描述
开 本: 16开纸 张: 轻型纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787508693705丛书名: 无
1. *知名的数学史家，美国“新数学”运动旗手；
2. 用*短的篇幅讲述数学2500年惊心动魄的历史；
3. 在不牺牲准确性的情况下，几乎没用公式；
4. *版饱受好评，全新精校本。
本书探讨数千年来数学在直觉、逻辑、应用之间穿梭往复的炫目旅程，再现真实数学的发展过程，阐述数学的起源、数学的繁荣和科学的数学化，直到当代数学的现状：数学与确定性（逻辑，严密性，完备性）渐行渐远。
克莱因透过数学史上的大事件一步一步剥开数学思想与数学思维变迁的脉络。
序言
引言：主题 / 001
第1章 数学真理的起源 / 009
第2章 数学真理的繁荣 / 035
第3章 科学的数学化 / 059
第4章 第一场灾难：真理的丧失 / 083
第5章 一门逻辑学科不合逻辑的发展 / 121
第6章 不合逻辑的发展：分析的困境 / 155
第7章 不合逻辑的发展：19世纪的困境 / 185
第8章 不合逻辑的发展：天堂之门 / 207
第9章 天堂受阻：理性的新危机 / 237
第10章 逻辑主义与直觉主义 / 261
第11章 形式主义与集合论公理化基础 / 297
第12章 灾难 / 313
第13章 数学的孤立 / 337
第14章 数学向何处去 / 371
第15章 自然的权威 / 397
参考书目 / 430
人名索引 / 438
战争、饥荒和瘟疫能引起悲剧，然而，人类思想的局限性也能引起理性上的悲剧。本书论及的不幸事件降临在人类最为卓著且无与伦比的成就，对人类的理性精神具有最持久和最深刻的影响—数学的头上。
换句话说，这本书在非专业层次上探讨数学尊严的兴衰。看到数学现在的宏大规模，日益增多甚至呈繁荣之势的数学活动，每年发表的数以千计的研究论文，对计算机兴趣的迅猛增长以及尤其是在社会科学和生物科学中对定量关系的广泛研究，数学的衰落从何谈起？悲剧存在于何处？要回答这些问题，我们首先必须考虑是什么为数学赢得了巨大的声望和荣誉。
作为一个独立知识体系的数学起源于古希腊，自它诞生之日起的2000 多年来，数学家们一直在追求真理，而且成就辉煌。关于数和几何图形的庞大理论体系为数学提供了一个看起来似乎无限的确定性前景。
在数学以外的领域，数学概念及其推论为重大的科学理论提供精髓。尽管通过数学和科学的合作才获得的知识用到了自然定律，但它们看来似乎与绝对的数学真理一样绝对可信，因为天文学、力学、光学和空气动力学中的数学所做的预测与观察和实验相当吻合。因此，数学能牢固把握宇宙的所作所为，能瓦解玄秘并代之以规律和秩序。人类得以趾高气扬地俯瞰他周围的世界，吹嘘自己已经掌握了宇宙的许多秘密（实际上是一系列数学定理）。拉普拉斯
的话概括了数学家们一直在不懈地寻求真理的信念。他说，牛顿2 是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他已发现了它的规律。
数学依赖于一种特殊的方法去达到它惊人而有力的结果，即从不证自明的公理出发进行演绎推理，这种方法我们仍会在通常的高中几何课上学习。它的实质是，若公理为真，则可以保证由它演绎出的结论为真。通过应用这些看起来清晰、正确且完美的逻辑，数学家们得出显然是毋庸置疑、无可辩驳的结论。数学的这套方法在今天仍然沿用。任何时候，任何人想找一个推理的必然性和准确性的例子，一定会想到数学。
这种数学方法所取得的成功吸引了最伟大的智者，数学已显示了人类理性的能力、根源和力量。所以他们想到，为什么不能把这种方法用到由权威、风俗、习惯控制的领域，比如在哲学、神学、伦理学、美学及社会科学中去寻求真理呢？人类的推理能力在数学和自然科学中是如此卓有成效，肯定也将成为上述其他领域思想和行为的主宰，为其获得真理的美和美的真理。因此，在被称作理性时代的启蒙时期，数学方法，甚至和一些数学概念及定理，被应用到了人文领域之中。
洞察力最丰富的来源是后见之明。19 世纪初的创造，包括令人奇怪的几种几何学和代数学，迫使数学家们极不情愿地承认绝对意义上的数学或者科学中的数学真理并不都是真理。例如，他们发现几种不同的几何学同等地与空间经验相吻合，但它们可能都不是真理。显然，自然界的数学设计并不是固有的，或者如果是的话，人类的数学都未必是那个设计的最好诠释。开启真理的钥匙失去了，这一事实是降临到数学头上的第一个不幸事件。
新的几何学和代数学的诞生使数学家们感受到另一个宇宙的震动。寻求真理的信念使数学家们如醉如痴，总是迫不及待地用严密论证去追求那些虚无缥缈的真理。认识到数学并不是真理的化身动摇了他们从数学那里获得的自信，他们开始重新检验他们的创造。他们失望地发现数学中的逻辑形容枯槁，惨不忍睹。
事实上，数学已经在不合逻辑地发展，不仅包括错误的证明、推理的漏洞，还有稍加注意就能避免的疏误。这样的错误比比皆是。这种不合逻辑的发展还涉及对概念的片面理解，无法真正认识逻辑所依赖的原理以及论证的不严谨性；也就是说，直觉、实证及借助于几何图形的证明取代了逻辑论证。
不过，数学仍然是一种对宇宙的有效描述，而且在许多人心里，特别是在柏拉图主义者看来，数学是实在（reality）的一部分，是值得追求的。因此，数学家们决定去弥补丢失了的逻辑结构，重建有缺陷的部分。在19 世纪下半叶，数学的严密化运动（rigorization of
