经济数学引论

　　（1）经济学本科生学习动态递归方法之前的先行课程；
　　（2）帮助本科水平的学生步入高级数理经济学的殿堂；
　　（3）对经济学家实用的数学方法给予了系统介绍，并给出了全部定理的证明。

 

 

　　你是有志于学术的经济学专业学生。你以后希望从事宏观计量的经验研究，所以你希望理解动态规划方法。于是你找到了经典的动态规划教材，斯托基和卢卡斯的《经济动态的递归方法》。你雄心勃勃地下定决心，一定要把这本书啃完。
　　但很快，悲催的事情发生了：你发现自己，看！不！懂！T_T。。。
　　你就是无法看懂《经济动态的递归方法》这本书，怎么办？
　　你没有数学背景，还想研究经济学，怎么办？
　　你只学过高数、线性代数和概率论，怎么样才能学好动态递归，并用来建模呢？
　　现在可以告诉你，你完全可能做到。你读不懂的原因，只是因为你没有遵循数学学习的规律。
　　本书作者发现他们的研究生之所以看不懂卢卡斯的书，是因为缺乏足够的数学基础准备。因此他们决定写一本书为学生提供一个学习的桥梁。你手上拿到的就是这本书。它的起点等同于中国经济类本科水平，通过这座桥梁，你可以轻松抵达卢卡斯的动态递归方法，步入高级数理经济学的殿堂。
　　本书系统介绍了经济学与计量经济学中会用到的数学分析方法，填补了经济学本科生的数学水平与今日经济学研究中涉及的高深数学之间的空白。与其他的经济数学教材不同，本书利用度量完备性定理，为基本的空间与较高深的空间提供了一种统一的理解。本书的另一大特色是关注计量经济学的数学基础，且提供了所有定理的证明。为了将较难理解的概念解释清楚，作者从本科生能够理解的数学分析及经济学案例讲起。这会为读者建立一种直觉，拥有这种直觉，读者将不再对经济研究中的复杂分析感到惧怕。
　　讲解透彻，推导严密，自成体系，这本书将在读者从经济学学生成长为研究者的过程中助一臂之力。

 

　　[美] 迪安·科尔贝
　　得克萨斯大学奥斯汀分校Rex A.与Dorothy B. Sebastian百年讲席工商管理教授。
　　 [美] 马克斯韦尔·B.斯廷奇库姆
　　得克萨斯大学奥斯汀分校E. C. McCarty百年讲席经济学教授。
　　 [美] 尤拉伊·泽曼
　　斯洛伐克央行研究员，斯洛伐克考门斯基大学应用数学讲师。

前言

阅读指南

符号标记系统

第1章 逻辑
1.1 命题、集合、子集和推论
1.2 命题及其真值
1.3 证明：一个简述
1.4 逻辑量词
1.5 证明的分类

第2章 集合论
2.1 一些简单例题
2.2 基本概念及原理
2.3 积、关系、对应及函数
2.4 等价关系
2.5 有限集的选择
2.6 像、逆像与复合函数
2.7 弱序、偏序和格
2.8 规划的单调变换：超模态与格
2.9 塔尔斯基格不动点定理与稳定匹配
2.10有限集和无限集
2.11 选择公理及其相关等价结论
2.12. 显示偏好与可理性化
2.13 超结构
2.14 参考书目
2.15 本章结束的问题

第3章 实数空间
3.1 为什么仅仅有理数还不够
3.2 有理数的基本性质
3.3 距离、柯西列与实数
3.4 实数的完备性
3.5 牛顿二分法
3.6 上确界与下确界
3.7 可加性与一种增长模型
3.8 耐心、上极限与下极限
3.9 第三章参考书目

第4章 实向量的有限维度量空间
4.1 度量空间的基本定义
4.2 离散空间
4.3 作为一个赋范向量空间的 
4.4 完备性
4.5 闭包、收敛与完备性
4.6 可分离性
4.7  的紧致性
4.8  上的连续函数
4.9 李普希茨与一致连续性
4.10 对应（映射）与值定理
4.11 巴拿赫压缩映射定理
4.12 连通性
4.13 第四章参考书目

第5章  空间的凸分析
5.1 凸性的基本几何性质
5.2  的双重空间
5.3 三种程度的凸分离
5.4 强分离和新古典对偶性质
5.5 边界问题
5.6 凹函数与凸函数
5.7 分离定理与哈恩-巴拿赫定理
5.8 分离性与库恩-塔克（Kuhn-Tucker）定理
5.9 拉格朗日乘子的解释
5.10 可微凹函数
5.11 不动点定理与一般均衡理论
5.12 关于纳什均衡和完美均衡的不动点定理
5.13 第五章参考书目

