什么是数学：对思想和方法的基本研究（第四版）

什么是数学

第1章 自然数

引言

§1整数的计算

1．算术的规律

2．整数的表示

3．非十进位制中的计算

*§2数系的无限性数学归纳法

1．数学归纳法原理

2．等差级数

3．等比级数

4．前n项平方和

*5．-个重要的不等式

*6．二项式定理

*7．再谈数学归纳法

第1章补充 数论

引言

§1素数

1．基本事实

2．素数的分布

§2同余

1．一般概念

2．费马定理

3．二次剩余

§3毕达哥拉斯数和费马大定理

§4欧几里得辗转相除法

1．一般理论（53）

2．在算术基本定理上的应用（58）

3．欧拉函数再谈费马定理（59）

4．连分数丢番都方程（61）

第2章 数学中的数系

引言

§1有理数

1．作为度量工具的有理数

2．数学内部对有理数的需要推广的原则

3．有理数的几何解释

§2不可公度线段无理数和极限概念

1．引言

2．十进位小数无限小数

3．极限无穷等比级数

4．有理数和循环小数

5．用区间套给出无理数的一般定义

*6．定义无理数的另一个方法戴特金分割

§3解析几何概述

1．基本原理

*2．直线方程和曲线方程

§4无限的数学分析

1．基本概念

2．有理数的可数性和连续统的不可数性

3．康托的“基数”

4．反证法

5．有关无限的悖论

6．数学的基础

§5复数

1．复数的起源

2．复数的几何解释

3．棣莫弗公式和单位根

*4．代数基本定理

*§6代数数和超越数

1．定义和存在性

**2．柳维尔定理和超越数的构造

第2章补充 集合代数

1．一般理论

2．在数理逻辑中的应用

3．在概率论中的一个应用

……

第3章 几何作图数域的代数

第4章 射影几何公理体系非欧几里得几何

第5章 拓扑学

第6章 函数和极限

第6章补充 极限和连续的一些例题

第7章 极大与极小

第8章 微积分

第8章补充

第9章 进展

附录 补充说明问题和习题

参考书目1

参考书目2（推荐阅读）

《什么是数学：对思想和方法的基本研究（第4版）》：
　　数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性。虽然不同的传统可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值。
　　毫无疑问，一切数学的发展在心理上都或多或少地是基于实际的，但是理论一旦在实际的需要中出现，就不可避免地会使它自身获得发展的动力，并超越直接实用的局限。这种从应用科学到理论科学的发展趋势，不仅常见于古代历史中，而且在工程师和物理学家为近代数学不断作出的许多贡献中更是屡见不鲜，
　　有记载的数学起源于东方，大约在公元前两千年，巴比伦人就搜集了极其丰富的资料，这些资料今天看来应属于初等代数的范围。至于数学作为现代意义的一门科学，则是迟至公元前5至公元前4世纪才在希腊出现的。东方和希腊之间的接触不断增多（始于波斯帝国时期，至亚历山大远征时期则达到高峰），使希腊人得以熟悉巴比伦人在数学和天文学方面的成就，数学很快就被加入到风行于希腊城邦的哲学讨论之中。因而希腊的思想家逐渐意识到，在连续、运动、无限大这些概念中，以及在用已知单位去度量任意一个量的问题中，数学都存在着固有的极大困难。面对这个挑战，经过了一番不屈不挠的努力，产生了欧多克斯（Eudoxus）的几何连续统理论，这个成果是能和两千多年后的现代无理数理论相媲美的。数学中这种公理演绎的趋向起源于欧多克斯时代，又在欧几里得（Euclid）的“原本”中得以成熟。
　　虽然希腊数学的理论化和公理化的倾向一直是它的一个重要特点，并且曾经产生过巨大的影响。但是，我们不能过分强调这一点，因为在古代数学中，应用以及同物理现实的联系恰恰起了同样重要的作用，而且那时候人们不愿采用欧几里得那样严密的表达方式。
　　由于较早地发现了与“不可公度”的量有关的这些困难，使希腊人没能发展早已为东方所掌握的数字计算的技术，相反，他们却迫使自己钻进了纯粹公理几何的丛林之中，于是科学史上出现了一个奇怪的曲折，这或许意味着人类丧失了一个很好的时机，几乎两千年来，希腊几何的传统力量推迟了必然会产生的数的概念和代数运算的进步，而它们后来构成了近代科学的基础。
　　经过了一段缓慢的准备，到17世纪，随着解析几何与微积分的发展，数学和科学的革命也开始蓬勃发展起来，虽然希腊的几何学仍然占有重要的地位，但是，希腊人关于公理体系和系统推演的思想在17世纪和18世纪不复出现。从一些清清楚楚的定义和没有矛盾的“明显”公理出发，进行准确的逻辑推理，这对于数学科学的新的开拓者来说似乎是无关紧要的，通过毫无拘束的直观猜想和令人信服的推理，再加上荒谬的神秘论以及对形式推理的超人力量的迷信，他们征服了一个蕴藏着无限财富的数学世界，但是后来，大发展引起的狂热逐渐让位于一种自我控制的批判精神。到了19世纪，由于数学本身需要巩固已有成果，而且人们也希望把它推向更高阶段时不致发生问题（这是受到法国大革命的影响），就不得不回过头来重新审查这新的数学基础，特别是微积分及其赖以建立的极限概念，因此，19世纪不仅成为一个新的发展时期，而且也以成功地返回到那种准确而严谨的证明为其特征，在这方面它甚至胜过了希腊科学的典范。
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