mathematics）格外
引人注目。
到1900 年，数学家们确信已实现了自己的目标。尽管他们不得不满足于数学仅能作为对宇宙的一个近似描述的观点，许多人甚至放弃了宇宙的数学化设计这一信念，但的确庆幸他们重建了数学的逻辑结构。然而，他们还没来得及炫耀自封的成功，在重建的数学中就发现了矛盾。一般称这些矛盾为悖论（paradoxes），这是为了避免直接说矛盾而破坏了数学逻辑的委婉用语。
当时那些领头的数学家几乎立刻就投身于解决这些矛盾，于是他们构想、阐述甚至建构了四种不同的数学学派，每一种都有众多的追随者。那些基础的学派不仅努力解决已有的矛盾，而且力争避免新的矛盾出现，换句话说，他们要建立数学的相容性（consistency）。在这些基础研究中又出现了其他的问题，某些公理和演绎逻辑推理的可接受性也成为几个学派采取不同立场的重要原因。
到1930 年，数学家们已满足于接受几种数学基础中的一两个，并且宣称自己的数学证明至少和这些学派的原则相符。但是，灾难再次降临—以哥德尔1 的一篇著名论文的形式出现。哥德尔证明了那几个学派所接受的逻辑原理无法证明数学的一致性。这还不包括论文里其他一些意义重大、影响深远的结果。哥德尔表明，对已取得的成功提出质疑不能不用到非常可疑的逻辑原理。哥德尔定理引起一场巨变。随后的发展带来了更大的麻烦。例如，就连过去极度推崇的、被认为是精密科学方法的公理化—演绎方法看来也是有缺陷的。这些新的发展给数学增加了多种可能的结构，同时也把数学家分成了更多的相异群体。
数学的当前困境是有许多种数学流派，而且由于种种原因，每一种都无法使对立学派满意。显然，普遍接受的概念、正确无误的推理体系—1800 年时尊贵的数学和那时人的自信—现在都成了痴心妄想。与未来数学相关的不确定性和可疑性，取代了过去的确定性和自满。关于“最确定的”科学的基础意见不一致不仅让人吃惊，而且，温和一点说，是让人尴尬。目前的数学或是故作深沉，或是对广泛承认的真理，所谓的完美无缺的逻辑的拙劣模仿。
有的数学家认为，关于接受什么作为真正数学的不同观点，总有一天会统一起来。在这些人当中比较有名的是一群署名为尼古拉•布尔巴基的法国领头数学家们：
长期以来，对数学原理的重要修正几乎无一不在不确定性时期之后，而不确定性确实使矛盾出现了并且一定得被解决。在至今已有25个世纪之久的这段时期里，数学家们一直在改正他们的错误，并且看到了这门科学欣欣向荣，而不是枯竭衰败。这使他们有理由对未
来充满希望。
然而，更多的数学家并不乐观。20世纪最伟大的数学家之一，外尔在1944年曾指出：
数学的终极基础和终极意义尚未解决，我们不知道沿着什么方向可以找到最终答案，或者甚至于是否有希望得到一个最终的、客观的答案。“数学化”很可能是人类原始创造力的一项创造性活动，类似于语言或音乐，其历史观点否认完全客观的合理性。
用歌德的话说：“一门科学的历史就是这门科学本身。”
对于正确的数学是什么的问题所存在的分歧以及不同基础的多样性不仅严重影响数学本身，还波及最为生机勃勃的自然科学。我们将看到，最先进的自然科学理论（即这种理论的成果可以在感觉上或实体上体现出来。例如即便我们一点也不懂电磁波是什么，但我们能听到收音机中传出的声音），这都是数学化的成果。因此，没有亲自对数学基础下过功夫，而又不打算花费数年时间研究不完美的数学的科学家，一定会关心什么样的数学能被理直气壮地应用。
真理的丧失，数学和科学不断增加的复杂性，以及对于何种方法应用于数学是最保险的的不确定性，已使大多数数学家放弃科学。风声鹤唳，草木皆兵，数学家们不得不退回到那些证明方法看起来似乎很安全的数学领域。他们还发现人为编造出来的问题比自然界提出来的问题更
富魅力，处理起来更加得心应手。
因完美的数学是什么而产生的危机和矛盾还阻碍了数学的方法在许多其他文化领域中的应用，如哲学、政治科学、伦理学和美学。找到客观、正确的定律和标准的希望变得微弱了，理性时代已经过去。
尽管数学令人不满意，方法复杂多变，对可接受公理持不同意见，还有随时可能出现的新矛盾，都会殃及大部分数学领域，但是一些数学家仍然把数学应用于自然现象中，而且事实上把应用领域扩大到经济学、生物学和社会学。数学的继续有效给我们两点启示。第一点是这种有效性（effectiveness）可用作判别正确性（correctness）的准则，当然这个准则是暂时性的。今天认为正确的，也许下次应用时就会被证明是错的。
第二点涉及未知。真正的数学是什么？对此并无定论。为什么数学依旧有效？我们是在用不完美的工具创造奇迹吗？如果人类已经被欺骗了，大自然也会受骗而屈服于人类的数学命令吗？显然不会。而且正是凭借建立在数学之上的技术，人类成功地登上了月球，探测了火星和木星。这难道不是对宇宙中的数学理论的证实吗？那么，数学的人为因素与变幻莫测又何从谈起呢？在心智和灵魂迷惘不定的时候，躯体能生存下去吗？当然对于人类本身及数学，确实如此。因此我们应该去研究为什么会这样。尽管数学的基础尚不确定，数学家们的理论也彼此冲突，而数学却已被证明成就辉煌，风采依然。
克莱因是自欧几里得以来比任何人都理解数学的人。
——Omni（杂志）
数学的未来在哪里？它会衰落吗？数学家克莱因在《数学简史》中侃侃而谈2500多年的思想史，揭示出数学的命运。
——KIRKUS REVIEW
数学是如何从人类理性的骄傲成为今天各个学派之间的论战，对于这个这话题，克莱因的讲述是极其激动人心且深入浅出的。