第6章  度量空间
6.1 紧集空间与化定理
6.2. 连续函数空间 
6.3 累积分布函数空间 
6.4  为紧集时 的近似性质
6.5 作为近似理论的回归分析
6.6 可计算的乘积空间与序列空间
6.7 基于扩张定义的隐函数
6.8 度量完全化定理
6.9勒贝格测度空间
6.10 第六章文献
6.11 本章结束的问题

前 言
本书目的，是要提供一个关于分析数学在经济学理论与经济学家研究应用中全面基础性的介绍。函数及其实分析在经济学中已经越来越普遍，但还没有哪一本教科书所涵盖的内容达到了一个应有的基本水平。我们编入本书的基本原理，将试图填补在基本数理经济学（大都包含微积分、线性代数与约束的化理论）与高级数理经济学之间的空缺，后者如Stocky与Lucas的《动态经济学的递归方法》，其关联知识的难度之大，使得这些教材本身就可以做为关于函数分析与测度论研究的基础性著作。
我们采用一种统一的方法，试图运用度量的完全化定理，来理解基本、或者高级的空间概念。关于这种概念的运用，比如通过实数来完全化有理数集合、通过测度空间完全化可测集的域等方法，是十分重要的。就本书与一般数学教材的关系而言，我们有三个主要的创新尝试，（1）我们选取的材料来源于完全不同的数学领域，只要它们对于经济学家进行回归分析、展开静态或者动态选择行为分析，乃至策略与竞争的均衡分析，彼此逻辑关系密切、理论意义重大；我们都会引入，比如从格、凸分析及测度论直到函数分析等等。（2）我们试图用经济学家都熟悉的定义——比如近似逼近与解的存在性概念——去理解分析数学与测度理论。（3）从教学上讲，我们从经济学理论与实际研究中选取了大量而简单的例题，以有利于读者抓住一些困难的思想。重要的是，我们一直都坚持这样的目标，即使为了使得本书内容能够尽可能地被人们接受，我们也没有排除经济学家运用过程中所必要的数学概念，除了一些例题得假设读者具有经济学本科生水平的背景知识。严格地讲，本书是自成体系的（几乎所有用来证明给定结论的定理，都可以在本书中找到它自身的证明）。
我们在匹兹堡大学和德克萨斯大学的学期博士生的核心课程中，讲授过本书的前半部分，我们是从为期一个月的紧张、补救性的夏季数学课程开始的；整个教学项目主要集中在微积分与线性代数的内容，其中，章到第六章是在基础班讲授，但我们相信这些章节的内容也适合本科生高年级经济学学生；余下的部分，应该作为研究生经济数学教学课程。我们曾经在一个研讨班上使用过本书的初稿，我们希望本书会有助于研究者的工作，比如，任何读过Stocky与Lucas《递归方法》的读者一定会理解本教材中的基础性概念；实际上，正是由于本书的作者之一，在他的高级宏观经济学课程中发现，普通的学生在理解Stocky与Lucas的课程时，处于相当糟糕的状态，才有了本书相关内容的建议。
总体而言，我们已经致力于将与经济学直接相关的数学内容发展成一个体系，这意味着在有些情形下，还有很多直接的方法来达到同样的数学结论；我们希望本书增加的内容以及增加这些内容的动机，是值得读者花费成本学习的。

