非线性动力学引论

本书是作者根据自己近二十多年来在北京大学力学系对研究生讲授非线性动力学课程的讲义和在非线性科学领域内从事研究工作的研究成果编写而成的一部教材．该门课程最早被称为“混沌理论”，后改为“混沌与分形”，最后再改称“非线性动力学”。
　　本书主要内容包括：分岔与突变、混沌、分形、混沌系统奇怪吸引子、斑图、孤立波等．全书偏重于数学的推导和物理意义的分析，重点介绍严格的理论分析方法，力求给出比较可信的定量结论．本书在强调理论系统的严谨性和完整性的同时，着重强调非线性动力学的几大热点研究课题，关注非线性系统的普适性，为进一步开展研究工作打下一个扎实的基础．本书还对流体中的混沌现象作了重点介绍。
　　本书可作为高等院校力学专业研究生的教材或教学参考书，也可供其他对非线性动力学感兴趣的研究人员作为研究用的参考书。

黄永念 北京大学工学院力学与空天技术系教授，博士生导师．1963年本科生毕业于北京大学数学力学系力’学专业，1966年研究生毕业于北京大学数学力学系力学专业．曾任中国力学学会常务理事，北京力学会副理事长，现任《力学学报》副主编。

第一章　引言
　1.1　确定性混沌
　1.2　孤立子与孤立波
　1.3　分形
　1.4　时一空斑图结构
第二章　分岔与突变理论
　2.1　线性微分方程组的显式解
　2.2　分岔的分类
　2.3　定态解的稳定性准则
　2.4　Lyapunov特征指数
　2.5　突变的分类
　2.6　混沌的数学定义
　习题二
第三章　保守系统
　3.1　作用变量与角变量
　3.2　KAM定理和Poincar6一Birkhoff定理
　习题三
第四章　非线性振动
　4.1　vanderPol方程和KB平均化方法
　4.2　Duffin9方程
　习题四
第五章　Lagrange混沌
　5.1　Beltrami流动
　5.2　涡环的叠加
　习题五
第六章　耗散系统
　6.1　奇怪吸引子
　6.2　一维Logistic映射
　6.3　一维复映射和Mandelbrot集
　6.4　二维Henon映射
　6.5　重整化群方法
　6.6　Melnikov方法
　6.7　Lorenz吸引子
　习题六
第七章　分形动力学
　7.1　分形的例子
　7.2　分维的计算
　7.3　多重分形和广义维数
　7.4　分数阶微积分
　7.5　分形的应用
　习题七
第八章　不变分布，K-S熵和功率谱
　8.1　不变分布
　8.2　K-S熵和熵谱
　8.3　噪声和功率谱
　习题八
第九章　斑图动力学
　9.1　闭流系统中的斑图结构
　9.2　开流系统的三维涡旋斑图结构
　……
第十章　孤立波
部分习题答案
参考文献
名词索引

第一章　引言
　　20世纪下半叶在非线性动力学领域内引起的几场革命极大地推动了科学事业的发展．正如许多科学家所强调的那样，科学革命最重要的特点之一是在人的思维中产生具有哲学意义的新概念，它从根本上改变人们对自然界认识的思维方式．作为非线性动力学的主要研究对象，混沌、孤立子和分形正极大地影响着整个科学事业．这里我们简要地回顾这几场革命的历史发展过程，从而说明非线性动力学在其中的重要作用。
　　1.1确定性混沌
　　近半个世纪以来在确定性的非线性动力学系统中的混沌现象的发现是20世纪物理学最重要的三次革命(相对论、量子力学和混沌现象)中的一次．甚至有人预言它将主导21世纪的科学．不管怎样，确定性系统中能够出现不确定的混沌现象确实给人们带来概念上的新飞跃．传统的观念以Newton和Laplace为代表．他们认为确定性的动力系统(如Newton运动方程)的运动轨道一定是规则的，可预测的．但是，这种确定性的观念被法国天体物理学家Poincar6打破了．是他最早在20世纪初就指出了在某些非线性系统中存在着运动轨道对初始条件的敏感依赖性．这一观点正是今天混沌定义中的最核心部分．由于科学家在非线性动力学方面所做的不懈努力，Poinear6的思想以及他在天体力学方面的工作经过了半个多世纪终于受到人们的重视．在20世纪60年代初期，H本科学家Ueda和美国科学家Lorenz分别在电路的非线性振动和大气热对流问题中发现了在确定性的非线性动力学方程中会出现非周期的轨道。
　　……