——威廉•巴雷特（《非理性的人》一书作者），《纽约时报》书评
《数学简史：确定性的消失》是一部思想史，它追溯了从古希腊到1931年这期间复杂的数学思想的轨迹。哥德尔的论文不仅让数学家们颜面扫地，还证明了象牙塔本身就是一个毫无根据的神话。
——FUTURISM
样章一
一个自由工匠阶层的产生伴随着对数学、技能和技术的兴趣，引出了一些科学上的难题。以寻找原料和黄金为动机的地理探险导致掌握了一些以前不为人知的陆地和习俗的知识。这些对中世纪欧洲文化提出了挑战，新教变革反对某些天主教义，因而引发了二者之间的论战。清教徒向人们强调工作和知识的用处。火药的引入，引出了新的军事问题。例如抛物体的运动及在海洋上航行好几千英里不见陆地，都促进了对自然的研究。印刷术的发明使过去一直由教会控制的知识的传播成为可能。尽管权威们对到底是哪一个或哪些外力影响了对自然的探求各执己见，但是，这些力是如此之多，足以使我们注意到这样一个被普遍接受的事实，对科学的探索确实是现代欧洲文明的最主要特征。
欧洲人通常并不立即对新的冲击和影响作出反应，在标榜为人文主义的年代中对希腊著作的研究和吸收远甚于对希腊人的目标的追逐，但是大约到了公元1500年，被灌输了希腊目标的思想——即推理在自然研究中的应用以及对数学设计的根本原因的探索——开始活跃起来。然而，他们面临一个难题，希腊目标与当时盛行的文化产生了冲突。希腊人相信自然界的数学设计，自然界亘古不移地遵守某个理想的方案。而后来中世纪学者把所有的方案和行为都归于上帝，他是设计者和创造者，而且所有的自然界行为都遵循他制定的规则，宇宙是他的杰作，是他的意志的产物。文艺复兴时期及后续几个世纪的数学家和科学家都是正统的基督徒因而接受了以上宗旨，但是天主教学说中绝不会包括自然界的数学设计这样的希腊教条，那么怎样使试图弄清上帝的宇宙和探求自然界的数学法则和谐一致呢？答案就是再增加一条新教义，即上帝依照数学设计了宇宙，这样，以理解上帝的意愿和他的创作为最高宗旨的天主教教旨就以探求上帝对自然的数学设计的形式出现。事实上，16、17世纪及18世纪的大半，数学家所做的工作都是宗教的需要。这一点我们不久会看得更清楚，探索自然界的数学法则是一种很虔诚的工作，其揭示上帝的杰作的伟大和辉煌。数学知识，即是关于上帝的宇宙设计的真理，就像任何一条《圣经》的经文一样神圣不可侵犯。人类不可能指望像上帝自己那样清楚地明白上帝的意图，但人至少可以以谦恭和虔诚的态度来接近神的思想，这样就可以明白神创造的世界。
人们更进一步断言：存在支配自然现象的数学规律，并且不懈地探求，因为他们还先验地相信，上帝已将这些规律融入了宇宙结构中，每一个自然法则的发现都被视为神的英明的证明而不是证明研究者自己。数学家和科学家例证了文艺复兴时期席卷欧洲的更广泛文化现象。最近重新发现的希腊著作向人们展示了一个极为虔诚的基督教世界，其中每一个教派的领袖都被另一个教派的教条所吸引并相互采纳。
希腊人的宗旨（自然是依数学设计的）与文艺复兴时的信念（上帝是这个设计的作者）融汇在一起，统治了欧洲，关于这一点最令人信服的证据就是哥白尼和开普勒的工作。直到16世纪，唯一合理和实用的天文学理论是喜帕恰斯和托勒密的地心说，这套理论被职业天文学家所接受并应用于历法推算和航海。新天文学理论的工作是由哥白尼开创的，他于1497年进入博洛尼亚大学学习天文学，在1512年他被任命为东普鲁士弗劳恩贝格大教堂的教士。这个工作使得哥白尼有足够的时间来进行天文观测并思考与之有关的理论，经过数年的观测和思考，哥白尼形成了一套关于行星运动的新理论，并写入他的经典著作《天体运行论》。这部书的第一版他于1507年就已完成，但由于担心其将触怒教会，哥白尼迟迟没有发表。这部书于1543年，即他逝世的那一年问世。
当哥白尼开始思考天文学的时候，托勒密的理论变得更为复杂了，更多的周转圆被补充进由托勒密引入的这套系统以使其满足大部分由阿拉伯人获得的不断增长的观察数据。在哥白尼时代，这套理论共需77个圆来描述太阳、月亮及当时所知的五颗行星的运动。对许多天文学家来说，这套理论就像哥白尼在他的书的序言中所说那样，达到了令人难堪的繁琐。
哥白尼研究过一些希腊著作并且确是依数学及和谐的原理设计的。和谐，要求一套更赏心悦目的理论而不是繁复冗赘的托勒密理论。在读了某些希腊作者，主要是阿里斯塔修斯的著作后，哥白尼认为或许太阳是静止不动的，地球绕太阳旋转的同时自转，他决心研究这种可能性。
哥白尼的推理的要点是他也用托勒密关于周转圆和从圆的图式（见第一章）来描述天体的运动。然而，最主要的区别是，太阳位于每个从圆的中心，而地球成了一颗在圆周上运动、同时自转的行星，他将圆（包括周转圆和从圆）的数目从地心说所需要的77个减小到34个，从而极大地简化了地心说。
更加惊人的简化成就是由开普勒所取得的，这是科学史上最不可思议的事情。他的一生经历了许多个人不幸及由宗教和政治事件引起的磨难。1600年，他幸运地成为著名的天文学家布拉赫的助手。其时布拉赫正致力于自古希腊以来第一桩大的科学工作，即重新进行全面的天文观测，这些观测和其他由开普勒自己完成的观测对开普勒有极大的价值。布拉赫于1601年去世，开普勒接替他而成了奥地利国王鲁道夫二世的王室数学家。