　　阅读指南
　　我们力图确保本书能够覆盖大学高年级、研究生初级的相关数学课程，同时，也包含了大多数经济学博士生应该掌握的基本内容；我们潜在的读者是经济学家，由此，我们也试图确保所应用的经济学例题尽可能地具有前沿性，并强调其尽可能的类比性。
　　在这种思路下，对于要如何实现本书这种整体性构建，我们设想应该这样达成。首先，我们给出各个章节内容的总体概述与主要理论点，可以确信，本书章至第五章的内容，能够构成一个经济数学高年级课程的基础。其次，相关的教学经验表明，如果再加上6.1和6.5的内容，将能够为研究生的培养提供一个非常丰富、更加完善的数学基础；本书余下的部分，对于数理经济学的高级课程教学，特别是那些有志于成为计量经济学家或相关经济学领域理论家的学生，应该是一个相当不错的设计。
　　各章概要
　　章：逻辑。主要是讨论如何将一般逻辑陈述归纳为一种关于集合关系的命题系统，比如，我们要说明为什么“如果有A，则B”的命题就等价于“A是B的一个子集”，或者“存在一个A中的x使得B关于它的命题为真”的陈述等价于“A与B具有非零的交集”。如果本书像我们所希望的，达到了编写立意的目标，学生们就能够对于经济学文献中的结论给出一种清晰的解析，以至于洞识潜藏在这些逻辑背后的子集合之间的关系。
　　第二章：集合论。将解释如何对于集合进行运算和比较，具体地，我们将从关系的概念先开始讨论，关系就是一个集合的子集；函数、对应与等价关系只是特殊关系的简单案例。我们还要证明理性选择理论如何被形式化为偏好关系上的诸种条件（如完备性、传递性等）；关系，可以用不同的方式对集合进行排序，比如，格就是如此；运用格的概念，我们引入了单调比较静态分析，还有归功于塔尔斯基的“单调”不动点定理。随后，我们将转向集合的大小、以及区分无限可数与不可数集合的研究；基于无限、极限的相关概念，我们要试图去掌握相关的应用，而这里的关键性假设便是著名的选择性公理；这实质上等价于某一类（小）元素的存在性问题，一个著名的结论则是佐恩引理。
　　第三章：实数空间。一维的实数线（记为 ）是数学中（即使低年级的数学专业学生也要理解的）基本的空间，它是我们用来测度数量的工具。与沿袭经典的公理化构建实数的方法不同，我们强调由于有理数具备了所谓的“稠密性”，即使有理数空间之中就存在着许多“洞”，它也为测度数量提供了一个优良的体系。在有理数空间中，我们采用通常的方法来测度距离，即欧几里德定义的，通过差 的值来度量距离；然后，我们将证明：如何通过给有理数空间增加新的点，来表达一个完美的近似的结论，即一个被称为“完备性”的性质。要表达一个问题的解概念，完备性是一个关键的性质；特别是，我们可以构建一个近似解的序列，如果空间是完备的，由于序列变得越来越紧密（比如一个柯西列），该序列的极限是存在的，以致于这个近似序列的极限就是原问题的一个解。对于经济学而言，实数完备性的另一个重要的性质，便是化元素的存在性。
　　第四章：实向量的有限维度量空间。对于年轻的经济学家来说，这将是我们先介绍的两章学习内容。这里隐含的集合便是在第三章构建的维度为l的实数向量的集合（记为 ）。这里，有许多“常用的方法”测度两点之间的距离，但其内涵的共同特性，即某种“度量”或者说一个距离函数的概念，将我们带入了一个新的领域；后者，则是我们在本书其余部分要贯穿研究的主题——如何度量距离。除了类比于l-维欧几里德距离的概念，基于对应元素的差的平方和的平方根，我们给出了距离函数、或者说度量的另一种关于距离的对应定义：“对应元素差的值之和”，这也被称为 度量；并且，“对应元素差的值的值”被称为上确界范数度量。除了第三章一直强调的完备性，这一章还要聚焦于紧致性与连续性；对于经济学家们常常考虑的规划问题，无论是静态、还是动态的数学模型，这些性质都能够确保解的存在性。实际上，许多关于解的存在性的结论，都可以在一种涉及中值定理的简洁应用中得以更简单的理解。
　　第五章：有限维凸分析。这是我们第二个要介绍的对于年轻的经济学家来说，必须掌握的两章学习内容之一。许多经济学问题都被归纳为，求解某个被一系列等式给予很好定义的经济化问题的解。化问题也由此往往被写成如何在一个紧凸集上（比如预算约束）化一个连续函数（比如效用函数）的数值问题；我们的讨论将从基本的可分离性定理（其对于证明第二福利经济学定理是充分的）开始，它给出了一种恰当的方法，如何用一个处于“对偶空间”（或者共轭空间）的线性函数来将不相交的凸集彼此分离；我们还要运用分离定理的结论，去证明规划的库恩-塔克定理、讨论角谷不动点定理，当然，这些都是研究经济行为中均衡存在性的主要数学工具。
　　第六章：第六章和第七章构成了经济学专业博士研究生课程的核心内容。第六章将介绍一个度量空间一般概念——简单地讲，即一个隐性的集合 与一种距离的概念，这常常被称为一个度量。在这一章中，我们将要研究集合之间的距离，这是一个在比较静态规划值研究中的关键性要素；我们接着研究累积分布函数之间的距离，它构成了计量经济学的渐进分析以及不确定性行为选择理论的基础；还有连续函数之间的距离，运用这种距离的概念，我们才能进行动态规划问题的值函数分析。基于函数空间分析的一些基础性近似结论（即斯通-威尔斯特拉斯定理的代数或者格的理论表述），我们会给出一个将回归分析作为近似理论的扩展性的表述；还有回归分析本身、无限序列之间的距离，这些是经济学家模拟重复博弈的博弈序列与策略集合的重要工具；我们还要给出随机过程与其他动态系统的收益序列、以及动态规划问题的回报等表达。紧接着，我们转向两类连续函数的扩展定理，这些结论给出了在什么条件下连续函数的一些有价值的性质将是成立的，由此，也就逻辑地告诉我们连续函数具有十分强大的近似分析的功能。后，考虑到完备性对于解的存在性的重要意义，我们给出了有理数完备化、度量完全化定理的一般性描述，这将有助于读者理解如何对于任意给定的度量空间增加一个小元素的集合，以使其变成完备的空间。