公式162
6.1.4复合函数的求导法则163
6.1.5导数与函数的单调性163
6.1.6极值的判别方法163
6.1.7求函数值的方法163
6.2洛必达法则与高考数学165
6.3例题分析167
6.3.1导数的运算167
6.3.2导数的几何意义169
6.3.3极值与值问题171
6.3.4用导数研究函数的单调性178
6.3.5导数的综合问题181
习题精练6191
习题精练6答案详解199
第7章函数图象问题与数形结合思想224
7.1函数图象变换224
7.1.1基本函数图象变换规则224
7.1.2函数图象变换的10个实例225
7.1.3三次函数的图象与性质232
7.2例题分析234
7.2.1根据已知函数解析式,选择对应的
函数图象234
7.2.2具有一定物理背景的函数图象问题240
7.2.3函数图象在解题中的应用——数形结合
的数学思想243
7.2.4分段函数250
习题精练7254
习题精练7答案详解263
第8章圆锥曲线的解题方法283
8.1直线方程283
8.2圆锥曲线方程及性质284
8.3常用的两种解题方法287
8.4例题分析291
8.4.1离心率的问题291
8.4.2点差法在解题中的应用293
8.4.3利用圆锥曲线的定义结合几何关系解题295
8.4.4抛物线的焦点弦问题297
8.4.5圆锥曲线的综合问题299
习题精练8311
习题精练8答案详解320
1. 资料太多,没有一本学透有的同学买了很多的数学辅导资料,东做一下西做一下,结果没有一本资料是学透彻的,这样不但没有利用好资料的价值,反而耽误了很多学习时间。我经常鼓励学生不要买太多的辅导资料,买一两本,然后把它学透,反反复复地去做,不放过任何一个题目、任何一个细节。2. 眼高手低,看得多、动笔少有些同学喜欢看辅导书上的例题解答,甚至依赖例题的解析,看了很多的例题,后数学考试却未能得高分。原因很简单,只有通过自己动笔去演算、分析,才能对数学知识有非常深刻的认识。无论对待什么数学题,正确的做法应该是独立思考,动笔去写过程,做出来,自然很好;做不出来,时间也没有白费,知识在你脑子里过了一遍就是学习。例题固然要多看,看例题的过程就是积累学习方法和解题经验的过程,但一定要边看边想边写,不能像看“小说”一样看数学例题。3. 搞题海战术,缺乏归纳总结有的同学做的题确实不少,可是后也考不了满意的成绩。可能是因为缺乏归纳总结,对做过的题目,要善于归纳解题方法,同类的题目不要做太多,而是应该掌握其中的数学原理及数学思路和方法,学会举一反三。关于具体的数学学习方法,我将在下面通过具体的实例向读者详细地说明,我坚信读者认真阅读完会有深刻的启发。一、 从值说起一提起值,很多读者脑海里可能会浮现诸如fx=2x-1 3x-2这样的函数,这种带值的函数在高考数学的试题中早已屡见不鲜,接下来我们一起来详细分析这类问题。坚信你可以从分析中悟出一些道理。请读者来看一道典型的高考数学试题,这是一道2014年的高考真题。【例1】若函数f(x)=x 1 2x a的小值为3,则实数a的值为。这道题很多资料上都有出现,大部分书上的解析是这样写的:由题意,可以分三大类情况进行讨论。 (1) 当-a22时,fx=-3x-a 1,x≤-a2x a-1,-a2-1时,即a<2时,fx=-3x-a 1,x≤-1-x 1-a,-1黄玉2018年2月于东南大学
2. 设A>0,ω>0,则由y=sinx的图象出发,有两种途径可以得到y=Asin(ωx φ)的图象(见图31)。 图313. 小正周期设ω>0,则: (1) y=Asin(ωx φ)的小正周期T=2πω;(2) y=Acos(ωx φ)的小正周期T=2πω;(3) y=Atan(ωx φ)的小正周期T=πω。3.2三角恒等变换〖*4/5〗3.2.1基本变换公式(1) sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ(2) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(3) cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ(4) cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ(5) tan(α β)=tanα tanβ1-tanαtanβ(6) tan(α-β)=tanα-tanβ1 tanαtanβ