开普勒的科学推理令人叹为观止，像哥白尼一样，开普勒也是个神秘主义者，他相信上帝在设计世界时，遵循了某个简单、优美的数学方案。在他的著作《宇宙的秘密》（1596年）中他说上帝头脑中的数学和谐性解释了“为什么天体运动的轨道、大小和数目是这样而不是那样。”这种信念占据了他的全部思维。但开普勒也具备我们今天归于学者才有的那种品质，即近乎冷酷的理性化。他丰富的想象产生了新理论体系的概念，但开普勒明白理论必须与观察结果相一致，到了晚年他更清楚地意识到正是经验数据启示了科学的基本原则。开普勒因此甘心放弃他最心爱的数学假设，一旦看到这种假设和观测数据不一致，他就以难以置信的固执拒绝容忍任何一位当时学者都会忽略的偏差。这导致他拥护激进的科学思想。开普勒也拥有谦逊、坚忍和毅力等诸多品性，正是这些品性帮助伟人们去成就他们非凡的事业。
开普勒确信存在自然的数学规律，这些规律的追求使他在错误的道路上探索了多年。在《神秘的宇宙》一书的序言中，他说：“我企图去证明上帝在创造宇宙并且安排宇宙的次序时，看到了从毕达哥拉斯和柏拉图时代起就为人们熟知的五种几何正多面体，他按照这些形体安排了天体的数目、它们的比例和它们运动间的关系。”但是，以五个正多面体为基础建立起来的理论所推出的结论与观测的结果不一致，他花了极大的努力以改进了的形式去运用它，但最后还是放弃了这种方法。
然而，他在后来努力寻找和谐的数学关系时，却取得了极大的成功。他最著名也是最重要的成果就是我们今天所说的开普勒行星运动三定律。前两条定律公布在他1609年出版的一本书里，这本书有一个很长的名字，通常取其前半部分，称为《新天文学》或取其后半部分，称为《论火星的运动》。第一条定律尤为著名，因为开普勒打破了两千多年来的传统，即必须用圆或球来描述天体运动。毋须借助于托勒密和哥白尼用来描述行星运动的周转圆和从圆，开普勒发现只需一个椭圆足矣。其声称，每颗行星都沿着椭圆轨道运行，太阳位于这些椭圆轨道的公共焦点上（图2.1），而另一个焦点只是一个数学点，什么也没有。这条定律使得理解行星运动轨道更加容易因而极富价值。当然，开普勒像哥白尼一样，他指出，地球在绕其椭圆形轨道运行同时也在自转。
但欲使天文学有实际用处的话，它必须再进一步，它必须告诉我们怎样预言行星的位置。如果一个人通过观测得知行星处于一个特殊点，比如说，在图2.1中的P点，他可能想知道什么时候，比方说，夏至、冬至或春分、秋分时这颗行星会位于什么位置，人们所关心的是行星以多大的速度绕它们的轨道运行。
在这里，开普勒也迈出了极为大胆的一步，哥白尼和希腊人一直用的是匀速，即行星沿着它的周转圆运动同等时间内扫过相同的弧度，同时，每个周转圆的中心又在另一个周转圆或从圆上作匀速运动。但是开普勒的观测结果告诉他，行星并不以匀速绕其椭圆形轨道运动。一个艰苦而漫长的寻找速度规律的工作以胜利而告终。他发现，如果行星在一个月内从P点移到Q点（图2.2），比如说，也是一个月内，从P′点到Q′点，则面积PSQ与面积P′SQ′相等。由于P点距太阳较P′点近，如果面积PSQ与面积P′SQ′相同，弧PQ必须大于弧P′Q′，因此，行星并不是以匀速运动，事实上，它们靠近太阳时运动得快一些。
开普勒为他发现了第二定律而欣喜若狂，尽管它没有简单到像匀速运动定律那样好用，却证实了他最基本的信念，即上帝是依据数学原理来设计世界的。上帝所选择的可能更为微妙，但数学定律却能清楚地指明行星运动的速度大小。
还有一个重要问题没有解决，从太阳到行星的距离是依照哪一个定律来描述？问题的复杂性在于从行星到太阳的距离不是固定的。因此开普勒想找出一个新的能反映这一情形的原理。开普勒深信，自然界的设计不仅是基于数学原理，而且还基于和谐原理，他认为“和谐”这个词在这里非常贴切。他相信存在关于天体的音乐，其能产生和谐的旋律效果，不是通过耳朵，而是通过将行星运动的事实转译成音符而辨别出来。开普勒遵循这样的思想，即把数学性与音乐性奇妙地结合在一起。他得出，如果T是行星的公转周期，而D是其与太阳的平均距离，那么，此处k对于所有行星都是一个常数，这就是开普勒在《世界的和谐》（1619年）中得意洋洋地宣布的行星运动第三定律。
然后，开普勒对上帝大唱赞歌：“太阳、月亮和群星，用你们无法表达的语言赞颂上帝吧！天上的和谐，你应当理解上帝神奇的创造，给它唱赞歌吧！我的灵魂，你赞美造物主吧！造物主创造了一切，一切又存在于造物主之中，我们最了解造物主和我们虚幻的科学所创造的东西！”
哥白尼和开普勒坚信上帝和谐、简单地设计了世界的程度可以通过他们必须反驳的异议来判断。按照托勒密的理论，其他行星运动，可以用希腊人的学说这样解释：这些行星是由特殊的很轻的物质所组成，因而很容易运动，但是怎样才能使很重的地球运动呢？哥白尼和开普勒都不能回答这个问题。还有一种反对地球转动的观点认为：如果地球在旋转，那么，地球表面的物体会飞到宇宙中去，就像物体从旋转着的平台掉下来一样。没有人能反驳这种观点。对于更进一步的反对意见，旋转的地球会飞散，哥白尼无力地反驳说，地球的运动是自然的，因而不会毁掉它自己。然后他反问道，为什么天空不会因为昼夜不停的飞速运转（地心说理论认为的）而飞散？还有另外一种反对意见：如果地球由西向东旋转，那么抛向空中的物体就会坠落于原来位置的西边，因为当地球运动时物体还在空中。更进一步，地球围绕太阳旋转，既然物体的速度与其重量成正比，至少如同希腊人和文艺复兴时期的物理学所认为的那样，那么地球上较轻的物体应留在后边，甚至空气也应留在后边。对这最后一个问题，哥白尼解释说：空气是地上的，所以和谐一致地跟着地球运动。所有这些反对意见的实质在于：地球的自转与公转不符合在哥白尼和开普勒时代被普遍接受的亚里士多德的运动理论。
