全国卷满分秘籍·压轴小题篇

本套书共3册，专注研究全国卷的命题趋势，重点分析讲解高考的三大核心难点——导数，解析几何与选择填空题的压轴题，力求站在命题人的角度研究高考数学，突破题海战术，达到同类教辅中相当高的水准. 

高考数学中的压轴小题，历来是数学老师和优秀学生所关注的焦点。本书以全新的视角，以高考数学重要模块为明线，数学解题思想和方法为暗线，串联了选择填空题36个案例，从“深”与“申”两个层面上进一步研究，挖掘每个题目的背景，对提高学生的解题能力和研究性学习能力大有裨益。本书面向的对象是高中数学教师和优秀高中生，特别是有志于挑战高考数学高分甚至满分的同学。

张永辉，著名高考数学研究与辅导专家、中国新生代高中数学教育领军人物，洞穿高考数学辅导丛书主编、组合教育创始人。主要作品：《洞穿高考数学辅导丛书》，其中《高考数学题型全归纳》连续五年、东东、亚马逊等同品类销售排行榜。

开篇综述

讲

案例一多角度分析集合中的问题

案例二利用方差妙解一类函数值问题

案例三分式函数f(x)＝ax bx2 c值域的多种求法

案例四十二法汇聚共解一道条件值题

第二讲

案例五多角度研究一道函数图像交点问题

案例六多法共解一道已知不等式恒成立求参数值的问题

案例七以高等数学的视角解答函数与二项式定理的综合题

案例八探究一元三次方程根的判别式

第三讲

案例九对一道三角函数化简求值问题的研究

案例十对一道三角函数恒等变形题目的一题多解与反思

案例十一多法共解一道三角函数条件求值问题

案例十二多法求解一类三角函数值问题及其推广

案例十三多角度求解一道平面向量数量积的值

案例十四研究并推广一道以向量数量积为背景的综合创新题

第四讲

案例十五对一道有关数列周期性题目的研究与推广

案例十六探秘由三角函数关系式建立递推关系而设计的数列题

案例十七利用三角函数的周期性构造循环数列解题

案例十八追根溯源——一道源于教材中的数列综合压轴小题

第五讲

案例十九一道不等式恒成立问题的多解与推广

案例二十一类含参不等式恒成立的一题多解与推广

案例二十一利用多种数学工具共解一道多元条件值问题

案例二十二挖掘代数结构，从多元视角出发解一道不等式值问题

案例二十三多角度切入求解一道多元函数条件求值问题

第六讲

案例二十四研究直线与线段相交问题

案例二十五对椭圆或双曲线焦点三角形中“内心”问题的研究与拓展

案例二十六圆锥曲线定长弦中点坐标值问题的研究与拓展

案例二十七探求椭圆焦点三角形中∠F1PF2与离心率的关系

案例二十八多法求解光线反射类的直线问题

第七讲

案例二十九多法求解双曲线两焦半径之和的取值范围

案例三十多法求解一道直线与圆相交的题目

案例三十一多法求解一道圆锥曲线的定值问题

案例三十二“多管齐下”求解直线与圆的位置关系(有无交点及交点个数)问题

案例三十三不同角度共解一道涉及光的反射原理的直线题

第八讲

案例三十四洞悉本质，多题一解

案例三十五对组合数学中错排问题的研究与推广

案例三十六归纳推理速知其然，演绎推理知其所以然

结语

2010年组合教育正式出版《洞穿高考数学辅导丛书》.

6年来，这套丛书在几乎没有任何广告宣传的条件下，被越来越多的读者认可.如今在东东、、亚马逊等网站销量均名列前茅，线下也有越来越多的学校和班级集体征订这套书作为课堂教学用书.经常有读者询问版图书的亮点和后面图书的出版计划，帮助编写团队出谋划策，积极参与新版图书的修订工作.

这样的市场反应,也激励了编写团队不断地加大研发投入.我们坚持“专注、极致”的做书理念，始终保持对高考命题研究的新鲜感，在内容和形式上不断地创新.拒绝粗制滥造，坚持图书的思想性是组合教育做书不变的追求.

如何帮助全国卷地区的考生顺利地拿下大家的痛点学科——数学，或更明确地说：如何让大家在考试中轻松拿下数学难的三大部分：导数、圆锥曲线、压轴小题，是我们这套书努力的方向.

组合教育数学研发团队组织了全国近百名优秀作者，专注于全国卷的命题研究并逐点突破，研究国内重要的数学教育论文和近十年全国卷真题和模拟考试试题，从这些浩如烟海的试题中提炼出重点、难点问题，从以下四个方面来阐述和演绎其本质规律.

（一）方法，重在强调一题解万题的高度和能力.

（二）技巧，我们并不是一味地强调技巧，但是只要是我们说明的技巧，就可能让同学们在考试中轻松胜出，在时间效率上超越对手.

（三）方向，我们不仅研究过去考试的方向，更是要探究未来考试的趋势，给考生启发式的指导.

（四）深度，站在命题人的角度来研究问题，不是简单地堆砌内容，而是对内容的精雕细琢.

在本书编写过程中，组合教育团队采用更开放的编写理念，吸收了很多一线教师的意见和建议，并使之尽可能体现在我们的图书作品中.用更好的内容，帮助老师提高教学水平，让学生提高数学成绩，是我们的创作初心.当然，鉴于编者能力有限，虽倾心尽力，亦不能尽善尽美.若有疏漏和不妥之处，敬请广大读者和数学同行们指正.愿本套专题书伴随莘莘学子步入理想的大学！

 

张永辉

2016年12月于北京

案
例 导 言

在解答有关集合的问题时，始终要清晰地知晓问题中元素与元素、元素与集合、集合与集合之间的关系，然后运用集合元素的特征、交并补的运算，并辅以韦恩图、数轴等图形进行数形结合的分析推导. 本案例从不同角度出发，分别转化为二项式定理、集合个数、数列的相关问题进行解答，在解答过程中，请留意分类讨论思想和递推思想的运用及分类的标准如何影响问题的转化.

经
典 案 例

〖=AL(〗案例1(2015年朝阳区模拟14)假设Mn={1,2,3,…,n}，n≥2，n∈N*，A,BMn，集合A中的数小于集合B中小的数，问有序对“(A,B)”有对.〖=〗解析角度1： 从A∪B元素的个数分析，进行分类相加

假设A∪B中有m个元素，则2≤m≤n，m∈N*.

设m个元素分别为a1，a2，a3，…，am，且a1

A={a1}，B={a2,a3,…,am}，

A={a1,a2}，B={a3,a4,…,am}，



A={a1,a2,…,am-1}，B={am}，

以上共m-1种可能.

于是，当A∪B中有m个元素时，满足题意的有序对“(A,B)”共有(m-1)Cmn对，从而本题的答案即为∑nm=2Cmn(m-1).

下面给出计算∑nm=2(m-1)Cmn的方法.

∑nm=2(m-1)Cmn=C2n 2C3n 3C4n … (n-1)Cnn

=2C2n 3C3n 4C4n … nCnn-(C2n C3n C4n … Cnn).

令

x=2C2n 3C3n 4C4n … (n-2)Cn-2n，①

则

x=(n-2)C2n (n-3)C3n (n-4)C4n … 2Cn-2n，②

① ②，得