3.2.2二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α【注】第二个公式有两个非常重要的等价变形形式: sin2α=1-cos2α2,cos2α=1 cos2α2这两种变形形式在三角函数的化简中经常用到,可以降幂(将平方变成1次方)。3.2.3积化和差公式(7) sinαcosβ=12[sin(α β) sin(α-β)](8) cosαsinβ=12[sin(α β)-sin(α-β)](9) cosαcosβ=12[cos(α β) cos(α-β)](10) sinαsinβ=-12[cos(α β)-cos(α-β)]【注】积化和差公式不需要死记硬背,因为式(1) 式(2)→式(7),式(1)-式(2)→式(8),式(3) 式(4)→式(9),式(3)-式(4)→式(10)。3.2.4和差化积公式(11) sinα sinβ=2sinα β2cosα-β2(12) sinα-sinβ=2cosα β2sinα-β2(13) cosα cosβ=2cosα β2cosα-β2(14) cosα-cosβ=-2sinα β2sinα-β2【注】和差化积公式不需要死记硬背,比如对于式(11),注意到α=α β2 α-β2,β=α β2-α-β2,为了方便书写,不妨令x=α β2,y=α-β2,则α=x y,β=x-y,于是sinα sinβ=sin(x y) sin(x-y)=(sinxcosy cosxsiny) (sinxcosy-cosxsiny)=2sinxcosy=2sinα β2cosα-β2,式(12)、式(13)、式(14)都可以进行类似的推导。3.2.5代换公式(15) sinα=2tanα21 tan2α2(16) cosα=1-tan2α21 tan2α2(17)tanα=2tanα21-tan2α2【注】之所以叫代换公式,是因为这三个公式都是用tanα2来表示sinα,cosα,tanα的,对于式(15),sinα=sin2×α21=2sinα2cosα2cos2α sin2α=2tanα21 tan2α2对于式(16),cosα=cos2×α21=cos2α2-sin2α2cos2α2 sin2α2=1-tan2α21 tan2α2对于式(17),只需在tan(x y)=tanx tany1-tanxtany中,令x=y=tanα2即可。3.2.6辅助角公式asinx bcosx=a2 b2sin(x φ),其中cosφ=aa2 b2,sinφ=ba2 b2即tanφ=sinφcosφ=ba。【注】关于辅助角公式的两点说明: (1) 推导: asinx bcosx=a2 b2aa2 b2sinx ba2 b2cosx令cosφ=aa2 b2,sinφ=ba2 b2,则,asinx bcosx=a2 b2(sinxcosφ cosxsinφ)=a2 b2sin(x φ)(2) 高考数学常考的具体辅助角变形形式:sinx cosx=2sinx π4,注: tanφ=1,可取φ=π4sinx-cosx=2sinx-π4,注: tanφ=-1,可取φ=-π4sinx 3cosx=2sinx π3,注: tanφ=3,可取φ=π3sinx-3cosx=2sinx-π3,注: tanφ=-3,可取φ=-π33sinx cosx=2sinx π6,注: tanφ=33,可取φ=π63sinx-cosx=2sinx-π6,注: tanφ=-33,可取φ=-π63.3例题分析〖*4/5〗3.3.1三角函数的图象【例3.1】已知函数y=sin(ωx φ)(ω>0,-π≤φ0,|φ|>π2,y=f(x)的部分图象如图33所示,则fπ24=。图33解: 答案3。从图象可知小正周期T=2×38π-π8=π2,所以ω=πT=ππ2=2,又当x=38π时,ωx φ=kπ,k∈Z,即2×38π φ=kπ,所以φ=kπ-34π,又因为|φ|图34(A) kπ-14,kπ 34,k∈Z (B) 2kπ-14,2kπ 34,k∈Z(C) k-14,k 34,k∈Z (D) 2k-14,2k 34,k∈Z解: 应选(D)。f(x)的小正周期为T=2,并且从图象中可以看出,在一个周期内,即-14≤x≤74,f(x)的递减区间为-14,34,所以f(x)的所有单调递减区间为-14 kT≤x≤34 kT,即x∈-14 2k,34 2k,k∈Z。【例3.4】已知ω>0,函数f(x)=sinωx π4在区间π2,π上单调递减,则ω的取值范围是()。(A) 12,54 (B) 12,34 (C) 0,12 (D) (0,2]解: 应选(A)。当x∈π2,π时,ωx π4∈π2ω π4, πω π4,而y=sinx的单调递减区间是π2 2kπ,32π 2kπ,k∈Z,所以,π2ω π4,πω π4π2 2kπ,32π 2kπ,即π2ω π4≥π2 2kππω π4≤32π 2kπ,解得: 4k 12≤ω≤2k 54,k∈Z。注意到,4k 12≤2k 54k≤38,又因为ω>0,所以,2k 54>0k>-58,即-580,ω>0)。若f(x)在区间π6,π2上具有单调性,且fπ2=f2π3=-fπ6,则f(x)的小正周期为。解: 答案π。根据题意可以画出f(x)图象如图3.5所示,则
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