一类反对日心说的科学异议来自天文学本身，尤以基于下列事实的为甚：日心说把恒星视为固定不动，然而，地球在六个月时间内要在空中变换它的位置约186000000英里，因此，如果人在某一时间内看到某颗恒星并且在六个月后又看到它，则视差应该可以被观测到，然而在哥白尼和开普勒时代这却做不到。哥白尼争辩说，恒星离我们是如此之远以至于视差太小而难以被观测到。他的解释不能使批评者信服，他们反驳说：如果恒星真的那么遥远，那么它们就根本不会被清楚地看到。在这个问题上，哥白尼的回答是正确的，即使是离我们最近的恒星，在六个月内它的视差也只有0.31秒，这是数学家贝塞尔用一架高级望远镜于1838年首次观测到的。
保守主义者又进一步问道，如果地球以每秒约18英里的速度绕太阳转动并以每秒约0.3英里的速度自转，为什么我们却没有感到任何运动呢？事实上我们的感觉告诉我们是太阳在天空运动。对于开普勒时代的人来说，这样的论证是无可辩驳的，所有这些对地球是在运动的科学异议都很有份量，并且不能视为拒绝接受真理的顽固守旧势力而不予考虑。
哥白尼和开普勒都很虔诚，但他们都否定了基督教的一条核心教义，即人是宇宙的中心，上帝主要关心的是人。把太阳置于宇宙的中心，这就威胁了这个慰藉人类的教义，因为它使得人成为众多仿佛漂泊于寒冷天空的流浪者之一。他似乎不在能生前享受荣华富贵，死后荣登天堂，更不像是上帝施恩的对象了。哥白尼抨击地球是宇宙中心的说法，他指出，宇宙是如此巨大以至于去谈论其中心是毫无意义的，但是这种逆耳之声在当时影响甚微。
反驳所有反对日心说的意见，哥白尼和开普勒都只用了一个无以辩驳的回答，他们都使得自己的理论臻于数学的理论，更显得和谐、优雅。考虑到上帝设计了宇宙并且显然会采用更卓越的理论，那么日心说就一定是正确的。
对他们所发现的并认为是正确的理论，在哥白尼的《天体运行论》及开普勒的许多著作中都有毋庸置疑的证明。比如开普勒在评价他的椭圆运动理论时说：“我从内心深处感觉到这个理论的真实性，我以难以置信的欣喜之情欣赏它的美妙。”开普勒1619年发表的著作，就取名为《世界的和谐》，其中洋溢着他对上帝不尽的赞颂，表达了对上帝辉煌的数学设计的钦佩之情，也表示了他自己对此坚信不疑。
起初只有数学家支持新理论是不足为奇的。因为只有那些确信宇宙数学化并且简单化地设计的数学家才具备坚定的信心去蔑视那些盛行的哲学上的、宗教上的和科学上的异议，而欣赏这种革命性的天文学数学。只有对数学在设计宇宙中的重要性坚信不移的人才有勇气去面对强大的反对力量而证实一种新理论。
对新理论的支持来自于一个意想不到的发展。早在17世纪，望远镜就被发明出来，伽利略听说了这项发明之后马上自己建造了一架，然后用于天体观测，这令他的同时代人大为震惊。他看到了木星的四颗卫星（我们现在能看到12颗），这一发现表明，每个行星都可以有卫星。伽利略还观察到月亮粗糙的表面及山峰，他还观察到太阳和围绕土星赤道的一条隆起带（现在我们称之为土星光环）。他的发现进一步证实：行星都同地球相像，它们肯定不是像希腊人和中世纪的思想家所认为的由轻飘飘的物质所构成的理想球体。用望远镜可以发现原先在天空中像一条宽宽的光带的银河是由无数颗恒星组成，因此天空中还含有其他的太阳，也许还有其他的行星系。哥白尼预言，假如人类的视力更锐利一些，我们就能观测到金星和水星的相位，就像我们能用肉眼看出月球的相位一样。借助望远镜伽利略确实观测到了金星的相位，他的观测结果使他确信哥白尼的理论是正确的，而且他在其经典著作《关于两大世界体系的对话》（1632年）中竭力为之辩护。日心说之所以被接受还由于其使得天文学家、地理学家及航海家计算起来更为简便。到17世纪中叶，科学界也愿意在日心说的基础上继续发展，而数学法则对真理的要求也得到了极大的加强。
坚持地球既围绕太阳旋转同时又自转的学说在17世纪早期的理性氛围中绝不是偶然的。伽利略被罗马天主教宗教法庭审判早已众所周知，虔诚的天主教徒帕斯卡发现自己的著作被列入禁书之列，因为他不知天高地厚地诋毁基督耶稣，在他的《致外省人书》中，帕斯卡声称：“对于伽利略的地动学说，即使你得到了罗马教廷否定伽利略的判决也是徒劳的，因为这并不能说明地球是静止不动的……”
哥白尼和开普勒毫无疑问地接受了希腊人关于自然是按数学设计的信念及天主教关于上帝创造和设计了宇宙的信条。笛卡尔着手建立系统的、清晰的和有说服力的新科学哲学。尽管笛卡尔被誉为数学王冠上的明珠之一，但他首先是一个哲学家，其次是宇宙学家，第三是物理学家，第四是生物学家，第五才是数学家。他的哲学极为重要，因为它主宰了17世纪人们的思想甚至影响到牛顿和莱布尼茨这样的巨人， 他的基本目标是要找到在所有领域内建立真理的方法，这贯穿了他的主要著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（1637，简称《方法论》）。
通过只接受那些确凿无疑的事实，笛卡尔开始他的哲学体系的建立工作。那么他是怎么区分哪些是可接受的论据，哪些是不可接受的呢？在他的《思维指导法则》中（写于1628年，但在他去世后才得以出版），他指出：“对于我们要研究的对象来说，我们不仅不应该研究他人已经想出的，而且也不应研究我们自己臆测的东西，而应研究我们能清楚明了的看出或可靠地演绎出的东西，因为知识不可能用别的方法得到。”使头脑有能力直接获得清楚和明晰的基本原理，极其敏锐的直觉和对结果的演绎——这就是笛卡尔认识哲学的实质。笛尔卡认为思维只有两种方法，它们能使得我们不必担心陷入谬误而获得知识，这就是：直觉和演绎。在《法则》一书中，笛卡尔对直觉给予很高的评价：“直觉是纯粹的专注的思维的可靠概念，它仅由理性之光产生，而且比演绎更可信一些。”
