数学分析(第一册)

　　《数学分析(第1册)》是本科生数学基础课教材。 

　　《数学分析(第1册)》是综合性大学和高等师范院校数学系本科生数学分析课程的教材。全书共分三册。第一册共六章，内容为函数、序列的极限、函数的极限与连续性、导数与微分、导数的应用、不定积分；第二册共六章，内容为定积分、广义积分、数项级数、函数序列与函数项级数、幂级数、傅里叶级数：第三册共五章，内容为n维欧氏空间与多元函数的极限和连续、多元函数微分学、重积分与广义重积分、曲线积分与曲面积分及场论、含参变量的积分。《数学分析(第1册)》每章配有适量习题，书末附有习题答案或提示，供读者参考。
　　作者多年来在北京大学为本科生讲授数学分析课程，按照教学大纲，精心选取教学内容并对课程体系优化整合，经过几届学生的教学实践，收到了良好的教学效果。《数学分析(第1册)》注重基础知识的讲述和基本能力的训练，按照认知规律，以几何直观、物理背景作为引入数学概念的切入点，对内容讲解简明、透彻，做到重点突出、难点分散，便于学生理解与掌握。
　　《数学分析(第1册)》可作为高等院校数学院系、应用数学系本科生的教材，对青年教师《数学分析(第1册)》也是一部很好的教学参考书。为了帮助读者学习，《数学分析(第1册)》配有学习辅导书《数学分析解题指南》供读者参考。

　　伍胜健，北京大学数学科学学院教授、博士生导师。1992年在中国科学院数学研究所获博士学位。主要研究方向是复分析。在北京大学长期讲授数学分析、复变函数、复分析等课程。

第一章 函数
1.1 实数
1.1.1 数集
1.1.2 实数系的连续性
1.1.3 有界集与确界
1.1.4 几个常用不等式
1.1.5 常用记号
1.2 函数的概念
1.2.1 函数的定义
1.2.2 由已知函数构造新函数的方法
1.3 函数的性质
1.3.1 函数的有界性
1.3.2 函数的单调性
1.3.3 函数的周期性
1.3.4 函数的奇偶性
1.4 初等函数
习题一

第二章 序列的极限
2.1 序列极限的定义
2.1.1 序列
2.1.2 序列极限的定义
2.1.3 无穷小量
2.1.4 无穷大量
2.2 序列极限的性质
2.3 单调收敛原理
2.3.1 单调收敛原理
2.3.2 无理数e和欧拉常数c
2.4 实数系连续性的基本定理
2.4.1 闭区间套定理
2.4.2 有限覆盖定理
2.4.3 聚点原理
2.4.4 柯西收敛准则
2.5 序列的上、下极限
习题二

第三章 函数的极限与连续性
3.1 函数的极限
3.1.1 函数极限的定义
3.1.2 函数极限的性质
3.1.3 函数极限概念的推广
3.1.4 序列极限与函数极限的关系
3.1.5 极限存在性定理和两个重要极限
3.2 函数的连续与间断
3.2.1 函数的连续与间断
3.2.2 连续函数的性质
3.2.3 初等函数的连续性
3.3 闭区间上连续函数的基本性质
3.4 无穷小量与无穷大量的阶
习题三

第四章 导数与微分
4.1 导数
4.1.1 导数概念的引入
4.1.2 导数的定义
4.1.3 单侧导数
4.2 求导数的方法
4.2.1 函数四则运算的导数
4.2.2 反函数的求导法则
4.2.3 复合函数的求导法则
4.2.4 隐函数的求导法
4.2.5 参数式函数的求导法
4.2.6 极坐标式函数的求导法
4.3 微分
4.3.1 微分的定义
4.3.2 一阶微分的形式不变性
4.4 高阶导数与高阶微分
4.4.1 高阶导数
4.4.2 莱布尼茨公式
4.4.3 一般函数的高阶导数
4.4.4 高阶微分
习题四

第五章 导数的应用
5.1 微分中值定理
5.1.1 费马定理
5.1.2 罗尔微分中值定理
5.1.3 拉格朗日微分中值定理
5.1.4 柯西微分中值定理
5.2 洛必达法则
5.2.1 0/0型不定式
5.2.2 ∞/∞型不定式
5.2.3 其他类型不定式
5.3 泰勒公式
5.3.1 带佩亚诺余项的泰勒公式
5.3.2 带拉格朗日余项的泰勒公式
5.3.3 拉格朗日插值多项式
5.4 利用导数研究函数
5.4.1 函数的单调性
5.4.2 函数的极值
5.4.3 函数的凹凸性
5.4.4 拐点
5.4.5 渐近线
5.4.6 函数的作图
习题五

第六章 不定积分
6.1 原函数与不定积分
6.1.1 原函数与不定积分的概念
6.1.2 基本不定积分表和不定积分的线性性质
6.2 换元法与分部积分法
6.2.1 第一换元法
6.2.2 第二换元法
6.2.3 分部积分法
6.3 其他类型函数的不定积分
6.3.1 有理函数的不定积分
6.3.2 三角函数有理式的不定积分
6.3.3 无理函数的不定积分
习题六
部分习题答案与提示
名词索引

　　自1995年以来，在姜伯驹院士的主持下，北京大学数学科学学院根据国际数学发展的要求和北京大学数学教育的实际，创造性地贯彻教育部“加强基础，淡化专业，因材施教，分流培养”的办学方针，全面发挥我院学科门类齐全和师资力量雄厚的综合优势，在培养模式的转变、教学计划的修订、教学内容与方法的革新，以及教材建设等方面进行了全方位、大力度的改革，取得了显著的成效。2001年，北京大学数学科学学院的这项改革成果荣获全国教学成果特等奖，在国内外产生很大反响。
　　在本科教育改革方面，我们按照加强基础、淡化专业的要求，对教学各主要环节进行了调整，使数学科学学院的全体学生在数学分析、高等代数、几何学、计算机等主干基础课程上，接受学时充分、强度足够的严格训练；在对学生分流培养阶段，我们在课程内容上坚决贯彻“少而精”的原则，大力压缩后续课程中多年逐步形成的过窄、过深和过繁的教学内容，为新的培养方向、实践性教学环节，以及为培养学生的创新能力所进行的基础科研训练争取到了必要的学时和空间。这样既使学生打下宽广、坚实的基础，又充分照顾到每个人的不同特长、爱好和发展取向。与上述改革相适应，积极而慎重地进行教学计划的修订，适当压缩常微、复变、偏微、实变、微分几何、抽象代数、泛函分析等后续课程的周学时，并增加了数学模型和计算机的相关课程，使学生有更大的选课余地。