在《方法论》一书中，他证实了思想的存在以及由思想包含的确切无疑的知识，通过他的基本的直觉，笛卡尔在《方法论》一书中急于证实了上帝的存在。而且后来在围绕着循环推理的争论中，他自己确信，直觉和演绎的方法一定是正确的，因为上帝不会欺骗我们。他说，“上帝是永恒的，不可改变的，独立自主的，全知的和全能的，并且包括我自己在内的万物都是上帝创造的。”
对于数学本身的真理来说，就像他在《哲学原理》（1641年）一书中指出的那样“对于属于算术和几何以及一般的纯抽象数学的图形、数字以及其他一些符号来说，我认为它们是最可靠的真理，对此我感觉得一清二楚。”“自从数学家从最容易的和最简单的东西开始研究后，只有他们才能找到确知的真理及相关的事实。”数学的概念和真理并不是由人们从感觉得来的，它们自从我们出生就深藏于我们思想之中了，这是上帝安排的，对一般三角形的感性认识永远也不会使人联想起理想三角形的概念。同样对心智很清楚的人来说，三角形的内角和一定是180°。
笛卡尔接着将目光对准现实世界，他说，对于清清楚楚的直觉以及由之而来的演绎法，我们可以放心地将它们应用到现实中去。他认为上帝是按数学设计世界的，在他的《方法论》中，他证实了“可靠真理及观念的存在，前者是上帝在自然界中建立起来的，而后者扎根于我们灵魂之中，一旦我们对它们有足够多的思考，将不再怀疑它们可以在世界上所存在和发生的万事万物中精确地观测到。”
笛卡尔进一步证实自然法则是永恒不变的，因为它们是并且仅仅是预定的数学模型的一部分。甚至就在出版他的《方法论》以前，笛卡尔在1630年4月15日给一位与数学家过从甚密的神学家梅森的信中写道：
对于到处宣扬是上帝在自然界建立了这些原则不要害怕，这就像一个最高统治者在他的国家建立法律一样……而且这就像一个国王，当他不被他的臣民所知的时候更加具有威信一样，我们把国王的伟大看成不可思议时，我们并没有想到我们根本就没有国王。一个人会告诉你如果上帝建立这些真理，他也可以像国王改变他的法律一样来变更他们。对此，人们可能回答到这有可能，只要他的意愿可以改变，但我认为这些真理是永恒不变的，这也同我认为上帝是永恒的一样。
这里笛卡尔否认了通行的信念：上帝在不断地干预宇宙的活动。
对于研究客观世界，笛卡尔希望只需数学，就像他在《方法论》中所说的，“迄今为止在所有探求真理的人中，只有数学家成功地进行任何一种证明，即进行明白无误的，确定无疑的推理。”在研究客观世界时，笛卡尔相信只用数学就足够了，他在《哲学原理》中（1644年）写到：我坦率承认，在现实物质中，我还不知道有什么其他的物质存在……除了几何学家用数值给它记上符号并且作为其论证的对象的那种物质。对于这种物质，我只考虑分界线、形状以及变化。简言之，除了可以由那些普通信条（它们的正确性毋庸置疑）用在数学证明中所推出的以外，我不相信任何事。而且到现在，通过这种方法我们可以解释自然界的一切现象……我不认为我们还可以承认什么其他的客观原理，或者说我们还有理由再寻找其他任何一条。笛卡尔在他的《哲学原理》中明确指出科学的实质就是数学。他说他“既不承认也不希望在物理学中还有除了几何上的或抽象数学中以外的什么原理，因为这样才能使所有自然现象都可解释并且可给出确定的证明。”客观世界就是一个静止不动的空间，它具体体现在几何学中，因而其性质可从几何的基本原理中得出（因为那时数学的大部分都是几何学，因而笛卡尔和他的同代人都将几何看成数学的同义词）。
笛卡尔力图解释为什么世界可用数学来解释。他坚持认为物质最基本最可靠的性质就是形状、延展性和在时空中的运动，而所有这些都是可用数学描述的。由于形状可归结为延展，笛卡尔宣称：“如果给我延展和运动，我就能构造宇宙。”他特别强调所有物理现象都是受外力作用的分子机械运动的结果，然而作用力同样也满足不变的数学规律。
既然笛卡尔认为外部世界只是由运动的物质组成，那么他怎么解释味觉、气味、颜色以及音质呢？在这些问题上他援引古希腊人的信条，即德谟克里特的第一性和第二性学说。第一性，物质与运动，存在于客观世界中；第二性，包括味觉、气味、颜色、热、声音的悦耳或刺耳，不过是外界原子与感官互撞时由人们感官中的第一性产生的结果。现实世界是在时空中可用数学描述的物体运动总和，整个宇宙是通过数学原理建立起来的庞大的、和谐的机器，科学以及事实上任何用来建立顺序和测量的原理都可归于数学。他在《思维的指导法则》第四法则中写道：
所有那些目的在于研究秩序和度量的科学，都与数学有关。至于所求的度量是关于数、形、星体、声音或是其他东西都无关紧要。因此，应该存在一门普遍的科学，去解释所有我们能够知道的秩序和度量，而不必考虑他们在某个特殊学科中的应用。事实上，通过长期使用，这门科学已经有了其专门的名称，这就是数学。……其所以在灵活性和重要性上远远超过那些依赖于它的科学，是因为它完全包括了这些科学的研究对象和许许多多别的东西。
笛卡尔对数学本身并没有提出什么新定理，但他却提供了一种非常有效的研究方法，即我们现在所称的解析几何（见第五章），从技术的观点来看，解析几何彻底改变了数学研究方法。
在科学上，笛卡尔的贡献，虽然不如像哥白尼、开普勒以及牛顿那样辉煌灿烂，但也不容轻视。他的漩涡理论（见第三章）是17世纪时的主要宇宙学理论，他是机械论哲学的奠基人。这种哲学认为，所有自然现象，包括人体的作用，但除了灵魂，都可归结为服从力学定律的运动。对于力学来说，他系统地阐述了惯性定律，即现在所说的牛顿第一运动定律：如果没有外力作用，每个物体都保持其静止状态或匀速直线运动状态。
光学，特别是透镜设计，是笛卡尔另一个主要兴趣所在，实际上他的《几何学》一部分和《屈光学》的全部（《方法论》后面的附录）都是讲光学的。他和斯涅耳共同发现了光的折射定律，即光在媒质中传播时，媒质突然变化（如光从空气射到玻璃或水）时光线如何变化。希腊人开始将光学数学化，但笛卡尔的贡献在于他把光学发展成为数学科学。在其他领域他也做出重要贡献，包括地理学、气象学、植物学、解剖学（动物解剖）、动物学、心理学，甚至医学。
尽管笛卡尔的哲学和科学观点背离亚里士多德主义及中世纪的经院哲学，但在一个基本的方面，他还是一个经院主义者：他从自己的心里得出关于存在和实在的本质命题，他相信有先验的真理，而理智本身的力量可以得到对一切事物的完整知识。这样，他在先验推理的基础上阐明运动定律（实际上他在生物学及其他一些领域的研究中做了一些实验，并且从中得出一些重要的结论）。然而，通过把自然现象归结为纯物理现象，他做了许多努力去剔除科学中的神秘主义和超自然力。
17 世纪伟大数学家之一，帕斯卡毫不怀疑科学中的数学及数学规律是真理。和笛卡尔不同，笛卡尔认为直觉明显地可以被头脑接受，帕斯卡则认为直觉只可以被内心所接受。真理必须是清晰地确切地在心里出现，或者是以这类真理的逻辑推论出现，在他的《思想录》里，他告诉我们：
关于空间，时间、运动和数的基本原理的知识如同我们通过推理获得的任何知识一样可信，事实上，由我们内心和直觉所提供的这种知识正是我们的推理赖以建立结论的基础。对推理来说，要求在接受来自内心的基本原理前就要求其证明是无意义的和荒谬的，就如同对内心来说，在接受由推理所论证的所有命题前就要求其有直观知识一样是无意义和荒谬的。
对帕斯卡来说，科学就是研究上帝的世界，他认为单纯为了娱乐来从事科学工作是错误的。以娱乐为主要目的而搞研究是糟蹋了研究，因为那种人抱有“一种对学问的不尽贪欲，对知识的恣意挥霍”。“这种对科学的研究出自对自我为中心的关心，而不是着眼于在周围的自然现象中找出神的存在和光辉。”
在开创现代数学和科学、富有独创精神的思想家中，伽利略与笛卡尔齐名，当然，他也相信自然界是上帝按数学设计的。他在1610年《试金者》中的论述非常著名：
哲学（自然）被写在那部永远在我们眼前打开看的大书上，我指的是宇宙。但只有首先学会它的语言，把握了它的书写符号以后，我们才能理解它。它是用数学语言写成的，符号是三角形，圆以及其他几何图形，没有它们的帮助，人们一个字也读不懂，就只能在黑暗的迷宫中游荡。
样章二：
尽管数学是一项纯粹的人类创造，但它为我们开辟了通往自然的某些领域的道路，使我们走得比预想更远。实际上，和现实距离如此遥远的抽象概念能获得巨大的成就，这本身就不可思议。数学解释也许确系人为，它也许是一个童话，但却是一个合乎道义的童话。即使我们不易解释人类的理性，但它却有力量。
数学的成功是有代价的，代价就是把世界用长度、质量、重量、时间等简单概念来看待。这样的解释是不足以表示丰富多彩的体验的，就如同一个人的身高并非此人本身一样。数学最多只描述了自然的某些过程，但其符号并未容纳所有的一切。
此外，数学处理的是物理世界中最简单的概念与现象，它的研究对象不是人而是无生命的物质，它们的行为是重复性的，因而数学可以描述。但在经济学、政治理论、心理学以及生物学领域，数学就无能为力了。即使在物理王国，数学也只研究简单化的事物，这些简单化的事物与现实的接触就如同曲线的切线仅切曲线于一点一样。地球环绕太阳的轨迹是一个椭圆吗？不。只有当把地球和太阳都看作是质点且宇宙中其他天体的影响都忽略不计时才能成立。地球上的四季是年复一年循环的吗？也很难说，我们只能说从其大体上考虑，就像人们能够感受到的那样，四季是这样循环的。
我们能够因为不能理解数学不可思议的有效性而放弃使用它吗？希维赛德曾说：我能因为不知道消化的过程而放弃进食吗？经验驳斥了怀疑者。合理的解释则为自信所不屑。在给予宗教、社会科学和哲学全部应有的尊重，而我们又清楚地认识到数学并不涉及我们生活中的某些方面的情况下，数学在给予我们知识方面取得的成功仍然是不可限量的。这门知识并不只是建立在其正确性的断言上，在从收音机到原子能发电厂的运转中、在日食或月食的预测中、在发生于实验室的成千上万的事件中以及在日常生活中，每天我们都可以检验它的正确性。
数学处理的虽是较简单的物理世界的问题，但在这一领域中它获得了最成功的发展。人类从数学中获得的力量促使他们希望自己能占有一席之地。数学治理了自然，减轻了人类的负担，从数学的成功中人们鼓起了勇气。
关于数学为何有效的问题并不仅限于学术范围以内。数学在工程上的运用中，人们在多大程度上依赖数学来预测和设计呢？设计一座桥梁时，还需要用无穷集的理论或者选择公理吗？桥梁不会坍塌吗？庆幸的是，一些工程项目所用定理有过去的经验作为坚强后盾，人们可以放心使用。许多工程项目都是设计过度的。这样一来，即便我们队材料强度的有关知识并不准确，但我们的桥梁都还是用钢这样的材料建造。因此，工程师采用的是比理论要求的强度更高的粗索和桁梁。但是，在建造以前从未有过的一类工程时，我们就必须注意所用数学的可靠性。在这种情况下，我们就应采取小心谨慎的态度，在建造本身开始以前采用小规模的模型或其他检验措施了。
这一章的重点是找到一些解决数学和数学家所面临的困境的方法。数学并没有被普遍采纳的体系，各个不同学派所提倡的许多条道路也不可能一一探究，因为这样做将会掩盖数学促进科学进步的真正目的。因此，我们提倡用目的作为标准。我们也已经探讨过由这一过程引发的问题和结果了。
然而，当我们强调数学对科学的应用时，并不排除数学王国里其他有价值的甚至是明智的探求途径。我们确已指出（见第13章），即使在探求应用数学的过程中也需要各种各样的协助活动，如抽象化、一般化、严密化及方法的改进。除此之外，我们还可证明那些与数学不直接相关的基础研究在科学探索中是有用的。直觉主义者本打算用结构主义者的方案，取代毫无意义的存在定理，却产生了计算量的方法，而纯粹的存在定理只是告诉我们这些量的存在。为了简单之故，我们举个老的例子，欧几里得证明了任意一个圆的面积与其半径的平方之比对于所有的圆都相同。这个比当然是π，于是欧几里得证明了一个纯粹的存在定理。但是知道π的值对我们计算任意给定圆的面积，显而易见是很重要的。还好，阿基米德的近似计算和后来的一些级数展开使我们能够在直觉主义者向纯粹的存在定理发起挑战以前很久就计算出了π值。同样，其他一些已证明其存在的量也理应计算出来。因而，结构主义者的方案应予以贯彻。
进行基础研究还有一种潜在的价值，这就是得出矛盾的可能性。相容性并未证实，因此，找到矛盾或者找到明显荒谬的定理至少可以淘汰一些现在耗费数学家时间和精力的备选理论。
我们对数学地位的解释当然不尽人意，我们剥夺了它的真实性；它不再是一个独立的、可靠的、有着坚实基础的知识体系。许多数学家背弃了对科学的热忱，这在历史上的任何时期都是令人扼腕的事，特别是在实际应用可能为数学指明了正确的前进方向时尤为可叹。而已得到实际应用的数学的惊人力量仍有待于解释。
抛开这些缺点和局限性不谈，数学对人类的贡献还有许多。它是人类最杰出的智慧结晶，也是人类精神最富独创性的产物。音乐能激起或平静人的心灵，绘画能愉悦人的视觉，诗歌能激发人的感情，哲学能使思想得到满足，工程技术能改善人的物质生活，而数学则能够做到所有这一切。另外，在推理所能及的地方，数学家们已尽了最大的努力使人类的头脑能维护其结论的合理性。“数学一样的精确”作为一条谚语并非偶然，数学仍然是可用的最好的知识的典范。
数学的成就是人类思想的成就，它是人类可以达到何种成就的证据，它给予人类勇气和信心，去解决那些一度看上去不可测知的宇宙的秘密，去制服那些人类易于感染的致命疾病，去质疑、去改善那些人们生活中的政治体系。在所有这些努力中，数学也许起到了作用，也许并无作用，但是我们对成功不可抑制的渴望来源于数学。
数学的价值至少不比任何人类的其他创造小。也许所有这些价值不易于或不能广泛地为人们所领悟和欣赏，但幸运的是它们均被利用了。如果说攀登数学殿堂较攀登音乐殿堂更为艰巨，那么所得到的报酬也将更为丰厚，因为它包括人类创造力可提供的几乎所有的智力的、艺术的和情感的价值。攀登一座高山也许要比攀登一座低矮的山头更为费力，但是高处的视野可延伸到更远的地平线处，而我们能提出的唯一的问题则是哪一个价值更为重要。然而，这个问题各人的回答不尽相同，因为个人的判断、意见和品味已融于答案中了。
就知识的确定性而言，数学是一种理想，我们为这一理想而奋斗，尽管我们也许永远不会达到。确定性也许只不过是我们在不断捕捉的一个幻影，它是如此无止境地难于捉摸。然而，理想具有力量和价值，公正、民主和上帝都是理想。的确，也有在上帝的幌子下被谋杀的人，审判不公的案件也臭名远扬，但是这些理想是千百年来文化的重要产物。数学也是一样，尽管它也仅是一种理想。也许仔细想来，这一理想将会使我们更加清楚地认识到在所有领域，我们该选择什么方向才能获取真理。
人类面临的困境实在可怜。我们是广袤宇宙中的流浪汉，在自然的劫后余迹前孤立无援，我们依靠自然提供食物和必需品。我们在为何生于这个世界，又应为什么而奋斗的问题上都被一致化了。人类孤单地生存在一个冷酷的、陌生的宇宙中，他凝视着这个神秘的、瞬息万变的、无穷的宇宙，为他自己的渺小感到迷惑、困扰甚至惊骇不已。正如帕斯卡所说：
人究竟为什么存在于自然界中？无与无穷有关，全体与无有关，对无、全体及无穷之间的点我们一无所知。事物的结束和开始都被毫无破绽地隐藏在一个难以洞察的秘密之中。同样，人类也无法知晓他为何来自一无所有，又如何被卷入了无穷无尽。
蒙田和霍布斯也用不同的语言阐述了同样的观点：人的生命是寂寞的、穷困的、艰险的、野蛮的和短暂的，他是偶然事件的牺牲品。
凭着有限的感性知识和大脑，人类开始探究其自身的奥秘。通过使用感官瞬间所揭示的东西和可从实验中推知的事物，人类选用了公理并应用他的推理能力。他在寻求秩序，他的目的就是建立与瞬息万变的感觉相对立的知识体系，建立可以帮助他获取有关其生存环境的奥秘的解释模型。而他的主要成就，也是人类自身理性的产物，就是数学。它并不是完美的佳作，即使不断地完善也未必能去除所有的瑕疵。然而，数学是我们与感性知觉世界之间最有效的纽带。尽管我们不得不尴尬地承认数学的基础并不牢固，但是数学仍是人类思想中最贵重的宝石，我们必须将其妥为保管并节俭使用。它处于理性的前列，毫无疑问将继续如此，就算是进一步的研究复查又发现新的缺陷。怀特海曾写道：“让我们把数学的追求看作是人类精神中神赐的疯狂吧。”疯狂，也许可以这么说，但是，毫无疑问，它是神赐的。
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